Результаты разд. 6.3, 6.11 позволяют непосредственно рассмотреть влияние возмущений. Предположим, что исследуемое уравнение является возмущением одного из интегрируемых потоков (6.65),
\[
\left(\begin{array}{c}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)+2 \Omega\left(L^{A}\right)\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=\varepsilon\left(\begin{array}{c}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)_{\text {возм }},
\]

или (6.174),
\[
q_{t}+\frac{\partial}{\partial x} P_{0}\left(M_{S}\right) q=\varepsilon\left(q_{t}\right)_{\text {возм }} .
\]

Для вычисления скорости изменения данных рассеяния $S_{-}$ в $(6.21)$ или $S_{-}$или $S_{+}$в $(6.185)$ используются формулы (6.35) (6.38) или (6.159)- (6.160). Интегрируемые члены $2 \Omega\left(L^{A}\right)\left(\begin{array}{l}r \\ q\end{array}\right)$ и $\frac{\partial}{\partial x} P_{0}\left(M_{S}\right) q$ допускают точные интегралы в соответствующих случаях, в то время как в общем случае член, отвечающий возмущению, таких интегралов не допускает. Например, из (6.160) следует
\[
\begin{array}{c}
\zeta_{k t}=\frac{\varepsilon}{2 i \zeta_{k} \beta_{k}\left(a_{k}^{\prime}\right)^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q_{t}\right)_{\text {возм }} \psi_{k}^{2} d x \\
\beta_{k t}+\left(\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}}+\frac{1}{\zeta_{k}}\right) \beta_{k} \zeta_{k t}=2 i \zeta_{k} P_{0}\left(\zeta_{k}^{2}\right) \beta_{k}+ \\
+\frac{\varepsilon}{2 i \zeta_{k}\left(a_{k}^{\prime}\right)^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q_{t}\right)_{\text {возм }}\left(\frac{\partial \psi^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k} d x \\
\left(\frac{b^{*}}{a}\right)_{t}=2 i \zeta P_{0}\left(\zeta^{2}\right) \frac{b}{a}+\frac{\boldsymbol{\varepsilon}}{2 i \zeta a^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q_{t}\right)_{\text {возм }} \psi^{2} d x
\end{array}
\]

Влияние возмущений на данные рассеяния определяется прямо из решения (6.188) методом итераций. Обычно интерес представляют возмущения на временах порядка $t=O\left(\varepsilon^{-1}\right)$, для которых претерпевают изменения такие величины, как амплитуда солитона, которые должны в невозмущенной системе оставаться неизменными. Для этого надо описать медленные изменения под влиянием возмущений переменных действия и угловых частот (производных угловых фаз). При решении (6.188) итерациями будем допускать медленные изменения во времени переменных действия невозмущенной системы. Выбор такого поведения переменных действия необходим для того, чтобы исключить секулярные члены (пропорциональные $\varepsilon t$ ), входящие в асимптотическое разложение для данных рассеяния. Естественный вопрос, который в связи с этим возникает: эквивалентна ли эта процедура более непосредственному итерационному подходу – прямому использованию исходного уравнения? Конкретнее, пусть дано уравнение
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=\varepsilon\left(q_{t}\right)_{\text {возм }} .
\]

Разлагая $q=q_{0}+\varepsilon(\delta q)+\ldots$, получим для возмущения $\delta q$ уравнение
\[
(\delta q)_{t}+\frac{\partial}{\partial x}\left[(\delta q)_{x x}+6 q_{0} \delta q\right]=\left(q_{0 t}\right)_{\text {возм }}
\]

Из (6.160) (напомним, что $\bar{b}=b^{*}$ для вещественных $q$ ) следует, что
\[
\delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)=\frac{1}{2 i \zeta \vec{a}^{2}} \int \delta q \psi_{2}^{2} d x .
\]

Аналогичное выражение имеет место для данных рассеяния, отвечающих дискретному спектру. Обращая (6.190), можно выразить $\delta q$ через сопряженный базис $\Psi^{A}$, определенный (6.167), где все величины берутся для невозмущенного $q_{0}(x, t)$. Мы утверждаем, что в этом базисе левая часть (6.189) разделяется, и найденные выражения для изменення во времени совпадают с теми выражениями, которые бы получились после прямой подстановки $\frac{\bar{b}}{a}=\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)_{0}+\varepsilon \delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)$ в (6.188c). Для того чтобы убедиться в этом, продифференцируем (6.190) по времени, помня, что невозмущенный базис $\psi_{2}^{2}$ зависит от времени. Фактически используется выражение
\[
\left(\psi_{2}^{2}\right)_{t}=\left(2 q_{x}-8 i \zeta^{3}\right) \psi_{2}^{2}+\left(4 \zeta^{2}-2 q\right)\left(\psi_{2}^{2}\right)_{x}
\]

и уравнение (6.166), которое может быть переписано в виде
\[
-\frac{1}{4}\left(\psi_{2}^{2}\right)_{x x x}-\frac{1}{2} q_{x} \psi_{2}^{2}-q\left(\psi_{2}^{2}\right)_{x}=\zeta^{2}\left(\psi_{2}^{2}\right)_{x} .
\]

Из (6.189), (6.190) и (6.191) находим, что
\[
\begin{aligned}
\delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)_{t}= & \frac{1}{2 i \zeta a^{2}} \int\left\{\left[-\frac{\partial}{\partial x}\left[(\delta q)_{x x}+6 q_{0} \delta q\right]+\left(q_{t}\right)_{\text {возм }}\right] \psi_{2}^{2}+\right. \\
& \left.+\delta q\left[\left(2 q_{0 x}-8 i \zeta^{3}\right) \psi_{2}^{2}+\left(4 \zeta^{2}-2 q_{0}\right)\left(\psi_{2}^{2}\right)_{x}\right]\right\} d x= \\
= & -8 i_{\circ}^{-3} \delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)+\frac{1}{2 i \zeta a^{2}} \int\left(q_{t}\right)_{\text {возм }} \psi_{2}^{2} d x+R,
\end{aligned}
\]

где остаток $R$ определяется фориулой
\[
\begin{array}{l}
R=\frac{1}{2 i \zeta a^{2}} \int\left\{-\frac{\partial}{\partial x}\left[(\delta q)_{x x}+6 q_{0} \delta q\right] \cdot \psi_{2}^{2}+\right. \\
\left.\quad+\delta q\left[2 q_{0 x} \psi_{2}^{2}+\left(4 \zeta^{2}-2 q_{0}\right)\left(\psi_{2}^{2}\right)_{x}\right]\right\} d x .
\end{array}
\]

Интегрируя по частям и учитывая (6.192), получим $R=0$.
Прежде чем мы перейдем к конкретным примерам, следует сделать несколько замечаний. Сначала перечислим преимущества обратного преобразования рассеяния при исследованиях возмущений.
1) Естественно исследовать механические системы в переменных действия и угла или «нормальных мод», поскольку в этих переменных первоначально зацепленная система уравнений разделяется. Обратное преобразование рассеяния указывает, как произвести разделенџе и, значит, решить (6.189).
2) Исследуя медленные изменения главного члена аппроксимации переменных действия на временах порядка $\varepsilon^{-1}$, можно использовать законы сохранения. Это позволяет вычислить скорость медленных изменений угловых переменных. С точностью до главного члена, возмущение влияет на угловые переменные посредством медленных изменений переменных действия. Этот подход будет продемонстрирован тремя приведенными ниже примерами.
3) Возбуждение других нормальных мод под влиянием возмущений можно вычислить непосредственно. Будет показано, как эти результаты позволяют понять роль, которую играет «шельф» в возмущении уединенной волны для уравнения Kортевега – де Фриза.

