Последующая история солитонов есть на самом деле история трех нелинейных эволюционных уравнений, а именно уравнений КдФ (1.1), (1.3) или (1.6), нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)
\[
i u_{t}+u_{x x}+2 u|u|^{2}=0
\]

и уравнения sine-Gordon (СГ-уравнения)
\[
u_{x x}-u_{t !}=\sin u \text {. }
\]

Последнее принимает форму
\[
u_{x t}=\sin u
\]

в переменных светового конуса $(x+t) / 2 \rightarrow x, \quad(x-t) / 2 \rightarrow t$. Оно становится эволюционным уравнением
\[
u_{t}=\int_{-\infty}^{x} \sin \left[u\left(x^{\prime}, t\right)\right] d x^{\prime}
\]

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0017.jpg.txt

16
1. Солитон и его история
при наложении граничных условий $u(x, t) \rightarrow u_{0} \equiv 0(\bmod 2 \pi), u_{x}$, $u_{x x} \rightarrow 0,|x| \rightarrow \infty$, подразумеваемых для (1.11a); в любом случае оно является эволюционным уравнением по отношению к $u_{x}$, что и принимается обычно при решении этого уравнения. СГ-уравнение впервые появилось в физике в теории дислокаций [1.21]. Оно описывает распространение вращений, условных или настоящих, в различных физических системах [1.22, 1.23], например распространение флюксонов в джозефсоновских контактах [1.23-1.25] и распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов $[1.23,1.24,1.26,1.27]$. Некоторые приложения описаны Лэмом и Маклафлином в гл. 2, а также нами в гл. 3.

Нелинейное уравнение Шрёдингера выделяется среди этих трех уравнений тем, что в нем $u(x, t)$ является комплексной, а не вещественной величиной. Оно управляет эволюцией любой слабо нелинейной, сильно диспергирующей квазимонохроматической волны и, в частности, описывает эволюцию волны на глубокой воде [1.28]. КдФ описывает слабонелинейный режим со слабой дисперсией на мелкой воде, тогда как четвертое уравнение, уравнение простой волны
\[
u_{t}+u u_{x}=0,
\]

управляет сильно нелинейными недиспергирующими волнами. Как мы увидим, это уравнение также сыграло роль в развитии предмета, однако в отличие от КдФ, НУШ и СГ оно не имеет солитонных решений. Скажем вкратце, что мы понимаем под последними, поскольку они являются предметом всей этой книги.

Уединенная волна (1.5) уравнения КдФ (1.3) есть единственное решение вида $u(x-V t)$, удовлетворяющее граничным условиям $u \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Забуски и Крускал [1.2] имели дело с периодическими граничными условиями. Тем не менее они сделали замечательное наблюдение, установив, что произвольное начальное возмущение $u(x, 0)$ превращается при $t \rightarrow \infty$ в набор уединенных волн, каждая из которых имеет форму (1.5), асимптотически хорошо разделенных и движущихся с различными скоростями. Такое поведение в действительности было известно Расселлу [1.3]. Забуски и Крускал выдвинули на первый план другое свойство солитонов, а именно то, что два импульса формы (1.5) при $x=-\infty, t \rightarrow-\infty$ могут столкнуться в области конечных $x$, но выходят из столкновения с неизменными формами и скоростями. Имеется некоторый сдвиг их положений в выражениях (1.5) при $t \rightarrow \infty$ (фазовый сдвиг). Этот сдвиг обычно мал, но не всегда [1.29]. Мы примем поэтому в качестве рабочего определения солитона следующее. Солитон — это уединенная волна, сохраняющая свою форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волной,

