Для того чтобы проиллюстрировать возможности метода обратного преобразования рассеяния на конкретных примерах, рассмотрим следующее важное его приложение. Подробности явления, которое вкратце будет здесь описано, можно найти в $[6.29],[6.30]$. Пусть $r=\alpha q^{*}, \alpha$ вещественное, $q=E / 2$, $2 \varphi_{1} \tilde{\varphi}_{1}=\lambda, N=\varphi_{1} \vec{\varphi}_{2}+\bar{\varphi}_{1} \varphi_{2}$. Тогда $2 \varphi_{2} \vec{\varphi}_{2}=\alpha \lambda^{*}$, и (6.106) превращается в уравнение
\[
E_{t}=\int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) \lambda(x, t, \eta) d \eta,
\]

которое является усредненным уравнением Максвелла, описывающим изменения огибающей электрического поля $E(x, t)$ при прохождении через резонируюцую, с неоднородным уширением (за счет доплеровского эффекта), невырожденную среду двухуровневых атомов. Разность уровней энергии предполагается близкой (с точностью до ширины $g(\eta)$ ) к частоте несущей волны с огибающей $E$. Здесь $t$ является расстоянием $X$ вдоль среды, а $x$ есть $T-X$. Величины $\lambda(x, t, \eta)$ и $N(x, t, \eta)$ удовлетворяют уравнениям
\[
\lambda_{x}+2 i \eta \lambda=E N, \quad N_{x}=\frac{\alpha}{2}\left(E \lambda^{*}+E^{*} \lambda\right) .
\]

Для случая $\alpha=-1$ это хорошо известные уравнения Блоха [6.30], описывающие влияние огибающей электрического поля на поляризацию и плотность заселения уровней $N(x, t, \eta)$. Фактически $N=\left(\eta_{E}-\eta_{G}\right) /\left(\eta_{E}+\eta_{G}\right)$, где $\eta_{E}$ – число атомов в возбужденном, а $\eta_{G}$ в основном состоянии. При $x \rightarrow-\infty$ граничные условия $\lambda=0$ и $N=-1$ означают просто, что до прихода импульса среда находится в основном состоянии.

Динамика системы показана на рис. 6.1. Начальный импульс распадается на солитоны, которые соответствуют дискретным

\[
\begin{array}{r}
\lambda(X, \infty, \eta)=2 a \theta^{*} e=2 i \eta x \longrightarrow 0 \text { npu } X \rightarrow \infty \\
N(X, \infty, \eta)=-1+b b^{*}–1 \text { npu } X \rightarrow \infty \\
X=\beta
\end{array}
\]
\[
x=\beta=\frac{1}{\beta}
\]

Рис. 6.1. $X-T$-диаграмма распространения импульса $E(0, T)$, приходящего в точку $X=0$ в момент времени $T \cong 0$. ных значений $\zeta,-\zeta^{*}$ (0л-импульсам). Радиационная составляющая определяется отношением $b^{*}(\xi, 0) / a(\zeta, 0)$. Эти величины могут быть просто найдены из (6.16) при $-r^{*}=q=E / 2$, где $E(x, 0)[=E(0, T)]$ задано. Солитоны распространяются сквозь среду без потерь, когерентно, тогда как излучение в конце концов полностью поглощается в соответствии с законом Беера. Система обладает некоторыми чрезвычайно интересными свойствами, часть из которых следует описать более детально. Замечания 1, 2 и 3 относятся к случаю $\alpha=-1$, а замечание 4 к случаю $\alpha=+1$.

Замечание 1. В системе нет других сохраняющихся величин, кроме собственных значений. Действительно, анализ эволюции во времени функции $\ln a(\zeta, t)$ показывает, что
\[
\frac{\partial}{\partial t} \ln a(\zeta, t)=\frac{i}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) \frac{2 b b^{*}}{\zeta-\eta} d \eta, \quad \operatorname{Im} \zeta>0 .
\]

В частности, используя (6.25), получим
\[
\frac{\partial}{\partial t} C_{1}=-\frac{1}{8 i} \frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} E E^{*} d x=-\frac{i}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta)(N+1)_{x=+\infty} d \eta,
\]

или
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{+\infty} E E^{*} d x=-4 \int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) b b^{*} d \eta, \text { так как }\left.N\right|_{+\infty}=-1+2 b b^{*} .
\]

Последнее выражение в общем случае отлично от нуля. Этот результат можно вывести непосредственно из (6.108), (6.109). Потеря энергии связана с ее поглощением (радиационной части) средой. Поглощение происходит вследствие перемешивания фаз и определяется гладкой ненулевой функцией $g(\eta)=$ $=(2 / \pi)(\bar{M}-M)$.

