Предел $Q^{\prime} \rightarrow Q$. Введем зависимость потенциала от новой переменной, скажем $y$, заменой
\[
Q(x) \rightarrow Q(x, y), \quad Q^{\prime}(x) \rightarrow Q(x, y+\Delta y) .
\]

Отсюда несомненно следует, что от $y$ будут зависеть и величины
\[
R(k)=R(k, y), \quad R^{\prime}(k)=R(k, y+\Delta y) .
\]

Подставляя эти выражения в уравнения предыдущего раздела, в пределе $\Delta y \rightarrow 0$ получим $Q=Q^{\prime}=Q(x, y)$, а операторы $\Lambda$ и $\Gamma$ перейдут в операторы $L$ и $G$, определяемые следующим образом $(F(x)$ есть произвольная матричная функция, убывающая при $x \rightarrow+\infty$; в выражениях мы опускаем явную индикацию зависимости всех функций от перєменной $y$ ):
\[
\begin{array}{c}
L F(x)=F_{x x}(x)-2\{Q(x), F(x)\}+Q \int_{x}^{+\infty} d x^{\prime} F\left(x^{\prime}\right) \\
G F(x)=\left\{Q_{x}(x), F(x)\right\}+\left[Q(x), \int_{x}^{+\infty} d x^{\prime}\left[Q\left(x^{\prime}\right), F\left(x^{\prime}\right)\right]\right] .
\end{array}
\]

Полагая в (9.11) $M=1 / \Delta y$ и $M=\sigma_{n}$, а в (9.12) $N=\sigma_{\mu}$, получим следующие три формулы:
\[
\begin{array}{l}
2 i k f\left(-4 k^{2}\right) R_{y}(k, y)=\int_{-\infty}^{+\infty} d x \bar{\Psi}(x, k, y)\left\{f(L) Q_{y}(x, y)\right\} \Psi(x, k, y), \\
2 i k f_{n}\left(-4 k^{2}\right)\left[\sigma_{n}, R(k, y)\right]= \\
=\int_{-\infty}^{+\infty} d x \bar{\Psi}(x, k, y)\left\{f_{n}(L)\left[\sigma_{n}, Q(x, y)\right]\right\} \Psi(x, k, y) . \\
(2 i k)^{2} g_{\mu}\left(-4 k^{2}\right)\left\{\sigma_{\mu}, R(k, y)\right\}= \\
=\int_{-\infty}^{+\infty} d x \bar{\Psi}(x, k, j)\left\{g_{\mu}(L) G \sigma_{\mu}\right\} \Psi(x, k, y) .
\end{array}
\]

Здесь $f, f_{n}$ и $g_{\mu}$ суть произвольные целые функции; они могут зависеть параметрически от дополнительных переменных, таких, как $y$, но они должны быть независимы от $x$. Вывод, который мы сейчас наметили, показывает, что соотношения (9.20), (9.21) остаются справедливыми, даже если в них не предполагать суммирование по $n$ и $\mu$ (от 1 и от 0 до $N^{2}-1$ соответственно). Однако ввиду произеольности функций $f_{n}$ и $g_{\mu}$ отказ от этого суммирования не дает никакой дополнительной общности.

Нелинейные эволюционные уравнения, интегрируемые обратным спектральным преобразованием. Предположим, что $Q$ (и, следовательно, $R$ ) зависит параметрически от нескольких переменных; обозначим одну из них через $t$ («время»), а остальные через $M$-мерный вектор у:
\[
Q \equiv Q(x, \mathbf{y}, t), \quad R \equiv R(k, \mathbf{y}, t) .
\]

Представим, что (9.19) записано с заменой $y$ на $t$ или на любую компоненту у, в каждом случае с произвольными и различными функциями $\underset{f}{ }$. Из этих уравнений и из (9.20), (9.21) непосредственно вытекает следующее: если матрица-потенциал $Q(x, \mathbf{y}, t)$ удовлетворяет нелинейному уравнению
\[
\begin{aligned}
f_{0}(L, \mathbf{y}, t) Q_{t}= & 2 \beta_{0}(L, \mathbf{y}, i) Q_{x}+\alpha_{n}(L, \mathbf{y}, t)\left[\sigma_{n}, Q\right]+ \\
& +\beta_{n}(L, \mathbf{y}, t) G \sigma_{n}+\gamma(L, \mathbf{y}, t) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} Q,
\end{aligned}
\]