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0018.jpg.txt

1.2. Определение солитона
17
Эти требования к уединенной волне являются весьма жесткими. Возьмем, например, «уравнение $\varphi^{4}$ », получившее свое название от плотности гамильтониана $H=\varphi_{t}^{2} / 2+\varphi_{x}^{2} / 2 \pm\left(\varphi^{2} / 2-\right.$ — $\left.\varphi^{4} / 4\right)$. Энергия ограничена снизу в случае знака минус. В таком виде это уравнение используется как модель в теории поля $[1.30,1.31]$. Уравнения движения в терминах зависимой переменной $u \equiv \varphi$ суть
\[
u_{x x}-u_{t}= \pm\left(u-u^{3}\right) .
\]

Они имеют решение в виде уединенной волны
\[
u= \pm \operatorname{sech} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x-V t}{\sqrt{1-V^{2}}}
\]
(знак «十»в (1.13)) или решения типа «кинк» («антикинк»)
\[
u= \pm \operatorname{th} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x-V t}{\sqrt{1-V^{2}}}
\]
(знак «-» в (1.13)). Ни решения (1.14), удовлтетворяющие условиям $u \rightarrow 0,|x| \rightarrow \infty$, ни кинки, удовлетворяющие $u \rightarrow \pm 1$, $x \rightarrow-\infty$ и $u \rightarrow \mp 1, x \rightarrow \infty$, не обладают требуемыми простыми столкновительными свойствами солитона. Эти решения могут неупруго сталкиваться, сцепляясь или уничтожая друг друга [1.32]; кроме того, в процессе столкновения они всегда испускают некоторое осциллирующее возмущение, или «излучение» [1.32]. С другой стороны, уединенные волны или кинки довольно большого числа двумерных уравнений имеют солитонные столкновительные свойства. Среди них — уравнения КдФ, НУШ, СГ.

Заметим, что солитон (1.5) с параметром $\alpha=\alpha_{2}>\alpha_{1}$ будет обгонять второй солитон с параметром $\alpha_{1}$. Ясно, что он пройдет через второй солитон, так что асимптотически солитоны поменяются местами. Точно так же набор $N$ солитонов уравнения КдФ с параметрами $\alpha_{N}>\alpha_{N-1}>\ldots>\alpha_{1}$, упорядоченные в последовательность $N, N-1, \ldots, 1$, при $t \rightarrow-\infty$ станут упорядоченными естественным образом $1,2, \ldots, N$ при $t \rightarrow \infty$. Такая интерпретация, однако, субъективна, поскольку можно считать, что солитоны, сохраняя порядок, просто обмениваются энергией, импульсом (и амплитудой) в процессе столкновения. Такое частицеподобное поведение и объясняет происхождение термина «солитон» [1.2].

Вторая интерпретация может быть сохранена, хоть и не в таком простом виде, и в случае столкновения решений типа бризера и кинка СГ-уравнения. Аналитическая форма этих двух решений дается формулами (1.29) и (1.23) соответственно. Само решение типа бризер плюс кинк содержит три параметра $a_{i}$ и может быть найдено из (1.22). Первое впечатление состоит
в том что бризер проходит через кинк, приобретая лишь

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0019.jpg.txt

18
1. Солитон и его история
фазовый сдвиг. Основное, однако, в этих двух различных, но одинаково разумных интерпретациях состоит в том, что, вопервых, столкновения являются упругими, так что никакого дополнительного возмущения вроде «излучения» в процессе столкновения не возникает, и, во-вторых, решения могут быть найдены аналитически для всех времен с помощью,например, метода обратной задачи.

В качестве примера мы дадим $N$-солитонное решение уравнения КдФ (1.3). Граничные условия суть $u \rightarrow 0,|x| \rightarrow \infty$, и солитонное решение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
u=12(\ln F)_{x_{x}}, \quad F=\operatorname{det} F_{n m}, \\
F_{n m}=\delta_{n m} \frac{2\left(\alpha_{n} \alpha_{m}\right)^{1 / 2}}{\alpha_{n}+\alpha_{m}} f_{n}, \\
f_{n}=\exp \left[\alpha_{n}\left(x-x_{n}\right)+\alpha_{n}^{3} t\right],
\end{array}
\]