Это показывает, что различие в дисперсионных соотношениях приводит к весьма реальному эффекту.

Замечание 2. Обобщенная теорема площадей Мак-КоллаХана. Если в качестве $g(\eta)$ дано лоренцево уширение $\beta /\left[\pi\left(\eta^{2}+\beta^{2}\right)\right]$, то, интегрируя (6.95), получим
\[
\frac{b^{*}(\zeta, t)}{a(\zeta, t)}=\frac{b^{*}(\zeta, 0)}{a(\zeta, 0)} \exp \left[\frac{-(\beta+i \zeta) t}{2\left(\zeta^{2}+\beta^{2}\right)}\right] .
\]

Для $\zeta \gg \beta$ коэффициент отражения убывает и энергия рассеивается в среде на расстояниях порядка $1 / \beta$ (закон Беера). С другой стороны, при $\xi=0$
\[
\frac{b^{*}(0, t)}{a(0, t)}=\frac{b^{*}(0,0)}{a(0,0)} e^{-t / 2 \beta} .
\]

Следовательно, $b^{*}(0, t) / a(0, t)$ стремится к нулю на расстояниях порядка $\beta$, т. е. порядка толщины слоя неоднородного уширения. Для вещественных $E$, когда $b^{*}(0, t)=b(0, t)$, можно показать, что $b^{*} / a$ есть $\operatorname{tg} A(t) / 2$, где $A(t)$ – площадь (отрицательная) электрического импульса – $\int_{-\infty}^{+\infty} E(x, t) d x$. (Это легко увидеть, так как при $\zeta=0$, если $E / 2 \stackrel{-\infty}{=} q=-r=-u_{x} / 2, \varphi_{1}=\cos u / 2$, $\varphi_{2}=\sin u / 2$, то $b^{*}(0, t) / a(0, t)=b(0, t) / a(0, t)=\operatorname{tg} u / 2(+\infty)$, где $u(x)=-\int_{-\infty}^{+\infty} E d x$.) Уравнение (6.113) показывает, что площадь $\int_{-\infty}^{+\infty} E d x$ стремится к кратному $2 \pi$ на расстояниях порядка $\beta$. Если $\beta<0$ (или $\operatorname{Re} M(0)<0$ ), что соответствует системам, находящимся первоначально в возбужденном состоянии, площадь стремится к нечетному кратному л. Можно получить обобщения этой теоремы на более высокие нелинейные моменты.

Объединяя эти два замечания, можно представить структуру общего решения. Из рис. 6.1 и предположения $\beta<1$ видно, что импульс, возникший при $X=0$ и $T=0$, в первый момент так меняет свою форму, что его площадь становится кратной $2 \pi$. Это не означает, что радиационная составляющая рассеивается, а просто то, что общая площадь солитона и радиационного поля равна $2 \pi n$. Следующий факт заключается в том, что импульс распадается на $2 \pi$ – и $0 л$-импульсы (если $E$ вещественно) и радиационная энергия поглощается на бееровской длине $1 / \beta$. На расстояниях, больших $X=t \sim 1 / \beta$, радиационная составляющая полностью поглощена, а $2 \pi$ – и $0 \pi$-импульсы продолжают распространяться когерентно, без потерь.

Замечание 3. Предельное уравнение sine-Gordon. Если $\beta$ стремится к нулю, дисперсионные соотношения $M$ и $\bar{M}$ стремятся к $-i / 4 \zeta$, а $g(\eta)$ к $\delta(\eta)$ т. е. к дельта-функции Дирака. Формально $\lambda(\eta=0)=\left.2 \varphi_{1} \varphi_{1}\right|_{\eta=0}=\sin u$, ит так как $E=-u_{x}$, то уравнение Максвелла (6.108) превращается в уравнение
\[
u_{x t}=-\sin u \text {. }
\]

