Вывод полной интегрируемссти будет проведен на примере нелинейного уравнения Шрёдингера, в то время как для остальных уравнений будут сделаны некоторые замечания,

Вспомогательная спектральная задача имеет вид [11.14] $(m=\frac{1}{2},\gamma =1)$
$$L\psi =k\psi ;L=\frac{1}{i}\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\frac{d}{dx}+\left(\begin{array}{rr}0& \psi \\ \pm \overline{\psi }& 0\end{array}\right).$$

Напомним определение данах рассеяния. Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ фундаментальные матрицы решений задачи (11.7), такие, что
$$\begin{array}{l}\mathcal{F}(x,k)\sim \mathcal{E}(x,k),x\to \mathrm{\infty };\\ \mathcal{G}(x,k)\sim \mathcal{E}(x,k),x\to -\mathrm{\infty };\end{array}\mathcal{E}(x,k)=\left(\begin{array}{ll}{e}^{ikx}& 0\\ 0& e^{-ikx}\end{array}\right).$$

Тогда
$$\mathcal{F}(x,k)=\mathcal{G}(x,k)T(k).$$

Матрица перехода $T$ имеет специальный вид
$$T(k)=\left(\begin{array}{rr}a(k)& b(k)\\ \pm \overline{b}(k)& \overline{a}(k)\end{array}\right)$$

где элементы матрицы удовлетворяют соотношениям
$$|a{|}^2\pm |b{|}^2=1;a(k)=1+O\left(\frac{1}{|k|}\right),b(k)=O\left(\frac{1}{|k|}\right),|k|\to \mathrm{\infty }.$$

Более того, коэффициент $a(k)$ является граничным значением аналитической в верхней полуплоскости функции
$$a(k)=\exp \{-\frac{1}{\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{la}\left|a\left(k^{\prime }\right)\right|}{k-k^{\prime }+i0}d{k}^{\prime }\}\prod _l\frac{k-k_l}{k-{\tilde{k}}_l}.$$

Здесь $k_l$ нули $a(k)$ в верхней полуплоскости (существующие лишь в случае притяжения). Предположим, что общее число этих нулей $N$ конечно и что $a(k)$ не имеет вещественных нулей; эти предположения будут обсуждены позднее. Для $k=k_l$, $\mathrm{Im}{k}_l>0$ спектральная задача имеет решение с асимптотическим поведением
$${\chi }_l(x)=\left(\begin{array}{c}0\\ \exp (-i{k}_{l}x)\end{array}\right),x\to -\mathrm{\infty },{\chi }_l=d_l\left(\begin{array}{c}\exp \left(i{k}_{l}x\right)\\ 0\end{array}\right),x\to \mathrm{\infty },$$

где $d_l$ — комплексный коэффициент.
Данные рассеяния составляют коэффициент $b(k)$ и числа $k_l,d_l,l=1,\dots ,N$. Функция $\psi (x)$ может быть восстановлена по данным рассеяния с помощью уравнения Гельфанда — Левитана с матричным $2\times 2$ ядром $K(x,y)$
$$K(x,y)+\hat{F}(x+y)+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,z)\hat{F}(z+y)dz=0,x<y,$$

где матрица $F(x)$ имеет вид
$$\hat{F}=\left(\begin{array}{rr}0& F\\ -\overline{F}& 0\end{array}\right);F(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}r(k)\exp (ikx)dk+\sum _l{m}_l\exp \left(i{k}_{l}x\right).$$

Здесь
$$r(k)=\frac{b(k)}{a(k)};m_l=d_l/\left({i\frac{d}{dk}a(k)|}_{k=k_l}\right).$$

Уравнение написано для случая притяжения. Чтобы сохранить определенность, далее будет рассматриваться именно этот случай.
Функция $\psi (x)$ дается формулой
$$\psi (x)=-2i{K}_{12}(x,x).$$

Нашей задачей является вычисление преобразования гамильтониана $H$ и формы $\mathrm{\Omega }$ при отображении
$$\text{ данные рассеяния }\to [\overline{\psi }(x),\psi (x)].$$

