Одним из наиболее значительных достижений математической физики за последние десять лет явилось открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой (ГГКМ) [6.1, 6.2] и Забуски и Крускалом [6.3] нового нелинейного преобразования и солитонов. Это преобразование (обратное преобразование рассеяния) полностью аналогично преобразованию Фурье в линейных задачах. Более точно, оно преобразует зависимую переменную, удовлетворяющую данному уравнению в частных производных, в набор новых переменных, эволюция которых во времени описывается бесконечной последовательностью обыкновенных дифференциальных уравнений. Для специальных
1) Эта статья была написана в апреле 1976 г.

классов уравнений в частных производных отвечающие им обыкновенные уравнения разделимы и, следовательно, тривиально интегрируемы.

Новое нелинейное преобразование отличается от преобразования Фурье двумя наиболее существенными особенностями. Во-первых, базис не фиксирован (подобно $\exp ( \pm i k x)$ ), а изменяется в зависимости от искомого решения. Во-вторых, спектр (а здесь мы рассматриваем уравнения в частных производных на всей прямой) состоит не только из вещественных волновых векторов $k$, а содержит и конечное число изолированных комплексных волновых векторов. Именно эти комплексные волновые векторы порождают образования, называемые солитонами. Последние вполне нелинейны и не имеют линейных аналогов.

Общее решение любого из упомянутых выше классов уравнений в частных производных может быть качественно описано в терминах различных спектральных компонент. Солитон (термин, введенный Забуски и Крускалом) есть уединенная волна, которая локализована и имеет постоянную форму (возможно, она содержит внутренние осцилляции). Ее важнейшая особенность заключается в постоянстве характеристик (амплитуды, скорости, формы, внутренних частот), не изменяющихся даже при столкновениях с какой-либо другой компонентой решения. Эта инвариантность следует из инвариантности соответствующего собственного значения. Единственный эффект взаимодействия сводится к сдвигу положения солитона по отношению к его движению без столкновений. В случае столкновения двух солитонов фазовый сдвиг является простой функцией двух собственных значений. (В неинтегрируемых ситуациях, например, для уравнения $\Phi_{t t}-\Phi_{x x}+\Phi-\lambda \Phi^{3}=0$, уединенная волна решение в виде гиперболического тангенса – разрушается при столкновениях.) Компоненты в пространстве решений, связанные с непрерывным спектром, в общем случае не локализованы, не сохраняют форму и в силу дисперсии убывают алгебраически во времени. Это убывание вполне аналогично поведению на больших временах линейных диспергирующих волн. Тем не менее и в этой компоненте решений есть черты специфически нелинейные, особенно в автомодельной области [6.4].

Одна из основных причин, зызвавших столь широко распространившийся интерес к обратному преобразованию рассеяния, заключается в том, что специальный класс интегрируемых уравнений включает в себя ряд фундаментальных уравнений, которые играют центральную роль во многих разделах математической физики. Решения этих уравнений чрезвычайно важны для общего понимания нелинейных волновых явлений. Для того . чтобы подтвердить сказанное, перечислим некоторые из этих уравнений одновременно с обсуждением истории развития обратного преобразования рассеяния за последние десять лет.

Так случилось, что метод обратного преобразования рассеяния был впервые развит при изучении уравнения Кортевега де Фриза
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=0,
\]

