Вывод полной интегрируемссти будет проведен на примере нелинейного уравнения Шрёдингера, в то время как для остальных уравнений будут сделаны некоторые замечания,

Вспомогательная спектральная задача имеет вид [11.14] $\left(m=\frac{1}{2}, \gamma=1\right)$
\[
L \psi=k \psi ; \quad L=\frac{1}{i}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \frac{d}{d x}+\left(\begin{array}{rr}
0 & \psi \\
\pm \bar{\psi} & 0
\end{array}\right) .
\]

Напомним определение данах рассеяния. Пусть $\mathscr{F}$ и $\mathscr{G}$ фундаментальные матрицы решений задачи (11.7), такие, что
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{F}(x, k) \sim \mathscr{E}(x, k), x \rightarrow \infty ; \\
\mathscr{G}(x, k) \sim \mathscr{E}(x, k), x \rightarrow-\infty ;
\end{array} \mathscr{E}(x, k)=\left(\begin{array}{ll}
e^{i k x} & 0 \\
0 & e^{-i k x}
\end{array}\right) .
\]

Тогда
\[
\mathscr{F}(x, k)=\mathscr{G}(x, k) T(k) .
\]

Матрица перехода $T$ имеет специальный вид
\[
T(k)=\left(\begin{array}{rr}
a(k) & b(k) \\
\pm \bar{b}(k) & \bar{a}(k)
\end{array}\right)
\]

где элементы матрицы удовлетворяют соотношениям
\[
|a|^{2} \pm|b|^{2}=1 ; \quad a(k)=1+O\left(\frac{1}{|k|}\right), \quad b(k)=O\left(\frac{1}{|k|}\right), \quad|k| \rightarrow \infty .
\]

Более того, коэффициент $a(k)$ является граничным значением аналитической в верхней полуплоскости функции
\[
a(k)=\exp \left\{-\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{la}\left|a\left(k^{\prime}\right)\right|}{k-k^{\prime}+i 0} d k^{\prime}\right\} \prod_{l} \frac{k-k_{l}}{k-\tilde{k}_{l}} .
\]

Здесь $k_{l}$ нули $a(k)$ в верхней полуплоскости (существующие лишь в случае притяжения). Предположим, что общее число этих нулей $N$ конечно и что $a(k)$ не имеет вещественных нулей; эти предположения будут обсуждены позднее. Для $k=k_{l}$, $\operatorname{Im} k_{l}>0$ спектральная задача имеет решение с асимптотическим поведением
\[
\chi_{l}(x)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\exp \left(-i k_{l} x\right)
\end{array}\right), \quad x \rightarrow-\infty, \quad \chi_{l}=d_{l}\left(\begin{array}{c}
\exp \left(i k_{l} x\right) \\
0
\end{array}\right), \quad x \rightarrow \infty,
\]

где $d_{l}$ – комплексный коэффициент.
Данные рассеяния составляют коэффициент $b(k)$ и числа $k_{l}, d_{l}, l=1, \ldots, N$. Функция $\psi(x)$ может быть восстановлена по данным рассеяния с помощью уравнения Гельфанда – Левитана с матричным $2 \times 2$ ядром $K(x, y)$
\[
K(x, y)+\widehat{F}(x+y)+\int_{x}^{\infty} K(x, z) \hat{F}(z+y) d z=0, \quad x<y,
\]

где матрица $F(x)$ имеет вид
\[
\widehat{F}=\left(\begin{array}{rr}
0 & F \\
-\bar{F} & 0
\end{array}\right) ; \quad F(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} r(k) \exp (i k x) d k+\sum_{l} m_{l} \exp \left(i k_{l} x\right) .
\]

Здесь
\[
r(k)=\frac{b(k)}{a(k)} ; \quad m_{l}=d_{l} /\left(\left.i \frac{d}{d k} a(k)\right|_{k=k_{l}}\right) .
\]

Уравнение написано для случая притяжения. Чтобы сохранить определенность, далее будет рассматриваться именно этот случай.
Функция $\psi(x)$ дается формулой
\[
\psi(x)=-2 i K_{12}(x, x) .
\]

Нашей задачей является вычисление преобразования гамильтониана $H$ и формы $\Omega$ при отображении
\[
\text { данные рассеяния } \rightarrow[\bar{\psi}(x), \psi(x)] .
\]