Для того чтобы найти гамильтониан в новых переменных, мы воспользуемся следующим способом: оказывается, что $H$ является коэффициентом разложения $\ln a(k)$ при больших $|k|$
$$\ln a(k)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{C_n}{k^n}$$

Есть два способа найти коэффициенты $C_n$. Из (11.8) получим
$$C_n=-\frac{1}{\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\ln |a(k)|k^{n-1}dk-\sum _{l=1}^N\frac{1}{n}(k_l^n-{\overline{k}}_l^n).$$

С другой стороны, эти коэффициенты могут быть выражены в терминах локальных функционалов от $\overline{\psi }$ и $\psi$. Для этого рассмотрим матричный элемент $f_{11}(x,k)$ матрицы $\mathcal{F}(x,k)$. Можно проверить, что для $\mathrm{Im}k>0$
$$f_{11}(x,k)=e^{ikx}[1+O(1)],x\to \mathrm{\infty },f_{11}=a(k)e^{ikx}(1+o(1)),x\to -\mathrm{\infty }.$$

Исходное дифференциальное уравнение дает, что функция
$$\chi (x,k)=\frac{d}{dx}\ln f_{11}(x,k)-ik$$

удовлетворяет уравнению
$$\chi =-i\psi \phi ;{\phi }_x=\frac{1}{i}(2k\phi -\psi {\phi }^2-\overline{\psi }).$$

Из асимптотического поведения $f_{11}$ получаем
$$\ln a(k)=-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\chi (x,k)dx.$$

Решение уравнения (11.11) можно искать в форме
$$\chi (x,k)=\sum \frac{{\chi }_n(x)}{k^n}.$$

Отсюда мы получаем возможность выразить коэффициенты $C_n$ в терминах $\overline{\psi }$ и $\psi$ и их производных. Первые три коэффициента равны
$$\begin{array}{l}{C}_1=-\frac{i}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\overline{\psi }\psi dx\\ C_2=\frac{1}{8}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\overline{\psi }}_x\psi -\overline{\psi }{\psi }_x)dx\\ C_3=-\frac{i}{8}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\overline{\psi }}_x\psi -|\psi {|}^4)dx.\end{array}$$

Они с точностью до постоянных множителей совпадают с важными наблюдаемыми — числом частиц, импульсом и энергией.
Окончательная формула
$$H=-\frac{8}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{k}^2\ln |a(k)|dk-\frac{8i}{3}\sum _l(k_l^3-{\overline{k}}_l^3)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\left|{\psi }_x\right|}^2-|\psi {|}^4)dx$$

дает искомое выражение гамильтониана в терминах данных рассеяния.

Найдем теперь форму $\mathrm{\Omega }$. Для этого выразим вариации $\delta \overline{\psi }$ и $\delta \psi$ функций $\overline{\psi }$ и $\psi$ в терминах вариаций данных рассеяния. Воспользуемся уравнением Гельфанда — Левитана. Определим резольвенту, т. е. ядро ${\mathrm{\Gamma }}_x(y,z)$, такое, что решение уравнения
$$f(y)+g(y)+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}f(z)F(z+y)dz=0,y>x,$$

представимо в форме
$$f(y)=-g(y)-{\int }_x^{\mathrm{\infty }}g(z){\mathrm{\Gamma }}_x(y,z)dz.$$

Сопоставляя эти формулы с уравнением Гельфанда — Левитана (11.9), получим
$${\mathrm{\Gamma }}_x(y,x)=T{K}^{\ast }(x,y)T,T=\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Вариация $\delta K$ ядра оператора преобразования удовлетворяет уравнению
$$\begin{array}{l}K(x,y)+\delta F(x+y)+\\ +{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,z)\delta F(z+y)dz+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\delta K(x,z)F(z+y)dz=0.\end{array}$$

Используя резольвенту, решение этого уравнения можно представить как
$$\delta K(x,y)=-(I+K)\delta F(I+{\mathrm{\Gamma }}_x)(x,y).$$

