Последующая история солитонов есть на самом деле история трех нелинейных эволюционных уравнений, а именно уравнений КдФ (1.1), (1.3) или (1.6), нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)
$$i{u}_t+u_{xx}+2u|u{|}^2=0$$

и уравнения sine-Gordon (СГ-уравнения)
$$u_{xx}-u_{t!}=\sin u\text{. }$$

Последнее принимает форму
$$u_{xt}=\sin u$$

в переменных светового конуса $(x+t)/2\to x,(x-t)/2\to t$. Оно становится эволюционным уравнением
$$u_t={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\sin \left[u(x^{\prime },t)\right]d{x}^{\prime }$$

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0017.jpg.txt

16
1. Солитон и его история
при наложении граничных условий $u(x,t)\to u_0\equiv 0(mod2\pi ),u_x$, $u_{xx}\to 0,|x|\to \mathrm{\infty }$, подразумеваемых для (1.11a); в любом случае оно является эволюционным уравнением по отношению к $u_x$, что и принимается обычно при решении этого уравнения. СГ-уравнение впервые появилось в физике в теории дислокаций [1.21]. Оно описывает распространение вращений, условных или настоящих, в различных физических системах [1.22, 1.23], например распространение флюксонов в джозефсоновских контактах [1.23-1.25] и распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов $[1.23,1.24,1.26,1.27]$. Некоторые приложения описаны Лэмом и Маклафлином в гл. 2, а также нами в гл. 3.

Нелинейное уравнение Шрёдингера выделяется среди этих трех уравнений тем, что в нем $u(x,t)$ является комплексной, а не вещественной величиной. Оно управляет эволюцией любой слабо нелинейной, сильно диспергирующей квазимонохроматической волны и, в частности, описывает эволюцию волны на глубокой воде [1.28]. КдФ описывает слабонелинейный режим со слабой дисперсией на мелкой воде, тогда как четвертое уравнение, уравнение простой волны
$$u_t+u{u}_x=0,$$

управляет сильно нелинейными недиспергирующими волнами. Как мы увидим, это уравнение также сыграло роль в развитии предмета, однако в отличие от КдФ, НУШ и СГ оно не имеет солитонных решений. Скажем вкратце, что мы понимаем под последними, поскольку они являются предметом всей этой книги.

Уединенная волна (1.5) уравнения КдФ (1.3) есть единственное решение вида $u(x-Vt)$, удовлетворяющее граничным условиям $u\to 0$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Забуски и Крускал [1.2] имели дело с периодическими граничными условиями. Тем не менее они сделали замечательное наблюдение, установив, что произвольное начальное возмущение $u(x,0)$ превращается при $t\to \mathrm{\infty }$ в набор уединенных волн, каждая из которых имеет форму (1.5), асимптотически хорошо разделенных и движущихся с различными скоростями. Такое поведение в действительности было известно Расселлу [1.3]. Забуски и Крускал выдвинули на первый план другое свойство солитонов, а именно то, что два импульса формы (1.5) при $x=-\mathrm{\infty },t\to -\mathrm{\infty }$ могут столкнуться в области конечных $x$, но выходят из столкновения с неизменными формами и скоростями. Имеется некоторый сдвиг их положений в выражениях (1.5) при $t\to \mathrm{\infty }$ (фазовый сдвиг). Этот сдвиг обычно мал, но не всегда [1.29]. Мы примем поэтому в качестве рабочего определения солитона следующее. Солитон — это уединенная волна, сохраняющая свою форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волной,

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0018.jpg.txt

1.2. Определение солитона
17
Эти требования к уединенной волне являются весьма жесткими. Возьмем, например, «уравнение ${\phi }^4$ », получившее свое название от плотности гамильтониана $H={\phi }_t^2/2+{\phi }_x^2/2\pm ({\phi }^2/2-$ — ${\phi }^4/4)$. Энергия ограничена снизу в случае знака минус. В таком виде это уравнение используется как модель в теории поля $[1.30,1.31]$. Уравнения движения в терминах зависимой переменной $u\equiv \phi$ суть
$$u_{xx}-u_t=\pm (u-u^3).$$

