Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Удобно завершить настоящее описание истории солитонов как раз 1973 г., когда появилась схема обратной задачи рассеяния Захарова – Шабата – AKНС. Это не значит, конечно, что с ее созданием развитие метода закончилось. В самом деле, мы уже упоминали по конкретным поводам успехи этой теории, достигнутые вплоть до 1979 г., – в конце разд. 1.6, например. Но в отношении методов обратной задачи рассеяния каждая из последующих статей настоящего сборника развивает теорию солитонов начиная с момента, приблизительно соответствующего уровню знаний, достигнутому в 1973 г. Этот уровень знаний был хорошо описан в обзоре [1.4]. Теперь видно, что появление статьи Скотта и др. [1.4] отмечает как бы водораздел в истории вопроса: в период 19651973 гг. был открыт солитон, найдены физические приложения уравнения КдФ, модифицированного уравнения КдФ, НУШ, СГ-уравнения и изобретены методы решения этих уравнений; начиная с 1973 г. чрезвычайно расширился круг математических структур солитонных систем и соответственно их физических приложений. В настоящем разделе мы просто приводим ряд наиболее важных результатов, полученных начиная с 1973 г., не пытаясь отметить все достижения в рассматриваемой области ввиду невозможности сделать это. Некоторые из таких достижений описаны в других главах; мы надеемся, что приведенных ссылок достаточно, чтобы читатель мог самостоятельно найти остальное в специальной литературе. Нам кажется, что начиная с середины 1973 г. важными были следующие этапы: открытие Уолквистом и Эстабруком АПБ для уравнения КдФ [1.56], доложенное в декабре 1973 г.; решение Захаровым и Манаковым задачи о трехволновом взаимодействии [1.46] (август 1973 г.) и решение Каупа [1.47] (1974 г.); результат (1.104) для СГ-уравнения, полученный Тахтаджяном и Фаддеевым [1.134] в 1974 г.; решения цепочки Тоды (Флашка [1.152], Манаков [1.153]; Тода описывает историю своей цепочки и ее решения в гл. 4); замечательные работы Новикова, Матвеева и их сотрудников $[1.119,1.120]$ по периодической задаче для уравнения КдФ и первая статья Новикова, опубликованная в 1974 г. (эти исследования продолжены в гл. 10); статья Флашки и Ньюэлла [1.154] по канонической структуре «интегрируемых» нелинейных эволюционных уравнений, появившаяся в 1975 г. (ныне дополненная, см. гл. 6); решение Лаксом [1.114] уравнення КдФ при периодических граничных условиях в 1975 г.; обобщение Вадати [1.155] задачи рассеяния на матрицы большего размера в 1974 г., более подробно описанное в гл. 8; использование Қалоджеро метода обобщенных вронскианов в 1975 г. [1.78, 1.156] и осуществленное им распространение теории рассеяния на многие «времениподобные» независимые переменные (отмеченное Ньюэллом в гл. 6); и наконец, распространение теории рассеяния на матрицы большего размера, которое выполнили Қалоджеро и Дегасперис в 1976 г., приведшее к решениям типа бумерона [1.157] и описанное в гл. 9. В 1974 г. появилась также замечательная статья Захарова и Шабата [1.158] по методу обратной задачи. Идеи этой работы послужили основой всесторонней и творческой статьи, написанной Захаровым и вошедшей в настоящую книгу в качестве гл. 7. Она начинается с изучения представления нелинейных дифференциальных уравнений с помощью коммутаторов пар дифференциальных операторов. Такого рода представление описано в разд. 1.4 (лаксовы пары). В 1975 и 1976 гг. появились работы [1.61] и [1.75] Уолквиста и Эстабрука по структурам продолжения. Поскольку в настоящее время эта тема активно разрабатывается, в данной книге она не представлена, и иы рекомендуем читателю ознакомиться с ней по статьям [1.76], [1.150], [1.159]-[1.169], а