В частности, отсюда следует, если учесть (11.10), (10.12), что
$$\begin{array}{l}\delta \psi (x)=\frac{i}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\delta r(k)f_{11}^2(x,k)-\delta \overline{r}(k)f_{12}^2(x,k)]dk+\\ +\sum _l[\delta m_l{f}_{11}^2(x,k_l)-\delta {\overline{m}}_l{f}_{12}^2(x,{\overline{k}}_l)+{m_l\delta k_l\frac{d}{dk}{f}_{11}^2(x,k)|}_{k=k_l}-\\ -{{\overline{m}}_l\delta {\overline{k}}_l\frac{d}{dk}{f}_{12}^2(x,k)|}_{k=k_l}].\end{array}$$

Здесь использован, кроме перечисленных выше, тот факт, что матрица $\mathcal{F}(x,k)$ может быть представлена с помощью оператора преобразования в виде
$$\mathcal{F}(x,k)=\mathcal{E}(x,k)+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,y)\mathcal{E}(y,k)dy.$$

Подставим выражение для $\delta \psi$ в форму $\mathrm{\Omega }$ (см. (11.4)). Соответствующий интеграл по $x$ может быть вычислен точно, поскольку соотношение
$$\begin{array}{l}{u}_1(x,k)v_2(x,k^{\prime })+u_2(x,k)v_1(x,k^{\prime })=\\ =\frac{1}{i(k-k^{\prime })}\frac{d}{dx}[u_1(x,k)v_2(x,k^{\prime })-u_2(x,k)v_1(x,k^{\prime })]\end{array}$$

выполняется для любого решения задачи (11.7).
Окончательное выражение для $\mathrm{\Omega }$ (через данные рассеяния и их вариации) имеет.вид
$$\begin{array}{rl}\mathbf{\Omega }=\frac{1}{\pi i}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|a(k){|}^2\delta r(k)\wedge \delta \overline{r}(kdk+\\ & +\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dkdl\frac{\delta F(k)\wedge \delta F(l)}{k-l}+\sum \frac{2}{\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta F(k)\wedge \end{array}$$

$$\begin{array}{c}\wedge (\frac{\delta k_l}{k-k_l}-\frac{\delta {\overline{k}}_l}{k-{\overline{k}}_l})+2\sum _{leqj}(\frac{\delta k_l\wedge \delta k_j}{k_l-k_j}+\frac{\delta {\overline{k}}_l\wedge \delta {\overline{k}}_j}{{\overline{k}}_l-{\overline{k}}_j})-\\ -4\sum _{l,j}\frac{\delta k_l\wedge \delta {\overline{k}}_j}{k_l-{\overline{k}}_j}+2\sum _l(\frac{\delta m_l\wedge \delta k_l}{m_l}+\frac{\delta {\overline{m}}_l\wedge \delta {\overline{k}}_l}{{\overline{m}}_l});\\ \delta F(k)=a(k)\tilde{b}(k)\delta r(k)+\overline{a}(k)b(k)\delta \overline{r}(k)=-2\delta \ln |a(k)|.\end{array}$$

Следующие комбинации данных рассеяния
$$\begin{array}{rl}P(k)& =-\frac{2}{\pi }\ln |a(k)|;Q(k)=\arg b(k);-\mathrm{\infty }<k<\mathrm{\infty };\\ {\xi }_l& =4\mathrm{Re}{k}_l;{\eta }_l=-\ln \left|d_l\right|;\\ {\alpha }_l& =4\mathrm{Im}{k}_l;{\beta }_l=\arg d_l;l=1,\dots ,N\end{array}$$

содержат всю информацию о них и могут быть выбраны в качестве канонических переменных. В них форма $\mathrm{\Omega }$ приобретет стандартный вид
$$\mathrm{\Omega }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta P(k)\wedge \delta Q(k)dk+\sum _{l=1}^N(\delta {\xi }_l\wedge \delta {\eta }_l+\delta {\alpha }_l\wedge \delta {\beta }_l).$$