Они имеют решение в виде уединенной волны
$$u=\pm \mathrm{sech}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{x-Vt}{\sqrt{1-V^2}}$$
(знак «十»в (1.13)) или решения типа «кинк» («антикинк»)
$$u=\pm \mathrm{th}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{x-Vt}{\sqrt{1-V^2}}$$
(знак «-» в (1.13)). Ни решения (1.14), удовлтетворяющие условиям $u\to 0,|x|\to \mathrm{\infty }$, ни кинки, удовлетворяющие $u\to \pm 1$, $x\to -\mathrm{\infty }$ и $u\to \mp 1,x\to \mathrm{\infty }$, не обладают требуемыми простыми столкновительными свойствами солитона. Эти решения могут неупруго сталкиваться, сцепляясь или уничтожая друг друга [1.32]; кроме того, в процессе столкновения они всегда испускают некоторое осциллирующее возмущение, или «излучение» [1.32]. С другой стороны, уединенные волны или кинки довольно большого числа двумерных уравнений имеют солитонные столкновительные свойства. Среди них — уравнения КдФ, НУШ, СГ.

Заметим, что солитон (1.5) с параметром $\alpha ={\alpha }_2>{\alpha }_1$ будет обгонять второй солитон с параметром ${\alpha }_1$. Ясно, что он пройдет через второй солитон, так что асимптотически солитоны поменяются местами. Точно так же набор $N$ солитонов уравнения КдФ с параметрами ${\alpha }_N>{\alpha }_{N-1}>\dots >{\alpha }_1$, упорядоченные в последовательность $N,N-1,\dots ,1$, при $t\to -\mathrm{\infty }$ станут упорядоченными естественным образом $1,2,\dots ,N$ при $t\to \mathrm{\infty }$. Такая интерпретация, однако, субъективна, поскольку можно считать, что солитоны, сохраняя порядок, просто обмениваются энергией, импульсом (и амплитудой) в процессе столкновения. Такое частицеподобное поведение и объясняет происхождение термина «солитон» [1.2].

Вторая интерпретация может быть сохранена, хоть и не в таком простом виде, и в случае столкновения решений типа бризера и кинка СГ-уравнения. Аналитическая форма этих двух решений дается формулами (1.29) и (1.23) соответственно. Само решение типа бризер плюс кинк содержит три параметра $a_i$ и может быть найдено из (1.22). Первое впечатление состоит
в том что бризер проходит через кинк, приобретая лишь

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0019.jpg.txt

18
1. Солитон и его история
фазовый сдвиг. Основное, однако, в этих двух различных, но одинаково разумных интерпретациях состоит в том, что, вопервых, столкновения являются упругими, так что никакого дополнительного возмущения вроде «излучения» в процессе столкновения не возникает, и, во-вторых, решения могут быть найдены аналитически для всех времен с помощью,например, метода обратной задачи.

В качестве примера мы дадим $N$-солитонное решение уравнения КдФ (1.3). Граничные условия суть $u\to 0,|x|\to \mathrm{\infty }$, и солитонное решение имеет вид
$$\begin{array}{c}u=12(\ln F{)}_{x_x},F=\det F_{nm},\\ F_{nm}={\delta }_{nm}\frac{2{\left({\alpha }_n{\alpha }_m\right)}^{1/2}}{{\alpha }_n+{\alpha }_m}{f}_n,\\ f_n=\exp [{\alpha }_n(x-x_n)+{\alpha }_n^{3}t],\end{array}$$

где ${\alpha }_n$ и $x_n$-вещественные параметры. Насколько нам известно, решение в такой форме было впервые дано Хиротой [1.33], который использовал прямой метод (см. гл. 5), а не метод обратной задачи. Хирота работал с уравнением (1:1), и его решение получается из (1.16) масштабным преобразованием.
В частном случае $N=2$
$$F=1+f_1+f_2+{\left(\frac{{\alpha }_2-{\alpha }_1}{{\alpha }_2+\alpha }\right)}^2{f}_1{f}_2.$$

Из (1.16) можно найти, что при $f_1\approx 1,f_2\ll 1$
$$u=\frac{12{\alpha }_1^2{f}_1}{(1+f_1^2)}=3{\alpha }_1^2{\mathrm{sech}}^2\left[\frac{{\alpha }_1}{2}(x-x_1-{\alpha }_1^{2}t)\right],$$

тогда как при $f_1\approx 1,f_2\gg 1$
$$u=12{\alpha }_1^2{\overline{f}}_1/(1+{\overline{f}}_1^2),{\overline{f}}_1={\left(\frac{{\alpha }_2-{\alpha }_1}{{\alpha }_2+{\alpha }_1}\right)}^2{f}_1$$