то соответствующий коэффициент отражения $R(k, \mathbf{y}, t)$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных
\[
\begin{array}{l}
f_{0}\left(-4 k^{2}, \mathbf{y}, t\right) R_{t}=\alpha_{n}\left(-4 k^{2}, \mathbf{y}, t\right)\left[\sigma_{n}, R\right]+ \\
\quad+2 i k \beta_{v}\left(-4 k^{2}, \mathbf{y}, t\right)\left\{\sigma_{v}, R\right\}+\gamma\left(-4 k^{2}, \mathbf{y}, t\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} R .
\end{array}
\]

В дальнейшем мы ограничимся для простоты случаем $f_{0}=1$, чтобы сходство (9.23) с привычными НЭУ было более наглядным. Более того, мы будем предполагать, что функции $\beta_{n}, \alpha_{n}$ (целые, а в остальном произвольные) не зависят от у и $t$, а функции $\beta_{0}$ и $\gamma$ не зависят от $\mathbf{y}$. Тем самым мы ограничимся случаем нелинейных эволюционных уравнений вида
\[
\begin{aligned}
Q_{t}(x, \mathbf{y}, t)= & 2 \beta_{0}(L, t) Q_{x}(x, \mathbf{y}, t)+\alpha_{n}(L)\left[\sigma_{n}, Q(x, \mathbf{y}, t)\right]+ \\
& +\beta_{n}(L) G \sigma_{n}+\mathbf{v}(L, t) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{y}} Q(x, \mathbf{y}, t)
\end{aligned}
\]

и покажем, в частности, как с помощью обратного спектрального преобразования можно решить задачу Коши с начальными условиями
\[
Q\left(x, \mathbf{y}, t_{0}\right)=Q_{0}(x, \mathbf{y}) .
\]

Здесь $Q_{0}(x, y)$-заданная магричная функция, стремящаяся к нулю при $x \rightarrow+\infty$.

Пусть $R_{0}(k, \mathbf{y})=R\left(k, \mathbf{y}, t_{0}\right)$ — коэффициент отражения, соответствующий $Q_{0}(x, y)$. Для его определения необходимо решить прямую задачу Шрёдингера. K тому же известно, что если $Q(x, \mathbf{y}, t)$ эволюционирует согласно (9.25), то соответствующий коэффициент отражения удовлетворяет линейному уравнению $R_{t}(k, \mathbf{y}, t)=4 i k \beta_{\jmath}\left(-4 k^{2}, t\right) R(k, \mathbf{y}, t)+\alpha_{n}\left(-4 k^{2}\right)\left[\sigma_{n}, R(k, \mathbf{y}, t)\right]+$ $\therefore 2 i k \beta_{n}\left(-4 k^{2}\right)\left\{\sigma_{n}, R(k, \mathbf{y}, t)\right\}+v\left(-4 k^{2}, t\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} R(k, \mathrm{y}, t)$.
Это уравнение, которое легко может быть проинтегрировано, вместе с приведенным выше начальным условием позволяет получить точную формулу
\[
\begin{array}{l}
R(k, \mathbf{y}, t)= \exp \left[4 i k \int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \beta_{0}\left(-4 k^{2}, t^{\prime}\right)\right] \times \\
\times \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(-4 k^{2}\right)+2 i k \beta_{n}\left(-4 k^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} \times \\
\times R_{0}\left[k, \mathbf{y}+\int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \gamma\left(-4 k, t^{\prime}\right)\right] \times \\
\times \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[-\alpha_{n}\left(-4 k^{2}\right)+2 i k \beta_{n}\left(-4 k^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} .
\end{array}
\]

