Приступим теперь к физическим задачам, которые могут быть решены с помощью методов, представленных в разд. 7.4. Ограничимся только очень простыми примерами, содержащими точные «односолитонные» решения (7.60).
Рассмотрим (7.90). Уравнения (7.43), (7.49) имеют вид
$$\begin{array}{c}\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{{\partial }^{3}F}{\partial z^3}+\frac{{\partial }^{3}F}{\partial z^{\prime 3}}-v^2(\frac{\partial F}{\partial z}+\frac{\partial F}{\partial z^{\prime }}),\\ \beta \frac{\partial F}{\partial \xi }+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^2}-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial z^{\prime 2}}=0.\end{array}$$

Эти уравнения имеют простое известное решение
$$F=F_0=2v{e}^{-v(z+z^{\prime })}.$$

Из (7.53) получим
$$K=K_0=\frac{2v{e}^{-v(z+z^{\prime })}}{1+e^{-2vz}}.$$

В этом случае формула одевания (7.47) дает
$$u=2\frac{d}{dz}K(z,z,x,t).$$

Из (7.95), (7.96) имеем
$$u=u_0=\frac{2v^2}{{\mathrm{ch}}^{2}vx}.$$

Решение (7.97) есть солитон — изолированная неискажаемая волна в своей собственной системе отсчета, в которой записано уравнение (7.90). С физической точки зрения очень интересным является вопрос о неустойчивости солитона (7.97) относительно поперечных возмущений. Он был частично решен Кадомцевым и Петвиашвили [7.22], которые показали, что если взять
$$u=u_0+\delta u;\delta u\simeq e^{i\mathrm{\Omega }t+ipy},$$

то для малых значений $p$
$${\mathrm{\Omega }}^2={\beta }^2{v}^2{p}^2+\dots$$

Таким образом, солитон устойчив, если ${\beta }^2>0$ и неустойчив, если ${\beta }^2<0$. В случае устойчивости (7.90) описывает слабо нелинейные волны в среде с диспєрсионным соотношением
$${\omega }_k^2=c^2{k}^2(1-{\lambda }^2{k}^2+\dots ),$$

тогда как в неустойчивом случае дисперсионное отношение имеет вид
$${\omega }_k^2=c^2{k}^2(1+{\lambda }^2{k}^2+\dots ).$$

Здесь $\lambda$-дисперсионная длина волны. Если $l_1$ — поперечный размер солитона, а $l_{\perp }\sim 1/p$ — характерный размер возмущения, то соблюдается следующее неравенство:
$$\frac{1}{p}\gg l_{11}\gg \lambda .$$

Метод обратной задачи рассеяния позволяет получить полное решение задачи о неустойчивости солитона потому, что он позволяет определить функцию ${\mathrm{\Omega }}^2(p)$. Для этого рассмотрим (7.90) в алгебре треугольных матриц отмеченного уже типа (7.81). Матрица $F$ и $K$ также принадлежит этой алгебре, Уравнение для $u_1$ получается линеаризацией уравнения (7.90), а (7.53) приобретает вид
$$\begin{array}{c}{F}_1(z,z^{\prime },t,y)+K_1(z,z^{\prime },t,y)+{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{K}_1(z,z^{\prime \prime },t,y)F_0(z^{\prime \prime },z^{\prime },t,y)d{z}^{\prime \prime }+\\ +{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{K}_0(z,z^{\prime \prime },t,y)F_1(z^{\prime \prime },z^{\prime },t,y)d{z}^{\prime \prime }=0\end{array}$$

Уравнение (7.102) легко решае:ся. Полагая, что
найдем, что
$$F_1=\phi (y,t)e^{-\eta z-k{z}^{\prime }},$$
$$\begin{array}{r}{K}_1(z,z,y,t)=\phi (y,t)e^{-(\eta +k)z}(-1+\frac{2v}{(v+k)(1+e^{2vz})})\times \\ \times (1+\frac{1}{1+e^{2vz}}).\end{array}$$

Из нулевых граничных условий для $u_1(z,y,t)$ при $z-\pm \mathrm{\infty }$ и
$$u_1(z,y,t)=2\frac{d}{dz}{K}_1(z,z,y,t)$$

найдем, что $k=v$ и $\mathrm{Re}(v-\eta )>0$. Теперь из (7.92) и (7.93) получим
$$\phi (y,t)={\phi }_0{e}^{i\mathrm{\Omega }t+ipy};{\mathrm{\Omega }}^2={\beta }^2{p}^2(v^2-i\beta p).$$

Значение $\beta$ выбирается так, чтобы удовлетворить условию $\mathrm{Im}\mathrm{\Omega }⩾0$ при $|p|\to \mathrm{\infty }$. Там, где ${\beta }^2>0$, формула (7.104) описывает спектр затухающих колебаний солитона, а там, где ${\beta }^2<0$, она описывает возрастание неустойчивости солитона. При $p^2\to 0$ результат Кадомцева и Петвиашвили (7.98) следует из (7.104).

Теперь вернемся к скалярной алгебре и исслелуем решение типа (7.55), полагая, что
$$F=\psi (z,y,t){\psi }^{\ast }(z^{\prime },y,t).$$

В скалярном случае выбор $c_1$ и $c_2$ не влияет на конечный вид решения, и можно выбрать $c_1=c_2=0$,
$$\psi (z,y,t)=\int a(\eta )\exp [\eta (v^2-r_i^2)t+i({\eta }^2-v^2)y-\eta x]d\eta ,$$

где $a(\eta )$ — произвольная функция. Решение для (7.90) теперь дается формулой
$$u(z,y,t)=-2\frac{d}{dz}\frac{{\left|\psi (z^{\prime },y,t)\right|}^2}{1+{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{\left|\mathrm{\Psi }(z^{\prime },y,t)\right|}^{2}d{z}^{\prime }}.$$

В частности если
$$\psi (z,y,t)={\int }^{v}a(\eta )\exp [\eta (v^2-{\eta }^2)t+i({\eta }^2-v^2)y-\eta x]d\eta$$

мы получаем решение, стремящееся к солитону (7.97) при $t\to -\mathrm{\infty }$. Это решение описываег развитие неустойчивости солитона, изменяющейся при различных выборах $a(\eta )$. Если $a(\eta )=$ $=a\delta (\eta ,-{\eta }_0)$, где ${\eta }_0<v$, то в результате развития неустойчивости рождается солитон с низшей амплитудой ${\eta }_0$. В случае произвольного выбора $a(\eta )$ первоначальный солитон полностью исчезает. Энергия, содержащаяся в нем, переходит в осциллирующий фон, равномерно убывающий относительно $x$ и $t$. Похожие решения, описывающие затухающие нелинейные колебания солитона, также могут быть получены в устойчивом случае ${\beta }^2>0$.