Методу обратной задачи рассеяния для решения нелинейных эволюционных уравнений вида $u_t=K[u]$, где $K[u]$ некоторый нелинейный функционал от $u(x,t)$, уже около двенадцати лет ${}^1)$. Своим открытием метод обязан Крускалу и др. [1.1] (1967 г.), которые показали, как решать уравнение КдФ
$$u_t=6u{u}_x-u_{xxx}$$

этим методом и, в частности, как найти все его солитонные решения. Понятие солитона было введено в статье Забуски и Крускала [1.2] в 1965 г.; там же были описаны основные его свойства. Если текущая научная активность является правильной мерой значения этих двух открытий, то они представляют собой наиболее значительный прогресс как в теории нелинейных волн после работ Римана (1826-1866) и Коши
1) Статья написана в 1979 г. — Прим. перев.

(1789-1857) о характеристиках, так и в теории уравнений в частных производных после работы Фурье (1758-1830) по линейным уравнениям. Более того, возможности, представленные нам методом обратной задачи для получения точных аналитических решений теперь уже значительного числа физически интересных нелинейных уравнений, вызвали революцию в самом подходе к нелинейной физике. Одним из следствий является то, что теперь тщательно исследуются нелинейные задачи в тех областях, где совсем недавно только линейные теории были способны выдавать приемлемые результаты. В первой главе мы описываем те шаги в истории солитонов, которые прадставляются нам важными либо для математической стороны предмета, либо для приложения этой математики к физически интересным проблемам.

Привлекательной чертой теории солитонов является тесная связь физики и математики. Сама теория, безусловно, развилась из наблюдения физического явления, в основе которого, как нам теперь известно, лежит односолитонное решение уравнения КдФ. Это наблюдение сделал в августе 1834 г. Джон Скотт Расселл; его отчет о нем уже неоднократно цитировался [1.4]. Мы здесь снова его приводим, потому что он показывает, какое завораживающее впечатление солитон сразу произвел на Расселла. Сделанное им яркое описание отчасти объясняет интерес, который тот же самый объект вызвал среди физиков и математиков примерно через 140 лет.

Расселл (1808-1882) был лучшим образцом предпринимателя викторианской эпохи. Развитый не по годам, он посещал лекции во всех трех шотландских университетах: Сент-Эндрюс, Эдинбургском и университете г. Глазго, пока не окончил последний в возрасте шестнадцати лет [1.5]. Работая в Отделении естественной истории в Эдинбурге в $1832-1833$ г., он получил задание изучить пропускную способность канала Юнион, который начинается у Эдинбурга, соединяется с каналом Форз Клайд и тем самым соединяет оба побережья Шотландии, что могло бы способствовать более экономичному использованию пароходов. Вероятно, именно в процессе этих исследований он доложил о следующем наблюдении [1.3]:
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т. е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и, когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышеняя длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с псловиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 г. мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции; теперь это название общепринято.

C тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению, и пришел к убеждению, что к тому же типу относятся огромные движущиеся повышения уровня моря, которые с регулярностью обращения небесного тела входят в наши реки и катятся вдоль наших побережий.

Для подробного изучения этого явления с целью точно установить его природу и управляющие им законы я придумал другие, более удобные способы его вызывать, чем только что описанный, и применил разнообразные методы наблюдения. Описание этих методов, надеюсь, поможет мне передать истинное представление о природе этой волны.
Происхождение волны первого рода…»
Қак показывают последние строки приведенной цитаты, Расселл затем классифицировал волновые движения жидкости и проводил эксперименты с водой, чтобы их наблюдать. Он различал четыре рода таких движений, I, II, III и IV, и два типа волн, уединенные и групповые; к групповым волнам он относил колебательные волны на воде и волновые группы (род II), а также капиллярные волны (род III). Его волна трансляции относилась к роду I и была уединенной; впоследствии Расселл назвал ее «большая уединенная волна». Волна рода II, которую он называл корпускулярной, была уединенной, и по причинам, отмеченным ниже, фактически была звуковой волной ${}^1$ ).

Идея уединенной волны во всяком случае дошла до наших дней, и теперь так называют всякий (обычно колоколообразный) плоский волновой импульс, перемещающийся в одном направлении в пространстве и сохраняющий при этом свою форму (это волна с постоянным профилем, или постоянного типа [1.6]). Любая колоколообјазная функция $u(x-Vt)$ есть уединенная волна, бегущая вдоль оси $x$ со скоростью $V$. Решение типа уединенной волны для уравнения КдФ вида (1.1) дается формулой
$$u=-2{\eta }^2{\mathrm{sech}}^2\left[\eta (x-4{\eta }^{2}t)\right]$$

и распространяется со скоростью $4{\eta }^2$. Оно отрицательно лишь в силу выбора знака для $u$, подразумеваемого формой
1) См. приложение.