также по работе Пирани и др [1.77], процитированной в разд. 1.3. С нашей точки зрения, геометрические методы разд. 1.6 составляют хорошую основу для вывода структур продолжения и позволяют увидеть их значение, скажем, для законов сохранения и преобразований Бэклунда. Сасаки [1.147, третья и четвертая работы в этом списке] именно этим способом выводит структуры продолжения для схемы АКНС обратной задачи рассеяния из ее представления посредством «калибро. вочного поля» (1.123) и находит аналогичные структуры для схем задачи рассеяния более общего вида. Весьма отличный от обсуждавшихся выше класс задач связан с открытием Мозера, и о нем стоит рассказать несколько подробнее. Это открытие основано на результате, полученном Мозером в 1975 г. Он показал [1.164], как можно использовать идею лаксовой пары матричных операторов (в духе новаторских работ Флашки [1.152] и Манакова [1.153]) для решения одномерной многочастичной задачи с гамильтонианом причем $\mathcal{L}$ эрмитова, а $\hat{B}$ кососимметрична. Легко проверить, что поскольку $\left(L^{+}\right)_{t}=\left(L_{t}\right)^{+}$, то в любом случае существует другое представление в виде лаксовой пары, а именно в котором матрица $\left(\widehat{B}-\widehat{B}^{+}\right) / 2$ безусловно кососимметрична. В точности как для (1.86b), отсюда следует, что собственные значения $L$ суть интегралы движения (которые также находятся в инволюции). Этим свойством обладают и симметричные функции $I_{n}$, и функции Рассматриваемая система – это полностью интегрируемая гамильтонова система с $2 N$ степенями свободы. Қвантовомеханическая задача (1.154) была решена Қалоджеро в 1971 г. [1.165]. Он предположил, что классическая задача также разрешима, и впоследствии показал [1.166] (см. также [1.72]), что для разрешимых классических задач с парными потенциалами $V\left(x_{j}-x_{k}\right)$, представимых посредством лаксовой пары с анзацем, обобщающим (1.155), $V(x)$ должна быть эллиптической функцией Вейерштрасса $\mathscr{P}(x)$; частными случаями этой функции являются $x^{-2}, \operatorname{sh}^{-2} x$ и $\sin ^{-2} x$. Открытие Мозера заключалось в том, что он установил замечательную связь между классической многочастичной задачей (1.154) и рациональными решениями уравнения КдФ, удовлетворяющими условию $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$; об этой связи мы до сих пор не упоминали. Солитонное решение (1.2) уравнения КдФ имеет двойные полюсы в комплексной $x$-плоскости; Крускал [1.65] первым исследовал движение этих полюсов. Такой характер особенностей побуждает искать рациональные решения уравнения КдФ в виде Прямая подстановка (1.158) в уравнение КдФ, взятое в виде показывает, что анзац (1.158) является рациональным решением этого уравнения, если $r_{i}(t)=1$ и Рассуждения облегчаются использованием теоремы сложения для эллиптических функций вида $\varphi(x)=x^{-2}$ Замечателен тот факт, что система уравнений с ограничениями (1.160) для эволюции координат $x_{j}$ (уравнения движения (1.160a) ограничены многообразием, удовлетворяющим уравнениям (1.160b)) является также системой уравнений для гамильтонова потока с ограничением, связанного с (1.154), а именно если $F_{r}$ определено выражением (1.157b), то $F_{2} \equiv H$ дается формулой (1.154), тогда как поток с гамильтонианом $F_{3}$, ограниченный условием $\operatorname{grad} F_{2}=0$, дает при $g=6$ в точности систему (1.160), так как Поскольку величины $F_{n}$ находятся в инволюции, то потоки с этими гамильтонианами попарно коммутируют; тогда если условие $\operatorname{grad} F_{k}=0$ выполняется для какого-либо $k$ в какойнибудь момент $t$, то это ограничение будет сохраняться