Предел $Q^{\prime }\to Q$. Введем зависимость потенциала от новой переменной, скажем $y$, заменой
$$Q(x)\to Q(x,y),Q^{\prime }(x)\to Q(x,y+\mathrm{\Delta }y).$$

Отсюда несомненно следует, что от $y$ будут зависеть и величины
$$R(k)=R(k,y),R^{\prime }(k)=R(k,y+\mathrm{\Delta }y).$$

Подставляя эти выражения в уравнения предыдущего раздела, в пределе $\mathrm{\Delta }y\to 0$ получим $Q=Q^{\prime }=Q(x,y)$, а операторы $\mathrm{\Lambda }$ и $\mathrm{\Gamma }$ перейдут в операторы $L$ и $G$, определяемые следующим образом $(F(x)$ есть произвольная матричная функция, убывающая при $x\to +\mathrm{\infty }$; в выражениях мы опускаем явную индикацию зависимости всех функций от перєменной $y$ ):
$$\begin{array}{c}LF(x)=F_{xx}(x)-2\{Q(x),F(x)\}+Q{\int }_x^{+\mathrm{\infty }}d{x}^{\prime }F\left(x^{\prime }\right)\\ GF(x)=\{Q_x(x),F(x)\}+[Q(x),{\int }_x^{+\mathrm{\infty }}d{x}^{\prime }[Q\left(x^{\prime }\right),F\left(x^{\prime }\right)]].\end{array}$$

Полагая в (9.11) $M=1/\mathrm{\Delta }y$ и $M={\sigma }_n$, а в (9.12) $N={\sigma }_{\mu }$, получим следующие три формулы:
$$\begin{array}{l}2ikf(-4k^2)R_y(k,y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx\overline{\mathrm{\Psi }}(x,k,y)\{f(L)Q_y(x,y)\}\mathrm{\Psi }(x,k,y),\\ 2ik{f}_n(-4k^2)[{\sigma }_n,R(k,y)]=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx\overline{\mathrm{\Psi }}(x,k,y)\{f_n(L)[{\sigma }_n,Q(x,y)]\}\mathrm{\Psi }(x,k,y).\\ (2ik{)}^2{g}_{\mu }(-4k^2)\{{\sigma }_{\mu },R(k,y)\}=\\ ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dx\overline{\mathrm{\Psi }}(x,k,j)\{g_{\mu }(L)G{\sigma }_{\mu }\}\mathrm{\Psi }(x,k,y).\end{array}$$

Здесь $f,f_n$ и $g_{\mu }$ суть произвольные целые функции; они могут зависеть параметрически от дополнительных переменных, таких, как $y$, но они должны быть независимы от $x$. Вывод, который мы сейчас наметили, показывает, что соотношения (9.20), (9.21) остаются справедливыми, даже если в них не предполагать суммирование по $n$ и $\mu$ (от 1 и от 0 до $N^2-1$ соответственно). Однако ввиду произеольности функций $f_n$ и $g_{\mu }$ отказ от этого суммирования не дает никакой дополнительной общности.

Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые обратным спектральным преобразованием. Предположим, что $Q$ (и, следовательно, $R$ ) зависит параметрически от нескольких переменных; обозначим одну из них через $t$ («время»), а остальные через $M$-мерный вектор у:
$$Q\equiv Q(x,\mathbf{y},t),R\equiv R(k,\mathbf{y},t).$$

Представим, что (9.19) записано с заменой $y$ на $t$ или на любую компоненту у, в каждом случае с произвольными и различными функциями $\underset{f}{}$. Из этих уравнений и из (9.20), (9.21) непосредственно вытекает следующее: если матрица-потенциал $Q(x,\mathbf{y},t)$ удовлетворяет нелинейному уравнению
$$\begin{array}{rl}{f}_0(L,\mathbf{y},t)Q_t=& 2{\beta }_0(L,\mathbf{y},i)Q_x+{\alpha }_n(L,\mathbf{y},t)[{\sigma }_n,Q]+\\ & +{\beta }_n(L,\mathbf{y},t)G{\sigma }_n+\gamma (L,\mathbf{y},t)\cdot \frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}Q,\end{array}$$