где $\alpha_{n}$ и $x_{n}$-вещественные параметры. Насколько нам известно, решение в такой форме было впервые дано Хиротой [1.33], который использовал прямой метод (см. гл. 5), а не метод обратной задачи. Хирота работал с уравнением (1:1), и его решение получается из (1.16) масштабным преобразованием.
В частном случае $N=2$
\[
F=1+f_{1}+f_{2}+\left(\frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}}{\alpha_{2}+\alpha}\right)^{2} f_{1} f_{2} .
\]

Из (1.16) можно найти, что при $f_{1} \approx 1, f_{2} \ll 1$
\[
u=\frac{12 \alpha_{1}^{2} f_{1}}{\left(1+f_{1}^{2}\right)}=3 \alpha_{1}^{2} \operatorname{sech}^{2}\left[\frac{\alpha_{1}}{2}\left(x-x_{1}-\alpha_{1}^{2} t\right)\right],
\]

тогда как при $f_{1} \approx 1, f_{2} \gg 1$
\[
u=12 \alpha_{1}^{2} \bar{f}_{1} /\left(1+\bar{f}_{1}^{2}\right), \quad \bar{f}_{1}=\left(\frac{\alpha_{2}-\alpha_{1}}{\alpha_{2}+\alpha_{1}}\right)^{2} f_{1}
\]

и
\[
u=3 \alpha_{1}^{2} \operatorname{sech}^{2}\left[\frac{\alpha_{1}}{2}\left(x-\bar{x}_{1}-\alpha_{1}^{2} t\right)\right]
\]

где
\[
\bar{x}_{1}=x_{1}-\frac{1}{\alpha_{1}} \ln \left(\frac{\alpha_{2}+\alpha_{1}}{\alpha_{2}-\alpha_{1}}\right)^{!} .
\]

Таким образом, при $f_{1} \approx 1 u$ имеет вид уединенной волны (1.5), если $f_{2}$ очень мало или очень велико; в последнем случае, однако, $u$ испытывает сдвиг аргумента (фазовый сдвиг) $\ln \left[\left(\alpha_{2} t^{\prime}\right.\right.$ $\left.\left.+\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)\right]^{2}$ по отношению к первому с.пучаю.

Положим $\alpha_{2}>\alpha_{1}>0$ и $x_{2} \ll x_{1}<0$. Тогда при $t=0$ больший солитон с параметром $\alpha_{2}$ расположен существенно левее меньшего, имеюшего параметр $\alpha_{1}$. В самом деле, для $x:=x_{1}+\alpha_{1}^{2 t}$ при $t \approx 0$ получим $f_{1}=1$ и $f_{2} \ll 1$, в то время как для

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0020.jpg.txt

1.2. Определение солитона
19
$x=\bar{x}_{1}+\alpha_{1}^{2} t$ при $t \rightarrow \infty \bar{f}_{1}=1, f_{1} \approx 1, f_{2} \gg 1$. Можно видеть, что при возрастании $t$ от нуля больший солитон проходит через меньший, вызывая сдвиг аргумента $\ln \left[\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)\right]^{2}$. Аналогично для $x=\bar{x}_{2}+\alpha_{2}^{2} t$ при $t \approx 0, f_{2} \approx 1, f_{1} \gg 1$, тогда как для $x=x_{2}+\alpha_{2}^{2} t, t \rightarrow \infty f_{2}=1, f_{1} \ll 1$, и можно видеть, что больший солитон, проходящий через меньший, получает сдвиг аргумента $-\ln \left[\left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right) /\left(\alpha_{2}-\alpha_{1}\right)\right]^{2}$. Анализируя аналогичным образом $N$-солитонное решение, можно найти, что $i$-й солитон приобретает сдвиг аргумента
\[
\delta_{i}=\sum_{i
eq i} \delta_{i j}, \quad \delta_{i j}=\operatorname{sgn}[i-j] \ln \left(\frac{\alpha_{i}+\alpha_{j}}{\alpha_{i}-\alpha_{j}}\right)^{2} .
\]

