Удобно завершить настоящее описание истории солитонов как раз 1973 г., когда появилась схема обратной задачи рассеяния Захарова — Шабата — AKНС. Это не значит, конечно, что с ее созданием развитие метода закончилось. В самом деле, мы уже упоминали по конкретным поводам успехи этой теории, достигнутые вплоть до 1979 г., — в конце разд. 1.6, например. Но в отношении методов обратной задачи рассеяния каждая из последующих статей настоящего сборника развивает теорию солитонов начиная с момента, приблизительно соответствующего уровню знаний, достигнутому в 1973 г. Этот уровень знаний был хорошо описан в обзоре [1.4].

Теперь видно, что появление статьи Скотта и др. [1.4] отмечает как бы водораздел в истории вопроса: в период 19651973 гг. был открыт солитон, найдены физические приложения уравнения КдФ, модифицированного уравнения КдФ, НУШ, СГ-уравнения и изобретены методы решения этих уравнений; начиная с 1973 г. чрезвычайно расширился круг математических структур солитонных систем и соответственно их физических приложений. В настоящем разделе мы просто приводим ряд наиболее важных результатов, полученных начиная с 1973 г., не пытаясь отметить все достижения в рассматриваемой области ввиду невозможности сделать это. Некоторые из таких достижений описаны в других главах; мы надеемся, что приведенных ссылок достаточно, чтобы читатель мог самостоятельно найти остальное в специальной литературе.

Нам кажется, что начиная с середины 1973 г. важными были следующие этапы: открытие Уолквистом и Эстабруком АПБ для уравнения КдФ [1.56], доложенное в декабре 1973 г.; решение Захаровым и Манаковым задачи о трехволновом взаимодействии [1.46] (август 1973 г.) и решение Каупа [1.47] (1974 г.); результат (1.104) для СГ-уравнения, полученный Тахтаджяном и Фаддеевым [1.134] в 1974 г.; решения цепочки Тоды (Флашка [1.152], Манаков [1.153]; Тода описывает историю своей цепочки и ее решения в гл. 4); замечательные работы Новикова, Матвеева и их сотрудников $[1.119,1.120]$ по периодической задаче для уравнения КдФ и первая статья Новикова, опубликованная в 1974 г. (эти исследования продолжены в гл. 10); статья Флашки и Ньюэлла [1.154] по канонической структуре «интегрируемых» нелинейных эволюционных уравнений, появившаяся в 1975 г. (ныне дополненная, см. гл. 6); решение Лаксом [1.114] уравнення КдФ при периодических граничных условиях в 1975 г.; обобщение Вадати [1.155] задачи рассеяния на матрицы большего размера в 1974 г., более подробно описанное в гл. 8; использование Қалоджеро метода обобщенных вронскианов в 1975 г. [1.78, 1.156] и осуществленное им распространение теории рассеяния на многие «времениподобные» независимые переменные (отмеченное Ньюэллом в гл. 6); и наконец, распространение теории рассеяния на матрицы большего размера, которое выполнили Қалоджеро и Дегасперис в 1976 г., приведшее к решениям типа бумерона [1.157] и описанное в гл. 9.

В 1974 г. появилась также замечательная статья Захарова и Шабата [1.158] по методу обратной задачи. Идеи этой работы послужили основой всесторонней и творческой статьи, написанной Захаровым и вошедшей в настоящую книгу в качестве гл. 7. Она начинается с изучения представления нелинейных дифференциальных уравнений с помощью коммутаторов пар дифференциальных операторов. Такого рода представление описано в разд. 1.4 (лаксовы пары).

В 1975 и 1976 гг. появились работы [1.61] и [1.75] Уолквиста и Эстабрука по структурам продолжения. Поскольку в настоящее время эта тема активно разрабатывается, в данной книге она не представлена, и иы рекомендуем читателю ознакомиться с ней по статьям [1.76], [1.150], [1.159]-[1.169], а также по работе Пирани и др [1.77], процитированной в разд. 1.3. С нашей точки зрения, геометрические методы разд. 1.6 составляют хорошую основу для вывода структур продолжения и позволяют увидеть их значение, скажем, для законов сохранения и преобразований Бэклунда. Сасаки [1.147, третья и четвертая работы в этом списке] именно этим способом выводит структуры продолжения для схемы АКНС обратной задачи рассеяния из ее представления посредством «калибро. вочного поля» (1.123) и находит аналогичные структуры для схем задачи рассеяния более общего вида.