то соответствующий коэффициент отражения $R(k,\mathbf{y},t)$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных
$$\begin{array}{l}{f}_0(-4k^2,\mathbf{y},t)R_t={\alpha }_n(-4k^2,\mathbf{y},t)[{\sigma }_n,R]+\\ +2ik{\beta }_v(-4k^2,\mathbf{y},t)\{{\sigma }_v,R\}+\gamma (-4k^2,\mathbf{y},t)\cdot \frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}R.\end{array}$$

В дальнейшем мы ограничимся для простоты случаем $f_0=1$, чтобы сходство (9.23) с привычными НЭУ было более наглядным. Более того, мы будем предполагать, что функции ${\beta }_n,{\alpha }_n$ (целые, а в остальном произвольные) не зависят от у и $t$, а функции ${\beta }_0$ и $\gamma$ не зависят от $\mathbf{y}$. Тем самым мы ограничимся случаем нелинейных эволюционных уравнений вида
$$\begin{array}{rl}{Q}_t(x,\mathbf{y},t)=& 2{\beta }_0(L,t)Q_x(x,\mathbf{y},t)+{\alpha }_n(L)[{\sigma }_n,Q(x,\mathbf{y},t)]+\\ & +{\beta }_n(L)G{\sigma }_n+\mathbf{v}(L,t)\cdot \frac{\partial }{\partial \mathbf{y}}Q(x,\mathbf{y},t)\end{array}$$

и покажем, в частности, как с помощью обратного спектрального преобразования можно решить задачу Коши с начальными условиями
$$Q(x,\mathbf{y},t_0)=Q_0(x,\mathbf{y}).$$

Здесь $Q_0(x,y)$-заданная магричная функция, стремящаяся к нулю при $x\to +\mathrm{\infty }$.

Пусть $R_0(k,\mathbf{y})=R(k,\mathbf{y},t_0)$ — коэффициент отражения, соответствующий $Q_0(x,y)$. Для его определения необходимо решить прямую задачу Шрёдингера. K тому же известно, что если $Q(x,\mathbf{y},t)$ эволюционирует согласно (9.25), то соответствующий коэффициент отражения удовлетворяет линейному уравнению $R_t(k,\mathbf{y},t)=4ik{\beta }_{ȷ}(-4k^2,t)R(k,\mathbf{y},t)+{\alpha }_n(-4k^2)[{\sigma }_n,R(k,\mathbf{y},t)]+$ $\therefore 2ik{\beta }_n(-4k^2)\{{\sigma }_n,R(k,\mathbf{y},t)\}+v(-4k^2,t)\cdot \frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}R(k,\mathrm{y},t)$.
Это уравнение, которое легко может быть проинтегрировано, вместе с приведенным выше начальным условием позволяет получить точную формулу
$$\begin{array}{l}R(k,\mathbf{y},t)=\exp \left[4ik{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }{\beta }_0(-4k^2,t^{\prime })\right]\times \\ \times \exp \left\{(t-t_0)[{\alpha }_n(-4k^2)+2ik{\beta }_n(-4k^2)]{\sigma }_n\right\}\times \\ \times R_0[k,\mathbf{y}+{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\gamma (-4k,t^{\prime })]\times \\ \times \exp \left\{(t-t_0)[-{\alpha }_n(-4k^2)+2ik{\beta }_n(-4k^2)]{\sigma }_n\right\}.\end{array}$$