Таким образом, сдвиг $\delta_{i}$ есть сумма сдвигов при парных столкновениях, тогда как $\sum_{i=1}^{N} \delta_{i}=0$, и полный фазовый сдвиг сохраняется. Отсутствие многочастичных эффектов связано [1.34] с наличием высших интегралов движения у уравнения КдФ. Эти интегралы описаны в разд. 1.4. Асимптотическое поведение решений КдФ рассматривалось Гарднером и др. [1.1], а также Гиббоном и Эйлбеком [1.35]. Использованное здесь рассуждение заимствовано нами в основном из работы Уизема [1.36].

Итак, три весьма различных на вид уравнения — КдФ (1.3), НУШ (1.9) и СГ (1.10) или (1.11) — имеют $N$-солитонные решения, в то время как уравненяе $\varphi^{4}$ таковых не имеет. Уравнение простых волн (1.12) их также не имеет, поскольку оно вообще не имеет решений типа уединенной волны; это уравнение, однако, имеет бесконечннй набор интегралов движения в инволюции [1.37]. Значение последних для солитонных решений будет рассмотрено в разд. 1.4.

Прежде чем идти дальше, сделаем замечание о методе обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений $u_{t}=K[u]$, поскольку мы думаем, что это будет полезно читателю. Указанный метод и его история описаны в разд. 1.4-1.6. Для тех, кто не слыхал об этом методе раньше, скажем, что его основная идея состоит в следующем: поскольку никакого прямого способа построения $u(x, t)$ по начальным данным обычно нет, можно попытаться связать с данным уравнением некоторую задачу рассеяния с рассеивающим потенциалом $u(x, t)$. Например, для уравнения КдФ задачей рассеяния является задача на собственные значения для оператора Шрёдингера $\left[-\partial^{2} / \partial x^{2}+u(x, t)\right] \psi= \pm k^{2} \psi$. Начальное условие $u(x, 0)$ отображается с помощью задачи рассеяния на так называемые «данные рассеяния». Далее оказывается, что 9волюция этих данных может быть найдена из нелинейного эволюционного уравнения. Последним шагом является вычис-

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0021.jpg.txt

20
1. Солитон и его история
ление потенциала $u(x, t)$ по данным рассеяния в момент времени $t=0$. Это может быть сделано с помощью линейных методов так называемой «обратной» задачи. Итак, $u(x, t)$ найдено! Уравнения КдФ, НУШ, СГ-все они могут быть решены этим методом. Однако простейшая задача рассеяния для СГ-уравнения и НУШ — это не задача на собственные значения для оператора Шрёдингера.

Симметрия задачи рассеяния оказывает влияние на форму солитонного решения. Например, односолитонное решение НУШ (1.9), найденное Захаровым и Шабатом с помощью задачи рассеяния $2 \times 2[1.35]$, имеет вид
\[
u=\frac{2 \eta \exp \left[-4 i\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right) t-2 i \xi x+i \delta\right]}{\operatorname{ch}\left[2 \eta\left(t-t_{0}\right)+8 \eta \xi t\right]},
\]

где $\xi, \eta, \delta$ и $x_{0}$ — свободные параметры. Это решение представляет собой «солитон огибающей», в котором огибающая, имеющая форму гиперболического секанса, модулирует монохроматическую «несущую волну» числителя. В этом солитоне связь между скоростью и амплитудой, характерная для солитонов КдФ, полностью отсутствует. Метод обратной задачи дает тому ясное объяснение [1.38]. Солитоны описываются связанными состояниями задачи рассеяния; в случае НУШ задача рассеяния допускает комплексные собственные значения $\zeta, \zeta=\xi+$ + in $(\eta>0)$, причем $\xi$ и $\eta$ оказываются параметрами в (1.21). В противоположность этому собственные значения уравнения $>0$ ). Итак, параметр $\eta$ определяет амплитуду, а $\xi$-скорость солитона НУШ (1.21); параметр $\eta$ определяет как скорость, так и амплитуду солитонного решения (1.2) уравнения КдФ.