Для того чтобы найти гамильтониан в новых переменных, мы воспользуемся следующим способом: оказывается, что $H$ является коэффициентом разложения $\ln a(k)$ при больших $|k|$
\[
\ln a(k)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{C_{n}}{k^{n}}
\]

Есть два способа найти коэффициенты $C_{n}$. Из (11.8) получим
\[
C_{n}=-\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \ln |a(k)| k^{n-1} d k-\sum_{l=1}^{N} \frac{1}{n}\left(k_{l}^{n}-\bar{k}_{l}^{n}\right) .
\]

С другой стороны, эти коэффициенты могут быть выражены в терминах локальных функционалов от $\bar{\psi}$ и $\psi$. Для этого рассмотрим матричный элемент $f_{11}(x, k)$ матрицы $\mathscr{F}(x, k)$. Можно проверить, что для $\operatorname{Im} k>0$
\[
f_{11}(x, k)=e^{i k x}[1+O(1)], \quad x \rightarrow \infty, f_{11}=a(k) e^{i k x}(1+o(1)), \quad x \rightarrow-\infty .
\]

Исходное дифференциальное уравнение дает, что функция
\[
\chi(x, k)=\frac{d}{d x} \ln f_{11}(x, k)-i k
\]

удовлетворяет уравнению
\[
\chi=-i \psi \varphi ; \quad \varphi_{x}=\frac{1}{i}\left(2 k \varphi-\psi \varphi^{2}-\bar{\psi}\right) .
\]

Из асимптотического поведения $f_{11}$ получаем
\[
\ln a(k)=-\int_{-\infty}^{\infty} \chi(x, k) d x .
\]

Решение уравнения (11.11) можно искать в форме
\[
\chi(x, k)=\sum \frac{\chi_{n}(x)}{k^{n}} .
\]

Отсюда мы получаем возможность выразить коэффициенты $C_{n}$ в терминах $\bar{\psi}$ и $\psi$ и их производных. Первые три коэффициента равны
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=-\frac{i}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\psi} \psi d x \\
C_{2}=\frac{1}{8} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\bar{\psi}_{x} \psi-\bar{\psi} \psi_{x}\right) d x \\
C_{3}=-\frac{i}{8} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\bar{\psi}_{x} \psi-|\psi|^{4}\right) d x .
\end{array}
\]

Они с точностью до постоянных множителей совпадают с важными наблюдаемыми – числом частиц, импульсом и энергией.
Окончательная формула
\[
H=-\frac{8}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} k^{2} \ln |a(k)| d k-\frac{8 i}{3} \sum_{l}\left(k_{l}^{3}-\bar{k}_{l}^{3}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\left|\psi_{x}\right|^{2}-|\psi|^{4}\right) d x
\]

дает искомое выражение гамильтониана в терминах данных рассеяния.

Найдем теперь форму $\Omega$. Для этого выразим вариации $\delta \bar{\psi}$ и $\delta \psi$ функций $\bar{\psi}$ и $\psi$ в терминах вариаций данных рассеяния. Воспользуемся уравнением Гельфанда – Левитана. Определим резольвенту, т. е. ядро $\Gamma_{x}(y, z)$, такое, что решение уравнения
\[
f(y)+g(y)+\int_{x}^{\infty} f(z) F(z+y) d z=0, \quad y>x,
\]

представимо в форме
\[
f(y)=-g(y)-\int_{x}^{\infty} g(z) \Gamma_{x}(y, z) d z .
\]

Сопоставляя эти формулы с уравнением Гельфанда – Левитана (11.9), получим
\[
\Gamma_{x}(y, x)=T K^{*}(x, y) T, \quad T=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Вариация $\delta K$ ядра оператора преобразования удовлетворяет уравнению
\[
\begin{array}{l}
K(x, y)+\delta F(x+y)+ \\
+\int_{x}^{\infty} K(x, z) \delta F(z+y) d z+\int_{x}^{\infty} \delta K(x, z) F(z+y) d z=0 .
\end{array}
\]

Используя резольвенту, решение этого уравнения можно представить как
\[
\delta K(x, y)=-(I+K) \delta F\left(I+\Gamma_{x}\right)(x, y) .
\]