в процессе движения (поток, отвечающий $F_{n}$ и ограниченный условием $\operatorname{grad} F_{k}=0$, является инвариантным потоком [1.167]). Осталось показать, что система (1.160) имеет решение; это будет так, если, во-первых, $x_{i}$ лежат в комплексной $x$-плоскости и, во-вторых, $N=n(n+1) / 2$ для некоторого $n=1,2, \ldots$. Например, если $N=1$, то $u=2(x-c)^{-1}$; если $N=3$, то корни $x_{i}$ уравнения (1.160a) пропорциональны кубическим корням из единицы [1.168], и $u(x, t)=6 x^{2}\left(x^{3}-2 t+c\right)^{-1}$. Заметим, что, как показано в [1.168], $и$ является решением (1.158) (где $r_{j}=$ $=1$ ) тогда и только тогда, когда $u(x, t)=2 \partial^{2} \ln P(x, t) / d x^{2}$, где $P(x, t)=\prod_{i=1}^{N}\left[x-x_{i}(t)\right]$ и $x_{j}$ удовлетворяет (1.157a). Эта формула отражает $N$-солитонную формулу для вещественной оси (см. (1.16), (1.22)), а также выражение решений уравнения КдФ с периодическими граничными условиями посредством $\theta$-функции, выведенное С. П. Новиковым в гл. 10; В. Б. Матвеев установил ее связь с $N$-солитонной формулой Хироты в лекциях [1.119]. Аналогичная связь между разрешимой многочастичной задачей и интегрируемым эволюционным уравнением была найдена для рациональных решений (1.160a) уравнения Буссинеска [1.167]: многочастичная задача – это по-прежнему (1.154), но теперь ограниченный поток отвечает гамильтониану $F_{2}$ с ограничением $\operatorname{grad}\left(F_{3}-F_{1}\right)=0$ [1.167]. Уравнение КдФ (1.159) также допускает выражаемые через эллиптическую функцию решения вида тогда и только тогда, когда [1.169] Соответствующая многочастичная задача – это с инвариантами $J_{2}^{\prime} \equiv H^{\prime}, J_{3}^{\prime}, \ldots$ Поток есть поток с гамильтонианом $J_{3}^{\prime}$ и ограничением $\operatorname{grad} J_{2}^{\prime}=0$. Подобным образом потоки уравнений КдФ высших порядков лаксовой иерархии суть, по-видимому, $J_{n}^{\prime}$ – потоки с ограничением $\operatorname{grad} J_{2}^{\prime}=0$. Уравнения КдФ высших порядков имеют рациональные решения (1.158), отвечающие ограниченным $J_{n}$-потокам гамильтониана (1.154) [1.169]. На фундаментальную важность (1.154) для рациональных решений указывает также и то, что уравненне Бюргерса $\cdot u_{t}$ $-2 c u u_{x}-c u_{x x}=0$ (сравните с (1.42) и замените $u \rightarrow-(1 / 2) v u$, $t \rightarrow c^{-2} v t$ ) имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда [1.169] $r_{j}(t)=1$ и Из этой системы уравнений следует [1.169], что последнее выражение при $c=1 / 2$ представляет собой неограниченный ( $J_{2} \equiv H$ ) поток для (1.154). Поскольку (см. (1.43)) уравнение Бюргерса интегрируемо преобразованием ХопфаКоула, это, вероятно, объясняет полную интегрируемость (1.154). Тем не менее уравнение Бюргерса не имеет солитонных решений, не является гамильтоновым и не обладает бесконечным набором сохраняющихся величин в инволюции. Для него существуют представление в виде пары Лакса (в котором, однако, $\widehat{L} Любой ограниченный поток (1.164) есть поток гамильтониана Резкое расширение прикладных возможностей теории солитонов произошло также и в совсем другом направлении. Оно было вызвано разработкой, начиная с 1976 г., теорий сингулярного возмущения для таких неинтегрируемых уравнений, которые в некотором смысле «близки» к интегрируемым системам. Здесь стоит упомянуть новатојские работы Қаупа и Ньюэлла [1.176-1.178], а также приложения теории сингулярных возмущений к «двойному СГ-уравнению» K недавним точным результатам по интегрируемым системам относятся: решение уравнений одномерного гейзенберговского ферромагнетика в континуальном приближении Мы пока почти ничего не сказали о