Зная коэффициент отражения $R$ в момент $t$, который дает эта формула, можно, решив обратную задачу (см. разд. 9.1), восстановить потенциал $Q$ в момент $t$ (параметры дискретного спектра, которые также необходимы для восстановления $Q$, будут обсуждены ниже). Ясно, что потенциал $Q(x, \mathbf{y}, t)$, полученный таким образом, будет решением НЭУ (9.25) с начальным условием (9.26). Следует подчеркнуть, что указанная процедура сводит решение задачи Коши для уравнения (9.25), которое является нелинейным, поскольку операторы $L$ и $G$ зависят от $Q$ (см. их определения $(9.17),(9.18)$ ) к решению прямой и обратной задач, которые содержат только линейные уравнения. Для прямой задачи необходимо решить уравнение Шрёдингера (9.1), а для обратной — линейное интегральное уравнение (9.9). Более того, эта процедура позволяет непосредственно исследовать временну́ю эволюцию любого решения $Q(x, \mathbf{y}, t)$ уравнения (9.25), разбивая это решение на две части: связанную с непрерывным спектром ассощиированной спектральной задачи и другую часть (которая будет обсуждена ниже), связанную с дискретным спектром.

Подкласс нелинейных эволюционных уравнений вида (9.25), отвечающий выбору $\alpha_{n}=\beta_{n}=\gamma=0$ и $\beta_{0}(z, t)=\beta_{0}(z)$, был исследован Вадати в предыдущей главе.

Ниже мы рассмотрим некоторые специфические уравнения вида (9.25); пока отметим, что если $\sigma_{n}$ эрмитовы, то для того, чтобы матрица $Q(x, \mathbf{y}, t)$ оставалась эрмитовой при всех $t$, если она была эрмитовой в начальный момент времени $t_{0}$, достаточно, чтобы $\beta_{\gamma}$ и $\gamma$ были вещественными, а $\alpha_{n}$ чисто мнимыми [9.1]:
\[
\alpha_{n}=-\alpha_{n}^{*}, \quad \beta_{v}=\beta_{v}^{*}, \quad \gamma=\gamma^{*} .
\]

Эволюция параметров дискретного спектра. Временна́я эволюция дискретных собственных значений, ассоциированных с (9.25), дается уравнением
\[
p_{t}(\mathbf{y}, t)=\boldsymbol{\gamma}\left(4 p^{2}, t\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}} p(\mathbf{y}, t) .
\]

Решение этого уравнения (в неявном виде) есть
\[
p(\mathbf{y}, t)=p_{0}\left[\mathbf{y}+\int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \psi\left[4 p^{2}(\mathbf{y}, t), t^{\prime}\right]\right] .
\]

причем начальное условие
\[
p_{0}(\mathbf{y})=p\left(\mathrm{y}, t_{0}\right)
\]

должно быть найдено по начальному потенциалу $Q_{0}(x, y)=$ $=Q\left(x, \mathbf{y}, t_{0}\right)$. Заметим, что если переменные $\mathbf{y}$ отсутствуют (т. е. $\boldsymbol{\gamma}=0$ в (9.25) или в (9.23)), то собственные значения остаются постоянными. Если же $\gamma
eq 0$, то эволюция $p(\mathbf{y}, t)$ далеко не тривиальна. В этом случае даже число собственғых значений может изменяться со временем. Детальный анализ этого случая здесь будет опущен.

Другой величиной, связанной с дискретным спектром, является матрица $C(\mathrm{y}, t)$, определенная в (9.6) и входящая в (9.8). Ее эволюция описывается уравнением
\[
\begin{array}{l}
C_{t}(\mathbf{y}, t)=\gamma\left(4 p^{2}, t\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{y}} C(\mathbf{y}, t)+\left.C(\mathbf{y}, t) \boldsymbol{\gamma}_{z}(z, t)\right|_{z=4 p^{2}} \times \\
\times \frac{\partial}{\partial \mathbf{y}}\left(4 p^{2}\right)+\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)\left[\sigma_{n}, C(\mathbf{y}, t)\right]-2 p \beta_{v}\left(4 p^{2}\right)\left\{\sigma_{v}, C(\mathbf{y}, t)\right\},
\end{array}
\]

