Удобно завершить настоящее описание истории солитонов как раз 1973 г., когда появилась схема обратной задачи рассеяния Захарова — Шабата — AKНС. Это не значит, конечно, что с ее созданием развитие метода закончилось. В самом деле, мы уже упоминали по конкретным поводам успехи этой теории, достигнутые вплоть до 1979 г., — в конце разд. 1.6, например. Но в отношении методов обратной задачи рассеяния каждая из последующих статей настоящего сборника развивает теорию солитонов начиная с момента, приблизительно соответствующего уровню знаний, достигнутому в 1973 г. Этот уровень знаний был хорошо описан в обзоре [1.4].

Теперь видно, что появление статьи Скотта и др. [1.4] отмечает как бы водораздел в истории вопроса: в период 19651973 гг. был открыт солитон, найдены физические приложения уравнения КдФ, модифицированного уравнения КдФ, НУШ, СГ-уравнения и изобретены методы решения этих уравнений; начиная с 1973 г. чрезвычайно расширился круг математических структур солитонных систем и соответственно их физических приложений. В настоящем разделе мы просто приводим ряд наиболее важных результатов, полученных начиная с 1973 г., не пытаясь отметить все достижения в рассматриваемой области ввиду невозможности сделать это. Некоторые из таких достижений описаны в других главах; мы надеемся, что приведенных ссылок достаточно, чтобы читатель мог самостоятельно найти остальное в специальной литературе.

Нам кажется, что начиная с середины 1973 г. важными были следующие этапы: открытие Уолквистом и Эстабруком АПБ для уравнения КдФ [1.56], доложенное в декабре 1973 г.; решение Захаровым и Манаковым задачи о трехволновом взаимодействии [1.46] (август 1973 г.) и решение Каупа [1.47] (1974 г.); результат (1.104) для СГ-уравнения, полученный Тахтаджяном и Фаддеевым [1.134] в 1974 г.; решения цепочки Тоды (Флашка [1.152], Манаков [1.153]; Тода описывает историю своей цепочки и ее решения в гл. 4); замечательные работы Новикова, Матвеева и их сотрудников $[1.119,1.120]$ по периодической задаче для уравнения КдФ и первая статья Новикова, опубликованная в 1974 г. (эти исследования продолжены в гл. 10); статья Флашки и Ньюэлла [1.154] по канонической структуре «интегрируемых» нелинейных эволюционных уравнений, появившаяся в 1975 г. (ныне дополненная, см. гл. 6); решение Лаксом [1.114] уравнення КдФ при периодических граничных условиях в 1975 г.; обобщение Вадати [1.155] задачи рассеяния на матрицы большего размера в 1974 г., более подробно описанное в гл. 8; использование Қалоджеро метода обобщенных вронскианов в 1975 г. [1.78, 1.156] и осуществленное им распространение теории рассеяния на многие «времениподобные» независимые переменные (отмеченное Ньюэллом в гл. 6); и наконец, распространение теории рассеяния на матрицы большего размера, которое выполнили Қалоджеро и Дегасперис в 1976 г., приведшее к решениям типа бумерона [1.157] и описанное в гл. 9.

В 1974 г. появилась также замечательная статья Захарова и Шабата [1.158] по методу обратной задачи. Идеи этой работы послужили основой всесторонней и творческой статьи, написанной Захаровым и вошедшей в настоящую книгу в качестве гл. 7. Она начинается с изучения представления нелинейных дифференциальных уравнений с помощью коммутаторов пар дифференциальных операторов. Такого рода представление описано в разд. 1.4 (лаксовы пары).

В 1975 и 1976 гг. появились работы [1.61] и [1.75] Уолквиста и Эстабрука по структурам продолжения. Поскольку в настоящее время эта тема активно разрабатывается, в данной книге она не представлена, и иы рекомендуем читателю ознакомиться с ней по статьям [1.76], [1.150], [1.159]-[1.169], а также по работе Пирани и др [1.77], процитированной в разд. 1.3. С нашей точки зрения, геометрические методы разд. 1.6 составляют хорошую основу для вывода структур продолжения и позволяют увидеть их значение, скажем, для законов сохранения и преобразований Бэклунда. Сасаки [1.147, третья и четвертая работы в этом списке] именно этим способом выводит структуры продолжения для схемы АКНС обратной задачи рассеяния из ее представления посредством «калибро. вочного поля» (1.123) и находит аналогичные структуры для схем задачи рассеяния более общего вида.

