Используя произвольность $f$ и $g, M$ и $N$ в основных формулах, полученных непосредственно из (9.11), (9.12), можно заключить, что если матрицы-потенциалы $Q(x)$ и $Q^{\prime}(x)$ связаны соотношением
\[
a_{\mu}(\Lambda)\left[\sigma_{\mu} Q(x)-Q^{\prime}(x) \sigma_{\mu}\right]+b_{\mu}(\Lambda) \Gamma \sigma_{\mu}=0,
\]

то соответствующие им коэффищиенты отражения $R(k)$ и $R^{\prime}(k)$ удовлетворяют уравнению
\[
\begin{aligned}
R^{\prime}(k)=\left\{\left[a_{\mu}\left(-4 k^{2}\right)+\right.\right. & \left.\left.2 i k b_{\mu}\left(-4 k^{2}\right)\right] \sigma_{\mu}\right\} R(k) \times \\
& \times\left\{\left[a_{\mu}\left(-4 k^{2}\right)-2 i k b_{\mu}\left(-4 k^{2}\right)\right] \sigma_{\mu}\right\}^{-1}
\end{aligned}
\]

Операторы $\Lambda$ и Г в (9.97) определяются с помощью (9.13), (9.14), функции $a_{\mu}$ и $b_{\mu}$ произвольны (лишь бы соответствующее выражение в (9.97) имело смысл; например, достаточно, чтобы они были целыми). Следует подчеркнуть, что функции $a_{\mu} u b_{\mu}$ могут зависеть от произвольных дополнительных переменных, таких, как $t$, но должны быть независимы от $x$.

Важность формулы (9.97) заключается в том, что она дает точную, хотя и сложную связь между двумя потенциалами, для которых коэффициенты отражения связаны простой линейной формулой (9.98).

Предположим, что матрица $Q(x, t)$ удовлетворяет нелинейному эволюционному уравнению (9.25) и матрица $Q^{\prime}(x, t)$ связана с ней соотношением (9.97), где $a_{\mu}$ и $b_{\mu}$ не зависят от $t$ и $\mathbf{y}$. Если для всех $z$ выполнено
\[
\begin{array}{l}
{\left[\alpha_{m}(z) a_{n}(z)+z \beta_{m}(z) b_{n}(z)\right]\left[\sigma_{m}, \sigma_{n}\right]=0,} \\
{\left[\alpha_{m}(z) b_{n}(z)+\beta_{m}(z) a_{n}(z)\right]\left[\sigma_{m}, \sigma_{n}\right]=0,}
\end{array}
\]

то из (9.98) вытекает, что связь $R^{\prime}(k, t)$ с $R^{\prime}\left(k, t_{0}\right)$ такая же, как и связь $R(k, t)$ с $R\left(k, t_{0}\right)$. Но последняя временна́я зависимость $R^{\prime}(k, t)$ соответствует уравнению (9.25) для потенциала $Q^{\prime}(x, t)$. Значит, если матрица $Q(x, t)$ удовлетворяет уравнению (9.25) и $Q^{\prime}(x, t)$ связана с ней формулой (9.97) (с $a_{\mu}$ и $b_{\mu}$, не зависящими от $t$ и у и удовлетворяющими (9.99)), то $Q^{\prime}(x, t)$. удовлетворяет тому же самому уравнению (9.25).

Преобразование (9.97) с условиями (9.99) будет называться преобразованием Бэклунда. Следует подчеркнуть еще раз произвольность функций $a_{\mu}$ и $b_{\mu}$, удовлетворяющих единственному ограничению (9.99). Дополнительные ограничения могут возникать, если требовать, чтобы специальные свойства матрицы $Q(x, t)$, например ее эрмитовость, сохранялись при преобразовании Бэклунда. Далее мы ограничимся подклассом преобразований Бэклунда, отвечающих условиям $a_{n}=b_{n}=0$. Для удобства обозначений положим $a_{0}=f, b_{0}=g$. При этом преобразование Бэклунда запишется в форме
\[
f(\Lambda)\left[Q(x, t)-Q^{\prime}(x, t)\right]+g(\Lambda) \Gamma=0,
\]

Соответствующая формула для коэффициентов отражения будет иметь вид
\[
\begin{array}{r}
R^{\prime}(k, t)=R(k, t)\left\{\left[f\left(-4 k^{2}\right)+2 i k g\left(-4 k^{2}\right)\right] /\left[f\left(-4 k^{2}\right)-\right.\right. \\
\left.-2 i k g\left(-4 k^{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Этот класс преобразований Бэклунда интересен тем, что он имеет место для всех уравнений (9.25) (и, более того, для (9.24)). Нет никаких ограничений на вид функций $f$ и $g$, связанных со структурой нелинейного эволюционного уравнения. Хотя эти преобразования представляют собой малый подкласс всех преобразований Бэклунда, они достаточно общие, чтобы получить многочисленные важные результаты, которые вытекают даже из самого простого варианта (9.100), отвечающего постоянным $f$ и $g$. Последние преобразования удобно описать с помощью единственной константы $p=-0,5 f / g$. Соотношение (9.101) при этом будет иметь вид
\[
R^{\prime}(k, t)=-\frac{k+i p}{k-i p} R(k, t),
\]

а преобразование Бэклунда –
\[
Q^{\prime}(x, t)=Q(x, t)-(2 p)^{-1} \Gamma .
\]

Результаты, связанные с преобразованием Бэклунда, удобнее обсуждать с помощью интеграла от $Q$. Введем матрицу
\[
W(x, t)=\int_{x}^{+\infty} d x^{\prime} Q\left(x^{\prime}, t\right),
\]

которая удовлетворяет граничным условиям
\[
W(+\infty, t)=W_{x}( \pm \infty, t)=0 .
\]

На самом деле часто бывает удобнее записывать через $W$ и нелинейные эволюционные уравнения (9.25). Например, уравнение бумерона запишется через $W$ как уравнение в частных производных, в то время как для $Q$ оно имело интегродифференциальный вид. Аналогичное обозначение $\quad W^{\prime}=\int_{x}^{+\infty} d x^{\prime} Q^{\prime}\left(x^{\prime}, t\right)$ вводится для матрицы $Q^{\prime}(x, t)$.

Преобразование Бэклунда между $W$ и $W^{\prime}(9.103)$ запишется в новых обозначениях (см. [9.1]) как
\[
\begin{aligned}
W_{x}^{\prime}(x, t)+W_{x}(x, t)=-\frac{1}{2} & {\left[W^{\prime}(x, t)-W(x, t)\right] \times } \\
& \times\left[4 p+W^{\prime}(x, t)-W(x, t)\right] .
\end{aligned}
\]

Полезно решить это уравнение в особом случае $\mathbb{W}=0$. Несложные вычисления приводят к односолитонному решению
\[
W^{\prime}(x, t)=-2 p\{1-\text { th }[p(x-\xi)]\} P,
\]

где
\[
P^{2}=P \text {. }
\]

Константы интегрирования $\xi$ и $P$, конечно, зависят от $t$. Эти зависимости можно получить подстановкой (9.107) в (9.25). Получившиеся уравнения для $\xi$ и $P$ содержат только переменную $t$. Конечно, при этом получатся выражения (9.48), (9.49).