В случае СГ-уравнения появляются некоторые новые особенности. $N$-солитонное решение этого уравнения имеет вид [1.39]
\[
\begin{array}{c}
\cos u(x, t)=1-2\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) \cdot \ln F, \\
F=\operatorname{det} M_{i j} \\
M_{i j}=2\left(a_{i}+a_{j}\right)^{-1} \cdot \operatorname{ch}\left[\frac{1}{2}\left(\theta_{i}+\theta_{i}\right)\right], \\
\theta_{j}=\gamma_{j}\left(x-V_{j} t-x_{j}\right), \\
a_{j}^{2}=\left(1-V_{j}\right)\left(1+V_{j}\right)^{-1}, \quad \gamma_{j}^{2}=\left(1-V_{l}^{2}\right)^{-1},
\end{array}
\]

где $a_{j}$ и $\gamma_{j}$ имеют один и тот же знак и где $a_{j}$ и $x_{j}$-свободные параметры. Прежде всего заметим, что односолитонное решение является «кинком»
\[
u=4 \operatorname{arctg} \exp \left[ \pm \frac{x-x_{1}-V_{1} t}{\left(1-V_{1}^{2}\right)^{1 / 2}}\right]
\]

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0022.jpg.txt

1.2. Определение солитона
21
Если в (1.23) взят положительный знак, то кинк удовлетворяет граничным условиям $u \rightarrow 0, x \rightarrow-\infty ; u \rightarrow 2 \pi, x \rightarrow+\infty(2 \pi$-кинк) . Имеется также соответствующий антикинк (знак «-»), имеющий асимптотики $u \rightarrow 2 \pi, x \rightarrow-\infty ; u \rightarrow 0, x \rightarrow+\infty$ (-2л антикинк). В противоположность кинкам и антикинкам (1.15) уравнения $\varphi^{4}$, кинки и антикинки СГ-уравнения сталкиваются между собой или друг с другом как солитоны. Заметим, что в обоих случаях величина
\[
u_{x}= \pm \frac{2}{\left(1-V_{1}^{2}\right)^{1 / 2}} \operatorname{sech}\left[\frac{x-x_{1}-V_{1} t}{\left(1-V_{1}^{2}\right)^{1 / 2}}\right]
\]

имеет характер уединенной волны колоколообразной формы, т. е. $u_{x}$ является настоящим солитоном. Граничные условия для СГ-уравнения есть поэтому $u \rightarrow 0(\bmod 2 \pi), u_{x}, u_{x x} \rightarrow 0$, когда $|x| \rightarrow \infty$, как мы и предполагали для уравнения (1.11).
Двухсолитонное решение представляет собой $4 \pi$-кинк:
\[
\begin{aligned}
u & =4 \operatorname{arctg} \frac{\sin \left[\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) / 2\right]}{\left(a_{12}\right)^{1 / 2} \operatorname{ch}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) / 2\right]}, \\
a_{12} & =\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{-2} .
\end{aligned}
\]

Асимптотически [1.39]
\[
u(x, t) \equiv 4 \pi \operatorname{arctg} \exp \left(\theta_{1}+\delta_{1}^{ \pm}\right)+4 \operatorname{arctg} \exp \left(\theta_{2}+\delta_{2}^{ \pm}\right)
\]

при $t= \pm \infty$, где
\[
\delta_{1}^{ \pm}=-\delta_{2}^{ \pm}=\frac{1}{2} \ln a_{12} .
\]