Весьма отличный от обсуждавшихся выше класс задач связан с открытием Мозера, и о нем стоит рассказать несколько подробнее. Это открытие основано на результате, полученном Мозером в 1975 г. Он показал [1.164], как можно использовать идею лаксовой пары матричных операторов (в духе новаторских работ Флашки [1.152] и Манакова [1.153]) для решения одномерной многочастичной задачи с гамильтонианом
$$H=\frac{1}{2}\sum _j{y}_i^2+g\sum _j\sum _{i<k}{(x_i-x_k)}^{-2},g>0$$
(здесь $y$ есть импульс, $\partial H/\partial y_i={\dot{x}}_j,{\dot{y}}_j=-\partial H/\partial x_j;1⩽j⩽N$ ). Уравнения движения имеют вид лаксовой пары (1.86b), где $\mathcal{L}$ и $\hat{B}$ суть $N\times N$-матрицы, определяемые формулами
$$\begin{array}{l}{L}_{jk}={\delta }_{jk}{v}_j+i\sqrt{g}(1-{\delta }_{jk}){(x_j-x_k)}^{-1},\\ B_{jk}=-i\sqrt{g}{\gamma }_{jk}\sum _{\begin{array}{c}l=1\\ jeqj\end{array}}^N{(x_j-x_l)}^{-2}+i\sqrt{g}(1-{\delta }_{jk}){(x_j-x_k)}^{-2},\end{array}$$

причем $\mathcal{L}$ эрмитова, а $\hat{B}$ кососимметрична. Легко проверить, что поскольку ${\left(L^{+}\right)}_t={\left(L_t\right)}^{+}$, то в любом случае существует другое представление в виде лаксовой пары, а именно
$${\hat{L}}_t=[\frac{1}{2}(\hat{B}-{\hat{B}}^{+}),\hat{L}],$$

в котором матрица $(\hat{B}-{\hat{B}}^{+})/2$ безусловно кососимметрична. В точности как для (1.86b), отсюда следует, что собственные значения $L$ суть интегралы движения (которые также находятся в инволюции). Этим свойством обладают и симметричные функции $I_n$,
$$\det [L_{ik}-\lambda {\delta }_{ik}]={\lambda }^N+\sum _{n=1}^N{\lambda }^{N-{\dot{n}}^n}{I}_n,$$

и функции
$$F_n\equiv \mathrm{Tr}\left({\hat{L}}^n/n\right).$$

Рассматриваемая система — это полностью интегрируемая гамильтонова система с $2N$ степенями свободы.

Қвантовомеханическая задача (1.154) была решена Қалоджеро в 1971 г. [1.165]. Он предположил, что классическая задача также разрешима, и впоследствии показал [1.166] (см. также [1.72]), что для разрешимых классических задач с парными потенциалами $V(x_j-x_k)$, представимых посредством лаксовой пары с анзацем, обобщающим (1.155), $V(x)$ должна быть эллиптической функцией Вейерштрасса $\mathcal{P}(x)$; частными случаями этой функции являются $x^{-2},{\mathrm{sh}}^{-2}x$ и ${\sin }^{-2}x$. Открытие Мозера заключалось в том, что он установил замечательную связь между классической многочастичной задачей (1.154) и рациональными решениями уравнения КдФ, удовлетворяющими условию $u\to 0$ при $x\to \mathrm{\infty }$; об этой связи мы до сих пор не упоминали.