Рассматриваемый метод обладает следующими недостатками:
1) Его трудно применять в тех случаях, когда невозмущенное состояние отличается от многосолитонных решений (этот недостаток еще в большей стелени свойствен прямому методу).
2) Вычисление эффектов второго порядка и исследование поведения системы на временах, больших $\varepsilon^{-1}$, затруднительно. Это связано с тем, что в пределе, когда $t \rightarrow+\infty$ при фиксированном $\varepsilon t$, зависимость собственных функций и данных рассеяния от $\zeta$ неравномерна. Например, для чисто многосолитонного состояния коэффициент отражения $R(\xi)$ для оператора Шрёдингера тождественно равен нулю. При включении возмущения сразу же имеем $R(0)=-1$.
3) Трудно проследить за возникновением солитонов. Более подробные комментарии будут сделаны при обсуждении поведения шельфа уравнения Кортевега – де Фриза на длинных временах $t \gg \varepsilon^{-1}$.

Прямой метод теории возмущения также имеет ряд серьезных недостатков.
1) В общем случае уравнекие (6.189) не разделяется. Обычно, но не всегда, $q_{0}$ должна быть функцией некоторой определенной комбинации независимых переменных $x$ и $t$. В тех случаях, когда это не так (например, при исследовании стабильности бризера, обсуждаемой ниже, где $q_{0}$ периодична по $t$ ), прямой метод требует усреднения по периоду переменной, отвечающей быстрому времени. Этот шаг не всегда оправдан (например, когда частота бризера порядка $\varepsilon$ ).
2) Прямой метод требует принятия анзаца (предварительного предположения) о форме старшего члена аппроксимации. Например, в исследованиях возмущений солитона уравнения Қортевега – де Фриза в ранних работах [6.67] – [6.71] принималось, что движение адиабатично, и браласы форма медленно меняющейся уединенной волны. Это неверно, и, как будет показано ниже, в главном члене решение должно содержать и неадиабатическую часть (шельф). В действительности окрытие шельфа и преодоление затруднений, на которые наталкивался прямой метод, было осуществлено с помощью обратного преобразования рассеяния. Конечно, когда ответ уже известен, то, внеся необходимые поправки в процедуру, можно получить решение проблемы и с помощью прямого метода теории возмущений.
3) Бывает трудно интерпретировать секулярные члены.
Одно из преимуществ прямого метода теории возмущений заключается в том, что он применим и тогда, когда невозмущенная задача неинтегрируема.

Резюмируя, можно сказать, что, хотя рассматриваемый метод и его варианты, описываемые здесь, весьма мощны, не существует пригодного для всех ситуаций подхода к задачам теории возмущений. Каждый метод обеспечивает свой уровень понимания. Полезно исследовать трудности, возникшие в рамках одного метода, на языке другого. Следующие три примера служат не только для иллюстрации предлагаемого метода; каждый из них по-своему важен для его приложений в общем случае. Хочется подчеркнуть большое значение правильного использования законов сохранения. Другие важные примеры и работы, связанные с теорией возмущений, содержатся в работах [6.57], [6.72]-[6.93].

В первом примере рассматривается влияние внешних сил на солитонное решение нелинейного уравнения Ірёдингера. Рассмотрим уравнение
\[
q_{t}-i q_{x x}-2 i q^{2} q^{*}=-p q-E e^{i \Omega t},
\]

которое можно записать в виде (6.186) при $\Omega(\zeta)=-2 i \zeta^{2}$, $\varepsilon\left(q_{t}\right)_{\text {возм }}=-p q-E e^{i \Omega t}$, где $p$ и $E$ малы. Пусть невозмущенным состоянием является
\[
q(x, t)=2 \eta \operatorname{sech} 2 \eta(x-\bar{x}) \exp (-2 i \xi x-2 i \bar{\sigma}) .
\]

В отсутствие возмущений
\[
\eta_{t}=\xi_{t}=0, \quad \bar{\sigma}_{t}=2\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right), \quad \bar{x}_{t}=-4 \xi .
\]

Для невозмущенных собственных функций справедливы следующие выражения. Определим
$\sqrt{\gamma_{k}} \exp \left(i \zeta_{k} x\right)=\lambda_{k}, \quad \sqrt{\gamma_{k}} \psi_{j}\left(\zeta_{k}\right)=u_{j k}, \quad k=1, \ldots, N, \quad j=1,2$.
Тогда из формул (6.10), (6.69) следует, что
\[
\left(I+B^{*} B\right) u_{2}^{*}=\lambda^{*}, \quad u_{1}=-B u_{2}^{*}, \quad B=\left[\frac{\lambda_{j} \lambda_{k}^{*}}{\xi_{j}-\xi_{k}^{*}}\right] .
\]

Производные квадратов собственных функций даются выражениями
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{k}\left(\frac{\partial \Psi_{1}^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k}=2 i x\left(u_{1 k}\right)^{2}+2 \sum_{l=1}^{N} \frac{\lambda_{k} \lambda_{i}^{*} u_{1 k} u_{2 l}^{*}}{\left(\zeta_{l}^{*}-\zeta_{k}\right)^{2}}, \\
\gamma_{k}\left(\frac{\partial \Psi_{2}^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k}=2 i x\left(u_{2 k}\right)^{2}-2 \sum_{l=1}^{N} \frac{\lambda_{k} \lambda_{l}^{*} u_{2 k} u_{1 l}^{*}}{\left(\zeta_{l}^{*}-\zeta_{k}\right)^{2}}, \quad k=1, \ldots, N .
\end{array}
\]

Для вещественных $\zeta$ собственными функциями являются
\[
\left(\begin{array}{l}
\Psi_{1}(\xi) \\
\Psi_{2}(\xi)
\end{array}\right)=e^{i \xi x}\left\{\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\zeta_{k}^{*}-\xi}\left(\begin{array}{c}
\lambda_{k}^{*} u_{2 k}^{*} \\
-\lambda_{k}^{*} u_{1 k}^{*}
\end{array}\right)\right\} .
\]