В частности, отсюда следует, если учесть (11.10), (10.12), что
\[
\begin{array}{l}
\delta \psi(x)=\frac{i}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\delta r(k) f_{11}^{2}(x, k)-\delta \bar{r}(k) f_{12}^{2}(x, k)\right] d k+ \\
+\sum_{l}\left[\delta m_{l} f_{11}^{2}\left(x, k_{l}\right)-\delta \bar{m}_{l} f_{12}^{2}\left(x, \bar{k}_{l}\right)+\left.m_{l} \delta k_{l} \frac{d}{d k} f_{11}^{2}(x, k)\right|_{k=k_{l}}-\right. \\
\left.-\left.\bar{m}_{l} \delta \bar{k}_{l} \frac{d}{d k} f_{12}^{2}(x, k)\right|_{k=k_{l}}\right] .
\end{array}
\]

Здесь использован, кроме перечисленных выше, тот факт, что матрица $\mathscr{F}(x, k)$ может быть представлена с помощью оператора преобразования в виде
\[
\mathscr{F}(x, k)=\mathscr{E}(x, k)+\int_{x}^{\infty} K(x, y) \mathscr{E}(y, k) d y .
\]

Подставим выражение для $\delta \psi$ в форму $\Omega$ (см. (11.4)). Соответствующий интеграл по $x$ может быть вычислен точно, поскольку соотношение
\[
\begin{array}{l}
u_{1}(x, k) v_{2}\left(x, k^{\prime}\right)+u_{2}(x, k) v_{1}\left(x, k^{\prime}\right)= \\
=\frac{1}{i\left(k-k^{\prime}\right)} \frac{d}{d x}\left[u_{1}(x, k) v_{2}\left(x, k^{\prime}\right)-u_{2}(x, k) v_{1}\left(x, k^{\prime}\right)\right]
\end{array}
\]

выполняется для любого решения задачи (11.7).
Окончательное выражение для $\Omega$ (через данные рассеяния и их вариации) имеет.вид
\[
\begin{aligned}
\mathbf{\Omega}=\frac{1}{\pi i} & \int_{-\infty}^{\infty}|a(k)|^{2} \delta r(k) \wedge \delta \bar{r}(k d k+ \\
& +\frac{1}{2 \pi^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} d k d l \frac{\delta F(k) \wedge \delta F(l)}{k-l}+\sum \frac{2}{\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} \delta F(k) \wedge
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{c}
\wedge\left(\frac{\delta k_{l}}{k-k_{l}}-\frac{\delta \bar{k}_{l}}{k-\bar{k}_{l}}\right)+2 \sum_{l
eq j}\left(\frac{\delta k_{l} \wedge \delta k_{j}}{k_{l}-k_{j}}+\frac{\delta \bar{k}_{l} \wedge \delta \bar{k}_{j}}{\bar{k}_{l}-\bar{k}_{j}}\right)- \\
-4 \sum_{l, j} \frac{\delta k_{l} \wedge \delta \bar{k}_{j}}{k_{l}-\bar{k}_{j}}+2 \sum_{l}\left(\frac{\delta m_{l} \wedge \delta k_{l}}{m_{l}}+\frac{\delta \bar{m}_{l} \wedge \delta \bar{k}_{l}}{\bar{m}_{l}}\right) ; \\
\delta F(k)=a(k) \tilde{b}(k) \delta r(k)+\bar{a}(k) b(k) \delta \bar{r}(k)=-2 \delta \ln |a(k)| .
\end{array}
\]

Следующие комбинации данных рассеяния
\[
\begin{aligned}
P(k) & =-\frac{2}{\pi} \ln |a(k)| ; \quad Q(k)=\arg b(k) ; \quad-\infty<k<\infty ; \\
\xi_{l} & =4 \operatorname{Re} k_{l} ; \quad \eta_{l}=-\ln \left|d_{l}\right| ; \\
\alpha_{l} & =4 \operatorname{Im} k_{l} ; \quad \beta_{l}=\arg d_{l} ; \quad l=1, \ldots, N
\end{aligned}
\]

содержат всю информацию о них и могут быть выбраны в качестве канонических переменных. В них форма $\Omega$ приобретет стандартный вид
\[
\Omega=\int_{-\infty}^{\infty} \delta P(k) \wedge \delta Q(k) d k+\sum_{l=1}^{N}\left(\delta \xi_{l} \wedge \delta \eta_{l}+\delta \alpha_{l} \wedge \delta \beta_{l}\right) .
\]

