Рассмотрим систему уравнений
$$\begin{array}{c}\psi (n+1)+S(n)\psi (n)+T(n)\psi (n-1)=\lambda \psi (n),\\ \dot{\psi }(n)=-iJ\psi (n+2)+C(n)\psi (n+1)+D(n)\psi (n),\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}S(n)=\left(\begin{array}{cc}0& i({\overline{R}}_{n-1}-{\overline{R}}_n)\\ i(R_{n-1}-R_n)& 0\end{array}\right),T(n)=(1+{\left|R_{n-1}\right|}^2)I,\\ J=\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),C(n)=\left(\begin{array}{cc}0& -{\overline{R}}_{n-1}-{\overline{R}}_{n+1}\\ R_{n+1}+R_{n-1}& 0\end{array}\right),\\ D(n)=\left(\begin{array}{cc}i(1-R_{n-1}{\overline{R}}_n+{\overline{R}}_{n-1}{R}_n)& 0\\ 0& -i(1+R_{n-1}{\overline{R}}_n-{\overline{R}}_{n-1}{R}_n)\end{array}\right).\end{array}$$

${У}_{\text{словие }}{\lambda }_t=0$ дает нелинейное разностное уравнение Шрёдингера [8.16]
$$i{\dot{R}}_n+R_{n+1}+R_{n-1}-2R_n+{\left|R_n\right|}^2(R_{n+1}+R_{n-1})=0.$$

Таким образом, нами было получено матричное обобщение метода обратной задачи рассеяния на разностный случай. Хочется подчеркнуть параллелизм дискретного и непрерывного случаев. Математические методы, применимые и весьма полезные в непрерывном случае, оказываются столь же работоспособными и в дискретном случае. Представляется, что дифференциально-разностные аналоги интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений интегрируемы.

В качестве примера, подтверждающего сказанное, рассмотрим уравнения (8.41), (8.57). Гарднером и соавторами $[8.1,8.18]$ метод обратной задачи рассеяния был введен как линеаризация преобразования Миуры. Суть сделанного ими такова. Подставляя
$$u=i{\psi }_x/(\sqrt{\beta }\psi )-\alpha /2\beta$$

в обобщенное преобразование Миуры (8.40), получим уравнение Шрёдингера
$$-{\psi }_{xx}+U_{11}\psi =\lambda \psi ,\lambda ={\alpha }^2/4\beta .$$

С другой стороны, подстановка
$$Q_{n-1}=i\mathrm{\Phi }(n)/(\sqrt{\beta }\mathrm{\Phi }(n-1))-(\alpha +i\sqrt{4\beta -{\alpha }^2})/2\beta$$

в (8.56) дает
$$\mathrm{\Phi }(n+1)+T_{11}(n)\mathrm{\Phi }(n-1)=\lambda \mathrm{\Phi }(n);\lambda =\sqrt{4-\frac{{\alpha }^2}{\beta }}.$$

B каждом шағе метода имеются сходные уравнения в непрерывном и дискретном случаях.