где $p \equiv p(\mathbf{y}, t)$ есть решение уравнения, приведенного выше, Решение уравнения (9.33) дается формулой
\[
\begin{array}{l}
C(\mathrm{y}, t)=\exp \left[-4 p \int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \beta_{0}\left(4 p^{2}, t^{\prime}\right)\right] \times \\
\quad \times\left\{1-\left.\left[\left.\int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \gamma_{z}\left(z, t^{\prime}\right)\right|_{z=4 p^{2}}\right] 8 p \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf{y}^{\prime}} p_{0}\left(\mathrm{y}^{\prime}\right)\right|_{\mathrm{y}^{\prime}=\mathrm{y}}+\right. \\
\left.+\int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \mathbf{Y}\left(4 p^{2}, t^{\prime}\right)\right\}^{-1} \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} \times \\
\quad \times C_{0}\left[\mathrm{y}+\int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \gamma\left(4 p^{2}, t^{\prime}\right)\right] \times \\
\quad \times \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[-\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\}
\end{array}
\]

где
\[
C_{0}(\mathrm{y})=C\left(\mathrm{y}, t_{0}\right)
\]

должно быть найдено по начальному потенциалу $Q_{0}(x, y)=$ $=Q\left(x, \mathbf{y}, t_{0}\right)$. Отметим еще раз, что в (9.34) $p \equiv p(\mathbf{y}, t)$.

Если $\gamma=0$, то зависимость от у исчезает и уравнение (9.34). существенно упрощается. Ввиду важности этого случая приведем окончательную формулу
\[
\begin{aligned}
C(t)= & \exp \left[-4 p \int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \beta_{0}\left(4 p^{2}, t^{\prime}\right)\right] \times \\
& \times \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} \cdot C\left(t_{0}\right) \times \\
& \times \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[-\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\},
\end{aligned}
\]

где $p$ теперь константа.
Следует подчеркнуть, что временная эволюция параметров $p$ и $C$, описывающих каждое дискретное собственное значение, не зависит от наличия других собственных значений или непрерывного спектра. Хорошо известно, что именно этот факт обусловливает замечательное поведение «солитонов», в частности их стабильность. Кроме того, это объясняет особый интерес к односолитонным решениям, так как они являются не просто интересным частным решением исследуемых НЭУ, но представляют собой компоненту (которая проявляется или не проявляется в асимптотике; см. ниже) широкого класса решений.

Солитоны. Прямой путь получения односолитонного решения состоит в решении (9.9) при $R=0$ и при наличии одного собственного значения. В результате получим
\[
Q(x, \mathbf{y}, t)=-2 p^{2}\{\operatorname{ch}[p(x-\xi)]\}^{-2} P .
\]

Здесь $p=p(\mathbf{y}, t)$-это параметр, характеризующий величину дискретного собственного значения, а $P=P(\mathrm{y}, t)$ есть матрица, удовлетворяющая задающему проекционный оператор ограничению
\[
P^{2}=P .
\]

Эта матрица связана с матрицей $C(\mathrm{y}, t)$ формулой
\[
C=2 p \exp (2 p \xi) P,
\]

которая совместно с (9.38) определяет $\xi=\xi(\mathrm{y}, t)$. Здесь вновь $p \equiv p(\mathrm{y}, t)$.

Таким образом, видно, что для всех НЭУ, рассматриваемых в этой работе, односолитонные решения имеют обычную (ch)-2 форму относительно переменной $x$. Соответствующая величина $\xi$ естественно интерпретируется как положение солитона, а матрицу $P$ (удовлетворяющую прогкционному свойству (9.38)), которой пропорционален солитон, можно интерпретировать как поляризацию солитона. Зависимость $\xi$ и $P$ от переменных у и $t$ определяется связью их с $p$ и $C$, (9.38), (9.39), и уравнениями для $p$ и $C$, приведенными выше.