Односолитонному решению отвечает $a=\left(\zeta-\zeta_{1}\right) /\left(\zeta-\zeta_{1}^{*}\right)$, $\zeta_{1}=\xi_{1}+i \eta_{1}, \quad \gamma_{1}=2 \eta_{1} \exp \left(2 \bar{\theta}_{1}+2 i \bar{\sigma}_{1}\right) \quad$ [или $\quad \beta_{1}=\left(\gamma_{1} a_{1}^{\prime 2}\right)^{-1}=$ $\left.=-2 \eta_{1} \exp \left(-2 \bar{\theta}_{1}-2 i \bar{\sigma}_{1}\right)\right]$. Из (6.197), (6.198) и (6.58) получаем
\[
q(x, t)=2 \eta_{1} \operatorname{sech} 2 \theta_{1} \exp \left[-2 i\left(\sigma_{1}+\frac{\pi}{4}\right)\right],
\]

где $\theta_{1}=-\eta_{1} x+\bar{\theta}_{1}, \delta_{1}=\xi_{1} x+\bar{\sigma}_{1}$. В случае вполне интегрируемой системы время $t$ входит в решение только через $\theta_{1}$ и $\bar{\sigma}_{1}$, поскольку $\xi_{1 t}=0$. Если $\Omega\left(\xi_{1}\right)=\Omega_{r}\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)+i \Omega_{i}\left(\xi_{1}, \eta_{1}\right)$, то, согласно (6.66), имеем
\[
\bar{\theta}_{1 t}=-\Omega_{r}, \quad \bar{\sigma}_{i t}=-\Omega_{i} .
\]

Используя эти результаты, найдем
\[
\eta_{t}=-2 p \eta+\frac{\pi E}{2} \operatorname{sech} \frac{\xi \pi}{2 \eta} \sin \chi, \quad \xi_{t}=-\frac{\pi E \xi}{2 \eta} \operatorname{sech} \frac{\xi \pi}{2 \eta} \sin \chi
\]
(где $\chi=\Omega t+2 \xi \bar{x}+2 \varphi \overline{)}$. Отсюда можно показать, что $(\eta \xi)_{t}=$ $=-2 p(\xi \eta)$. Это означает, что либо $\xi$, либо $\eta$ стремится к нулю. Именно, если $\xi$ слишком велико, то тогда имеется несоответствие между пространственной фазой солитона и внешнего поля, что приводит к затуханию солитона. С другой стороны, если $\xi$ первоначально не слишком велико, то оно стремится к нулю, и пространственная фаза солитона стремится к фазе внешнего поля. Пусть $\xi=0$. Тогда для $\chi_{t}$ получим уравнение
\[
\chi_{t}=\Omega-4 \eta^{2},
\]

которое вместе с
\[
\eta_{t}=-2 p \eta+\pi E / 2 \sin \chi
\]

позволяет найти $\eta$ и $\chi$. Анализ фазовой плоскости показывает, что солитон фазово-замкнут по отношению к внешнему полю

(т. е. $\chi_{t}=0$ ) лишь когда $\Omega$ принадлежит интервалу
\[
0<\Omega<\pi^{2} E^{2} / 4 p^{2} .
\]

С другой стороны, если $\Omega>0$ и фиксированно, то на приложение внешней силы солитон не реагирует и проходит сквозь внешнее поле при амплитудах, больших $2 p / \pi \sqrt{\Omega}$. В этом смысле солитон фазово-замкнут по отношению к внешнему полю и достигает амплитуды $\frac{1}{2} \sqrt{\Omega}$ совершенно независимо от величины $E$ и $p$, пока выполняется (6.205).

Уравнения (6.202) могут быть просто получены [6.75] вычислением
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} q q^{*} d x \quad \text { и } \quad \frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q q_{x}^{*}-q_{x} q^{*}\right) d x
\]

с помощью (6.194) и использозанием невозмущенного солитона для определения членов правой части уравнений. Второе уравнение дает $\partial(\xi \eta) / \partial t=-2 p(\xi \eta)$.

В первом примере были вычислены лишь изменения параметров солитона, и появление непрерывного спектра не учитывалось. Это не всегда обосновано, как будет показано во втором примере. В последующем мы попытаемся описать распространение солитона в мелком слое воды, глубина которого начинает медленно меняться начиная с некоторого места $t=t_{0}$. Соответствующее уравнение яв.тяется возмущенной формой уравнения (6.1),
\[
q_{t}+6 q q_{x}+q_{x x x}=-\Gamma q, \quad \Gamma=O(\varepsilon), \quad 0<\varepsilon \ll 1,
\]

причем $t$ отвечает положению солитона, $x$ отвечает времени, а $\Gamma$ пропорционально $D_{t}$, изменению глубины. Заметим, что если глубина убывает ( $\Gamma<0$ ), то $-\Gamma q$ приводит к увеличению волны. Невозмущенное многосолитонное состояние дается следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
\psi_{j}+\sum_{k=1}^{N} \frac{\gamma_{k} \exp i\left(\zeta_{k}+\zeta_{j}\right) x}{\zeta_{k}+\zeta_{j}} \psi_{k}=\exp \left(i \zeta_{j} x\right), \quad j=1, \ldots, N, \\
\left(\frac{\partial \psi}{\partial \zeta}\right)_{\zeta_{j}}=i x \psi_{j}+\sum_{k=1}^{N} \frac{\gamma_{k} \psi_{k} \exp i\left(\zeta_{k}+\zeta_{j}\right) x}{\left(\zeta_{k}+\zeta_{j}\right)^{2}}, \quad j=1, \ldots, N, \\
\psi(\zeta)=e^{i \zeta x}\left(1-\sum_{k=1}^{N} \frac{\gamma_{k} \psi_{k} \exp \left(i \zeta_{k} x\right)}{\left(\zeta_{k}+\zeta\right)}\right), \quad \zeta \text { вещественно. }
\end{array}
\]

Если $N=1, \xi_{1}=i \eta, \gamma_{1}=2 i \eta e^{29}$, то из (6.170) находим
\[
q(x, t)=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta(x-\bar{x}), \quad \eta_{t}=0, \quad \bar{x}_{t}=4 \eta^{2} .
\]

Опишем изменения (6.208) в области, где глубина уже непостоянна. Используя (6.207) и (6.198), получим
\[
\eta_{t}=-\frac{2}{3} \Gamma \eta
\]

и с точностью до главных членов
\[
\bar{x}_{t}=4 \eta^{2} .
\]

Оба уравнения могут быть легко проинтегрированы. Они дают вариацию амплитуды и положения солитона с глубиной. Наиболее интересно отметить, что (6.209) удовлетворяет только второму из трех локальных соотношений для массы, энергии и положения центра тяжести:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} q d x=-\Gamma \int_{-\infty}^{+\infty} q d x, \\
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} q^{2} d x=-2 \Gamma \int_{-\infty}^{+\infty} q^{2} d x, \\
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} x q d x=3 \int_{-\infty}^{+\infty} q^{2} d x-\Gamma \int_{-\infty}^{+\infty} x q d x .
\end{array}
\]