и
$$u=3{\alpha }_1^2{\mathrm{sech}}^2\left[\frac{{\alpha }_1}{2}(x-{\overline{x}}_1-{\alpha }_1^{2}t)\right]$$

где
$${\overline{x}}_1=x_1-\frac{1}{{\alpha }_1}\ln {\left(\frac{{\alpha }_2+{\alpha }_1}{{\alpha }_2-{\alpha }_1}\right)}^{!}.$$

Таким образом, при $f_1\approx 1u$ имеет вид уединенной волны (1.5), если $f_2$ очень мало или очень велико; в последнем случае, однако, $u$ испытывает сдвиг аргумента (фазовый сдвиг) $\ln [({\alpha }_2{t}^{\prime }$ ${+{\alpha }_1)/({\alpha }_2-{\alpha }_1)]}^2$ по отношению к первому с.пучаю.

Положим ${\alpha }_2>{\alpha }_1>0$ и $x_2\ll x_1<0$. Тогда при $t=0$ больший солитон с параметром ${\alpha }_2$ расположен существенно левее меньшего, имеюшего параметр ${\alpha }_1$. В самом деле, для $x:=x_1+{\alpha }_1^{2t}$ при $t\approx 0$ получим $f_1=1$ и $f_2\ll 1$, в то время как для

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0020.jpg.txt

1.2. Определение солитона
19
$x={\overline{x}}_1+{\alpha }_1^{2}t$ при $t\to \mathrm{\infty }{\overline{f}}_1=1,f_1\approx 1,f_2\gg 1$. Можно видеть, что при возрастании $t$ от нуля больший солитон проходит через меньший, вызывая сдвиг аргумента $\ln {\left[({\alpha }_2+{\alpha }_1)/({\alpha }_2-{\alpha }_1)\right]}^2$. Аналогично для $x={\overline{x}}_2+{\alpha }_2^{2}t$ при $t\approx 0,f_2\approx 1,f_1\gg 1$, тогда как для $x=x_2+{\alpha }_2^{2}t,t\to \mathrm{\infty }{f}_2=1,f_1\ll 1$, и можно видеть, что больший солитон, проходящий через меньший, получает сдвиг аргумента $-\ln {\left[({\alpha }_2+{\alpha }_1)/({\alpha }_2-{\alpha }_1)\right]}^2$. Анализируя аналогичным образом $N$-солитонное решение, можно найти, что $i$-й солитон приобретает сдвиг аргумента
$${\delta }_i=\sum _{ieqi}{\delta }_{ij},{\delta }_{ij}=\mathrm{sgn}[i-j]\ln {\left(\frac{{\alpha }_i+{\alpha }_j}{{\alpha }_i-{\alpha }_j}\right)}^2.$$

Таким образом, сдвиг ${\delta }_i$ есть сумма сдвигов при парных столкновениях, тогда как $\sum _{i=1}^N{\delta }_i=0$, и полный фазовый сдвиг сохраняется. Отсутствие многочастичных эффектов связано [1.34] с наличием высших интегралов движения у уравнения КдФ. Эти интегралы описаны в разд. 1.4. Асимптотическое поведение решений КдФ рассматривалось Гарднером и др. [1.1], а также Гиббоном и Эйлбеком [1.35]. Использованное здесь рассуждение заимствовано нами в основном из работы Уизема [1.36].

Итак, три весьма различных на вид уравнения — КдФ (1.3), НУШ (1.9) и СГ (1.10) или (1.11) — имеют $N$-солитонные решения, в то время как уравненяе ${\phi }^4$ таковых не имеет. Уравнение простых волн (1.12) их также не имеет, поскольку оно вообще не имеет решений типа уединенной волны; это уравнение, однако, имеет бесконечннй набор интегралов движения в инволюции [1.37]. Значение последних для солитонных решений будет рассмотрено в разд. 1.4.