Очевидно, что если переменная у действительно присутствует, то ситуация более сложная (и интересная). Но даже если $\boldsymbol{\gamma}=0$ (что мы примем для простоты в оставшейся части работы), так что зависимость от у отсутствует и $p$ не зависит от времени, то солитонное решение (9.37) все равно весьма интересно. Замечательным является тот факт, что $\xi$ в общем случае нелинейно зависит от времени, т. е. в общем случае солитон движется с переменной во времени скоростью. Действительно, несложные вычисления дают
\[
\xi(t)=\xi\left(t_{0}\right)-2 \int_{t_{0}}^{t} d t^{\prime} \beta_{0}\left(4 p^{2}, t^{\prime}\right)+(2 p)^{-1} \ln \left[\left(c_{0}, E\left(t-t_{0}\right) c_{0}\right) /\left(c_{0}, c_{0}\right)\right],
\]

где
\[
\begin{aligned}
E(t)= & \exp \left\{-t\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)+2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} \times \\
& \times \exp \left\{t\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} .
\end{aligned}
\]

Соответствующая формула для $P$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
P(t)=\left\{\left(c_{0}, c_{0}\right) /\left(c_{0}, E\left(t-t_{0}\right) c_{0}\right)\right\} \times \exp \left\{( t — t _ { 0 } ) \left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-\right.\right. \\
\left.\left.\left.\quad-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} \times P\left(t_{0}\right) \exp \left\{-\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)+2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Здесь
\[
c_{0}=c\left(t_{0}\right)
\]

определяется по начальным данным. Мы использовали соотношение
\[
P(t)=c(t) c^{T}(t) /(c(t), c(t)),
\]

вытекающее из (9.38), (9.39) и (9.6).
Для анализа поведения солитона удобно ввести специальное разложение матрицы $E(t)$
\[
E(t)=\sum_{k=1}^{N} \exp \left[2 p_{\zeta k}(t) E_{k}(t)\right.
\]

где
\[
E_{k}(t) E_{e}(t)=\delta_{k e} E_{k}(t) .
\]

Заметим, что величины $\zeta_{k}(t)$, как и проекционные операторы $E_{k}(t)$, зависят от функций $\alpha_{n}$ и $\beta_{n}$, определяющих структуру нелинейного уравнения (см. (9.25)); они зависят от начальных данных только через зависимость от $p$. Временна́я эволюция

$\xi(t)$ и $P(t)$ зависит, кроме того, от начального вектора $c_{0}=c\left(t_{0}\right)$ через величины
\[
e_{k}(t)=\left(c_{0}, E_{k}(t) c_{0}\right) /\left(c_{0}, c_{0}\right) .
\]

Точные формулы суть
\[
\begin{aligned}
\xi(t)=\xi\left(t_{0}\right)-2 & \int_{t_{0}}^{\prime} d t^{\prime} \beta_{0}\left(4 p^{2}, t^{\prime}\right)+(2 p)^{-1} \times \\
& \times \ln \left\{\sum_{k=1}^{N} e_{k}\left(i-t_{0}\right) \exp \left[2 p \xi_{k}\left(t-t_{0}\right)\right]\right\}, \\
P(t)= & \left\{\sum_{k=1}^{N} e_{k}\left(t-t_{0}\right) \exp \left[2 p \xi_{k}\left(t-t_{0}\right)\right]\right\}^{-1} \times \\
& \times \exp \left\{\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)-2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\} \times P\left(t_{0}\right) \times \\
& \times \exp \left\{-\left(t-t_{0}\right)\left[\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)+2 p \beta_{n}\left(4 p^{2}\right)\right] \sigma_{n}\right\}
\end{aligned}
\]

Так как зависимость от времени, связанная с параметром $\beta_{0}$, относительно тривиальна, то положим для простоты $\beta_{0}=0$. Рассмотрим следующие два специальных случая.

Сначала положим $\beta_{n}\left(4 p^{2}\right)=0$. Тогда $E(t)=1, \xi(t)=\xi\left(t_{0}\right)$, и солитон будет покоящимся (если $\beta_{0}\left(4 p^{2}, t\right)=\beta_{0}\left(4 p^{2}\right)
eq 0$, то он бы двигался с постоянной скоростью).
Следующему случаю отвечает
\[
\left[\sigma_{n}\left(4 p^{2}\right) \sigma_{n}, \beta_{n}\left(4 p^{2}\right) \sigma_{m}\right]=0 .
\]

При этом подразумевается, что в этот случай включается ситуация, когда все $\alpha_{n}\left(4 p^{2}\right)=0$, но исключается $\beta_{n}\left(4 p^{2}\right)=0$, что было рассмотрено выше. Тогда
\[
\zeta_{k}(t)=-2 t \beta^{(k)}, \quad k=1, \ldots, N,
\]