Интегрируя каждое из соотношений, получим глобальные соотношения
\[
\begin{aligned}
M(t) & =\int_{-\infty}^{+\infty} q d x=M\left(t_{0}\right) \exp \left[-\int_{-\infty}^{+\infty} \Gamma(s) d s\right], \\
E(t) & =\int_{-\infty}^{+\infty} q^{2} d x=E\left(t_{0}\right) \exp \left[-2 \int_{-\infty}^{+\infty} \Gamma(s) d s\right], \\
G(t) & =\int_{-\infty}^{+\infty} x q d x= \\
& =\left\{G\left(t_{0}\right)+3 E\left(t_{0}\right) \int_{t_{j}}^{t} d s\left[\exp \left(-\int_{t_{0}}^{s} \Gamma(r) d r\right)\right]\right\} \exp \left[-\int_{t_{0}}^{t} \Gamma(s) d s\right] .
\end{aligned}
\]

Если $q(x, t)$ состоит только из солитонной части, то
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} q d x=\frac{\partial}{\partial t} 4 \eta=-\frac{2}{3} \Gamma \int_{-\infty}^{+\infty} q d x .
\]

Следовательно, если глубина уменьшается, то увеличение солитона поглощает лишь две трети дополнительной массы, возникающей на единице длины из-за уменьшения глубины. Куда уходит оставшаяся масса воды?

Чтобы это понять, надо учесть, что под влиянием возмущения индивидуальные моды, разделенные в интегрируемых системах, зацепляются. Возмущение может возбуждать нормальные моды, так что они будут играть основную роль на больших временах. Вычисляя коэффициент отражения $b / a$ из (6.188) при $P_{0}=-4 \zeta^{2}$ и $b / a \quad(\zeta, t=0)=0$, используя (6.207c) и то, что с точностью до первого порядка $a=(\zeta-i \eta) /(\zeta+i \eta)$, найдем
\[
\xi \frac{b(\xi, t)}{a(\xi, t)}=-\frac{2 \Gamma \pi i}{3 a \operatorname{sech}(\xi \pi / \eta)} \exp \left(-2 i \xi x_{0}\right) \frac{\exp \left(-8 i \xi \eta^{2} t\right)-\exp \left(8 i \xi^{3} t\right)}{8 i\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)} \text {. }
\]

С точностью до членов первого порядка здесь $\bar{x}=4 \eta^{2} t+x_{0}$. Заметим, что коэффициент отражения имеет сингулярность типа $1 / \xi$ при $\xi \rightarrow 0$, тогда как $\xi b / a$ (аналог обычного фурье-образа; см. (6.170)) растет линейно по $t$ при $\xi \rightarrow 0$. Как нужно интерпретировать соотношение (6.213)? В том виде, в каком оно записано, не существует предела для быстрого времени при $t \rightarrow+\infty$. Ответ можно найти, если рассмотреть поведение системы в физическом пространстве и оценить вклад в $q(x, t)$ от непрерывного спектра, возбуждаемого солитоном. Обозначим этот вклад через $q_{C}(x, t)$. Из (6.170) следует
\[
\begin{aligned}
q c(x, t)=\frac{4 \Gamma}{3} & \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\xi d \xi}{a(\xi) \operatorname{sh}(\xi \pi / \eta)}\left(1-\frac{2 \eta}{\eta-i \xi} \frac{e^{2 \theta}}{1+e^{2 \theta}}\right)^{2} \times \\
& \times \exp 2 i \xi\left(x-x_{0}\right) \frac{\exp \left(-8 i \xi \eta^{2} t\right)-\exp \left(8 i \xi^{3} t\right)}{8 i \xi\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)}
\end{aligned}
\]

где $\theta=-\eta(x-\bar{x})$. Из леммы Римана – Лебега вытекает, что необращающийся в нуль вклад в (6.214) дает лишь окрестность точки $\xi=0$, поэтому можно написать
\[
\begin{aligned}
q_{C}(x, t)= & \frac{\Gamma}{6 \pi \eta} \operatorname{th}^{2} \eta(x-\bar{x}) \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\sin 2 \xi\left(x-x_{0}-4 \eta^{2} t\right)}{2 \xi}-\right. \\
& \left.-\frac{\sin 2 \xi\left(x-x_{0}+4 \xi^{2} t\right)}{2 \xi}\right] d(2 \xi) .
\end{aligned}
\]

Первый интеграл есть $\pi \operatorname{sgn}\left(x–x_{0}-4 \eta^{2} t\right)$. Второй является интегралом функции Эйри и равен $\pi$ для $x \gg x_{0}$ и $-\pi$ для $x \ll x_{0}$. Переход между этими величинами осуществляется серией убывающих осцилляций. Следовательно, $q_{C}=0$ вне области $x_{0}<$ $<x<\bar{x}$, где $\bar{x}$ – положение солитона и $x_{0}$ соответствует точке, в которой глубина начииает изменяться. В области $x_{0}<x<\bar{x}$, $\bar{x}-x_{0} \ll \varepsilon^{-1}$
\[
q_{\underline{C}}(x, t)=-\Gamma / 3 \eta, \quad x_{0}<x<\bar{x},
\]

что представляет собой шельф слабо меняющейся амплитуды $\Gamma$, отражающей топографию дна. В этом шельфе и содержится излишняя масса воды, о которой шла речь выше. Можно найти скорость, с которой поглощается вода шельфом:
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} q_{C} d x=\frac{\partial}{\partial t} \int_{x_{0}}^{\bar{x}} q_{C} d x=\bar{x}_{t} \cdot q_{C}=-\frac{1}{3} \Gamma 4 \eta .
\]

Вместе со скоростью поглощения добавочной воды солитоном это выражение дает общую скорость возникновения дополнительной массы. Указанные результаты приведены в [6.73], [6.76] и $[6.84]$.

При описании движений на временах и расстояниях порядка $\varepsilon^{-1}$ следует учитывать эволюцию шельфа с момента его первоначального формирования. Это может быть сделано непосредственно из (6.206). Задача сравнительно проста, поскольку шельф мал и его эволюция медленная. Она описывается соотношением $q_{t}=-\Gamma q$. В момент $\bar{t}$, когда солитон находится в $\bar{x}(\bar{t})=\int_{t_{0}}^{\bar{t}} 4 \eta^{2} d t, q_{C}(x, \bar{t})$, высота шельфа в точке $x$, дается (см. [6.83], [6.84], [6.93]) формулой
\[
\begin{array}{l}
q_{C}(x, \bar{t})=-\Gamma / 3 \eta(t) \exp \int_{\bar{t}}^{t(x)} \Gamma(s) d s, \quad 0<x<\bar{x}, \\
q_{C}(x, \bar{t})=0 \text { в остальной области, }
\end{array}
\]

причем $t(x)$ находится интегрированием уравнения $x_{t}=4 \eta^{2}$. Теперь можно показать, что локальные и глобальные законы сохранения выполняются точно. Действительно,
\[
\begin{aligned}
M(\bar{t})= & \int_{-\infty}^{+\infty} q_{s} d x+\int_{0}^{\bar{x}} q_{C} d x=4 \eta_{0} \exp \left[-\frac{2}{3} \int_{t_{0}}^{\bar{t}} \Gamma(s) d s\right]+ \\
& +4 \eta_{0}\left\{\left[\exp \left(-\int_{t_{0}}^{\bar{t}} \Gamma(s) d s\right)\right]-\exp \left[-\frac{2}{3} \int_{t_{0}}^{\bar{t}} \Gamma(s) d s\right]\right\} \Rightarrow \\
= & 4 \eta_{0} \exp \left[-\int_{t_{0}}^{\bar{t}} \Gamma(s) d s\right]
\end{aligned}
\]

что в точности совпадает с (6.212a). Равенство (6.212c) выполняется с точностью до второго порядка по Г.

