Для вещественных $k$ пары $F(x, k) ; F(x,-k)$ и $G(x, k)$; $G(x,-k)$ образуют фундаментальные системы решений уравнения (8.4). Имеют место соотношения
\[
\begin{aligned}
W\left\{F^{*}(x, \bar{k}), F(x, k)\right\} & =-W\left\{G^{*}(x, \bar{k}), G(x, k)\right\}=2 i k I, \\
W\left\{F^{*}(x, \bar{k}), F(x,-k)\right\} & =W\left\{G^{*}(x, \bar{k}), G(x,-k)\right\}=0,
\end{aligned}
\]

где
\[
W\left\{Y^{*}(x), Z(x)\right\}=Y^{*}(x) Z^{\prime}(x)-Y^{*^{\prime}}(x) Z(x)
\]

есть вронскиан матричных функций $Y$ и $Z$, а черта означает комплексное сопряжение. Следовательно, $G$ может быть представлено в виде линейной комбинации $F(x, k)$ и $F(x,-k)$, а $F(x, k)$ в виде линейной комбинации $G(x, k)$ и $G(x,-k)$ :
\[
\begin{array}{l}
G(x, k)=F(x,-k) A(k)+F(x, k) B(k), \\
F(x, k)=G(x,-k) C(k)+G(x, k) D(k) .
\end{array}
\]

Для совместности соотношений (8.8) необходимо, чтобы было выполнено
\[
\begin{array}{l}
B(k) D(k)+A(-k) C(k)=D(k) B(k)+C(-k) A(k)=I, \\
A(k) D(k)+B(-k) C(k)=C(k) B(k)+D(-k) A(k)=0,
\end{array}
\]

Матричные коэффициенты $A(k), B(k), C(k), D(k)$ могут быть выражены через вронскианы решений $F(x, k) ; G(x, k)$ и их комплексно-сопряженные при вещественных $k$ :
\[
\begin{array}{l}
A(k)=-W\left\{F^{*}(x,-k), G(x, k)\right\} / 2 i k ; \\
B(k)=W\left\{F^{*}(x, k), G(x, k)\right\} / 2 i k, \\
C(k)=W\left\{G^{*}(x,-k), F(x, k)\right\} / 2 i k ; \\
D(k)=-W\left\{G^{*}(x, k), F(x, k)\right\} / 2 i k .
\end{array}
\]

Из (8.10) следует, что
\[
A(k)=C^{*}(-k), \quad B(k)=-D^{*}(k) .
\]

Для комплексных $k(\operatorname{Im} k \geqslant 0)$ матричные коэффициенты определим следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
A(k)=-W\left\{F^{*}(x,-\bar{k}), G(x, k)\right\} / 2 i k ; \\
B(k)=W\left\{F^{*}(x, \bar{k}), G(x, k)\right\} / 2 i k, \\
C(k)=W\left\{G^{*}(x,-\bar{k}), F(x, k)\right\} / 2 i k ; \\
D(\dot{k})=-W\left\{G^{*}(x, \bar{k}), F(x, k)\right\} / 2 i k .
\end{array}
\]

Это определение совпадает с (8.10) на вещественной оси. Так как $F, G, F^{*}(x,-\bar{k}), G^{*}(x,-\bar{k})$ аналитичны в верхней полуплоскости, то $A(k)$ и $C(k)$ также аналитичны в верхней полуплоскости. Из (8.12) следует, что при комплексных $k(\operatorname{Im} k \geqslant 0)$ выполнены соотношения
\[
A(k)=C^{*}(-\overline{\bar{k}}) ; \quad B(k)=-D^{*}(\bar{k}) .
\]

Приведем формулировки двух лемм, которые будут использованы в дальнейшем.
Лемма 1. При вещественных $k, \operatorname{det} A(k)
eq 0$.
Лемма 2. При $|k| \rightarrow \infty$
\[
\begin{array}{ll}
A(k)=I+O\left(k^{-1}\right) ; & B(k)=O\left(k^{-1}\right) ; \\
C(k)=I+O\left(k^{-1}\right) ; & D(k)=O\left(k^{-1}\right) .
\end{array}
\]