Зная коэффициент отражения $R$ в момент $t$, который дает эта формула, можно, решив обратную задачу (см. разд. 9.1), восстановить потенциал $Q$ в момент $t$ (параметры дискретного спектра, которые также необходимы для восстановления $Q$, будут обсуждены ниже). Ясно, что потенциал $Q(x,\mathbf{y},t)$, полученный таким образом, будет решением НЭУ (9.25) с начальным условием (9.26). Следует подчеркнуть, что указанная процедура сводит решение задачи Коши для уравнения (9.25), которое является нелинейным, поскольку операторы $L$ и $G$ зависят от $Q$ (см. их определения $(9.17),(9.18)$ ) к решению прямой и обратной задач, которые содержат только линейные уравнения. Для прямой задачи необходимо решить уравнение Шрёдингера (9.1), а для обратной — линейное интегральное уравнение (9.9). Более того, эта процедура позволяет непосредственно исследовать временну́ю эволюцию любого решения $Q(x,\mathbf{y},t)$ уравнения (9.25), разбивая это решение на две части: связанную с непрерывным спектром ассощиированной спектральной задачи и другую часть (которая будет обсуждена ниже), связанную с дискретным спектром.

Подкласс нелинейных эволюционных уравнений вида (9.25), отвечающий выбору ${\alpha }_n={\beta }_n=\gamma =0$ и ${\beta }_0(z,t)={\beta }_0(z)$, был исследован Вадати в предыдущей главе.

Ниже мы рассмотрим некоторые специфические уравнения вида (9.25); пока отметим, что если ${\sigma }_n$ эрмитовы, то для того, чтобы матрица $Q(x,\mathbf{y},t)$ оставалась эрмитовой при всех $t$, если она была эрмитовой в начальный момент времени $t_0$, достаточно, чтобы ${\beta }_{\gamma }$ и $\gamma$ были вещественными, а ${\alpha }_n$ чисто мнимыми [9.1]:
$${\alpha }_n=-{\alpha }_n^{\ast },{\beta }_v={\beta }_v^{\ast },\gamma ={\gamma }^{\ast }.$$

Эволюция параметров дискретного спектра. Временна́я эволюция дискретных собственных значений, ассоциированных с (9.25), дается уравнением
$$p_t(\mathbf{y},t)=\mathit{\gamma }(4p^2,t)\cdot \frac{\partial }{\partial \mathrm{y}}p(\mathbf{y},t).$$

Решение этого уравнения (в неявном виде) есть
$$p(\mathbf{y},t)=p_0[\mathbf{y}+{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\psi [4p^2(\mathbf{y},t),t^{\prime }]].$$

причем начальное условие
$$p_0(\mathbf{y})=p(\mathrm{y},t_0)$$

должно быть найдено по начальному потенциалу $Q_0(x,y)=$ $=Q(x,\mathbf{y},t_0)$. Заметим, что если переменные $\mathbf{y}$ отсутствуют (т. е. $\mathit{\gamma }=0$ в (9.25) или в (9.23)), то собственные значения остаются постоянными. Если же $\gamma eq0$, то эволюция $p(\mathbf{y},t)$ далеко не тривиальна. В этом случае даже число собственғых значений может изменяться со временем. Детальный анализ этого случая здесь будет опущен.

Другой величиной, связанной с дискретным спектром, является матрица $C(\mathrm{y},t)$, определенная в (9.6) и входящая в (9.8). Ее эволюция описывается уравнением
$$\begin{array}{l}{C}_t(\mathbf{y},t)=\gamma (4p^2,t)\cdot \frac{\partial }{\partial \mathbf{y}}C(\mathbf{y},t)+{C(\mathbf{y},t){\mathit{\gamma }}_z(z,t)|}_{z=4p^2}\times \\ \times \frac{\partial }{\partial \mathbf{y}}\left(4p^2\right)+{\alpha }_n\left(4p^2\right)[{\sigma }_n,C(\mathbf{y},t)]-2p{\beta }_v\left(4p^2\right)\{{\sigma }_v,C(\mathbf{y},t)\},\end{array}$$