Приведенные результаты показывают, что шельф играет централыную роль в описании поведения системы: его необходимо учитывать уже в старших членах. Хотя амплитуда шельфа порядка $\varepsilon$, но масса содержащейся в нем воды имеет порядок 1 .

Следует заметить, что все эти результаты могут быть получены и непосредственно с помощью правильного использования законов сохранения [6.83-6.85]. Предположим, что $q(x, t)$ состоит из солитонной части $q_{s}=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta(x-\bar{x})$ и шельфа $q_{c}(x, t)$. Из (2.211b) найдем $\eta_{i}=-(2 / 3)$ Г $\eta$. Из (2.211c) следует $\bar{x}_{t}=4 \eta^{2}$; в главном члене можно считать, что угловая переменная $\bar{x}$ меняется адиабатически только под влиянием изменений $\eta_{\bar{x}}$. Используя закон сохранения локальной массы, попучим $\partial / \partial t \int_{0}^{\bar{x}} q_{C} d x=\bar{x}_{t} q_{C}(\bar{x})=-4 \eta \Gamma / 3$. Следовательно, в момент возникновения $q_{C}(\bar{x})=-\Gamma / 3 \eta$. Используя рассуждения предпоследнего абзаца, можно получить (6.210) и описание, глобальной структуры шельфа. Перечислим результаты, относящиеся к нескольким важным примерам.
Рассмотрим уравнение
\[
q_{t}+6 q^{r} q_{x}+q_{x x x}=F,
\]

где $\quad q_{s}=\alpha \operatorname{sech}^{2 / r} \eta(x-\bar{x}), \quad \alpha^{r}=(r+1)(r+2) \eta^{2} / 3 r^{2} . \quad$ Пусть $r=1, F=\varepsilon q$ (случай $a$ ). Тогда
$\eta=\eta_{0} \exp \left(\frac{2}{3} \varepsilon t\right), \quad \bar{x}_{t}=4 \eta^{2}, \quad q_{c}=\frac{\varepsilon \exp (\varepsilon t)}{3 \eta_{0}\left(1+\frac{\varepsilon x}{3 \eta_{0}^{2}}\right)^{5 / 4}}, \quad 0<x<\bar{x}$.
Пусть теперь $r=1, F=\varepsilon q_{x x}$ (случай $b$ ). Тогда
\[
\begin{array}{c}
\eta=\eta_{0}\left(1+\frac{16 \eta_{0}^{2} \varepsilon t}{15}\right)^{-1 / 2}, \vec{x}_{t}=4 \eta^{2}, q_{C}=\frac{8 \eta_{0} \varepsilon}{15} \exp \left(-\frac{2 \varepsilon x}{15}\right) \text {, } \\
0<x<\bar{x} .
\end{array}
\]

Наконец, пусть $r \approx 2, F=\varepsilon q$ (с.тучай $c$ ). Тогда
\[
\eta=\eta_{0} \exp (2 \varepsilon t), \quad \bar{x}_{t}=\eta^{2}, \quad q_{C}=\frac{\pi \varepsilon \exp (2 \varepsilon t)}{\eta_{0}^{2}+4 \varepsilon x}, \quad 0<x<\bar{x} .
\]

Мы описали поведение системы в главном порядке на временах порядка $\varepsilon^{-1}$. Но процесс на этом не кончается, поскольку шельф продолжает развиваться. Уравнение (6.185) при $m=1$ дает
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} q d x=4 \sum_{k=1}^{N} \eta_{k}+\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \xi^{2 m} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi,
\]

где $N$ есть число связанных состояний, соответствующих потенциалу $q(x, t)$. Если $\Gamma>0$, то левая часть равенства есть $4 \eta_{0} \exp \left(-\int_{0}^{t} \Gamma d s\right)$, первое слагаемое правой части равно $4 \eta_{0} \exp \left(-\frac{2}{3} \int_{0}^{t} \Gamma d s\right)$. Значит, вгорое слагаемое правой части, соответствующее вкладу непрерывного спектра, которое всегда отрицательно или равно нулю, может скомпенсировать разницу двух предшествующих членов. В случае $\Gamma<0$, что соответствует уменьшению глубины, очевидна необходимость дополнительных связанных состояний, чтобы (6.222) могло выполняться (это замечание было впервые сделано Райтом [6.94]). Таким образом, представление о том, что уменьшению глубины в направлении распространения соответствует непрерывный спектр, неправильно. Ситуация аналогична спектральному разложению для широкой (порядка $\int_{t_{0}}^{t} 4 \eta^{2} d t$, т. е. $\varepsilon^{-1}$ ) потенциальной ямы глубины Г (порядка $\varepsilon$ ). Дляя такого потенциала имеем дискретный набор собственных значений $\left(\eta_{k}\right)_{1}^{K}$, где $K$ порядка $\varepsilon^{-1 / 2}$, которые плотно заполняют интервал длины $\varepsilon^{1 / 2}$ на положительной мнимой оси в комплексной плоскости. В теории возмущений наличие такого эффекта проявляется в том, что развитие $a(\zeta, t)$ неравномерно по разложению. Қарпман и Маслов [6.77] пытались объяснить этот эффект возникновения новых связанных состояний введением единственного дополнительного солитона, однако это не совсем правильно.

