Если предположить, что отражения нет, т. е.
\[
R(z, 0)=0,
\]

то мы получаем $N$-солитонное решение, найденное в [4.13], [4.15]:
\[
S_{n}=\log \operatorname{det} B_{n},
\]

где $B_{n}$ – матрица $N \times N$ с элементами
\[
\left(B_{n}\right)_{j k}=\delta_{j k}+c_{j} c_{k} \frac{\left(z_{j} z_{k}\right)^{n+1}}{1-z_{j} z_{k}} \exp \left[-\left(\beta_{j}+\beta_{k}\right) t\right] \quad(j, k=1,2, \ldots, N),
\]

причем
\[
z_{j}= \pm \exp \left(-\alpha_{j}\right), \quad \beta_{j}= \pm \sqrt{\frac{a b}{m}} \operatorname{sh} \alpha_{j}
\]

где константы $\alpha_{j}$ и $c_{j}=c_{j}(0)$ произвольны. Это решение состоит из $N$ солитонов вида
\[
\exp \left[-\left(Q_{n}-Q_{n-1}\right)\right]-1=\beta_{j}^{2} \operatorname{sech}^{2}\left(\alpha_{j} n-\beta_{j} t+\delta_{j}^{\mp}\right),
\]

где сдвиги фаз $\delta_{l}^{\mp}$ при $t \rightarrow \mp \infty$ удовлетворяют соотношению
\[
\sum_{j} \delta_{j}^{-}=\sum_{i} \delta_{j}^{+}
\]

представляющему собой сохранение полного импульса (ср. (4.34)).