Рассмотрим систему уравнений
\[
\begin{array}{c}
\psi(n+1)+S(n) \psi(n)+T(n) \psi(n-1)=\lambda \psi(n), \\
\dot{\psi}(n)=-i J \psi(n+2)+C(n) \psi(n+1)+D(n) \psi(n),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
S(n)=\left(\begin{array}{cc}
0 & i\left(\bar{R}_{n-1}-\bar{R}_{n}\right) \\
i\left(R_{n-1}-R_{n}\right) & 0
\end{array}\right), \quad T(n)=\left(1+\left|R_{n-1}\right|^{2}\right) I, \\
J=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad C(n)=\left(\begin{array}{cc}
0 & -\bar{R}_{n-1}-\bar{R}_{n+1} \\
R_{n+1}+R_{n-1} & 0
\end{array}\right), \\
D(n)=\left(\begin{array}{cc}
i\left(1-R_{n-1} \bar{R}_{n}+\bar{R}_{n-1} R_{n}\right) & 0 \\
0 & -i\left(1+R_{n-1} \bar{R}_{n}-\bar{R}_{n-1} R_{n}\right)
\end{array}\right) . \\
\end{array}
\]

$У_{\text {словие }} \lambda_{t}=0$ дает нелинейное разностное уравнение Шрёдингера [8.16]
\[
i \dot{R}_{n}+R_{n+1}+R_{n-1}-2 R_{n}+\left|R_{n}\right|^{2}\left(R_{n+1}+R_{n-1}\right)=0 .
\]

Таким образом, нами было получено матричное обобщение метода обратной задачи рассеяния на разностный случай. Хочется подчеркнуть параллелизм дискретного и непрерывного случаев. Математические методы, применимые и весьма полезные в непрерывном случае, оказываются столь же работоспособными и в дискретном случае. Представляется, что дифференциально-разностные аналоги интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений интегрируемы.

В качестве примера, подтверждающего сказанное, рассмотрим уравнения (8.41), (8.57). Гарднером и соавторами $[8.1,8.18]$ метод обратной задачи рассеяния был введен как линеаризация преобразования Миуры. Суть сделанного ими такова. Подставляя
\[
u=i \psi_{x} /(\sqrt{\beta} \psi)-\alpha / 2 \beta
\]

в обобщенное преобразование Миуры (8.40), получим уравнение Шрёдингера
\[
-\psi_{x x}+U_{11} \psi=\lambda \psi, \quad \lambda=\alpha^{2} / 4 \beta .
\]

С другой стороны, подстановка
\[
Q_{n-1}=i \Phi(n) /(\sqrt{\beta} \Phi(n-1))-\left(\alpha+i \sqrt{4 \beta-\alpha^{2}}\right) / 2 \beta
\]

в (8.56) дает
\[
\Phi(n+1)+T_{11}(n) \Phi(n-1)=\lambda \Phi(n) ; \quad \lambda=\sqrt{4-\frac{\alpha^{2}}{\beta}} .
\]

B каждом шағе метода имеются сходные уравнения в непрерывном и дискретном случаях.