Прежде чем идти дальше, сделаем замечание о методе обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений $u_t=K[u]$, поскольку мы думаем, что это будет полезно читателю. Указанный метод и его история описаны в разд. 1.4-1.6. Для тех, кто не слыхал об этом методе раньше, скажем, что его основная идея состоит в следующем: поскольку никакого прямого способа построения $u(x,t)$ по начальным данным обычно нет, можно попытаться связать с данным уравнением некоторую задачу рассеяния с рассеивающим потенциалом $u(x,t)$. Например, для уравнения КдФ задачей рассеяния является задача на собственные значения для оператора Шрёдингера $[-{\partial }^2/\partial x^2+u(x,t)]\psi =\pm k^2\psi$. Начальное условие $u(x,0)$ отображается с помощью задачи рассеяния на так называемые «данные рассеяния». Далее оказывается, что 9волюция этих данных может быть найдена из нелинейного эволюционного уравнения. Последним шагом является вычис-

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0021.jpg.txt

20
1. Солитон и его история
ление потенциала $u(x,t)$ по данным рассеяния в момент времени $t=0$. Это может быть сделано с помощью линейных методов так называемой «обратной» задачи. Итак, $u(x,t)$ найдено! Уравнения КдФ, НУШ, СГ-все они могут быть решены этим методом. Однако простейшая задача рассеяния для СГ-уравнения и НУШ — это не задача на собственные значения для оператора Шрёдингера.

Симметрия задачи рассеяния оказывает влияние на форму солитонного решения. Например, односолитонное решение НУШ (1.9), найденное Захаровым и Шабатом с помощью задачи рассеяния $2\times 2[1.35]$, имеет вид
$$u=\frac{2\eta \exp [-4i({\xi }^2-{\eta }^2)t-2i\xi x+i\delta ]}{\mathrm{ch}[2\eta (t-t_0)+8\eta \xi t]},$$

где $\xi ,\eta ,\delta$ и $x_0$ — свободные параметры. Это решение представляет собой «солитон огибающей», в котором огибающая, имеющая форму гиперболического секанса, модулирует монохроматическую «несущую волну» числителя. В этом солитоне связь между скоростью и амплитудой, характерная для солитонов КдФ, полностью отсутствует. Метод обратной задачи дает тому ясное объяснение [1.38]. Солитоны описываются связанными состояниями задачи рассеяния; в случае НУШ задача рассеяния допускает комплексные собственные значения $\zeta ,\zeta =\xi +$ + in $(\eta >0)$, причем $\xi$ и $\eta$ оказываются параметрами в (1.21). В противоположность этому собственные значения уравнения $>0$ ). Итак, параметр $\eta$ определяет амплитуду, а $\xi$-скорость солитона НУШ (1.21); параметр $\eta$ определяет как скорость, так и амплитуду солитонного решения (1.2) уравнения КдФ.

В случае СГ-уравнения появляются некоторые новые особенности. $N$-солитонное решение этого уравнения имеет вид [1.39]
$$\begin{array}{c}\cos u(x,t)=1-2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\cdot \ln F,\\ F=\det M_{ij}\\ M_{ij}=2{(a_i+a_j)}^{-1}\cdot \mathrm{ch}\left[\frac{1}{2}({\theta }_i+{\theta }_i)\right],\\ {\theta }_j={\gamma }_j(x-V_{j}t-x_j),\\ a_j^2=(1-V_j){(1+V_j)}^{-1},{\gamma }_j^2={(1-V_l^2)}^{-1},\end{array}$$

где $a_j$ и ${\gamma }_j$ имеют один и тот же знак и где $a_j$ и $x_j$-свободные параметры. Прежде всего заметим, что односолитонное решение является «кинком»
$$u=4\mathrm{arctg}\exp [\pm \frac{x-x_1-V_{1}t}{{(1-V_1^2)}^{1/2}}]$$

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0022.jpg.txt

1.2. Определение солитона
21
Если в (1.23) взят положительный знак, то кинк удовлетворяет граничным условиям $u\to 0,x\to -\mathrm{\infty };u\to 2\pi ,x\to +\mathrm{\infty }(2\pi$-кинк) . Имеется также соответствующий антикинк (знак «-»), имеющий асимптотики $u\to 2\pi ,x\to -\mathrm{\infty };u\to 0,x\to +\mathrm{\infty }$ (-2л антикинк). В противоположность кинкам и антикинкам (1.15) уравнения ${\phi }^4$, кинки и антикинки СГ-уравнения сталкиваются между собой или друг с другом как солитоны. Заметим, что в обоих случаях величина
$$u_x=\pm \frac{2}{{(1-V_1^2)}^{1/2}}\mathrm{sech}\left[\frac{x-x_1-V_{1}t}{{(1-V_1^2)}^{1/2}}\right]$$