Затем при временах порядка ( $1 / \varepsilon) \ln (1 / \varepsilon)$ становится заметным влияние нелинейного члена $6 q q_{x}$. Заметим, что для таких времен и расстояний шельф полностью отрывается от первоначального солитона, т. е. если $\bar{x} \gg O(1 / \varepsilon)$, то в непосредственной близости за солитоном $q_{C}$ имеет порядок $(\varepsilon \bar{x})^{-5 / 4}, \exp (-2 \varepsilon \bar{x} / 15)$ и $(\varepsilon \bar{x})^{-1}$ в примерах $a, b$ и $c$ соответственно. Нелинейный член приводит к увеличению крутизны до тех пор, пока при $t=O((1 / \varepsilon) \ln (1 / \varepsilon))$ она не станет порядка единицы. Последующая эволюция шельфа вновь подчиняется возмущенному уравнению Кортевега – де Фриза, в котором – Гq является членом, описывающим возмущение. На фронте шельфа формируется цуг солитонов, который на промежуточных временах (длинных по сравнению с $(1 / \varepsilon) \ln (1 / \varepsilon)$, но коротких по сравнению с временем, за которое задняя часть цуга пройдет до конца шельфа) подобен решению, найденному Гуревичем и Питаевским [6.95] для описания развития разрывного начального профиля в виде постоянной ступеньки. Главный импульс этого цуга имеет вид $q=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta\left(x-4 \eta^{2} t+\frac{3}{4} \ln t+\right.$ const $)$, где $\eta^{2}$ равно максимальной амплитуде разрыва. Когда задняя часть цуга достигает конца шельфа, индивидуальные импульсы цуга превращаются в индивидуальные солитоны. Задача, рассматриваемая здесь, сложнее той, которая рассматривалась Гуревичем и Питаевским, поскольку, во-первых, шельф не постоянен по $x$ и, во-вторых, возмущение влияет на эволюцию. Тем не менее описанная картина качественно остается правильной.

Случай $\Gamma>0$ менее интересен. Солитон в этом случае медленно затухает, а шельф, затухая, превращается в цуг длинных диспергирующих волн малой амплитуды.

Третий пример демонстрирует применение теории возмущений для исследования длинноволновых дву- и трехмерных нестабильностей одномерных солитонов и бризеров. Рассмотрим (6.186) при $r=-q^{*}$ и $\left(\varepsilon q_{t}\right)_{\text {возм }}=i \gamma q_{y y}$. Если $\Omega=-2 i \zeta^{2}$, то соответствующее уравнение $q_{t}-i q_{x x}-i \gamma q_{y y}-2 i q^{2} q^{*}=0$ является нелинейным уравнением Шрёдингера в двумерном пространстве. Қак уже отмечалось во введении, одномерный солитон
\[
q(x, t)=2 \eta \operatorname{sech} 2 \theta \exp [-2 i(\sigma+\pi / 4)],
\]

где $\theta=-\eta x+\bar{\theta}, \sigma=\xi x+\bar{\sigma}, \bar{\theta}_{t}=-\Omega_{r}, \Omega(\xi+i \eta)=\Omega_{r}(\xi, \eta)+$ $+i \Omega_{i}(\xi, \eta), \bar{\sigma}_{t}=-\Omega_{i}$, неустойчив. Мы исследуем эту неустойчивость, используя сокращенный вариант предлагаемой теории возмущений. Как отмечалось в каждом из предшествующих примеров, часто бывает достаточно найти медленные изменения переменных действия, предполагая, что в главном порядке влияние возмущения на угловые переменные проявляется только через изменение переменных действия. В таких случаях самый быстрый способ получить скорости изменения переменных действияприменить законы сохранения. Для (6.186) с $q$, данным (6.223), и $\left(\varepsilon q_{t}\right)_{\text {возм }}=i \gamma q_{y y}$, при $|\gamma|<1$ получим
\[
\begin{array}{r}
\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty} q q^{*} d x=\frac{d}{d t} 4 \eta=i \gamma \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q^{*} q_{y y}-q q_{y y}^{*}\right) d x \\
\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q q_{x}^{*}-q^{*} q_{x}\right) d x=\frac{d}{d t} 16 i \xi \eta=2 i \gamma \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q_{x}^{*} q_{y y}+q_{x} q_{y y}^{*}\right) d x .
\end{array}
\]

Нусть $\eta=\eta_{0}+\eta_{1}(y, t), \xi=\xi_{0}+\xi_{1}(y, t)$, что влечет за собой $\bar{\theta}=\bar{\theta}_{0}+\bar{\theta}_{1}, \bar{\sigma}=\bar{\sigma}_{0}+\bar{\sigma}_{1}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\eta_{1 t}=4 \gamma \eta_{0} \bar{\sigma}_{1 y y}+4 \gamma \bar{\theta}_{v} \xi_{1 y y}, \\
\xi_{1 t}=-\frac{4}{3} \gamma \eta_{0} \hat{\theta}_{1 y y}-\frac{4 \gamma}{3} \eta_{1 y y} \bar{\theta}_{0} .
\end{array}
\]

Предполагая $\bar{\theta}_{t}=-\Omega_{r}, \bar{\sigma}_{t}=-\Omega_{i}$, найдем
\[
\begin{array}{l}
\bar{\theta}_{1 t}=-\Omega_{t t} \eta_{1}-\Omega_{r} \xi \xi_{1}, \\
\bar{\sigma}_{1 t}=-\Omega_{i \eta} \eta_{1}-\Omega_{i} \xi_{1},
\end{array}
\]

где $\Omega_{r \eta}=(\partial / \partial \eta) \Omega_{r}$. Второй член правой части обоих уравнений $(6.226)$ и (6.227) имеет указанный вид вследствие того, что $\left(\partial^{2} / \partial y^{2}\right)(\xi x+\bar{\sigma})$ (и $\left.\left(\partial^{2} / \partial y^{2}\right)(-\eta x+\bar{\theta})\right)$ содержит два члена, $\xi_{y y} x$ и $\bar{\sigma}_{y y}$ (соответственно $-\eta_{y y} x, \bar{\theta}_{y y}$ ), дающих вклад в интегралы в (6.224), (6.225). Эти вклады неважны при рассмотрении вопросов неустойчивости. Действительно, оказывается, что $(\partial / \partial t)=O \sqrt{|\gamma|}$ и, следовательно, $\eta_{1}, \xi_{1}$ по порядку меньше на $\sqrt{|\gamma|}$, чем $\sigma_{\mathrm{t}}$ и $\bar{\theta}_{1}$. Поэтому соответствующие члены опускаются (с последующей проверкой корректности этого шага). Заметим, что $\eta, \bar{\sigma}$ и $\xi, \vec{\theta}$ являются парами переменных типа действиеугол. Несложно показать, что
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}+4 \gamma \Omega_{i \eta} \eta_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) \eta_{1}=4 \gamma\left(-\Omega_{r}-\Omega_{i \xi} \eta_{0}\right) \frac{\partial^{2} \xi_{1}}{\partial y^{2}}, \\
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}-\frac{4}{3} \Omega_{r \xi} \eta_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) \xi_{1}=\frac{4 \gamma}{3}\left(-\Omega_{r}+\Omega_{r \xi} \eta_{0}\right) \frac{\partial^{2} \eta_{1}}{\partial y^{2}} .
\end{array}
\]