которое естественно возникает как главный член аппроксимации во всех консервативных волновых системах со слабой дисперсией и со слабой нелинейностью. Это уравнение было впервые предложено Кортевегом и де Фризом для описания длинных поверхностных волн в поле тяжести, крутизна которых мала и равна приблизительно кубу отношения глубины к длине волны. Волна должна быть достаточно велика, чтобы проявлялись эффекты опрокидывания. С другой стороны, глубина должна быть достаточной, чтобы сказывалась дисперсия. Предположим, что начальное возмущение локализованно. Первоначальное возмущение в рассматриваемой системе разделяется на волны, распространяющиеся вправо и влево аналогично представлению Даламбера решений линейного волнового уравнения. И те и другие распространяющиеся профили, которые теперь разделены, существенно искажаются совместным действием нелинейности и дисперсии. Эволюцию именно этих профилей описывает уравнение (6.1). Существует много естественных постановок, в которых возникает подобная динамика: длинные внутренние волны в тяжелой жидкости [6.5]; ионно-акустические волны в холодной плазме [6.6]; волны вихрей [6.7]; продольные колебания соударяющихся массивных частиц [6.8]. Уравнение (6.1) привлекло внимание Забуски и Крускала [6.3] при исследовании решеток и результатов Ферми-Пасты Улама [6.9] о теплопроводности твердых тел.

Второе уравнение, к которому был применен метод обратного преобразования рассеяния носит такой же универсальный характер. В замечательной работе 1972 г. Захаров и Шабат [6.10] показали, каким образом нелинейное уравнение Шрёдингера
\[
q_{t}-i q_{x x} \pm 2 i q^{2} q^{*}=0
\]

включается в формализм этого метода. Эти авторы широко использовали идеи Лакса [6.11], который переформулировал первоначальные результаты ГГКМ на операторном языке и нашел несколько интегрируемых уравнений в семействе уравнения Кортевега – де Фриза. Универсальное уравнение (6.2) было получено несколькими авторами в конце пятидесятых и начале шестидесятых годов в различных задачах; оно описывает медденную пространственную и временную эволюцию огибающей $q\left[\varepsilon\left(X-c_{\mathrm{g}} T\right), \varepsilon^{2} T\right]$ почти монохроматического цуга волн в слабо нелинейной, сильно диспергирующей среде ( $X, T$ – вещественные пространственные и временные переменные, $c_{g}$ – групповая скорость) [6.12-6.16]. Весьма общий вывод нелинейного уравнения Шрёдингера содержится в [6.16] и [6.17]. Оно возникает всюду, начиная с задач о модуляции высокочастотных электромагнитных колебаний в средах, в которых коэффициент преломления зависит от амплитуды, и кончая задачами о расплывании огибающей волн в глубокой тяжелой жидкости. Следует отметить, что в неодномерной ситуации волны с линейным законом дисперсии $\omega=c|\mathrm{k}|$ являются сильно диспергирующими; вектор групповой скорости зависит от направления $\mathbf{k}$, и тензор $\partial^{2} \omega / \partial k_{r} \partial k_{s}$ не равен нулю. Одним из наиболее ярких приложений уравнения (6.2) оказывается задача о волнах в глубокой тяжелой воде. Можно показать, что если в (6.2) получается знак минус, то монохроматический цуг волн $q=q(t)$ неустойчив относительно пространственных возмущений (неустойчивость была впервые открыта Бенджамином и Фейром [6.18]), и цуг волн распадается на разделенные локализованные импульсы. В некотором смысле это дает объяснение факта, известного всем занимающимся серфингом – каждая десятая (седьмая, одиннадцатая) волна – наибольшая. Представим себе следующий эксперимент. Пусть на поверхности воды периодическим образом колеблется лопатка (скажем, так, что фурье-спектр колебаний содержит несколько разных частот). Она возбуждает несколько волновых пакетов (ширины $\varepsilon$ ) с различными средними частотами. Так как система сильно диспергирующая, то пакеты распространяются с различными групповыми скоростями и разделятся за время порядка $\varepsilon^{-1}$. На временах порядка $\varepsilon^{-2}$ на каждый пакет одновременно влияют дисперсия (которая стремится разделить пакет) и нелинейность (как и в случае слабо нелинейного осциллятора, нелинейность проявляется в автомодальных взаимодействиях третьего порядка, $\omega+\omega-\omega=\omega$, с интенсивностью $\sim \varepsilon^{2}$ ). Огибающие пакетов $q(x, t)$ модулируются согласно уравнению (6.2). Через некоторое время начальная огибающая $q(x, 0)$ распадается на серию солитонов
$q(x, t)=$
$=2 \eta \operatorname{sech} 2 \eta\left(\theta_{0}-\eta x-4 \xi \eta t\right) \exp \left(-2 i \Phi_{0}-4 i\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right) t-2 i \xi x\right)(6.3)$
(где параметр $\zeta=\xi+i \eta$ есть одно из тех комплексных собственных чисел, которые обсуждались выше) и излучение, которое диспергирует и затухает. Мы предполагали, что возбуждения имели конечную продолжительность. В случае непрерывных возбуждений солитоны перегруппируются в почти монохроматическую волну, из которой опять отщепятся солитоны, и этот процесс будет продолжаться [6.19]. Уравнение (6.2) является в некотором смысле более каноническим, чем уравнение (6.1). Уравнение (6.2) неприводимо, в то время как если дисперсия преобладает над нелинейностью, почти монохроматическое решение (6.1) эволюционирует согласно (6.2).