имеет характер уединенной волны колоколообразной формы, т. е. $u_x$ является настоящим солитоном. Граничные условия для СГ-уравнения есть поэтому $u\to 0(mod2\pi ),u_x,u_{xx}\to 0$, когда $|x|\to \mathrm{\infty }$, как мы и предполагали для уравнения (1.11).
Двухсолитонное решение представляет собой $4\pi$-кинк:
$$\begin{array}{rl}u& =4\mathrm{arctg}\frac{\sin \left[({\theta }_1+{\theta }_2)/2\right]}{{\left(a_{12}\right)}^{1/2}\mathrm{ch}\left[({\theta }_1+{\theta }_2)/2\right]},\\ a_{12}& ={(a_1-a_2)}^2{(a_1+a_2)}^{-2}.\end{array}$$

Асимптотически [1.39]
$$u(x,t)\equiv 4\pi \mathrm{arctg}\exp ({\theta }_1+{\delta }_1^{\pm })+4\mathrm{arctg}\exp ({\theta }_2+{\delta }_2^{\pm })$$

при $t=\pm \mathrm{\infty }$, где
$${\delta }_1^{\pm }=-{\delta }_2^{\pm }=\frac{1}{2}\ln a_{12}.$$

В $N$-солитонном столкновении ( $2N\pi$-кинк)
$$\begin{array}{rl}{\delta }_i^{\pm }=\pm \frac{1}{2}\sum _{j=1}^{i-1}\ln a_{ji}\mp & \sum _{j=i+1}\ln a_{ij}=\pm \frac{1}{2}\sum _{j=1,ieq1}^N\mathrm{sgn}(i-j)\ln a_{ij}\\ \sum _{j=1}^N({\delta }_i^{+}-{\delta }_i^{-})& =0.\end{array}$$

Заметим далее, что выбирая в качестве свободных параметров комплексно-сопряженные пары
$$\begin{array}{l}{a}_1=a_2^{\ast }=a_R+i{a}_I=a{e}^{i\mu },\\ x_1=x_2^{\ast }=x_R+i{x}_I,\end{array}$$

мы получаем «дышащие» солитоны — бризеры
$$u(x,t)=4\mathrm{arctg}r\sin {\theta }_l\mathrm{sech}{\theta }_R,$$

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0023.jpg.txt

22
1. Солитон и его история
где
$$\begin{array}{c}{\theta }_R=\frac{\cos \mu }{{(1-V^2)}^{1/2}}(x-Vt)-\frac{1}{2}{a}_R{x}_R,{\theta }_I=\frac{\sin \mu }{{(1-V^2)}^{1/2}}(t-V_x)-\\ -\frac{1}{2}{a}_I{x}_I,\\ r=a_R{a}_I^{-1}=\mathrm{ctg}\mu ,V=(1-a^2){(1+a^2)}^{-1}.(1.29\mathrm{b})\end{array}$$

В нелинейной оптике это решение называется «0л-импульсом», поскольку в нем $u$ меняется от нуля до нуля при изменении $x$ от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. Точно так же кинк именуется $2\pi$-импульсом. Такая терминология связана с тем, что наблюдаемой величиной является электрическое поле $\epsilon \sim (u_t+u_x)$ (в действительности наблюдается интенсивность ${\epsilon }^2$ ). В теории, описанной в гл. 2 , импульс имеет «площадь» $2\pi$, если он представляет собой $2\pi$-кинк; площадь равна нулю, или $0\pi$, если импульс является бризером (1.28).

В произвольной системе отсчета энергия бризера легко вычисляется и равна [1.39]
$$16{\gamma }_R{\left[r^2{(1+r^2)}^{-1}\right]}^{1/2}=16{\gamma }_R\cos \mu ,$$

где ${\gamma }_R^2={(1-V^2)}^{-1}$. Бризер поэтому имеет массу покоя $16\cos \mu$. Соответствующая энергия $2\pi$-кинка (1.23) равна $8{\gamma }_1$, а для $4\pi$-кинка (1.25) она есть $8{\gamma }_1+8{\gamma }_2$. Масса кинка поэтому равна 8 . Заметим, что бризер осциллирует с частотой ${(1-V^2)}^{-1/2}\sin \mu$. В системе отсчета $V=0,a=1u(x,t)$ представляет собой стоячую волну
$$\begin{array}{r}u(x,t)=4\mathrm{arctg}\{\mathrm{ctg}\mu \sin [(\sin \mu )(t-\frac{1}{2}{x}_I)]\mathrm{sech}[(\cos \mu )x-\\ -\frac{1}{2}{x}_R]\},\end{array}$$

осциллирующую с внутренней частотой $\sin \mu$. Ей соответствует та внутренняя степень свободы, которая при квантовании СГ-уравнения дает нетривиальный дискретный спектр [1.40, 1.42]. Колеман [1.43] дал простое объяснение этому спектру. Другой подход к квантованию СГ-уравнения, идущий от связанных с ним задач статической физики, изложен в гл. 12.