Полагая $\eta_{1}, \xi_{1} \sim \exp (i k y+v t)$, мы получим (напомним, что $\Omega$ аналитична и, значит, удовлетворяет уравнениям Коши – Римана $\left.\Omega_{r \xi}=\Omega_{i \eta}, \Omega_{r \eta}=-\Omega_{i \xi}\right)$
\[
\left(v^{2}-4 \gamma \Omega_{i \eta} \eta_{0} k^{2}\right)\left(v^{2}+\frac{4 \gamma}{3} \Omega_{r \xi} \eta_{0} k^{2}\right)=\frac{16 \gamma^{2}}{3}\left(-\Omega_{r}-\Omega_{i \xi} \eta_{0}\right)^{2} k^{4} .
\]

Это означает в главном порядке по $k^{2}$, что либо
\[
v^{2}=4 \gamma \Omega_{i \eta} \eta_{0} k^{2}, \quad \text { либо } \quad v^{2}=-4 \gamma / 3 \Omega_{r \xi} \eta_{0} k^{2} .
\]

Вспоминая, что $\Omega_{i \eta}=\Omega_{r \xi}$, получим, что при $4 \gamma \Omega_{i \eta} \eta_{0} k^{2}>0 \eta$ и $\bar{\sigma}$ неустойчивы, в то время как $\bar{\xi}$ и $\bar{\theta}$ устойчивы. Это приводит к взрывной неустойчивости. С другой стороны, если $4 \gamma / 3 \Omega_{r \xi} \eta_{0} k^{2}<$ $<0$, то $\xi$ и $\bar{\theta}$ неустойчивы. Этот случай Захаров и Рубенчик [6.52] называют змеевидной неустойчивостью, приводящей к скручиванию гребня солитона. Для $\Omega=-2 i \zeta^{2}$ скорость роста возмущения равна $4 \sqrt{\gamma} \eta_{0}$ при $\gamma>0$ и равна $4(\sqrt{\gamma} / 3) \eta_{0} k$ при $\gamma<0$. Двумерное нелинейное уравнение Шрёдингера для волн в поле тяжести на глубокой воде соответствует $\gamma<0$. Следовательно, для него имеет место змеевидная неустойчивость. В этом случае неустойчивость означает, что волновой цуг с волновым вектором $\mathbf{k}$ возбуждает резонансные волны (с волновыми векторами $\mathbf{k} \pm \mathbf{K}$, где $2 \mathbf{k}=\mathbf{k}+\mathbf{K}+\mathbf{k}-\mathbf{K}, \omega(2 \mathbf{k})=\omega(\mathbf{k}+\mathbf{K})+\omega(\mathbf{k}-\mathbf{K}))$, соответствующие восьмой резонансной кривой работы Филлипса [6.96].

Рассмотрим следующий класс неустойчивости – длинноволновые трансверсальные возмущения для уравнений, обсуждавшихся в разд. 6.10 :
\[
q_{t}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H}{\delta q}+\gamma u_{y y}, \quad q=\frac{-u_{x}}{2} .
\]

Например, если $H=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{4} q^{4}+\frac{1}{2} q_{x}^{2}\right) d x$, то $\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H}{\delta q}=-q_{x x x}-$ $-6 q^{2} q_{x}$ и (6.234) описывает распространение импульсов в решетке с потенциалом $a \Delta^{2}+b \Delta^{4}$ в направлении $x$, линейно связанных в трансверсальном направлении $y$. Солитон в этом случае имеет вид $q=2 \operatorname{sech} 2 \theta, \theta=-\eta(x-\bar{x}), \bar{x}_{t}=V=-\Omega_{r} / \eta$. Используя закон сохранения
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} q^{2} d x=2 \gamma \int_{-\infty}^{+\infty} q u_{y y} d x,
\]

получим
\[
\begin{array}{l}
\eta_{1 t}=4 \gamma \eta_{0} \bar{x}_{1 y y}, \\
\bar{x}_{1 t}=V_{\eta} \eta_{1} .
\end{array}
\]

Ясно, что неустойчивость имеет место, если $\gamma V_{\mathfrak{\eta}}<0$. Для модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза $V=4 \eta^{2}$, и, следовательно, критерием неустойчивости является $\gamma<0$. Для уравнения sine-Gordon $V=-1 /\left(4 \eta^{2}\right)$, и вновь неустойчивость возникает только при $\gamma<0$. Можно найти простое объяснение этого. Запишем $q_{t}=-u_{x t} / 2$ в лабораторной системе координат $X=x+t, T=x-t$. При этом получим уравнение $q_{t}-\gamma u_{v y}=$ $=(1 / 2) u_{T T}-(1 / 2) u_{X X}-\gamma u_{y y}$. Если $\gamma<0$, то уравнение в направлении $y$ является эллиптическим.

Рассмотрим устойчивость солитона уравнения Кортевега де Фриза и его высших аналогов относительно трансверсальных возмущений. Пусть
\[
q_{t}=-\frac{\partial}{\partial x} P\left(M_{S}\right) q+\gamma \psi_{y y}, \quad q=\psi_{x} .
\]

Если $P=-4 M_{S}$ (где $M_{S}$ определяется согласно (6.166)) и $\boldsymbol{\gamma}=-\frac{3}{4}$, то (6.238) совпадает с (6.11), т. е. с уравнением Кадомцева – Петвиашвили. Пусть $q=2 \eta^{2} \operatorname{sech}^{2} \eta(x-\bar{x}), \quad \psi=$ $=4 \eta \operatorname{th} \eta(x-\bar{x})+K$. Используя закон сохранения энергии, получим
\[
\begin{array}{l}
\eta_{t}=2 \gamma\left(\frac{1}{4} \frac{K_{y y}}{K}-\eta_{y} \bar{x}_{y}-\frac{1}{3} \eta \bar{x}_{y y}\right), \\
\bar{x}_{t}=V(\eta)=P\left(-\eta^{2}\right) .
\end{array}
\]

Положим $\quad \eta=\eta_{0}+\eta_{1}(y, t), \quad \bar{x}=\bar{x}_{0}(t)+\bar{x}_{1}(y, t)$. Линеаризуя предшествующие уравнения, найдем
\[
\begin{array}{l}
\eta_{1 t}=2 \gamma\left(\frac{1}{4} \frac{K_{y y}}{K}-\frac{1}{3} \eta_{0} \bar{x}_{1 y y}\right), \\
\bar{x}_{1 t}=V_{\eta} \eta_{1} .
\end{array}
\]

Для неустойчивости системы необходимо
\[
\gamma V_{\eta}>0 \text {. }
\]

Для (6.11) имеем $\gamma<0, V_{\eta}=4 \eta>0$.
В заключение мы приведем новые результаты. Одномерный бризер или $0 \pi$-импульс
\[
u(x, t)=4 \operatorname{arctg}(\eta / \xi \operatorname{sech} 2 \theta \sin 2 \sigma),
\]

являющийся решением уравнения sine-Gordon
\[
u_{t t}-u_{x x}-K u_{y y}+\sin u=0 \text {, }
\]