Солитонное решение (1.2) уравнения КдФ имеет двойные полюсы в комплексной $x$-плоскости; Крускал [1.65] первым исследовал движение этих полюсов. Такой характер особенностей побуждает искать рациональные решения уравнения КдФ в виде
$$u(x,t)=2\sum _{j=1}^N{[x-x_i(t)]}^{-2}{r}_j(t).$$

Прямая подстановка (1.158) в уравнение КдФ, взятое в виде
$$u_t-3u{u}_x+\frac{1}{2}{u}_{xxx}=0\text{, }$$

показывает, что анзац (1.158) является рациональным решением этого уравнения, если $r_i(t)=1$ и
$$\begin{array}{c}{\dot{x}}_j=6\sum _{keqj}{(x_j-x_k)}^{-2},\\ \sum _{keqj}{(x_j-x_k)}^{-3}=0;1⩽j⩽N.\end{array}$$

Рассуждения облегчаются использованием теоремы сложения для эллиптических функций вида $\phi (x)=x^{-2}$
$$\begin{array}{r}\phi (x){\phi }^{\prime }(y)+{\phi }^{\prime }(x)\phi (y)=\phi (x-y)[{\phi }^{\prime }(y)+{\phi }^{\prime }(x)]-{\phi }^{\prime }(x-y)\times \\ X[\phi (y)-\phi (x)].\end{array}$$

Замечателен тот факт, что система уравнений с ограничениями (1.160) для эволюции координат $x_j$ (уравнения движения (1.160a) ограничены многообразием, удовлетворяющим уравнениям (1.160b)) является также системой уравнений для гамильтонова потока с ограничением, связанного с (1.154), а именно если $F_r$ определено выражением (1.157b), то $F_2\equiv H$ дается формулой (1.154), тогда как поток с гамильтонианом $F_3$, ограниченный условием $\mathrm{grad}{F}_2=0$, дает при $g=6$ в точности систему (1.160), так как
$$F_3\equiv \frac{1}{3}\sum y_j^3+g\sum _{jeqi}{y}_i{(x_i-x_j)}^{-2}.$$

Поскольку величины $F_n$ находятся в инволюции, то потоки с этими гамильтонианами попарно коммутируют; тогда если условие $\mathrm{grad}{F}_k=0$ выполняется для какого-либо $k$ в какойнибудь момент $t$, то это ограничение будет сохраняться в процессе движения (поток, отвечающий $F_n$ и ограниченный условием $\mathrm{grad}{F}_k=0$, является инвариантным потоком [1.167]).

Осталось показать, что система (1.160) имеет решение; это будет так, если, во-первых, $x_i$ лежат в комплексной $x$-плоскости и, во-вторых, $N=n(n+1)/2$ для некоторого $n=1,2,\dots$. Например, если $N=1$, то $u=2(x-c{)}^{-1}$; если $N=3$, то корни $x_i$ уравнения (1.160a) пропорциональны кубическим корням из единицы [1.168], и $u(x,t)=6x^2{(x^3-2t+c)}^{-1}$. Заметим, что, как показано в [1.168], $и$ является решением (1.158) (где $r_j=$ $=1$ ) тогда и только тогда, когда $u(x,t)=2{\partial }^2\ln P(x,t)/d{x}^2$, где $P(x,t)=\prod _{i=1}^N[x-x_i(t)]$ и $x_j$ удовлетворяет (1.157a). Эта формула отражает $N$-солитонную формулу для вещественной оси (см. (1.16), (1.22)), а также выражение решений уравнения КдФ с периодическими граничными условиями посредством $\theta$-функции, выведенное С. П. Новиковым в гл. 10; В. Б. Матвеев установил ее связь с $N$-солитонной формулой Хироты в лекциях [1.119].