где $p\equiv p(\mathbf{y},t)$ есть решение уравнения, приведенного выше, Решение уравнения (9.33) дается формулой
$$\begin{array}{l}C(\mathrm{y},t)=\exp [-4p{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }{\beta }_0(4p^2,t^{\prime })]\times \\ \times \{1-{\left[{{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }{\gamma }_z(z,t^{\prime })|}_{z=4p^2}\right]8p\cdot \frac{\partial }{\partial {\mathbf{y}}^{\prime }}{p}_0\left({\mathrm{y}}^{\prime }\right)|}_{{\mathrm{y}}^{\prime }=\mathrm{y}}+\\ {+{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\mathbf{Y}(4p^2,t^{\prime })\}}^{-1}\exp \left\{(t-t_0)[{\alpha }_n\left(4p^2\right)-2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\right\}\times \\ \times C_0[\mathrm{y}+{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }\gamma (4p^2,t^{\prime })]\times \\ \times \exp \left\{(t-t_0)[-{\alpha }_n\left(4p^2\right)-2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\right\}\end{array}$$

где
$$C_0(\mathrm{y})=C(\mathrm{y},t_0)$$

должно быть найдено по начальному потенциалу $Q_0(x,y)=$ $=Q(x,\mathbf{y},t_0)$. Отметим еще раз, что в (9.34) $p\equiv p(\mathbf{y},t)$.

Если $\gamma =0$, то зависимость от у исчезает и уравнение (9.34). существенно упрощается. Ввиду важности этого случая приведем окончательную формулу
$$\begin{array}{rl}C(t)=& \exp [-4p{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }{\beta }_0(4p^2,t^{\prime })]\times \\ & \times \exp \left\{(t-t_0)[{\alpha }_n\left(4p^2\right)-2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\right\}\cdot C\left(t_0\right)\times \\ & \times \exp \left\{(t-t_0)[-{\alpha }_n\left(4p^2\right)-2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\right\},\end{array}$$

где $p$ теперь константа.
Следует подчеркнуть, что временная эволюция параметров $p$ и $C$, описывающих каждое дискретное собственное значение, не зависит от наличия других собственных значений или непрерывного спектра. Хорошо известно, что именно этот факт обусловливает замечательное поведение «солитонов», в частности их стабильность. Кроме того, это объясняет особый интерес к односолитонным решениям, так как они являются не просто интересным частным решением исследуемых НЭУ, но представляют собой компоненту (которая проявляется или не проявляется в асимптотике; см. ниже) широкого класса решений.

Солитоны. Прямой путь получения односолитонного решения состоит в решении (9.9) при $R=0$ и при наличии одного собственного значения. В результате получим
$$Q(x,\mathbf{y},t)=-2p^2\{\mathrm{ch}[p(x-\xi )]{\}}^{-2}P.$$

Здесь $p=p(\mathbf{y},t)$-это параметр, характеризующий величину дискретного собственного значения, а $P=P(\mathrm{y},t)$ есть матрица, удовлетворяющая задающему проекционный оператор ограничению
$$P^2=P.$$

Эта матрица связана с матрицей $C(\mathrm{y},t)$ формулой
$$C=2p\exp (2p\xi )P,$$

которая совместно с (9.38) определяет $\xi =\xi (\mathrm{y},t)$. Здесь вновь $p\equiv p(\mathrm{y},t)$.

Таким образом, видно, что для всех НЭУ, рассматриваемых в этой работе, односолитонные решения имеют обычную (ch)-2 форму относительно переменной $x$. Соответствующая величина $\xi$ естественно интерпретируется как положение солитона, а матрицу $P$ (удовлетворяющую прогкционному свойству (9.38)), которой пропорционален солитон, можно интерпретировать как поляризацию солитона. Зависимость $\xi$ и $P$ от переменных у и $t$ определяется связью их с $p$ и $C$, (9.38), (9.39), и уравнениями для $p$ и $C$, приведенными выше.

