Приступим теперь к физическим задачам, которые могут быть решены с помощью методов, представленных в разд. 7.4. Ограничимся только очень простыми примерами, содержащими точные «односолитонные» решения (7.60).
Рассмотрим (7.90). Уравнения (7.43), (7.49) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial^{3} F}{\partial z^{3}}+\frac{\partial^{3} F}{\partial z^{\prime 3}}-v^{2}\left(\frac{\partial F}{\partial z}+\frac{\partial F}{\partial z^{\prime}}\right), \\
\beta \frac{\partial F}{\partial \xi}+\frac{\partial^{2} F}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2} F}{\partial z^{\prime 2}}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения имеют простое известное решение
\[
F=F_{0}=2 v e^{-v\left(z+z^{\prime}\right)} .
\]

Из (7.53) получим
\[
K=K_{0}=\frac{2 v e^{-v\left(z+z^{\prime}\right)}}{1+e^{-2 v z}} .
\]

В этом случае формула одевания (7.47) дает
\[
u=2 \frac{d}{d z} K(z, z, x, t) .
\]

Из (7.95), (7.96) имеем
\[
u=u_{0}=\frac{2 v^{2}}{\operatorname{ch}^{2} v x} .
\]

Решение (7.97) есть солитон – изолированная неискажаемая волна в своей собственной системе отсчета, в которой записано уравнение (7.90). С физической точки зрения очень интересным является вопрос о неустойчивости солитона (7.97) относительно поперечных возмущений. Он был частично решен Кадомцевым и Петвиашвили [7.22], которые показали, что если взять
\[
u=u_{0}+\delta u ; \quad \delta u \simeq e^{i \Omega t+i p y},
\]

то для малых значений $p$
\[
\Omega^{2}=\beta^{2} v^{2} p^{2}+\ldots
\]

Таким образом, солитон устойчив, если $\beta^{2}>0$ и неустойчив, если $\beta^{2}<0$. В случае устойчивости (7.90) описывает слабо нелинейные волны в среде с диспєрсионным соотношением
\[
\omega_{k}^{2}=c^{2} k^{2}\left(1-\lambda^{2} k^{2}+\ldots\right),
\]

тогда как в неустойчивом случае дисперсионное отношение имеет вид
\[
\omega_{k}^{2}=c^{2} k^{2}\left(1+\lambda^{2} k^{2}+\ldots\right) .
\]

Здесь $\lambda$-дисперсионная длина волны. Если $l_{1}$ – поперечный размер солитона, а $l_{\perp} \sim 1 / p$ – характерный размер возмущения, то соблюдается следующее неравенство:
\[
\frac{1}{p} \gg l_{11} \gg \lambda .
\]

Метод обратной задачи рассеяния позволяет получить полное решение задачи о неустойчивости солитона потому, что он позволяет определить функцию $\Omega^{2}(p)$. Для этого рассмотрим (7.90) в алгебре треугольных матриц отмеченного уже типа (7.81). Матрица $F$ и $K$ также принадлежит этой алгебре, Уравнение для $u_{1}$ получается линеаризацией уравнения (7.90), а (7.53) приобретает вид
\[
\begin{array}{c}
F_{1}\left(z, z^{\prime}, t, y\right)+K_{1}\left(z, z^{\prime}, t, y\right)+\int_{z}^{\infty} K_{1}\left(z, z^{\prime \prime}, t, y\right) F_{0}\left(z^{\prime \prime}, z^{\prime}, t, y\right) d z^{\prime \prime}+ \\
+\int_{z}^{\infty} K_{0}\left(z, z^{\prime \prime}, t, y\right) F_{1}\left(z^{\prime \prime}, z^{\prime}, t, y\right) d z^{\prime \prime}=0
\end{array}
\]

Уравнение (7.102) легко решае:ся. Полагая, что
найдем, что
\[
F_{1}=\varphi(y, t) e^{-\eta z-k z^{\prime}},
\]
\[
\begin{array}{r}
K_{1}(z, z, y, t)=\varphi(y, t) e^{-(\eta+k) z}\left(-1+\frac{2 v}{(v+k)\left(1+e^{2 v z}\right)}\right) \times \\
\times\left(1+\frac{1}{1+e^{2 v z}}\right) .
\end{array}
\]

Из нулевых граничных условий для $u_{1}(z, y, t)$ при $z- \pm \infty$ и
\[
u_{1}(z, y, t)=2 \frac{d}{d z} K_{1}(z, z, y, t)
\]

найдем, что $k=v$ и $\operatorname{Re}(v-\eta)>0$. Теперь из (7.92) и (7.93) получим
\[
\varphi(y, t)=\varphi_{0} e^{i \Omega t+i p y} ; \quad \Omega^{2}=\beta^{2} p^{2}\left(v^{2}-i \beta p\right) .
\]

Значение $\beta$ выбирается так, чтобы удовлетворить условию $\operatorname{Im} \Omega \geqslant 0$ при $|p| \rightarrow \infty$. Там, где $\beta^{2}>0$, формула (7.104) описывает спектр затухающих колебаний солитона, а там, где $\beta^{2}<0$, она описывает возрастание неустойчивости солитона. При $p^{2} \rightarrow 0$ результат Кадомцева и Петвиашвили (7.98) следует из (7.104).

Теперь вернемся к скалярной алгебре и исслелуем решение типа (7.55), полагая, что
\[
F=\psi(z, y, t) \psi^{*}\left(z^{\prime}, y, t\right) .
\]

В скалярном случае выбор $c_{1}$ и $c_{2}$ не влияет на конечный вид решения, и можно выбрать $c_{1}=c_{2}=0$,
\[
\psi(z, y, t)=\int a(\eta) \exp \left[\eta\left(v^{2}-r_{i}^{2}\right) t+i\left(\eta^{2}-v^{2}\right) y-\eta x\right] d \eta,
\]

где $a(\eta)$ – произвольная функция. Решение для (7.90) теперь дается формулой
\[
u(z, y, t)=-2 \frac{d}{d z} \frac{\left|\psi\left(z^{\prime}, y, t\right)\right|^{2}}{1+\int_{z}^{\infty}\left|\Psi\left(z^{\prime}, y, t\right)\right|^{2} d z^{\prime}} .
\]

В частности если
\[
\psi(z, y, t)=\int^{v} a(\eta) \exp \left[\eta\left(v^{2}-\eta^{2}\right) t+i\left(\eta^{2}-v^{2}\right) y-\eta x\right] d \eta
\]

мы получаем решение, стремящееся к солитону (7.97) при $t \rightarrow-\infty$. Это решение описываег развитие неустойчивости солитона, изменяющейся при различных выборах $a(\eta)$. Если $a(\eta)=$ $=a \delta\left(\eta,-\eta_{0}\right)$, где $\eta_{0}<v$, то в результате развития неустойчивости рождается солитон с низшей амплитудой $\eta_{0}$. В случае произвольного выбора $a(\eta)$ первоначальный солитон полностью исчезает. Энергия, содержащаяся в нем, переходит в осциллирующий фон, равномерно убывающий относительно $x$ и $t$. Похожие решения, описывающие затухающие нелинейные колебания солитона, также могут быть получены в устойчивом случае $\beta^{2}>0$.