Аналогичная связь между разрешимой многочастичной задачей и интегрируемым эволюционным уравнением была найдена для рациональных решений (1.160a) уравнения Буссинеска [1.167]: многочастичная задача — это по-прежнему (1.154), но теперь ограниченный поток отвечает гамильтониану $F_2$ с ограничением $\mathrm{grad}(F_3-F_1)=0$ [1.167]. Уравнение КдФ (1.159) также допускает выражаемые через эллиптическую функцию решения вида
$$u(x,t)=\sum _{j=1}\mathcal{P}\left\{2^{-1/2}[x-x_j(t)]\right\}$$

тогда и только тогда, когда [1.169]
$$\begin{array}{c}{\dot{x}}_j=3\sum _{keq1}\mathcal{P}\left[2^{-1/2}(x_j-x_k)\right],\\ \sum _{keqj}{\mathcal{P}}^{\prime }\left[2^{-1/2}(x_j-x_k)\right]=0.\end{array}$$

Соответствующая многочастичная задача — это
$$H^{\prime }=\frac{1}{2}\sum y_j^2+6\sum _{ieqi}\mathcal{P}(x_i-x_j)$$

с инвариантами $J_2^{\prime }\equiv H^{\prime },J_3^{\prime },\dots$ Поток есть поток с гамильтонианом $J_3^{\prime }$ и ограничением $\mathrm{grad}{J}_2^{\prime }=0$. Подобным образом потоки уравнений КдФ высших порядков лаксовой иерархии суть, по-видимому, $J_n^{\prime }$ — потоки с ограничением $\mathrm{grad}{J}_2^{\prime }=0$. Уравнения КдФ высших порядков имеют рациональные решения (1.158), отвечающие ограниченным $J_n$-потокам гамильтониана (1.154) [1.169].

На фундаментальную важность (1.154) для рациональных решений указывает также и то, что уравненне Бюргерса $\cdot u_t$ $-2cu{u}_x-c{u}_{xx}=0$ (сравните с (1.42) и замените $u\to -(1/2)vu$, $t\to c^{-2}vt$ ) имеет рациональные решения
$$u(x,t)=\sum _{j=1}^N{[x-x_j(t)]}^{-1}{r}_j(t)$$

тогда и только тогда, когда [1.169] $r_j(t)=1$ и
$${\dot{x}}_j=-2c\sum _{keqj}{(x_j-x_k)}^{-1},1<j<N.$$

Из этой системы уравнений следует [1.169], что
$${\ddot{x}}_j=-8c^2\sum _{keqj}{(x_j-x_k)}^{-3};$$

последнее выражение при $c=1/2$ представляет собой неограниченный ( $J_2\equiv H$ ) поток для (1.154). Поскольку (см. (1.43)) уравнение Бюргерса интегрируемо преобразованием ХопфаКоула, это, вероятно, объясняет полную интегрируемость (1.154). Тем не менее уравнение Бюргерса не имеет солитонных решений, не является гамильтоновым и не обладает бесконечным набором сохраняющихся величин в инволюции. Для него существуют представление в виде пары Лакса (в котором, однако, $\hat{L}eq{\hat{L}}^{+}$и $\hat{B}eq{\hat{B}}^{+}$) и бесконечная иерархия уравнений [1.169] (а также структура продолжения [1.150]); этого, по-видимому, достаточно для его эквивалентности (1.167).

Любой ограниченный поток (1.164) есть поток гамильтониана
$$H=\frac{1}{2}\sum y_k^2+\frac{1}{2}\sum _i\sum _{ieqj}{\mathcal{P}}^2(x_i-x_j)$$
[1.169], но это не умаляет фундаментального характера (1.165) и (1.154). Недавно Чен и др. [1.170] действительно нашли солитонные решения безусловно интегрируемого уравнения Бенджамина — Оно [1.171] с помощью изучения движения полюсов (1.154) (в этом случае солитоны являются рациональными рещениями). Представляется вероятным, что подобные связи между рациональными решениями и многочастичными задачами можно установить для всех интегрируемых уравнений. Например, частные результаты для таких уравнений, как модифицированные уравнения КдФ и Кадомцева — Петвиашвили ((1.72) и (1.172)), приводятся в [1.169], для альтернативных уравнений КдФ $[1.115,1.169]-$ в [1.169] и [1.170], а для цепочки Тоды в [1.173], однако в настоящее время нам не известны другие частные результаты такого рода. К тому же мы не волне понимаем, каким образом конкретная $N$-частичная задача (1.154) связана с большинством полученных до сих пор результатов. Мы рекомендуем читателю статью Калоджеро [1.166], представляющую собой обзор множества связанных с этой темой результатов. Дальнейший анализ, касающийся уравнений КдФ и Буссинеска, содержится в работе [1.167], а интересный альтернативный анализ в статье [1.169]. Теоремы сложения вроде (1.161) связань с абелевыми (якобиевыми) многообразиями; рекомендуем читателю исследования по якобиевым многообразиям на эту тему, описанные в [1.167] и затем в [1.174] и [1.175].