Весьма отличный от обсуждавшихся выше класс задач связан с открытием Мозера, и о нем стоит рассказать несколько подробнее. Это открытие основано на результате, полученном Мозером в 1975 г. Он показал [1.164], как можно использовать идею лаксовой пары матричных операторов (в духе новаторских работ Флашки [1.152] и Манакова [1.153]) для решения одномерной многочастичной задачи с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j} y_{i}^{2}+g \sum_{j} \sum_{i<k}\left(x_{i}-x_{k}\right)^{-2}, \quad g>0
\]
(здесь $y$ есть импульс, $\partial H / \partial y_{i}=\dot{x}_{j}, \dot{y}_{j}=-\partial H / \partial x_{j} ; 1 \leqslant j \leqslant N$ ). Уравнения движения имеют вид лаксовой пары (1.86b), где $\mathcal{L}$ и $\hat{B}$ суть $N \times N$-матрицы, определяемые формулами
\[
\begin{array}{l}
L_{j k}=\delta_{j k} v_{j}+i \sqrt{g}\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1}, \\
B_{j k}=-i \sqrt{g} \gamma_{j k} \sum_{\substack{l=1 \\
j
eq j}}^{N}\left(x_{j}-x_{l}\right)^{-2}+i \sqrt{g}\left(1-\delta_{j k}\right)\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2},
\end{array}
\]

причем $\mathcal{L}$ эрмитова, а $\hat{B}$ кососимметрична. Легко проверить, что поскольку $\left(L^{+}\right)_{t}=\left(L_{t}\right)^{+}$, то в любом случае существует другое представление в виде лаксовой пары, а именно
\[
\hat{L}_{t}=\left[\frac{1}{2}\left(\widehat{B}-\widehat{B}^{+}\right), \hat{L}\right],
\]

в котором матрица $\left(\widehat{B}-\widehat{B}^{+}\right) / 2$ безусловно кососимметрична. В точности как для (1.86b), отсюда следует, что собственные значения $L$ суть интегралы движения (которые также находятся в инволюции). Этим свойством обладают и симметричные функции $I_{n}$,
\[
\operatorname{det}\left[L_{i k}-\lambda \delta_{i k}\right]=\lambda^{N}+\sum_{n=1}^{N} \lambda^{N-\dot{n}^{n}} I_{n},
\]

и функции
\[
F_{n} \equiv \operatorname{Tr}\left(\hat{L}^{n} / n\right) .
\]

Рассматриваемая система — это полностью интегрируемая гамильтонова система с $2 N$ степенями свободы.

Қвантовомеханическая задача (1.154) была решена Қалоджеро в 1971 г. [1.165]. Он предположил, что классическая задача также разрешима, и впоследствии показал [1.166] (см. также [1.72]), что для разрешимых классических задач с парными потенциалами $V\left(x_{j}-x_{k}\right)$, представимых посредством лаксовой пары с анзацем, обобщающим (1.155), $V(x)$ должна быть эллиптической функцией Вейерштрасса $\mathscr{P}(x)$; частными случаями этой функции являются $x^{-2}, \operatorname{sh}^{-2} x$ и $\sin ^{-2} x$. Открытие Мозера заключалось в том, что он установил замечательную связь между классической многочастичной задачей (1.154) и рациональными решениями уравнения КдФ, удовлетворяющими условию $u \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$; об этой связи мы до сих пор не упоминали.