Қак уже отмечалось, бризеры, кинки и антикинки ведут себя как солитоны при столкновениях. СГ-уравнение может быть решено с помощью обратной задачи для системы двух уравнений первого порядка $[1.44,1.45]$. Уравнения КдФ и НУШ также решаются этим способом $[1.38,1.44]$. У уравнений, резрешимых посредством $2\times 2$ схемы обратной задачи рассеяния, предложенной Захаровым и Шабатом [1.38], а также Абловицем, Қаупом, Ньюэллом и Сегуром (АКНС) [1.44, 1.45], не может

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0024.jpg.txt

1.2. Опрсделение солитона
23
быть более сложных солитонов, чем sech (или ${\mathrm{sech}}^2$ для уравнения КдФ), кинки и бризеры.

Заметим, что два солитона уравнения КдФ или два кинка СГ-уравнения должны двигаться с различными скоростями (взгляните на выражения (1.16) и, скажем, (1.25)); поэтому любое возмущение, содержащее их, должно распасться. С другой стороны, любое число солитонов НУШ могут двигаться с одной и той же скоростью, и любое число бризеров СГ-уравнения также может иметь одинаковую скорость, которая притом может совпадать со скоростью одиночного кинка или антикинка. Это происходит потому, что скорости бризеров СГ-уравнения определяются из его задачи рассеяния модулями пар комплексных собственных значений ( $\zeta ,-{\zeta }^{\ast }$ ); аналогично (сравните с (1.9)) скорость солитона НУШ определяется $\mathrm{Re}\{\zeta \}$. Конечно, может существовать любое число различных комплексных собственных значений $\zeta$ с заданными $|\zeta |$ или $\mathrm{Re}\{\xi \}$.

Читателю, желающему подробнее узнать о том, как можно быстро выяснить в общих чертах поведение солитонов, взглянув на связанные с ними задачи рассеяния, мы рекомендуем прочитать гл. 6 и 9, например. Мы также рекомендуем ознакомиться с формулами (1.100) и (1.101) настоящей главы и со следующими за ними рассуждениями. Однако и теперь уже ясно, что у уравнения КДФ не может быть никаких решений типа бризеров: собственные значения связанных состояний для этого уравнения лежат на мнииой оси, $\zeta =$ і $(\eta >0)$, и они не могут встречаться парами. Заметим также, что для задач рассеяния более общего вида солитонные решения могут быть более сложными. Захаров и Манаков [1.46], а также Кауп [1.47] решили задачу о взаимодействии трех волн
$$\begin{array}{l}{u}_{1,t}+v_1{v}_{1,x}=iq{u}_2{u}_3^{\ast },\\ u_{2,t}+v_2{u}_{2,x}=iq{u}_1{u}_3,\\ u_{3,t}+v_3{u}_{3,x}=iq{u}_1{u}_2\end{array}$$
(мы приводим здесь только случай затухания $[1.22,1.46,1.47]$ ) с различной степенью полноты в 1973 и в 1976 гг. Решение методом обратной задачи требует применения схемы $3\times 3$. Система (1.32) недиспергирующая, но она обладает солитонными решениями. Здесь все три $u_i$ суть комплексные волновые пакеты, $q$-константа взаимодействия, $a{v}_i$ суть вещественные постоянные скорости. Число солитонов в процессе рассеяния не сохраняется $[1.46,1.47]$. В гл. 7 Захаров обсуждает решение задачи $N$-волнового взаимодействия, проявляющее еще более необычное поведение, а в гл. 9 Қалоджеро и Дегасперис описывают «бумероны» и «траппоны», являющиеся простыми солитоңами с причудливыми траекториями.

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0025.jpg.txt

24
1. Солитон и его история
Мы сделали эти разнообразные замечания с целью познакомить читателя с некоторыми элементарными представлениями, связанными с понятием солитона. В оставшейся части главы мы изложим историю вопроса с тем, чтобы ввести некоторые значительно более глубокие математические и физические идеи.