Наблюдаемые $N, P, H$ могут быть выражены через переменные типа действия:
\[
\begin{array}{l}
N=\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^{2} d x=\int_{-\infty}^{\infty} P(k) d k+\sum \alpha_{l}, \\
P=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\bar{\psi} \psi_{x}-\bar{\psi}_{x} \psi\right) d x=\int_{-\infty}^{\infty} 2 k P(k) d k+\sum_{l} \frac{1}{2} \xi_{l} \alpha_{l}, \\
H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\left|\psi_{x}\right|^{2}-|\psi|^{4}\right) d x=\int_{-\infty}^{\infty} 4 k^{2} P(k) d k+\sum_{l}\left(\frac{1}{4} \xi_{l}^{2} \alpha_{l}-\alpha_{l}^{3} / 12\right) .
\end{array}
\]

Исходные гамильтоновы уравнения в данных рассеяния приобретают вид
\[
\frac{d}{d t} b(k, t)=4 i k^{3} t b(k, t) ; \quad \frac{d}{d t} m_{l}(t)=4 i k_{l}^{2} t m_{l}(t) .
\]

Все вышесказанное показывает, что переход к данным рассеяния для нелинейного уравнения Шрёдингера является каноническим преобразованием к переменным типа действие – угол. В следующем разделе будут обсуждены некоторые приложения этого результата. В заключение этого раздела будут сформулированы результаты, относящиеся к переменным типа действие угол для примеров интегрируемых уравнений, которые были приведены в разд. 11.1.

1. Уравнение Кортевега – де фриза. Вспомогательная спектральная задача [11.9]
\[
-y^{\prime \prime}+v(x) y=k^{2} y ; \quad v(x) \rightarrow 0,|x| \rightarrow \infty
\]

имеет решения с асимптотическим поведением
\[
\begin{array}{c}
f(x, k)=e^{i k x}[1+o(1)], x \rightarrow \infty ; \\
g(x, k)=e^{-i k x}[1+o(1)], x \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

Коэффициенты перехода определяются из равенств
\[
\begin{array}{c}
f(x, k)=a(k) g(x,-k)+b(k) g(x, k) ; \\
f\left(x, i k_{l}\right)=d_{l} g\left(x, i k_{l}\right) ; \quad a\left(i k_{l}\right)=0, l=1, \ldots, N .
\end{array}
\]

Переменные типа действие – угол выражаются через данные рассеяния с помощью следующих формул [11.1]:
\[
\begin{array}{c}
P(k)=\frac{4 k}{\pi} \ln |a(k)| ; Q(k)=\arg b(k) ; 0 \leqslant k<\infty ; \\
\xi_{l}=k_{l}^{2} ; \quad \eta_{l}=2 \ln d_{l} ; \quad l=1, \ldots, N ; \\
\Omega=\int_{0}^{\infty} \delta P(k) \wedge \delta Q(k) d k+\sum_{l} d \xi_{l} \wedge d \eta_{l} ; \\
H=8 \int_{0}^{\infty} k^{3} P(k) d k+\frac{32}{5} \sum_{l} \xi_{l}^{5 / 2}
\end{array}
\]
2. Уравнение sine-Gordon. Рассмотрим лишь ту форму этого уравнения, которая соответствует конусным переменным. Вспомогательная спектральная задача для этого уравнения такая же, как и для нелинейного уравнения Шрёдингера с $\psi(x)=$ $=i u_{\eta}(\eta)$ чисто мнимым $[11.15,11.16]$. В этом случае данные рассеяния удовлетворяют дополнительным соотношениям
\[
a(k)=\overline{a(-k)} ; \quad b(k)=-b(-k)
\]

и нули $a(k)$ симметричны относительно мнимой оси. Коэффициенты перехода $d_{l}$ являются чисто вещественными для чисто мнимых $k_{l}$. Переменные типа действие – угол суть [11.11] $(m=1)$
\[
\begin{array}{c}
P(k)=-\frac{8}{\pi \gamma^{k}} \ln |a(k)| ; \quad Q(k)=\arg b(k), \quad 0<k<\infty ; \\
\xi_{a}=\frac{1}{\gamma} \ln \lambda_{a} ; \quad \eta_{a}=8 \ln \left|c_{a}\right| ; \quad a=1, \ldots, A ; \\
\xi_{b}=\frac{4}{\gamma} \ln \left|\mu_{b}\right| ; \quad \eta_{b}=\frac{4}{\gamma} \ln \left|d_{b}\right| ; \quad \alpha_{b}=\arg \mu_{b} ; \quad \beta_{b}=-\frac{16}{\gamma} \arg d_{b} .
\end{array}
\]