Наблюдаемые $N,P,H$ могут быть выражены через переменные типа действия:
$$\begin{array}{l}N={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\psi {|}^{2}dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}P(k)dk+\sum {\alpha }_l,\\ P=\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\overline{\psi }{\psi }_x-{\overline{\psi }}_x\psi )dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}2kP(k)dk+\sum _l\frac{1}{2}{\xi }_l{\alpha }_l,\\ H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\left|{\psi }_x\right|}^2-|\psi {|}^4)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}4k^{2}P(k)dk+\sum _l(\frac{1}{4}{\xi }_l^2{\alpha }_l-{\alpha }_l^3/12).\end{array}$$

Исходные гамильтоновы уравнения в данных рассеяния приобретают вид
$$\frac{d}{dt}b(k,t)=4i{k}^{3}tb(k,t);\frac{d}{dt}{m}_l(t)=4i{k}_l^{2}t{m}_l(t).$$

Все вышесказанное показывает, что переход к данным рассеяния для нелинейного уравнения Шрёдингера является каноническим преобразованием к переменным типа действие — угол. В следующем разделе будут обсуждены некоторые приложения этого результата. В заключение этого раздела будут сформулированы результаты, относящиеся к переменным типа действие угол для примеров интегрируемых уравнений, которые были приведены в разд. 11.1.

1. Уравнение Кортевега — де фриза. Вспомогательная спектральная задача [11.9]
$$-y^{\prime \prime }+v(x)y=k^{2}y;v(x)\to 0,|x|\to \mathrm{\infty }$$

имеет решения с асимптотическим поведением
$$\begin{array}{c}f(x,k)=e^{ikx}[1+o(1)],x\to \mathrm{\infty };\\ g(x,k)=e^{-ikx}[1+o(1)],x\to -\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Коэффициенты перехода определяются из равенств
$$\begin{array}{c}f(x,k)=a(k)g(x,-k)+b(k)g(x,k);\\ f(x,i{k}_l)=d_{l}g(x,i{k}_l);a\left(i{k}_l\right)=0,l=1,\dots ,N.\end{array}$$

Переменные типа действие — угол выражаются через данные рассеяния с помощью следующих формул [11.1]:
$$\begin{array}{c}P(k)=\frac{4k}{\pi }\ln |a(k)|;Q(k)=\arg b(k);0⩽k<\mathrm{\infty };\\ {\xi }_l=k_l^2;{\eta }_l=2\ln d_l;l=1,\dots ,N;\\ \mathrm{\Omega }={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\delta P(k)\wedge \delta Q(k)dk+\sum _{l}d{\xi }_l\wedge d{\eta }_l;\\ H=8{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{k}^{3}P(k)dk+\frac{32}{5}\sum _l{\xi }_l^{5/2}\end{array}$$
2. Уравнение sine-Gordon. Рассмотрим лишь ту форму этого уравнения, которая соответствует конусным переменным. Вспомогательная спектральная задача для этого уравнения такая же, как и для нелинейного уравнения Шрёдингера с $\psi (x)=$ $=i{u}_{\eta }(\eta )$ чисто мнимым $[11.15,11.16]$. В этом случае данные рассеяния удовлетворяют дополнительным соотношениям
$$a(k)=\overline{a(-k)};b(k)=-b(-k)$$

и нули $a(k)$ симметричны относительно мнимой оси. Коэффициенты перехода $d_l$ являются чисто вещественными для чисто мнимых $k_l$. Переменные типа действие — угол суть [11.11] $(m=1)$
$$\begin{array}{c}P(k)=-\frac{8}{\pi {\gamma }^k}\ln |a(k)|;Q(k)=\arg b(k),0<k<\mathrm{\infty };\\ {\xi }_a=\frac{1}{\gamma }\ln {\lambda }_a;{\eta }_a=8\ln \left|c_a\right|;a=1,\dots ,A;\\ {\xi }_b=\frac{4}{\gamma }\ln \left|{\mu }_b\right|;{\eta }_b=\frac{4}{\gamma }\ln \left|d_b\right|;{\alpha }_b=\arg {\mu }_b;{\beta }_b=-\frac{16}{\gamma }\arg d_b.\end{array}$$