После того как Захаров и Шабат показали, что метод ГГКМ применим не только к уравненню Кортевега – де Фриза и его эффективность не является просто счастливой случайностью, было вновь исследовано много других уравнений, обладающих важным свойством, общим с уравнениями (6.1)-(6.2)- наличием бесконечного набора интегралов уравнения. Вскоре Вадати было проинтегрировано модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза,
\[
q_{t}+6 q^{2} q_{x}+q_{x x x}=0,
\]
a Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром (АКНС) [6.216.23], Лэмом [6.24], а несколько позже и Фаддеевым и Тахтаджяном [6.25] было проинтегрировано уравнение
\[
\begin{array}{c}
u_{x t}=\sin u, \\
u_{T T}-u_{X X}+\sin u=0 .
\end{array}
\]

Метод, использованный в работе АКНС, был новым. Он опирался на спектральный аналог формализма Лакса и делал все необходимые вычисления простыми и алгебраическими. Фактнчески метод естественно обобщал класс интегрируемых уравнений и показывал, как каждое из таких уравнений определяется дисперсионными соотношениями ассоциированных с ним линейных задач [6.23].

Наличие бесконечного набора законов сохранения для уравнения [6.4] было впервые установлено Миурой [6.26], нашедшего замечательное преобразование, связывающее решения уравнений (6.1) и (6.4). Оно имеет место не только для этих уравнений, но и для всех высших аналогов уравнения Кортевега – де Фриза и модифицированного уравнения Кортевега де Фриза [6.23]; соответствие основано на общих дисперсионных соотношениях [6.27]. Наличие бесконечного набора законов сохранения и сами сохраняющиеся величины для уравнений sine-Gordon, sh-Gordon и Қлейна-Гордона были найдены Крускалом [6.28], который показал также, что эти уравнения единственные среди уравнений вида
\[
u_{t t}-u_{x x}+V(u)=0,
\]

обладающие этим свойством (оказалось, что эти уравнения и единственные интегрируемые). Уравнение sine-Gordon является простейшим уравнением типа (6.6) (обладающим лоренц-инвариантностью), которое интегрируемо и имеет солитонные решения (уравнение sh-Gordon не имеет солитонов). Эти свойства указывают на связь уравнения с моделями теории поля. Уравнение sine-Gordon встречается во многих задачах, и в разд. 6.8 будет обсуждено, как оно возникает в сингулярном пределе для задачи о распространении когерентного импульса

[6.29]. Уравнение, которое описывает последнее явление – это уравнение Максвелла – Блоха. Оно интегрируемо, но не обладает бесконечным набором законов сохранения, кроме как в сингулярном пределе [6.30]. С. уравнением sine-Gordon связана и точно интегрируемая массивная модель Тирринга [6.31]
\[
\begin{array}{l}
p_{2 x}=i m p_{1}+2 i g p_{1} p_{1}^{*} p_{2}, \\
p_{1 t}=i m p_{2}-2 i g p_{2} p_{2}^{*} p_{1} .
\end{array}
\]

Найденные в этих моделях переменные типа действия и угла позволяют обсуждать и общие черты квантовых моделей [6.31, $6.25]$.