Это уравнение sine-Gordon в форме Гурса; данные заданы при $t=0$ и $x=-\infty$. При $\beta \rightarrow 0$ из (6.113) следует, что $b(0) \rightarrow 0$ для любого $t>0$. Значит, форма импульса изменяется мгновенно. Тем самым для уравнения sine-Gordon в форме уравнения типа Гуpca дonyстимые начальные данные являются лишь подклассом начальных данных, допустимых для задачи о распространении когерентного импульса. Необходимым условием, выделяющим этот подкласс, является $b(0,0)=0$ (или $u( \pm \infty, 0)=2 n \pi$ ). Достаточные условия [6.65] на начальные данные, гарантирующие интегрируемость (6.114) с помощью метода обратного преобразования рассеяния, имеют вид $b(\zeta, 0)=O\left(\zeta^{1 / 2}\right)$ при $\zeta \rightarrow 0$. Видно, что начальные данные могут содержать радиационную составляющую, но она должна быть ассоциирована с волновыми векторами, отличными от $\eta=0$. Кроме того, в пределе sineGordon радиация не убывает (в системе отсутствует поглощение), а диспергирует и распространяется вместе с солитонами.

В заключение заметим, что если $\bar{M}=M=-1 / 4(\zeta \rightarrow \zeta), \hat{\zeta}$ вещественное, то для корректной постановки задачи Гурса условия $b(\hat{\zeta})=\bar{b}(\hat{\zeta})=0$ необходимы.

Замечание 4. Операторная точка зрения. Флашка и Ньюэлл [6.63] показали, что уравнения типа Лакса $L_{t}=[B, L]$ преобразуются обратным преобразованием рассеяния к уравнению
\[
\hat{S}_{t}=\hat{T}_{+} \hat{S}-\hat{S} T_{-},
\]

описывающему эволюцию матрицы рассеяния $S$. Так как формализм Лакса требует самосопряженности оператора $L$ и кососимметричности оператора $B$, положим $r=+q^{*}$ или $\alpha=+1$, что влечет за собой самосопряженность (6.16). Используя (6.95) для вычисления эволюции во времени $b^{*} / a$ и других данных, найдем
\[
\begin{array}{c}
\hat{S}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{a} & -\frac{b^{*}}{a} \\
\frac{b}{a} & \frac{1}{a}
\end{array}\right), \quad T_{+}=\left(\begin{array}{cc}
-\frac{i}{4}\left\langle\frac{1+b b^{*}}{\zeta \eta}\right\rangle & \frac{\pi}{4} g b^{*} \\
-\frac{\pi}{4} g b & \frac{i}{4}\left\langle\frac{1+b b^{*}}{\zeta \eta}\right\rangle
\end{array}\right), \\
T_{-}=\left(\begin{array}{cc}
-\frac{i}{4}\left\langle\frac{1+b b^{*}}{\zeta \eta}\right\rangle & -\frac{\pi}{4} b^{*} g \\
\frac{\pi}{4} g b & \frac{i}{4}\left\langle\frac{1+b b^{*}}{\zeta \eta}\right\rangle
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

где $\langle f\rangle=P \int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) f(\eta) d \eta$. Если $T_{+}=T_{-}=T$, то (6.115) имеет вид $\hat{S}_{t}=[T, \hat{S}]$, и, следовательно, существует такой унитарный онератор $U$, что $U_{t}=T U$ и $\hat{S}(t) U=U \hat{S}(0)$. Следовательно, для многих величин (например, для $\operatorname{det} \hat{S}$ ) нетрудно показать их сохраняемость. В общем случае $T_{+}
eq T_{2}$, и единственной сохраняющейся величиной является спектр. Это явление связано с тем, что $g(1)
eq 0$. Если $g(\eta) \equiv 0$ или $g(\zeta)=\delta(\zeta)$ (в последнем случае, поскольку $M=\bar{M}=-i / 4 \zeta$ имеет полюс в точке $\zeta=0$, необходимо положить $b(0)=0$ ), то
\[
T=T_{+}=T_{-}=\left(\begin{array}{cc}
-\frac{i}{4 \zeta} & 0 \\
0 & \frac{i}{4 \zeta}
\end{array}\right) .
\]

В этом пределе система (6.108), (6.109) сводится к уравнению sh-Gordon
\[
u_{x t}=-\operatorname{sh} u, \quad\left[E(x, t)=-u_{x}\right] .
\]