Здесь $і{\lambda }_a$ чисто мнимые нули $a(k),{\mu }_b$ комплексные нули с $0<\arg {\mu }_b<\frac{\pi }{2};c_a$ и $d_b$ соответствующие коэффициенты перехода. Форма $\mathrm{\Omega }$ равна
$$\mathrm{\Omega }={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\delta P(k)\wedge \delta Q(k)dk+\sum _a\delta {\xi }_a\wedge \delta {\eta }_a+\sum _b({\delta }_{\mathrm{\Xi }b}\wedge \delta {\eta }_b+\delta {\alpha }_b\wedge \delta {\beta }_b).$$

Соответствующие выражения для гамильтониана $H$ и импульса $P$
$$\begin{array}{rl}H& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(2k+\frac{1}{8k})P(k)dk+\frac{1}{\gamma }\sum _a(\frac{1}{{\lambda }_a}+16{\lambda }_a)+\\ & +\sum _b\frac{{\mu }_b-{\mu }_b}{i\gamma }(\frac{1}{{\left|{\mu }_b\right|}^2}+16);\\ P& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(2k-\frac{1}{8k})P(k)dk+\frac{1}{\gamma }\sum _a(\frac{1}{{\lambda }_a}-16{\lambda }_a)+\\ & +\sum _b\frac{{\mu }_b-{\overline{\mu }}_b}{i\gamma }(\frac{1}{{\left|{\mu }_b\right|}^2}-16).\end{array}$$
3. Цепочка Tоды. Вспомогательная спектральная задача ставится на языке бесконечномерной матрицы $[11.17,11.18]$
$$\begin{array}{rl}L\phi (n)=& {\alpha }_{n-1}\phi (n-1)+{\alpha }_n\phi (n+1)+{\beta }_n\phi (n)=\lambda \phi (n);\\ & {\alpha }_n=\exp (q_n-q_{n-1});{\beta }_n=-\frac{1}{2}{p}_n.\end{array}$$

Решения $f(n,\zeta )$ и $g(n,\zeta )$ определяются из условий
$$\begin{array}{c}f(n,\zeta )={\zeta }^n[1+o(1)],n\to \mathrm{\infty };g(n,\zeta )={\zeta }^{-n}[1+o(1)],n\to -\mathrm{\infty };\\ 2\lambda =\zeta +\frac{1}{\zeta };\zeta =e^{i\phi };0⩽\phi ⩽2\pi .\end{array}$$

Коэффициенты перехода определяются аналогично предшествующим случаям равенствами
$$\begin{array}{rl}f(n,\zeta )& =a(\zeta )g(n,\frac{1}{\zeta })+b(\zeta )g(n,\zeta )\\ f(n,{\zeta }_l)& =d_{l}g(n,{\zeta }_l),a\left({\zeta }_l\right)=0;-1<{\zeta }_l<1,l=1,\dots ,N.\end{array}$$

Переменные действие-угол даются следующими формулами:
$$\begin{array}{c}P(\phi )=\frac{1}{\pi }\sin \phi \ln \left|a\left(e^{i\phi }\right)\right|;Q(\phi )=\arg b\left(e^{i\phi }\right);\\ {\xi }_l={\zeta }_l+\frac{1}{{\zeta }_l},{\eta }_l=\ln d_l\\ \mathrm{\Omega }={\int }_0^{\pi }\delta P(\phi )\wedge \delta Q(\phi )d\phi +\sum _l{\delta }_{{\zeta }_l}\wedge \delta {\eta }_l.\end{array}$$

Гамильтониан может быть выражен в переменных типа действия
$$H={\int }_0^{\pi }2\sin \phi P(\phi )d\phi +\sum _l[\frac{1}{2}({\zeta }_l^2+\frac{1}{{\zeta }_l^2})+\ln {\zeta }_l^2].$$

На этом мы закончим список примеров переменных действие угол и отошлем к работе [11.19], в которой найдены эти переменные для уравнения трех волн.