Приблизительно в то же самое время параллельное исследование дифференциально-разностных систем было предпринято Флашкой [6.32], проинтегрировавшим уравнения цепочки Тоды
\[
Q_{n t t}=\exp \left(Q_{n+1}-Q_{n}\right)-\exp \left(Q_{n}-Q_{n-1}\right),
\]

где $Q_{n}$ есть координата $n$-й частицы в решетке. Уравнения цепочки Тоды наряду с некоторыми другими моделями чрезвычайно важны для понимания процессов теплопроводности. Идеи Флашки были расширены Мозером [6.33], Калоджеро [6.34], Абловицем и Ладиком $[6.35,6.36]$, которые развили их для разностных уравнений в нескольких измерениях. Эти результаты могут оказаться чрезвычайно важными в теории численного интегрирования.

В конце 1973 г. Захаров и Манаков использовали матричные операторы высоких порядков и нашли способ включения в формализм Лакса уравнений трехволнового взаимодействия
\[
\frac{\partial A_{j}}{\partial t}+\mathbf{c}_{j} \cdot
abla A_{j}=\theta_{j} A_{k}^{*} A_{l}^{*},
\]
( $j, k, l$-циклическая перестановка чисел $1,2,3$ ). И вновь точные решения были найдены д.я фундаментальных уравнений, которые являются общими для всех слабо нелинейных систем, обладающих континуумом диспергирующих волн. Это происходит за счет того, что квадратичные нелинейности могут приводить к резонансу между тремя волнами с амплитудами $A_{j}$, $j=1,2,3$, волновые векторы $\mathbf{k}_{i}$ и частоты $\omega_{j}$ которых удовлетворяют законам сохранения энергии и импульса (условиям резонанса) $\mathbf{k}_{1}+\mathbf{k}_{2}+\mathbf{k}_{3}=0, \omega_{1}+\omega_{2}+\omega_{3}=0$. Взаимодействия подобного типа важны для волн Россби и бароклинных волн [6.38-6.41], для внутренних гравитационных волн [6.42], для волн в плазме [6.43] и для иногих других областей физики сплошной среды. Кауп [6.44] и Захаров и Манаков [6.45] независимо развили обратное преобразование для этих уравнений в одномерном случае. Близкой системой является модель, описывающая взаимодействие длинных волн (с амплитудой $A(x, t)$ ) и коротких волн (с амплитудой огибающей $B(x, t)$ ). Уравнения обобщают нелинейное уравнение Шрёдингера (учитывая эффекты длинных волн) и имеют вид
\[
\frac{\partial A}{\partial t}=2 S \frac{\partial}{\partial x} B B^{*}, \frac{\partial B}{\partial t}-i \frac{\partial^{2} B}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial A}{\partial x} B+i A^{2} B-2 i S B^{2} B^{*} .
\]

Эта точно интегрируемая модель развивалась [6.46] при исследованиях новой идеи Бенни [6.47], который предположил, что длинные волны могут порождаться периодической нестабильностью коротких волн (вызванных, скажем, ветром), образующей вместе с длинными волнами резонансную триаду.