В $N$-солитонном столкновении ( $2 N \pi$-кинк)
\[
\begin{aligned}
\delta_{i}^{ \pm}= \pm \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{i-1} \ln a_{j i} \mp & \sum_{j=i+1} \ln a_{i j}= \pm \frac{1}{2} \sum_{j=1, i
eq 1}^{N} \operatorname{sgn}(i-j) \ln a_{i j} \\
\sum_{j=1}^{N}\left(\delta_{i}^{+}-\delta_{i}^{-}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Заметим далее, что выбирая в качестве свободных параметров комплексно-сопряженные пары
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=a_{2}^{*}=a_{R}+i a_{I}=a e^{i \mu}, \\
x_{1}=x_{2}^{*}=x_{R}+i x_{I},
\end{array}
\]

мы получаем «дышащие» солитоны — бризеры
\[
u(x, t)=4 \operatorname{arctg} r \sin \theta_{l} \operatorname{sech} \theta_{R},
\]

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0023.jpg.txt

22
1. Солитон и его история
где
\[
\begin{array}{c}
\theta_{R}=\frac{\cos \mu}{\left(1-V^{2}\right)^{1 / 2}}(x-V t)-\frac{1}{2} a_{R} x_{R}, \quad \theta_{I}=\frac{\sin \mu}{\left(1-V^{2}\right)^{1 / 2}}\left(t-V_{x}\right)- \\
\quad-\frac{1}{2} a_{I} x_{I}, \\
r=a_{R} a_{I}^{-1}=\operatorname{ctg} \mu, \quad V=\left(1-a^{2}\right)\left(1+a^{2}\right)^{-1} . \quad(1.29 \mathrm{~b})
\end{array}
\]

В нелинейной оптике это решение называется «0л-импульсом», поскольку в нем $u$ меняется от нуля до нуля при изменении $x$ от $-\infty$ до $+\infty$. Точно так же кинк именуется $2 \pi$-импульсом. Такая терминология связана с тем, что наблюдаемой величиной является электрическое поле $\varepsilon \sim\left(u_{t}+u_{x}\right)$ (в действительности наблюдается интенсивность $\varepsilon^{2}$ ). В теории, описанной в гл. 2 , импульс имеет «площадь» $2 \pi$, если он представляет собой $2 \pi$-кинк; площадь равна нулю, или $0 \pi$, если импульс является бризером (1.28).

В произвольной системе отсчета энергия бризера легко вычисляется и равна [1.39]
\[
16 \gamma_{R}\left[r^{2}\left(1+r^{2}\right)^{-1}\right]^{1 / 2}=16 \gamma_{R} \cos \mu,
\]

где $\gamma_{R}^{2}=\left(1-V^{2}\right)^{-1}$. Бризер поэтому имеет массу покоя $16 \cos \mu$. Соответствующая энергия $2 \pi$-кинка (1.23) равна $8 \gamma_{1}$, а для $4 \pi$-кинка (1.25) она есть $8 \gamma_{1}+8 \gamma_{2}$. Масса кинка поэтому равна 8 . Заметим, что бризер осциллирует с частотой $\left(1-V^{2}\right)^{-1 / 2} \sin \mu$. В системе отсчета $V=0, a=1 \quad u(x, t)$ представляет собой стоячую волну
\[
\begin{array}{r}
u(x, t)=4 \operatorname{arctg}\left\{\operatorname{ctg} \mu \sin \left[(\sin \mu)\left(t-\frac{1}{2} x_{I}\right)\right] \operatorname{sech}[(\cos \mu) x-\right. \\
\left.\left.-\frac{1}{2} x_{R}\right]\right\},
\end{array}
\]

осциллирующую с внутренней частотой $\sin \mu$. Ей соответствует та внутренняя степень свободы, которая при квантовании СГ-уравнения дает нетривиальный дискретный спектр [1.40, 1.42]. Колеман [1.43] дал простое объяснение этому спектру. Другой подход к квантованию СГ-уравнения, идущий от связанных с ним задач статической физики, изложен в гл. 12.