неустойчив. В (6.242) имеем
\[
\begin{array}{ll}
\theta_{x}=\frac{-\eta}{2}\left(1+\frac{1}{4 \zeta \zeta^{*}}\right), \quad \sigma_{x}=\frac{\xi}{2}\left(1-\frac{1}{4 \zeta \zeta^{*}}\right), \quad \zeta=\xi+i \eta, \\
\theta_{t}=\frac{-\eta}{2}\left(1-\frac{1}{4 \zeta \zeta^{*}}\right), \quad \sigma_{t}=\frac{\xi}{2}\left(1+\frac{1}{4 \zeta \zeta^{*}}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения для постоянных $\xi$ и $\eta$ приводят к
\[
\theta=\frac{-\eta}{2 \sqrt{\xi \zeta^{*}}} \frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2}}}+\hat{\theta}_{0}, \quad \sigma=\frac{\xi}{2 \sqrt{\zeta \zeta^{*}}} \frac{t-v x}{\sqrt{1-v^{2}}}+\hat{\sigma}_{0}, v=\frac{1-4 \zeta \zeta^{*}}{1+4 \zeta \zeta^{*}} .
\]

Воспользуемся точными соотношениями
\[
\frac{d I_{1}}{d t}=K \int_{-\infty}^{+\infty} u_{y y} u_{t} d x, \quad \frac{d I_{2}}{d t}=K \int_{-\infty}^{+\infty} u_{y y} u_{x} d x,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2}\left(u_{t}^{2}+u_{x}^{2}+4 \sin ^{2} u / 2\right) d x=16 \eta\left(1+\frac{\zeta \zeta^{*}}{4}\right), \\
I_{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} u_{x} u_{t} d x=16 \eta\left(1-\frac{1}{4} \zeta \zeta^{*}\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрим одномерное решение $u_{0}$, даваемое (6.242) при $\zeta=\zeta_{0}+i \eta_{0}$ и $\zeta_{0} \zeta_{0}^{*}=1 / 4$ (стационарный бризер), $\theta_{0 t}=0, \sigma_{0 t}=$ $=\xi_{0}$. Полагая $\eta=\eta_{0}+\eta_{1}(y, t), \xi=\xi_{0}+\xi_{1}(y, t), \quad \theta=\theta_{0}(x, t)+$ $+\theta_{1}(x, y, t), \sigma=\sigma_{0}(x, t)+\sigma_{1}(x, y, t)$ и вычисляя правые части (6.246) для $u=u_{0}$, получим
\[
\begin{array}{l}
\left(\xi_{0} \eta_{1}-\eta_{0} \xi_{1}\right)_{t}=\frac{\alpha^{2} K}{2 \eta_{0}} \sigma_{1 y y}\left(\cos ^{2} 2 \sigma_{0}\right) J_{1}, \\
\left(\xi_{0} \xi_{1}+\eta_{0} \eta_{1}\right)_{t}=\frac{-\alpha^{2} K}{2 \eta_{0}} \theta_{1 y y}\left(\sin ^{2} 2 \sigma_{0}\right) J_{2},
\end{array}
\]

где $\alpha=\eta_{0} / \varsigma_{0}, D=y^{2}+2\left(1+2 \alpha^{2} \sin ^{2} 2 \sigma_{0}\right) y+1$,
\[
\begin{array}{c}
J_{1}=\int_{0}^{\infty} \frac{(1+y)^{2} d y}{D^{2}}=\frac{1}{1+\lambda}\left[1+\frac{1}{\sqrt{\lambda^{2}-1}} \ln \left(\lambda+\sqrt{\lambda^{2}-1}\right)\right], \\
\lambda=1+2 \alpha^{2} \sin ^{2} 2 \sigma_{0}, \quad J_{2}=\int_{0}^{\infty}(1-y)^{2} d y / D^{2} .
\end{array}
\]

Здесь мы пренебрегли в $\theta_{1}$ членами, пропорциональными $x$ (корректность этого может быть обоснованна). Из $(6.244 \mathrm{~b})$
\[
\begin{array}{l}
\theta_{1 t}=-4 \eta_{0}\left(\eta_{0} \eta_{1}+\xi_{0} \xi_{1}\right), \\
\sigma_{1 t}=-4 \eta_{0}\left(\xi_{0} \eta_{1}-\xi_{1} \eta_{0}\right) .
\end{array}
\]

Из (6.245), (6.250) можно увидеть, что изменения фазы $\theta$ и момента ( $\left.\xi_{0} \xi_{1}+\eta_{0} \eta_{1}\right)$ являются простыми осцилляциями. С другой стороны, из (6.247), (6.251) вытекает, что
\[
\hat{\sigma}_{1 t t}=2(\alpha k)^{2}\left(\cos ^{2} 2 \sigma_{0}\right) J_{1} \hat{\sigma}_{1},
\]

где $K=1$ и $\sigma_{1}=\hat{\sigma}(t) \exp (i k y)$. Так как $J_{1}$ положительно, то изменения фазы $\sigma_{1}$ и энергии растут со временем. Интерес представляют два предельных случая. Во-первых, если положить $\alpha$ малым, $J_{1}=1$, то уравнение sine-Gordon может быть аппроксимировано нелинейным уравнением Шрёдингера. Для этого представим $u=\exp (-i t) \psi(x, t)+\left(^{*}\right)$. Средняя (за период $\sigma_{0}$ ) скорость роста, полученная согласно (6.252), совпадает в точности с той, которая дается (6.233) при $\gamma=1$ и $\Omega=-2 i \xi^{2}$. С другой стороны, при больших $\alpha$ величина $\sigma_{0}$ слабо меняется как функция $t$ ( $2 \sigma_{0}$ приблизительно равно $t / \alpha$ ). В этом случае, используя ВКБ-приближение, можно показать
\[
\begin{array}{l}
\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{1} \sim \frac{\left[1+\alpha^{2} \sin ^{2}\left(\frac{t}{\alpha}\right)^{1 / 2}\right]}{\alpha k \cos (t / \alpha)} \exp ( \pm \alpha k) \ln \left[\alpha \sin \frac{t}{\alpha}+\right. \\
+\left.\left(1+\alpha^{2} \sin ^{2} \frac{t}{\alpha}\right)^{1 / 2}\right] .
\end{array}
\]

Когда $\alpha$ велико, $\xi_{0}$ является малым (напомним, что $\xi_{0}^{2}+\eta_{0}^{2}=$ $=1 / 4$ ), поэтому бризер представляет собой пару кинка и антикинка. Действительно, при $\alpha \rightarrow \infty$ уравнение (6.242) дает
\[
u(x, t)=4 \operatorname{arctg} t \operatorname{sech} x,
\]

что соответствует паре кинк-антикинк, элементы которой разделяются с логарифмической скоростью. Результаты, полностью согласующиеся с изложенными выше, были получены также в [6.91] прямыми методами теории возмущений вплоть до значений $\alpha$ порядка единицы.