Здесь $і \lambda_{a}$ чисто мнимые нули $a(k), \mu_{b}$ комплексные нули с $0<\arg \mu_{b}<\frac{\pi}{2} ; \quad c_{a}$ и $d_{b}$ соответствующие коэффициенты перехода. Форма $\Omega$ равна
\[
\Omega=\int_{0}^{\infty} \delta P(k) \wedge \delta Q(k) d k+\sum_{a} \delta \xi_{a} \wedge \delta \eta_{a}+\sum_{b}\left(\delta_{\Xi b} \wedge \delta \eta_{b}+\delta \alpha_{b} \wedge \delta \beta_{b}\right) .
\]

Соответствующие выражения для гамильтониана $H$ и импульса $P$
\[
\begin{aligned}
H & =\int_{0}^{\infty}\left(2 k+\frac{1}{8 k}\right) P(k) d k+\frac{1}{\gamma} \sum_{a}\left(\frac{1}{\lambda_{a}}+16 \lambda_{a}\right)+ \\
& +\sum_{b} \frac{\mu_{b}-\mu_{b}}{i \gamma}\left(\frac{1}{\left|\mu_{b}\right|^{2}}+16\right) ; \\
P & =\int_{0}^{\infty}\left(2 k-\frac{1}{8 k}\right) P(k) d k+\frac{1}{\gamma} \sum_{a}\left(\frac{1}{\lambda_{a}}-16 \lambda_{a}\right)+ \\
& +\sum_{b} \frac{\mu_{b}-\bar{\mu}_{b}}{i \gamma}\left(\frac{1}{\left|\mu_{b}\right|^{2}}-16\right) .
\end{aligned}
\]
3. Цепочка Tоды. Вспомогательная спектральная задача ставится на языке бесконечномерной матрицы $[11.17,11.18]$
\[
\begin{aligned}
L \varphi(n)= & \alpha_{n-1} \varphi(n-1)+\alpha_{n} \varphi(n+1)+\beta_{n} \varphi(n)=\lambda \varphi(n) ; \\
& \alpha_{n}=\exp \left(q_{n}-q_{n-1}\right) ; \quad \beta_{n}=-\frac{1}{2} p_{n} .
\end{aligned}
\]

Решения $f(n, \zeta)$ и $g(n, \zeta)$ определяются из условий
\[
\begin{array}{c}
f(n, \zeta)=\zeta^{n}[1+o(1)], n \rightarrow \infty ; \quad g(n, \zeta)=\zeta^{-n}[1+o(1)], n \rightarrow-\infty ; \\
2 \lambda=\zeta+\frac{1}{\zeta} ; \quad \zeta=e^{i \varphi} ; \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi .
\end{array}
\]

Коэффициенты перехода определяются аналогично предшествующим случаям равенствами
\[
\begin{aligned}
f(n, \zeta) & =a(\zeta) g\left(n, \frac{1}{\zeta}\right)+b(\zeta) g(n, \zeta) \\
f\left(n, \zeta_{l}\right) & =d_{l} g\left(n, \zeta_{l}\right), \quad a\left(\zeta_{l}\right)=0 ;-1<\zeta_{l}<1, \quad l=1, \ldots, N .
\end{aligned}
\]

Переменные действие-угол даются следующими формулами:
\[
\begin{array}{c}
P(\varphi)=\frac{1}{\pi} \sin \varphi \ln \left|a\left(e^{i \varphi}\right)\right| ; \quad Q(\varphi)=\arg b\left(e^{i \varphi}\right) ; \\
\xi_{l}=\zeta_{l}+\frac{1}{\zeta_{l}}, \quad \eta_{l}=\ln d_{l} \\
\Omega=\int_{0}^{\pi} \delta P(\varphi) \wedge \delta Q(\varphi) d \varphi+\sum_{l} \delta_{\zeta_{l}} \wedge \delta \eta_{l} .
\end{array}
\]

Гамильтониан может быть выражен в переменных типа действия
\[
H=\int_{0}^{\pi} 2 \sin \varphi P(\varphi) d \varphi+\sum_{l}\left[\frac{1}{2}\left(\zeta_{l}^{2}+\frac{1}{\zeta_{l}^{2}}\right)+\ln \zeta_{l}^{2}\right] .
\]

На этом мы закончим список примеров переменных действие угол и отошлем к работе [11.19], в которой найдены эти переменные для уравнения трех волн.