Қак уже отмечалось, бризеры, кинки и антикинки ведут себя как солитоны при столкновениях. СГ-уравнение может быть решено с помощью обратной задачи для системы двух уравнений первого порядка $[1.44,1.45]$. Уравнения КдФ и НУШ также решаются этим способом $[1.38,1.44]$. У уравнений, резрешимых посредством $2 \times 2$ схемы обратной задачи рассеяния, предложенной Захаровым и Шабатом [1.38], а также Абловицем, Қаупом, Ньюэллом и Сегуром (АКНС) [1.44, 1.45], не может

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0024.jpg.txt

1.2. Опрсделение солитона
23
быть более сложных солитонов, чем sech (или $\operatorname{sech}^{2}$ для уравнения КдФ), кинки и бризеры.

Заметим, что два солитона уравнения КдФ или два кинка СГ-уравнения должны двигаться с различными скоростями (взгляните на выражения (1.16) и, скажем, (1.25)); поэтому любое возмущение, содержащее их, должно распасться. С другой стороны, любое число солитонов НУШ могут двигаться с одной и той же скоростью, и любое число бризеров СГ-уравнения также может иметь одинаковую скорость, которая притом может совпадать со скоростью одиночного кинка или антикинка. Это происходит потому, что скорости бризеров СГ-уравнения определяются из его задачи рассеяния модулями пар комплексных собственных значений ( $\zeta,-\zeta^{*}$ ); аналогично (сравните с (1.9)) скорость солитона НУШ определяется $\operatorname{Re}\{\zeta\}$. Конечно, может существовать любое число различных комплексных собственных значений $\zeta$ с заданными $|\zeta|$ или $\operatorname{Re}\{\xi\}$.

Читателю, желающему подробнее узнать о том, как можно быстро выяснить в общих чертах поведение солитонов, взглянув на связанные с ними задачи рассеяния, мы рекомендуем прочитать гл. 6 и 9, например. Мы также рекомендуем ознакомиться с формулами (1.100) и (1.101) настоящей главы и со следующими за ними рассуждениями. Однако и теперь уже ясно, что у уравнения КДФ не может быть никаких решений типа бризеров: собственные значения связанных состояний для этого уравнения лежат на мнииой оси, $\zeta=$ і $(\eta>0)$, и они не могут встречаться парами. Заметим также, что для задач рассеяния более общего вида солитонные решения могут быть более сложными. Захаров и Манаков [1.46], а также Кауп [1.47] решили задачу о взаимодействии трех волн
\[
\begin{array}{l}
u_{1, t}+v_{1} v_{1, x}=i q u_{2} u_{3}^{*}, \\
u_{2, t}+v_{2} u_{2, x}=i q u_{1} u_{3}, \\
u_{3, t}+v_{3} u_{3, x}=i q u_{1} u_{2}
\end{array}
\]
(мы приводим здесь только случай затухания $[1.22,1.46,1.47]$ ) с различной степенью полноты в 1973 и в 1976 гг. Решение методом обратной задачи требует применения схемы $3 \times 3$. Система (1.32) недиспергирующая, но она обладает солитонными решениями. Здесь все три $u_{i}$ суть комплексные волновые пакеты, $q$-константа взаимодействия, $a v_{i}$ суть вещественные постоянные скорости. Число солитонов в процессе рассеяния не сохраняется $[1.46,1.47]$. В гл. 7 Захаров обсуждает решение задачи $N$-волнового взаимодействия, проявляющее еще более необычное поведение, а в гл. 9 Қалоджеро и Дегасперис описывают «бумероны» и «траппоны», являющиеся простыми солитоңами с причудливыми траекториями.

—————————————————————-
0027_fiz_kol_vol_book18_orig_no_photo_page-0025.jpg.txt

24
1. Солитон и его история
Мы сделали эти разнообразные замечания с целью познакомить читателя с некоторыми элементарными представлениями, связанными с понятием солитона. В оставшейся части главы мы изложим историю вопроса с тем, чтобы ввести некоторые значительно более глубокие математические и физические идеи.