Этот неполный список чрезвычайно важных уравнений пока зывает широкую применимость и валжность обратного преобразования рассеяния. Можно с уверенностью утверждать, что солитоны вездесущи в природе (в океане, атмосфере, плазме, решетках, сверхпроводниках, сверхтекучих жидкостях, в физике элементарных частиц), по крайней мере в тех случаях, которые в хорошем приближении одномерны. Было предпринято несколько попыток [6.48-6.50] расширить идеи обратного преобразования рассеяния на многомерную ситуацию. В частности, в работе Захарова и Шабата [6.48] была предложена новаторская идея и дан более широкий (в том смысле, что он включал дополнительную пространственную переменную) класс интегрируемых систем. K сожалению, хотя эти авторы могут представить в лаксовой форме, т. е. в виде коммутирующих операторов, много уравнений, однако предлагаемая ими гипотеза, что собственные вектора вспомогательных линейных операторов допускают треугольное представление, не всегда верна (даже для одномерного случая), и ее справедливость существенно зависит от ряда свойств, которыми все собственные вектора не всегда обладают. В настоящее время полная теория рассеяния для более чем одного пространственного измерения не создана. Ряд свойств локальных решений многомерных аналогов хорошо известных уравнений показывает, что добавление лишних пространственных переменных может приводить к неожиданным следствиям. Наиболее ярким примером этого являются результаты Захарова и соавторов [6.51-6.53], которые показали, что двумерное нелинейное уравнение Шрёдингера (в (6.2) следует добавить – $i q_{y y}$ ) обладает тем свойством, что его решения становятся сингулярными за конечное время. Это противоречит интуитивному представлению о том, что дополнительная геометрическая дисперсия в пространствах двух и более измерений должна перевесить эффекты нелинейной фокусировки. На самом деле все не так просто. Следует упомянуть замечательное наблюдение Майлса [6.54, 6.55] (см. также [6.56], [6.57], где содержится обобщение этих идей) о резонансе солитонов в уравнении Қадомцева – Петвиашвили [6.58] (часто называемом слабо двумерным уравнением Кортевега – де Фриза, так как оно предполагает слабое изменение в перпендикулярном пространственном направлении на временах, на которых эффекты нелинейности и дисперсии становятся существенными):
\[
\frac{3}{4} u_{y y}+\left(u_{t}+\frac{3}{2} u u_{x}+\frac{1}{4} u_{x x x}\right)_{x}=0 .
\]

Майлс заметил, что сдвиг фазы двухсолитонного решения стремится $к \pm \infty$, если параметры солитонов удовлетворяют определенным условиям резонанса эинейного типа. Это еще раз показывает, что поведение многомерных систем может оказаться необычным.

Однако в центре внимания настоящего обзора лежит тесная связь между обратным преобразованием рассеяния и преобразованием Фурье, и поэтому далее будет рассматриваться случай только одной пространственной переменной. Мы следуем идеям, намеченным в [6.59]. Хотя для наших целей подходят весьма разнообразные задачи рассеяния (часть их будет приведена в разд. 6.13), каждая из которых обладает своими специфическими и интересными чертами, в этой статье будут рассматриваться в основном обобщенная задача Захарова – Шабата на собственные значения
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta v_{1}=q(x, t) v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta v_{2}=r(x, t) v_{1}
\end{array}
\]

и уравнение Шрёдингера
\[
v_{x x}+\left[\zeta^{2}+q(x, t)\right] v=0 .
\]

Ключевыми являются следующие две идеи. Во-первых, инфинитезимальная скорость изменения данных рассеяния может быть выражена через внутренние произведения инфинитезимального изменения потенциала и квадратов собственных функций соответствующей задачи, а также их производных. Эти выражения составляют основу теории возмущений, которая будет описана в разд. 6.12. Во-вторых, квадраты собственных функций образуют базис, и, следовательно, предыдущие соотношения могут быть обращены. При этом скорость изменения потенциала представится в виде разложения по квадратам собственных функций с коэффициентами, которые выражаются через изменения данных рассеяния. Подобные разложения полностью аналогичны разложениям Фурье
\[
\begin{array}{c}
u(x, t)=\int_{-\infty}^{+\infty} A(k, t) e^{i k x} d k, \\
u_{t}(x, t)=\int_{-\infty}^{+\infty} A_{t}(k, t) e^{i k x} d k .
\end{array}
\]

