Связанные состояния определяются при тех $k$, для которых
\[
\operatorname{det} A(k)=0 .
\]

Если для данного $k_{i}$ условие (8.15) выполнено, то существует ненулевой вектор а такой, что $A\left(k_{j}\right) \mathrm{a}=0$. В этом случае существует решение основной системы (8.1) такое, что
\[
\psi\left(x, k_{j}\right)=G\left(x, k_{j}\right) \mathrm{a}=F\left(x, k_{j}\right) B\left(k_{j}\right) \mathrm{a} .
\]

Из граничных условий (8.5) вытекает, что
\[
\begin{aligned}
\Psi\left(x, k_{j}\right) & \rightarrow \exp \left(-i k_{j} x\right) \text { a при } x \rightarrow-\infty, \\
& \rightarrow \exp \left(i k_{j} x\right) \text { a при } x \rightarrow \infty .
\end{aligned}
\]

Следовательно, при $k=k_{i}\left(\operatorname{Im} k_{j} \geqslant 0\right)$ у системы (8.1) имеется решение, квадратично-интегрируемое на всей оси. Так как потенциал $U(x)$ эрмитов, то энергия $k_{j}^{2}$ вещественна, и тогда $k_{j}=i \chi_{j}$ (где $x_{j}$ — вещественное положительное число).

Таким образом, связанным состояниям соответствуют в точности такие точки $k, \operatorname{Im} k_{j} \geqslant 0, \operatorname{Re} k_{j}=0$, что $\operatorname{det} A\left(k_{j}\right)=0$, и в которых тем самым $A^{-1}(k)$ имеет полюс.

Қак следует из леммы $1, \operatorname{det} A(k)$ не равен нулю на вещественной оси. Более того, из асимптотики (8.14) вытекает, что $\operatorname{det} A(k)$ отличен от нуля для достаточно больших $k$. Следовательно, $\operatorname{det} A(k)$ может иметь лишь конечное число нулей, что означает конечность числа связанных состояний. Таким образом, мы приходим к следующей важной теореме.

Теорема 1. Все особенности матрицы $A^{-1}(k)$ в верхней полуплоскости $\operatorname{Im} k>0$ являются простыми полюсами. В окрестности каждого полюса $k_{j}=i \chi_{j}$ ( $x_{j}$ вещественное, положительное) матрица $A^{-1}(k)$ имеет вид

где $N_{l}
eq 0$.
\[
A^{-1}(k)=N_{j}\left(k-k_{j}\right)^{-1}+O(1),
\]