Солитонное решение (1.2) уравнения КдФ имеет двойные полюсы в комплексной $x$-плоскости; Крускал [1.65] первым исследовал движение этих полюсов. Такой характер особенностей побуждает искать рациональные решения уравнения КдФ в виде
\[
u(x, t)=2 \sum_{j=1}^{N}\left[x-x_{i}(t)\right]^{-2} r_{j}(t) .
\]

Прямая подстановка (1.158) в уравнение КдФ, взятое в виде
\[
u_{t}-3 u u_{x}+\frac{1}{2} u_{x x x}=0 \text {, }
\]

показывает, что анзац (1.158) является рациональным решением этого уравнения, если $r_{i}(t)=1$ и
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{j}=6 \sum_{k
eq j}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-2}, \\
\sum_{k
eq j}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-3}=0 ; \quad 1 \leqslant j \leqslant N .
\end{array}
\]

Рассуждения облегчаются использованием теоремы сложения для эллиптических функций вида $\varphi(x)=x^{-2}$
\[
\begin{array}{r}
\varphi(x) \varphi^{\prime}(y)+\varphi^{\prime}(x) \varphi(y)=\varphi(x-y)\left[\varphi^{\prime}(y)+\varphi^{\prime}(x)\right]-\varphi^{\prime}(x-y) \times \\
X[\varphi(y)-\varphi(x)] .
\end{array}
\]

Замечателен тот факт, что система уравнений с ограничениями (1.160) для эволюции координат $x_{j}$ (уравнения движения (1.160a) ограничены многообразием, удовлетворяющим уравнениям (1.160b)) является также системой уравнений для гамильтонова потока с ограничением, связанного с (1.154), а именно если $F_{r}$ определено выражением (1.157b), то $F_{2} \equiv H$ дается формулой (1.154), тогда как поток с гамильтонианом $F_{3}$, ограниченный условием $\operatorname{grad} F_{2}=0$, дает при $g=6$ в точности систему (1.160), так как
\[
F_{3} \equiv \frac{1}{3} \sum y_{j}^{3}+g \sum_{j
eq i} y_{i}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{-2} .
\]

Поскольку величины $F_{n}$ находятся в инволюции, то потоки с этими гамильтонианами попарно коммутируют; тогда если условие $\operatorname{grad} F_{k}=0$ выполняется для какого-либо $k$ в какойнибудь момент $t$, то это ограничение будет сохраняться в процессе движения (поток, отвечающий $F_{n}$ и ограниченный условием $\operatorname{grad} F_{k}=0$, является инвариантным потоком [1.167]).

Осталось показать, что система (1.160) имеет решение; это будет так, если, во-первых, $x_{i}$ лежат в комплексной $x$-плоскости и, во-вторых, $N=n(n+1) / 2$ для некоторого $n=1,2, \ldots$. Например, если $N=1$, то $u=2(x-c)^{-1}$; если $N=3$, то корни $x_{i}$ уравнения (1.160a) пропорциональны кубическим корням из единицы [1.168], и $u(x, t)=6 x^{2}\left(x^{3}-2 t+c\right)^{-1}$. Заметим, что, как показано в [1.168], $и$ является решением (1.158) (где $r_{j}=$ $=1$ ) тогда и только тогда, когда $u(x, t)=2 \partial^{2} \ln P(x, t) / d x^{2}$, где $P(x, t)=\prod_{i=1}^{N}\left[x-x_{i}(t)\right]$ и $x_{j}$ удовлетворяет (1.157a). Эта формула отражает $N$-солитонную формулу для вещественной оси (см. (1.16), (1.22)), а также выражение решений уравнения КдФ с периодическими граничными условиями посредством $\theta$-функции, выведенное С. П. Новиковым в гл. 10; В. Б. Матвеев установил ее связь с $N$-солитонной формулой Хироты в лекциях [1.119].

