Будем решать (5.23), разлагая $F$ в степенной ряд по параметру [5.6]
\[
F=1+\varepsilon f_{1}+\varepsilon^{2} f_{2}+\ldots .
\]

Подставляя (5.24) в (5.23) и объединяя члены с одинаковыми степенями $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
2 \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) f_{1}=0 \\
2 \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) f_{2}=-D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{3}\right) f_{1} \cdot f_{1}, \\
2 \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) f_{3}=-D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{3}\right)\left(f_{2} \cdot f_{1}+f_{1} \cdot f_{2}\right)
\end{array}
\]

и т. д.
Можно получить два типа решений: 1) полиномиальное решение и 2) экспоненциальное решение.
Для случая 1) найдем, что
\[
f_{1}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+b t-24 a_{4} t x
\]

является решением (5.25). Подставляя (5.28) в (5.26), найдем, что правая часть в (5.26) обращается в нуль, и, стало быть, $f_{2}$ может быть выбрана равной нулю, если
\[
a_{4}=0, \quad 3 a_{1} a_{3}=a_{2}^{2} \quad \text { и } \quad b=12 a_{3} .
\]

Следовательно, мы получили точное решение (5.23)
\[
F=1+\varepsilon\left[a_{0}+a_{1} x+\left(3 a_{1} a_{3}\right)^{1 / 2} x^{2}+a_{3}\left(x^{3}+12 t\right)\right] .
\]

Если мы наложим на $u$ граничные условия
\[
u=0 \text { при } x=0,
\]

то найдем, что $a_{1}=0$ и, полагая $\varepsilon$ равным единице, пюлучим
\[
F=a_{3}\left[x^{3}+12(t+\text { const })\right],
\]

которое вместе с условием $u=2(\ln F)_{x x}$ составляет решение с бесконечным разрывом
\[
u=-6 x\left(x^{3}-24 t\right) /\left(x^{3}+12 t\right)^{2} .
\]

Для случая 2) из (5.25) имеем
\[
f_{1}=\sum_{i=1}^{N} a_{i} \exp \left(\Omega_{i} t+p_{i} x\right)
\]

где $\Omega_{i}+p_{i}^{3}=0, p_{i}$ и $a_{i}$ постоянны.
Подставляя (5.33) в (5.26), найдем, что вследствие свойства (IV) $D$-оператора члены, подобные $\exp 2\left(\Omega_{i} t+p_{i} x\right)$, исключаются из правой части (5.26). Тогда, используя (IV. 1), получим
\[
f_{2}=\sum_{i>i}^{N} \exp \left(A_{i j}+\eta_{i}+\eta_{j}\right)
\]

где $\exp \left(\eta_{i}\right)=a_{i} \exp \left(\Omega_{i} t+p_{i} x\right)$, и
\[
\exp \left(A_{i j}\right)=-\frac{\left(p_{i}-p_{j}\right)\left[\Omega_{i}-\Omega_{j}+\left(p_{i}-p_{j}\right)^{3}\right]}{\left(p_{i}+p_{j}\right)\left[\Omega_{i}+\Omega_{j}+\left(p_{i}+p_{j}\right)^{3}\right]}=\left(p_{i}-p_{j}\right)^{2} /\left(p_{i}+p_{j}\right)^{2} .
\]

Подставляя (5.34) в (5.27), найдем, что вследствие свойства (IV.4) и соотношения (5.25) члены, подобные $\exp \left(2 \eta_{i}+\eta_{k}\right)$, исключаются из правой части (5.27). Тогда

Здесь
\[
f_{3}=\sum_{i>j>k}^{N} \exp \left(A_{i j k}+\eta_{i}+\eta_{j}+\eta_{k}\right)
\]
\[
\exp \left(A_{i j k}\right)=\exp \left(A_{i j}+A_{i k}+A_{j k}\right) .
\]

В нашем случае степенной ряд оканчивается членом $f_{N}$, и мы получаем точное решение в виде
\[
F=\sum_{\mu=0,1} \exp \left(\sum_{i>j}^{(N)} A_{i j} \mu_{i} \mu_{j}+\sum_{i=1} \mu_{i} \eta_{i}\right),
\]

где $\sum_{\mu=0,1}$ означает суммирование по всем возможным комбинациям из $\mu_{1}=0,1 ; \mu_{2}=0,1 ; \ldots ; \mu_{N}=0,1$, и $\sum_{i>j}^{(N)}$ означает суммирование по всем возможным парам, выбранным из $N$ элементов. Параметр $\varepsilon$ содержится в константе $a_{i}$. Уравнение (5.38) вместе с $u=2(\ln F)_{x x}$ дает $N$-солитонное решение уравнения Кд $\Phi$ [5.8].