Резкое расширение прикладных возможностей теории солитонов произошло также и в совсем другом направлении. Оно было вызвано разработкой, начиная с 1976 г., теорий сингулярного возмущения для таких неинтегрируемых уравнений, которые в некотором смысле «близки» к интегрируемым системам. Здесь стоит упомянуть новатојские работы Қаупа и Ньюэлла [1.176-1.178], а также приложения теории сингулярных возмущений к «двойному СГ-уравнению»
$$u_{xx}-u_{tt}=\pm (\sin u+\frac{1}{2}\epsilon \sin \frac{1}{2}u)$$
[1.179], [1.180] и [1.181] (физические приложения уравнения (1.170) описаны нами в гл. 3). Мы также рекомендуем ознакомиться с теориями возмущений Скотта и Маклафлина [1.25, 1.182], Қарпмана [1.183] и с недавней работой Ньюэлла [1.184]. Ньюэлл посвятил часть гл. 6 своему варианту теории сингулярных возмущений.

K недавним точным результатам по интегрируемым системам относятся: решение уравнений одномерного гейзенберговского ферромагнетика в континуальном приближении
$$\frac{\partial s}{\partial t}=s\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}$$
(где $s(x,t)$ есть плотность непрерывно распределенного спина), которое нашли Тахтаджян [1.185] и Лакшманан [1.186]; решение уравнений твердого тела (Манаков [1.187]); уже упомннавшиеся решения многочастичных задач [1.166-1.170] и некоторые обобщения [1.18b]. Рекомендуем читателю также ряд трудов конференций $[1.137,1.189-1.194]$; в них можно найти новейшие темы, связанные с теорией солитонов, математические результаты и ознакомиться с современным диапазоном физических приложений. В качестве простого очерка этих приложений, круг которых ныне чрезвычайно широк, мы также рекомендуем работы [1.22] и [1.23].

Мы пока почти ничего не сказали о солитонах в случае более одного пространственного измерения (двумерные евклидовы пространства, рассмотренные в разд. 1.3, имеют лишь одно пространственное измерение; второе измерение — это, конечно, время). Ограничения теоремы Хобарта-Деррика [1.195-1.197] для решений обобщенного уравнения Клейна Гордона в случае более чем одного пространственного измерения широко известны $[1.22,1.43]$. Этот случай (многомерные пространства) рассматривается, например, также в работах [1.101], [1.158], [1.161], [1.198] и [1.199]; особо отметим в этой связи гл. 7 настоящей книги. Следует упомянуть осуществленное Ф. Калоджеро обобщение схемы АКНС на случай большего числа «времениподобных» пространственных измерений (см. гл. 6,9 и работу [1.69]). Приводились конкретные примеры солитонов типа плоской волны в случае более одного пространственного измерения (см., например, [1.29], [1.199]-[1.201]); в частности, уравнения Кадомцева — Петвиашвили
$$3{\beta }^2{u}_{yy}+{(u_t+u_{xxx}+6u{u}_x)}_x=0$$
$({\beta }^2=\pm 1)$ имеют многосолитонные плосковолновые решения $[1.29,1.118,1.158]$. Недавно Манаков и др. [1.202] обнаружили (найдя подходящий предельный случай плосковолнового многосолитонного решения) несингулярные строго локализованные решения уравнения (1.172) в случае ${\beta }^2=-1$. Решения локализованны, но сингулярны при ${\beta }^2=+1$. В обоих случаях они являются рациональными функциями, но их связь с рациональными решениями, ассоциированными с многочастичными задачами, не установлена. Неясно также, являются ли они особым случаем или чем-то более общим. Уравнения Кадомцева — Петвиашвили были решены методами алгебраической геометрии [1.118]. Атья [1.203] нашел (или, по крайней мере в принципе, может найти) сопоставимыми алгебро-геометрическими методами все решения типа «инстантонов» для классической самодуальной неабелевой калибровочной теории; эти решения относятся к четырехмерному евклидову пространству. На наш взгляд, связь между инстантонами и солитонами не вполне доказана. Тем не менее Белавин и Захаров [1.204] уже показали, как найти инстантонные решения обобщенным методом обратной задачи рассеяния. Этот метод применим к любому числу нзмерений ${}^1$ ).