Аналогичная связь между разрешимой многочастичной задачей и интегрируемым эволюционным уравнением была найдена для рациональных решений (1.160a) уравнения Буссинеска [1.167]: многочастичная задача — это по-прежнему (1.154), но теперь ограниченный поток отвечает гамильтониану $F_{2}$ с ограничением $\operatorname{grad}\left(F_{3}-F_{1}\right)=0$ [1.167]. Уравнение КдФ (1.159) также допускает выражаемые через эллиптическую функцию решения вида
\[
u(x, t)=\sum_{j=1} \mathscr{P}\left\{2^{-1 / 2}\left[x-x_{j}(t)\right]\right\}
\]

тогда и только тогда, когда [1.169]
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{j}=3 \sum_{k
eq 1} \mathscr{P}\left[2^{-1 / 2}\left(x_{j}-x_{k}\right)\right], \\
\sum_{k
eq j} \mathscr{P}^{\prime}\left[2^{-1 / 2}\left(x_{j}-x_{k}\right)\right]=0 .
\end{array}
\]

Соответствующая многочастичная задача — это
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2} \sum y_{j}^{2}+6 \sum_{i
eq i} \mathscr{P}\left(x_{i}-x_{j}\right)
\]

с инвариантами $J_{2}^{\prime} \equiv H^{\prime}, J_{3}^{\prime}, \ldots$ Поток есть поток с гамильтонианом $J_{3}^{\prime}$ и ограничением $\operatorname{grad} J_{2}^{\prime}=0$. Подобным образом потоки уравнений КдФ высших порядков лаксовой иерархии суть, по-видимому, $J_{n}^{\prime}$ — потоки с ограничением $\operatorname{grad} J_{2}^{\prime}=0$. Уравнения КдФ высших порядков имеют рациональные решения (1.158), отвечающие ограниченным $J_{n}$-потокам гамильтониана (1.154) [1.169].

На фундаментальную важность (1.154) для рациональных решений указывает также и то, что уравненне Бюргерса $\cdot u_{t}$ $-2 c u u_{x}-c u_{x x}=0$ (сравните с (1.42) и замените $u \rightarrow-(1 / 2) v u$, $t \rightarrow c^{-2} v t$ ) имеет рациональные решения
\[
u(x, t)=\sum_{j=1}^{N}\left[x-x_{j}(t)\right]^{-1} r_{j}(t)
\]

тогда и только тогда, когда [1.169] $r_{j}(t)=1$ и
\[
\dot{x}_{j}=-2 c \sum_{k
eq j}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-1}, \quad 1<j<N .
\]

Из этой системы уравнений следует [1.169], что
\[
\ddot{x}_{j}=-8 c^{2} \sum_{k
eq j}\left(x_{j}-x_{k}\right)^{-3} ;
\]

последнее выражение при $c=1 / 2$ представляет собой неограниченный ( $J_{2} \equiv H$ ) поток для (1.154). Поскольку (см. (1.43)) уравнение Бюргерса интегрируемо преобразованием ХопфаКоула, это, вероятно, объясняет полную интегрируемость (1.154). Тем не менее уравнение Бюргерса не имеет солитонных решений, не является гамильтоновым и не обладает бесконечным набором сохраняющихся величин в инволюции. Для него существуют представление в виде пары Лакса (в котором, однако, $\widehat{L}
eq \widehat{L}^{+}$и $\widehat{B}
eq \widehat{B}^{+}$) и бесконечная иерархия уравнений [1.169] (а также структура продолжения [1.150]); этого, по-видимому, достаточно для его эквивалентности (1.167).

Любой ограниченный поток (1.164) есть поток гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2} \sum y_{k}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{i
eq j} \mathscr{P}^{2}\left(x_{i}-x_{j}\right)
\]
[1.169], но это не умаляет фундаментального характера (1.165) и (1.154). Недавно Чен и др. [1.170] действительно нашли солитонные решения безусловно интегрируемого уравнения Бенджамина — Оно [1.171] с помощью изучения движения полюсов (1.154) (в этом случае солитоны являются рациональными рещениями). Представляется вероятным, что подобные связи между рациональными решениями и многочастичными задачами можно установить для всех интегрируемых уравнений. Например, частные результаты для таких уравнений, как модифицированные уравнения КдФ и Кадомцева — Петвиашвили ((1.72) и (1.172)), приводятся в [1.169], для альтернативных уравнений КдФ $[1.115,1.169]-$ в [1.169] и [1.170], а для цепочки Тоды в [1.173], однако в настоящее время нам не известны другие частные результаты такого рода. К тому же мы не волне понимаем, каким образом конкретная $N$-частичная задача (1.154) связана с большинством полученных до сих пор результатов. Мы рекомендуем читателю статью Калоджеро [1.166], представляющую собой обзор множества связанных с этой темой результатов. Дальнейший анализ, касающийся уравнений КдФ и Буссинеска, содержится в работе [1.167], а интересный альтернативный анализ в статье [1.169]. Теоремы сложения вроде (1.161) связань с абелевыми (якобиевыми) многообразиями; рекомендуем читателю исследования по якобиевым многообразиям на эту тему, описанные в [1.167] и затем в [1.174] и [1.175].