уравнения (1.1). Легко видеть, что масштабное преобразование $u\to -u/6$ дает другую форму уравнений КдФ, а именно
$$u_t+u{u}_x+u_{xxx}=0\text{, }$$

с решением типа уединенной волны
$$\begin{array}{l}u=12{\eta }^2{\mathrm{sech}}^2\left[\eta (x-4{\eta }^{2}t)\right]=\\ =3{\alpha }^2{\mathrm{sech}}^2\left[\frac{\alpha }{2}(x-{\alpha }^{2}t)\right],\end{array}$$

где $\alpha \equiv 2\eta$. Отметим, как связаны скорости ( $4{\eta }^2$ или ${\alpha }^2$ ) с амплитудами ( $12{\eta }^2$ или $3{\alpha }^2$ ). Очевидно, что импульсы с большей амплитудой движутся быстрее. Такая связь встречается только среди нелинейных систем ${}^1$ ).

Уравнение КдФ описывает любую слабо нелинейную, слабо диспергирующую систему плоских волн. Для уединенной волны нелинейность $иu_x$ точно уравновешивает дисперсию $u_{xxx}$. В теории гравитационных волн на мелкой воде это уравнение естественно возникает [1.7] в виде
$$u_t+\frac{3}{2}\cdot \frac{c_s}{h}u{u}_{\xi }=\frac{1}{2}{c}_s{h}^2(\frac{\gamma }{\rho g{h}^2}-\frac{1}{3})u_{\xi \xi \xi }.$$

Независимая переменная $\xi$ — это $x-c_{s}t$, а скорость звука (линеаризованная скорость) есть $c_s=\sqrt{gh};$ здесь $h$-глубина в отсутствие возмущения, $\gamma$ — поверхностное натяжение воды, а $\rho$-ее плотность; решение типа уединенной волны всюду положительно при $\gamma /\left(\rho g{h}^2\right)<1/3$ и всюду отрицательно при $\gamma /\left(\rho g{h}^2\right)>1/3$. При $\gamma /\left(\rho g{h}^2\right)\approx 1/3$ для предотвращения несостоятельности теории необходимо учитывать производную более высокого порядка $u_{\text{вкв }}$.

Уравнение (1.6) описывает волны в достаточно широких каналах с неизменным поперечным сечением, и именно его положительное решение Расселл наблюдал в 1834 г. Эти факты ему не были известны, но он эмпирически нашел [1.3] с помощью серии хорошо поставленных опытов, упомянутых в приведенной выше цитате, важное соотношение между скоростью $c$ решения (1.6) типа уединенной волны и его максимальной высотой над уровнем свободной поверхности:
$$c^2=g(h+k).$$

Эта формула противоречит данным Эйри, который теоретически получил совершенно другой результат [1.3, 1.8]. В самом деле, если положить $\gamma$ тождественно равным нулю, то скорость $c$ ре-
1) Уравнения КдФ (1.1) и (1.3) инвариантны относительно масштабного преобразования $u(x,t)\to {\eta }^{2}u(\eta x,{\eta }^{3}t)$. Поскольку $12{\mathrm{sech}}^2(x-4t)$ есть решение уравнения (1.3), то формула (1.4) дает однопараметрическое семейство решений этого уравнения, щения типа уединенной волны уравнения (1.6) определится соотношением $c=c_s(1+k/2h)$. Результат $c=c_s(1+k/h{)}^{1/2}=$ $=\sqrt{g}(h+k{)}^{1/2}$ справедлив лишь для решений типа уединенной волны уравнений Буссинеска [1.9]
$$u_{tt}=c_s^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(u+\frac{3}{2}\frac{u^2}{h}+\frac{h^2}{3}{u}_{xx}).$$

Оно допускает решения типа уединенной волны вида $u=$ $=k{\mathrm{sech}}^2[{\left(3k/h^2\right)}^{1/2}(x\pm ct)]$, движущиеся в положительном или в отрицательном направлении оси $x$. Уравнение Буссинеска превращается в уравнение КдФ с одним направлением распространения заменой $\xi =x-gt$ и $\tau =\epsilon t$ и отбрасыванием членов порядка $O\left({\epsilon }^2\right)$.

Расселл впоследствие основал на своей формуле (1.7) некоторые примечательные и, возможно, чрезмерно далеко идущие гипотезы. Интересующийся читатель может прочесть о них и дальнейшей профессиональной карьере самого Расселла в приложении. Уединенная волна привлекла внимание Буссинеска, Рэлея и других и активно обсуждалась, пока не появилась работа Кортевега и де Фриза [1.7], написанная в 1895 г. По-прежнему волнующая борьба мнений и идей, сопровождавшая уединенную волну в то время, описана в приложении (см. также $[1.10-1.20]$ ). Здесь достаточно сказать, что расселлова «уединенная волна» была весьма удачно придумана и создала фундамент, на котором можно основать современную теорию солитонов. Само понятие солитона вводится в разд. 1.2.