Очевидно, что если переменная у действительно присутствует, то ситуация более сложная (и интересная). Но даже если $\mathit{\gamma }=0$ (что мы примем для простоты в оставшейся части работы), так что зависимость от у отсутствует и $p$ не зависит от времени, то солитонное решение (9.37) все равно весьма интересно. Замечательным является тот факт, что $\xi$ в общем случае нелинейно зависит от времени, т. е. в общем случае солитон движется с переменной во времени скоростью. Действительно, несложные вычисления дают
$$\xi (t)=\xi \left(t_0\right)-2{\int }_{t_0}^{t}d{t}^{\prime }{\beta }_0(4p^2,t^{\prime })+(2p{)}^{-1}\ln \left[(c_0,E(t-t_0)c_0)/(c_0,c_0)\right],$$

где
$$\begin{array}{rl}E(t)=& \exp \{-t[{\alpha }_n\left(4p^2\right)+2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\}\times \\ & \times \exp \left\{t[{\alpha }_n\left(4p^2\right)-2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\right\}.\end{array}$$

Соответствующая формула для $P$ имеет вид
$$\begin{array}{l}P(t)=\left\{(c_0,c_0)/(c_0,E(t-t_0)c_0)\right\}\times \exp \{(t—t_0)[{\alpha }_n\left(4p^2\right)-\\ -2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\}\times P\left(t_0\right)\exp \{-(t-t_0)[{\alpha }_n\left(4p^2\right)+2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n]\}.\end{array}$$

Здесь
$$c_0=c\left(t_0\right)$$

определяется по начальным данным. Мы использовали соотношение
$$P(t)=c(t)c^T(t)/(c(t),c(t)),$$

вытекающее из (9.38), (9.39) и (9.6).
Для анализа поведения солитона удобно ввести специальное разложение матрицы $E(t)$
$$E(t)=\sum _{k=1}^N\exp [2p_{\zeta k}(t)E_k(t)$$

где
$$E_k(t)E_e(t)={\delta }_{ke}{E}_k(t).$$

Заметим, что величины ${\zeta }_k(t)$, как и проекционные операторы $E_k(t)$, зависят от функций ${\alpha }_n$ и ${\beta }_n$, определяющих структуру нелинейного уравнения (см. (9.25)); они зависят от начальных данных только через зависимость от $p$. Временна́я эволюция

$\xi (t)$ и $P(t)$ зависит, кроме того, от начального вектора $c_0=c\left(t_0\right)$ через величины
$$e_k(t)=(c_0,E_k(t)c_0)/(c_0,c_0).$$

Точные формулы суть
$$\begin{array}{rl}\xi (t)=\xi \left(t_0\right)-2& {\int }_{t_0}^{\prime }d{t}^{\prime }{\beta }_0(4p^2,t^{\prime })+(2p{)}^{-1}\times \\ & \times \ln \{\sum _{k=1}^N{e}_k(i-t_0)\exp \left[2p{\xi }_k(t-t_0)\right]\},\\ P(t)=& {\{\sum _{k=1}^N{e}_k(t-t_0)\exp \left[2p{\xi }_k(t-t_0)\right]\}}^{-1}\times \\ & \times \exp \left\{(t-t_0)[{\alpha }_n\left(4p^2\right)-2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\right\}\times P\left(t_0\right)\times \\ & \times \exp \{-(t-t_0)[{\alpha }_n\left(4p^2\right)+2p{\beta }_n\left(4p^2\right)]{\sigma }_n\}\end{array}$$

Так как зависимость от времени, связанная с параметром ${\beta }_0$, относительно тривиальна, то положим для простоты ${\beta }_0=0$. Рассмотрим следующие два специальных случая.