Резкое расширение прикладных возможностей теории солитонов произошло также и в совсем другом направлении. Оно было вызвано разработкой, начиная с 1976 г., теорий сингулярного возмущения для таких неинтегрируемых уравнений, которые в некотором смысле «близки» к интегрируемым системам. Здесь стоит упомянуть новатојские работы Қаупа и Ньюэлла [1.176-1.178], а также приложения теории сингулярных возмущений к «двойному СГ-уравнению»
\[
u_{x x}-u_{t t}= \pm\left(\sin u+\frac{1}{2} \varepsilon \sin \frac{1}{2} u\right)
\]
[1.179], [1.180] и [1.181] (физические приложения уравнения (1.170) описаны нами в гл. 3). Мы также рекомендуем ознакомиться с теориями возмущений Скотта и Маклафлина [1.25, 1.182], Қарпмана [1.183] и с недавней работой Ньюэлла [1.184]. Ньюэлл посвятил часть гл. 6 своему варианту теории сингулярных возмущений.

K недавним точным результатам по интегрируемым системам относятся: решение уравнений одномерного гейзенберговского ферромагнетика в континуальном приближении
\[
\frac{\partial s}{\partial t}=s \frac{\partial^{2} s}{\partial x^{2}}
\]
(где $s(x, t)$ есть плотность непрерывно распределенного спина), которое нашли Тахтаджян [1.185] и Лакшманан [1.186]; решение уравнений твердого тела (Манаков [1.187]); уже упомннавшиеся решения многочастичных задач [1.166-1.170] и некоторые обобщения [1.18b]. Рекомендуем читателю также ряд трудов конференций $[1.137,1.189-1.194]$; в них можно найти новейшие темы, связанные с теорией солитонов, математические результаты и ознакомиться с современным диапазоном физических приложений. В качестве простого очерка этих приложений, круг которых ныне чрезвычайно широк, мы также рекомендуем работы [1.22] и [1.23].

Мы пока почти ничего не сказали о солитонах в случае более одного пространственного измерения (двумерные евклидовы пространства, рассмотренные в разд. 1.3, имеют лишь одно пространственное измерение; второе измерение — это, конечно, время). Ограничения теоремы Хобарта-Деррика [1.195-1.197] для решений обобщенного уравнения Клейна Гордона в случае более чем одного пространственного измерения широко известны $[1.22,1.43]$. Этот случай (многомерные пространства) рассматривается, например, также в работах [1.101], [1.158], [1.161], [1.198] и [1.199]; особо отметим в этой связи гл. 7 настоящей книги. Следует упомянуть осуществленное Ф. Калоджеро обобщение схемы АКНС на случай большего числа «времениподобных» пространственных измерений (см. гл. 6,9 и работу [1.69]). Приводились конкретные примеры солитонов типа плоской волны в случае более одного пространственного измерения (см., например, [1.29], [1.199]-[1.201]); в частности, уравнения Кадомцева — Петвиашвили
\[
3 \beta^{2} u_{y y}+\left(u_{t}+u_{x x x}+6 u u_{x}\right)_{x}=0
\]
$\left(\beta^{2}= \pm 1\right)$ имеют многосолитонные плосковолновые решения $[1.29,1.118,1.158]$. Недавно Манаков и др. [1.202] обнаружили (найдя подходящий предельный случай плосковолнового многосолитонного решения) несингулярные строго локализованные решения уравнения (1.172) в случае $\beta^{2}=-1$. Решения локализованны, но сингулярны при $\beta^{2}=+1$. В обоих случаях они являются рациональными функциями, но их связь с рациональными решениями, ассоциированными с многочастичными задачами, не установлена. Неясно также, являются ли они особым случаем или чем-то более общим. Уравнения Кадомцева — Петвиашвили были решены методами алгебраической геометрии [1.118]. Атья [1.203] нашел (или, по крайней мере в принципе, может найти) сопоставимыми алгебро-геометрическими методами все решения типа «инстантонов» для классической самодуальной неабелевой калибровочной теории; эти решения относятся к четырехмерному евклидову пространству. На наш взгляд, связь между инстантонами и солитонами не вполне доказана. Тем не менее Белавин и Захаров [1.204] уже показали, как найти инстантонные решения обобщенным методом обратной задачи рассеяния. Этот метод применим к любому числу нзмерений ${ }^{1}$ ).