солитонах в случае более одного пространственного измерения (двумерные евклидовы пространства, рассмотренные в разд. 1.3, имеют лишь одно пространственное измерение; второе измерение – это, конечно, время). Ограничения теоремы Хобарта-Деррика [1.195-1.197] для решений обобщенного уравнения Клейна Гордона в случае более чем одного пространственного измерения широко известны $[1.22,1.43]$. Этот случай (многомерные пространства) рассматривается, например, также в работах [1.101], [1.158], [1.161], [1.198] и [1.199]; особо отметим в этой связи гл. 7 настоящей книги. Следует упомянуть осуществленное Ф. Калоджеро обобщение схемы АКНС на случай большего числа «времениподобных» пространственных измерений (см. гл. 6,9 и работу [1.69]). Приводились конкретные примеры солитонов типа плоской волны в случае более одного пространственного измерения (см., например, [1.29], [1.199]-[1.201]); в частности, уравнения Кадомцева – Петвиашвили Это последнее достижение в теории солитонов и метода обратной задачи рассеяния является по существу новейшим фундаментальным результатом, который мы можем привести в наетоящей статье. В помощь тем читателям, которых более интересуют приложения теории солитонов к определенным раз- делам физики, мы завершим главу перечислением литературных источников по соответствующим разделам. Солитонам в физике плазмы посвящена гл. 2, работы [1.22], [1.189], [1.193] и работы, ссылки на которые там содержатся; лазерной физике – гл. 2, 3, статьи в книге [1.137] и цитируемая в них литература; физике твердого тела-гл. 12 и статьи в [1.137]; физике частиц-работы [1.43], [1.71], [1.86]-[1.91], [1.93], [1.195], [1.206]. Руководством по квантованию уравнения sineGordon и может служить гл. 11. Массивная модель Тирринга и кватованное СГ-уравнение описаны в гл. 12 , а сведения о приложениях солитонов в статистической механике можно найти в гл. 12 и в книге [1.137]. Необходимо упомянуть о появлении приложений солитонной теории к космологическим проблемам. Было найдено преобразование Бэклунда для уравнения Эрнста общей теории относительности $(\operatorname{Re}\{E\}) Для тех, кто интересуется скорее солитоноподобными объектами, чем конкретными интегрируемыми системами, а также для интересующихся вычислительными работами мы упомянем обзорную статью [1.210]. Там описаны некоторые результаты для неинтегрируемых систем в трехмерном пространстве со сферической симметрией (так называемые пульсоны [1.210]). О дальнейших численных результатах по пульсонам сообщили Эйлбек [1.211] и Кристиансен [1.212] (который также предложил преобразование Бэклунда для уравнения в трех пространственных измерениях; это АПБ независимо нашел Лейббрандт [1.213]. С другой стороны, Қалоджеро и Дегасперис [1.217] недавно сообщили о точном интегрировании уравнения КдФ с цилиндрической симметрией. На этом мы закончим наш обзор истории солитонов и метода обратной задачи рассеяния, а также взаимодействия физики и математики, которому эта история обязана своим происхождением. Во всех последующих главах приводятся дополнительные сведения о связях между тәорией солитонов и физическими задачами. Но их главная цель, как нам кажется, состоит в том, чтобы сделать легко доступными наиболее общеупотребительные математические приемы, разработанные к настоящему моменту и предназначенные для решения нелинейных эволюционных уравнений. Многие из этих уравнений имеют непосредственный физический смысл, и совокупность знаний, которую они представляют, несомненно будет играть такую же важную роль в нелинейной физике будущего, какую обычные линейные «уравнения математической физики» играли в физике в течение последних 150 лет.
|
1 |
Оглавление
|