где $\beta^{(k)}$ — собственные значения матрицы $\beta_{n}\left(4 p^{2}\right) \sigma_{n}$. Если начальные условия были таковы, что
\[
e_{k}(0)=\delta_{k l},
\]

то солитон будет двигаться с постоянной скоростью
\[
\xi(t)=\xi\left(t_{0}\right)-2\left(t-t_{0}\right) \beta^{(l)} .
\]

В более общем случае, $e_{1}(0)
eq 0$ и $e_{N}(0)
eq 0$, при больших $|t|$ получим
\[
\begin{aligned}
\xi(t)= & -2\left(t-t_{0}\right) \beta^{(1)}+\xi\left(t_{0}\right)+(2 p)^{-1} \ln \left[e_{1}(0)\right]+ \\
& +O\left\{\exp \left[-4 t p\left(\beta^{(2)}-\beta^{(1)}\right)\right]\right\}, \quad t \rightarrow+\infty, \\
\xi(t)= & -2\left(t-t_{0}\right) \beta^{(N)}+\xi\left(t_{0}\right)+(2 p)^{-1} \ln \left[e_{N}(0)\right]+ \\
& +O\left\{\exp \left[4 t p\left(\beta^{(N)}-\beta^{(N-1)}\right)\right]\right\}, \quad t \rightarrow-\infty .
\end{aligned}
\]

Мы предполагаем, что $\beta_{n}$ вещественны и, следовательно, $\beta^{(k)}$ также вещественны и упорядочены в порядке возрастания $\beta^{(k)}<\beta^{(k+1)}$ (если нет совпадений). Таким образом, в этом случае солитон движется асимптотически с постоянной скоростью. Если $\beta^{(N)}>0>\beta^{(1)}$, то при $t \rightarrow+\infty$ он движется направо, а при $t \rightarrow-\infty$ он опять же движется направо. Подобное поведение солитона и послужило основанием для введения термина «бумерон» [9.3].

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что если $\alpha_{n}$ мнимые и $\beta_{v}$ вещественные, что необходимо для эрмитовости $Q$ при всех $t$, то в системе координат, двигающейся со скоростью $\beta_{0}\left(4 p^{2}, t\right)$, солитоны, уходящие на бесконечность, движутся асимптотически с постоянной скоростью. В последующем примере будет продемонстрирован случай, когда солитоны действительно уходят на бесконечность с асимптотически постоянной скоростью или осциллируют неопределенно.

Аналогично тому как получаются односолитонные решения, строятся многосолитонные решения. Приведем точную формулу для двухсолитонного случая:
\[
\begin{array}{c}
Q(x, \mathbf{y}, t)=-W_{x}(x, \mathbf{y}, t) \\
W(x, \mathbf{y}, t)=-2\left(p_{1}+p_{2}\right)\left[1-\rho \tau_{1} \tau_{2}\right]^{-1} \cdot\left[\tau_{1} P_{1}+\tau_{2} P_{2}-\tau_{1} \tau_{2}\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\right], \\
\tau_{k}=\left[P_{k} /\left(p_{1}+p_{2}\right)\right] \cdot\left\{1-\operatorname{th}\left[p_{k}\left(x-\xi_{k}\right)\right]\right\}, \quad k=1,2 .
\end{array}
\]

В этих уравнениях величины $\xi_{k}=\xi_{k}(\mathbf{y}, t)$ и $P_{k}=P_{k}(\mathbf{y}, t)$ следует интерпретировать как «положение» и «поляризацию» $k$-го солитона, характеризуемого положительным параметром $p_{k}$. Временна́я эволюция этого параметра дается в точности теми же уравнениями, которые приводились и обсуждались выше, если в них заменить $p$ на $p_{k}$. Скалярная функция $\rho=\rho(\mathbf{y}, t)$, входящая в (9.56), определяется одним из следующих двух эквивалентных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\rho P_{1}=P_{1} P_{2} P_{1}, \\
\rho P_{2}=P_{2} P_{1} P_{2} .
\end{array}
\]