Это последнее достижение в теории солитонов и метода обратной задачи рассеяния является по существу новейшим фундаментальным результатом, который мы можем привести в наетоящей статье. В помощь тем читателям, которых более интересуют приложения теории солитонов к определенным раз-
1) Маккарти $[1.214,1.215]$ нашел ПБ для случая $2^{n}$ измерений $(n \geqslant 1)$ й, в частности, сообщил о самодуальных калибровочных полях $S U_{2}$, рассмотренных Янгом [1.216], и о $N$-солитонном решении для них.

делам физики, мы завершим главу перечислением литературных источников по соответствующим разделам. Солитонам в физике плазмы посвящена гл. 2, работы [1.22], [1.189], [1.193] и работы, ссылки на которые там содержатся; лазерной физике — гл. 2, 3, статьи в книге [1.137] и цитируемая в них литература; физике твердого тела-гл. 12 и статьи в [1.137]; физике частиц-работы [1.43], [1.71], [1.86]-[1.91], [1.93], [1.195], [1.206]. Руководством по квантованию уравнения sineGordon и может служить гл. 11. Массивная модель Тирринга и кватованное СГ-уравнение описаны в гл. 12 , а сведения о приложениях солитонов в статистической механике можно найти в гл. 12 и в книге [1.137]. Необходимо упомянуть о появлении приложений солитонной теории к космологическим проблемам. Было найдено преобразование Бэклунда для уравнения Эрнста общей теории относительности $(\operatorname{Re}\{E\})
abla^{2} E=(
abla E)^{2}$, описывающего стационарные вакуумные поля с осевой симметрией [1.207]; установлено, что это уравнение обладает бесконечным числом потенциалов [1.208]. О его солитоноподобных решениях сообщили Белинский и Захаров [1.209].

Для тех, кто интересуется скорее солитоноподобными объектами, чем конкретными интегрируемыми системами, а также для интересующихся вычислительными работами мы упомянем обзорную статью [1.210]. Там описаны некоторые результаты для неинтегрируемых систем в трехмерном пространстве со сферической симметрией (так называемые пульсоны [1.210]). О дальнейших численных результатах по пульсонам сообщили Эйлбек [1.211] и Кристиансен [1.212] (который также предложил преобразование Бэклунда для уравнения в трех пространственных измерениях; это АПБ независимо нашел Лейббрандт [1.213]. С другой стороны, Қалоджеро и Дегасперис [1.217] недавно сообщили о точном интегрировании уравнения КдФ с цилиндрической симметрией.

На этом мы закончим наш обзор истории солитонов и метода обратной задачи рассеяния, а также взаимодействия физики и математики, которому эта история обязана своим происхождением. Во всех последующих главах приводятся дополнительные сведения о связях между тәорией солитонов и физическими задачами. Но их главная цель, как нам кажется, состоит в том, чтобы сделать легко доступными наиболее общеупотребительные математические приемы, разработанные к настоящему моменту и предназначенные для решения нелинейных эволюционных уравнений. Многие из этих уравнений имеют непосредственный физический смысл, и совокупность знаний, которую они представляют, несомненно будет играть такую же важную роль в нелинейной физике будущего, какую обычные линейные «уравнения математической физики» играли в физике в течение последних 150 лет.