Сначала положим ${\beta }_n\left(4p^2\right)=0$. Тогда $E(t)=1,\xi (t)=\xi \left(t_0\right)$, и солитон будет покоящимся (если ${\beta }_0(4p^2,t)={\beta }_0\left(4p^2\right)eq0$, то он бы двигался с постоянной скоростью).
Следующему случаю отвечает
$$[{\sigma }_n\left(4p^2\right){\sigma }_n,{\beta }_n\left(4p^2\right){\sigma }_m]=0.$$

При этом подразумевается, что в этот случай включается ситуация, когда все ${\alpha }_n\left(4p^2\right)=0$, но исключается ${\beta }_n\left(4p^2\right)=0$, что было рассмотрено выше. Тогда
$${\zeta }_k(t)=-2t{\beta }^{(k)},k=1,\dots ,N,$$

где ${\beta }^{(k)}$ — собственные значения матрицы ${\beta }_n\left(4p^2\right){\sigma }_n$. Если начальные условия были таковы, что
$$e_k(0)={\delta }_{kl},$$

то солитон будет двигаться с постоянной скоростью
$$\xi (t)=\xi \left(t_0\right)-2(t-t_0){\beta }^{(l)}.$$

В более общем случае, $e_1(0)eq0$ и $e_N(0)eq0$, при больших $|t|$ получим
$$\begin{array}{rl}\xi (t)=& -2(t-t_0){\beta }^{(1)}+\xi \left(t_0\right)+(2p{)}^{-1}\ln [e_1(0)]+\\ & +O\{\exp [-4tp({\beta }^{(2)}-{\beta }^{(1)})]\},t\to +\mathrm{\infty },\\ \xi (t)=& -2(t-t_0){\beta }^{(N)}+\xi \left(t_0\right)+(2p{)}^{-1}\ln [e_N(0)]+\\ & +O\{\exp \left[4tp({\beta }^{(N)}-{\beta }^{(N-1)})\right]\},t\to -\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Мы предполагаем, что ${\beta }_n$ вещественны и, следовательно, ${\beta }^{(k)}$ также вещественны и упорядочены в порядке возрастания ${\beta }^{(k)}<{\beta }^{(k+1)}$ (если нет совпадений). Таким образом, в этом случае солитон движется асимптотически с постоянной скоростью. Если ${\beta }^{(N)}>0>{\beta }^{(1)}$, то при $t\to +\mathrm{\infty }$ он движется направо, а при $t\to -\mathrm{\infty }$ он опять же движется направо. Подобное поведение солитона и послужило основанием для введения термина «бумерон» [9.3].

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что если ${\alpha }_n$ мнимые и ${\beta }_v$ вещественные, что необходимо для эрмитовости $Q$ при всех $t$, то в системе координат, двигающейся со скоростью ${\beta }_0(4p^2,t)$, солитоны, уходящие на бесконечность, движутся асимптотически с постоянной скоростью. В последующем примере будет продемонстрирован случай, когда солитоны действительно уходят на бесконечность с асимптотически постоянной скоростью или осциллируют неопределенно.

Аналогично тому как получаются односолитонные решения, строятся многосолитонные решения. Приведем точную формулу для двухсолитонного случая:
$$\begin{array}{c}Q(x,\mathbf{y},t)=-W_x(x,\mathbf{y},t)\\ W(x,\mathbf{y},t)=-2(p_1+p_2){[1-\rho {\tau }_1{\tau }_2]}^{-1}\cdot [{\tau }_1{P}_1+{\tau }_2{P}_2-{\tau }_1{\tau }_2\{P_1,P_2\}],\\ {\tau }_k=\left[P_k/(p_1+p_2)\right]\cdot \{1-\mathrm{th}\left[p_k(x-{\xi }_k)\right]\},k=1,2.\end{array}$$

В этих уравнениях величины ${\xi }_k={\xi }_k(\mathbf{y},t)$ и $P_k=P_k(\mathbf{y},t)$ следует интерпретировать как «положение» и «поляризацию» $k$-го солитона, характеризуемого положительным параметром $p_k$. Временна́я эволюция этого параметра дается в точности теми же уравнениями, которые приводились и обсуждались выше, если в них заменить $p$ на $p_k$. Скалярная функция $\rho =\rho (\mathbf{y},t)$, входящая в (9.56), определяется одним из следующих двух эквивалентных уравнений:
$$\begin{array}{l}\rho P_1=P_1{P}_2{P}_1,\\ \rho P_2=P_2{P}_1{P}_2.\end{array}$$