Следующий вопрос, который будет рассмотрен, связан с описанием максимально широкого класса эволюционных уравнений, интегрируемых преобразованием рассеяния, соответствующим фиксированной задаче на собственные значения. Из сказанного выше следует, что этот вопрос эквивалентен описанию операторов $\Omega$, таких, что действие их на разложение для потенциала сводится к действию по отдельности на каждый член разложения. Для таких операторов уравнение
\[
\mathbf{u}_{t}=\Omega \cdot \mathbf{u},
\]

где $\mathbf{u}$ потенциал, интегрируемо. Интегрируемость вытекает из того, что, сравнивая коэффициенты разложений правых и левых частей (6.15), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для скорости изменения данных рассеяния, выраженную через данные рассеяния и преобразование $\widehat{\Omega}(k)$ оператора $\Omega$, взятые при одном и том же значении волнового вектора $k ; \hat{\Omega}(k)$ называется дисперсионным соотношением. Например, для разложения (6.14) класс интегрируемых уравнений отвечает операторам $\Omega=\partial^{n} / \partial x^{n}$, при этом $\hat{\Omega}(k)=(i k)^{n}$.

Оказалось, что существует три различных типа эволюционных уравнений, которые могут быть классифицированы в соответствии с характером дисперсионного соотношения (или соотношений). Первый тип отвечает ситуации, в которой существует единственное дисперсионное соотношение $\widehat{\Omega}(k)$, которое является либо целой функцией, либо отношением целых функций, причем ни один из их полюсов не принадлежит спектру рассматриваемой задачи на собственные значения. В этом случае уравнение в частных производных обладает бесконечным набором интегралов. Қаждый из них порождает, как гамильтониан, поток, для которого остальные интегралы по-прежнему сохраняются. Второй тип эволюционных уравнений возникает, когда имеется два существенно различных дисперсионных соотношения (одно для $q$, другое для $q^{*}$ – его комплексно сопряженного). В этом случае поток необратим, и необратимость как раз и связана с различием дисперсионных соотношений. Частным примером, который будет рассмотрен в этой связи, является задача о распространении когерентного импульса в резонирующей среде. В качестве важного, но, впрочем, сингулярного предела; будет проанализировано, что происходит, когда дисперсионные соотношения стремятся друг к другу и имеют полюс на вещественной оси волновых векторов. Третий тип уравнений будет рассмотрен в случае, когда полюс дисперсионного соотношения $\hat{\Omega}(k)$ совпадает с одним из значений дискретного спектра. В этом случае это собственное значение может двигаться. Соответствующий солитон по-прежнему сохраняет свою индивидуальность, но теперь это изменяющаяся индивидуальность.

Принятый в настоящей главе подход – начать с той или иной задачи рассеяния, а затем найти и охарактеризовать подходящим образом все уравнения, интегрируемые с помощью преобразования рассеяния, связанного с этой спектральной задачей. Некоторый прогресс был получен и в обратной постановке задачи. Именно, как по данному эволюционному уравнению установить, интегрируемо оно или нет, а если интегрируемо, то как найти соответствующую задачу на собственные значения? Существуют формальные процедуры, которые являются вариантами идей Уолквиста и Эстабрука (см. [6.60]-[6.62], [6.57]) или основаны на них. Каждая из этих процедур сводится к нахождению нетривиального решения для некоторой алгебры Ли (обычно незамкнутого). Оказывается, что если уравнение интегрируемо, то существует однопараметрическое семейство решений. Соответствующий параметр играет роль собственного значения в задачах рассеяния. Хотя, как уже было сказано, прогресс в этом направлении был достигнут, до сих пор отсутствует приемлемое описание интегрируемых уравнений.

Так как большая часть матернала этой главы уже появилась или должна появиться в литературе $[6.59,6.63]$, то в основном настоящая глава представляет собой общий обзор сделанного ранее. Материал разд. 6.11, в котором предложены разложения по квадратам собственных функций уравнения Шрёдингера, является новым и нигде не публиковался.