Это последнее достижение в теории солитонов и метода обратной задачи рассеяния является по существу новейшим фундаментальным результатом, который мы можем привести в наетоящей статье. В помощь тем читателям, которых более интересуют приложения теории солитонов к определенным раз-
1) Маккарти $[1.214,1.215]$ нашел ПБ для случая $2^n$ измерений $(n⩾1)$ й, в частности, сообщил о самодуальных калибровочных полях $S{U}_2$, рассмотренных Янгом [1.216], и о $N$-солитонном решении для них.

делам физики, мы завершим главу перечислением литературных источников по соответствующим разделам. Солитонам в физике плазмы посвящена гл. 2, работы [1.22], [1.189], [1.193] и работы, ссылки на которые там содержатся; лазерной физике — гл. 2, 3, статьи в книге [1.137] и цитируемая в них литература; физике твердого тела-гл. 12 и статьи в [1.137]; физике частиц-работы [1.43], [1.71], [1.86]-[1.91], [1.93], [1.195], [1.206]. Руководством по квантованию уравнения sineGordon и может служить гл. 11. Массивная модель Тирринга и кватованное СГ-уравнение описаны в гл. 12 , а сведения о приложениях солитонов в статистической механике можно найти в гл. 12 и в книге [1.137]. Необходимо упомянуть о появлении приложений солитонной теории к космологическим проблемам. Было найдено преобразование Бэклунда для уравнения Эрнста общей теории относительности $(\mathrm{Re}\{E\})abl{a}^{2}E=(ablaE{)}^2$, описывающего стационарные вакуумные поля с осевой симметрией [1.207]; установлено, что это уравнение обладает бесконечным числом потенциалов [1.208]. О его солитоноподобных решениях сообщили Белинский и Захаров [1.209].

Для тех, кто интересуется скорее солитоноподобными объектами, чем конкретными интегрируемыми системами, а также для интересующихся вычислительными работами мы упомянем обзорную статью [1.210]. Там описаны некоторые результаты для неинтегрируемых систем в трехмерном пространстве со сферической симметрией (так называемые пульсоны [1.210]). О дальнейших численных результатах по пульсонам сообщили Эйлбек [1.211] и Кристиансен [1.212] (который также предложил преобразование Бэклунда для уравнения в трех пространственных измерениях; это АПБ независимо нашел Лейббрандт [1.213]. С другой стороны, Қалоджеро и Дегасперис [1.217] недавно сообщили о точном интегрировании уравнения КдФ с цилиндрической симметрией.

На этом мы закончим наш обзор истории солитонов и метода обратной задачи рассеяния, а также взаимодействия физики и математики, которому эта история обязана своим происхождением. Во всех последующих главах приводятся дополнительные сведения о связях между тәорией солитонов и физическими задачами. Но их главная цель, как нам кажется, состоит в том, чтобы сделать легко доступными наиболее общеупотребительные математические приемы, разработанные к настоящему моменту и предназначенные для решения нелинейных эволюционных уравнений. Многие из этих уравнений имеют непосредственный физический смысл, и совокупность знаний, которую они представляют, несомненно будет играть такую же важную роль в нелинейной физике будущего, какую обычные линейные «уравнения математической физики» играли в физике в течение последних 150 лет.