В этой статье мы хотели подчеркнуть тесную взаимосвязь между методом обратного преобразования рассеяния, идеями фурье-анализа и идеями гамильтоновой механики. Теперь должно быть ясно, что именно квадраты собственных функций для задач (6.16), (6.155), а не сами собственные функции играют центральную роль в рассматриваемой теории и образуют подходящий базис для различных разложений. Даже в линейном пределе (замечание 2 , разд. 6.4) этот базис сводится к $(\exp ( \pm i \zeta x))^{2}$. В задачах с сингулярными дисперсионными соотношениями (разд. 6.5, 6.7-6.9) квадратичные произведения и квадраты собственных функций явно входят в уравнения в частных производных как зависимые переменные и, следовательно, могут иметь непосредственную физическую интерпретацию.

Центральная роль квадратов собственных функций стала ясной нам еще в ходе первой попытки [6.23] построить возможно более широкий класс интегрируемых систем, связанных с задачей на собственные значения (6.16). В той работе вводилась дополнительно временная зависимость собственных функций $v_{1}$ и $v_{2}$ задачи (6.16) вида
\[
\begin{array}{l}
v_{1 t}=A(x, t, \zeta) v_{1}+B(x, t, \zeta) v_{2}, \\
v_{2 t}=C(x, t, \zeta) v_{1}-A(x, t, \zeta) v_{2} .
\end{array}
\]

Для $A, B, C$ были получены уравнения
\[
A_{x}=q C-r B, \quad B_{x}+2 i \zeta B=q_{t}-2 q A, \quad C_{x}-2 i \zeta C=r_{t}+2 A r .
\]

Они следуют из приравнивания коэффициентов при $v_{1}$ и $v_{2}$ в выражениях для $v_{1 x t}, v_{1 t x}$ и $v_{2 x t}, v_{2 t x}$, которые получаются после перекрестного дифференцирования уравнений (6.16), (6.219). Связь с квадратами собственных функций можно увидеть, если заметить, что решения однородных $(A, B, C)$ уравнений (6.255) являются квадратичными произведениями $v_{1}, v_{2}$. Следовательно, таким способом можно жайти общие выражения для $v_{1 t}$ и $v_{2 t}$. Если интересоваться более общими полиномиальными решениями, то удобнее следовать разд. 6.3.

Хотя подход, намеченный в [6.23], а также в предыдущем абзаце, не дает столь полной картины, как теория, развитая в настоящей работе, он обладает тем преимуществом, что позволяет найти некоторые из интегрируемых уравнений в частных производных даже без знания деталей прямой задачи рассеяния. Например, можно искать полиномиальные решения уравнёний (6.255) в виде
\[
A=\sum_{n=0}^{N} A_{n}(x, t) \zeta^{n}, \quad B=\sum_{n=0}^{N-1} B_{n}(x, t) \zeta^{n}, \quad C=\sum_{n=0}^{N-1} C_{n}(x, t) \zeta^{n}
\]

непосредственной подстановкой (6.256) в (6.255) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $\zeta$. Приравнивание коэффициентов при $\zeta^{0}$ дает эволюционное уравнение (соответствующее одному из уравнений класса I). Конечно, причины, по которым уравнения допускают некоторые упрощения, кажущиеся случайными, при таком подходе остаются неясными; например, все уравнения для $A_{\text {a }}$ могут быть один раз проинтегрированы. Тем не менее сам метод и вычисления весьма просты. Можно порекомендовать в качестве первого упражнения проверку того, может ли данная задача на собственные значения (например, $y^{\prime \prime \prime \prime}+(p y)^{\prime \prime}+q y=\lambda y$ ) быть использована для решения уравнений в частных производных.

В настоящем обзоре мы в первую очередь стремились охарактеризовать и классифицирсвать эволюционные уравнения, ассоциированные с задачами (6.16), (6.155). Полностью аналогичный подход может быть применен и к другим задачам на собственные значения. Например, простую и удобную классификацию допускают уравнения, связанные с задачей на собственные значения, предложенной Захаровым и Шабатом,
\[
V_{x}=\left[\zeta R_{0}+P(x, t)\right] V,
\]

где $R_{0}$ – диагональная матрица с нулевым следом $[6.57,6.97]$.
С другой стороны, как уже отмечалось во введении, полный ответ на обратный вопрос о нахождении для данного эволюционного уравнения подходящей задачи на собственные значения, которая могла быть использована для его интегрирования, еще не получен, хотя заметный прогресс достигнут в этом направлении. Было бы очень важно найти легко проверяемые признаки, которые бы означали, что уравнение может быть проинтегрировано.

В качестве первого шага процедуры выявления этих признаков можно записать эволюционное уравнение в виде условия совместности
\[
P_{t}-Q_{x}+[P, Q]=0
\]

пары линейных уравнений
\[
\begin{array}{l}
V_{x}=P V, \\
V_{t}=Q V .
\end{array}
\]

Здесь элементы матриц $P$ и $Q$ зависят от неизвестных зависимых переменных эволюционного уравнения (системы эволюционных уравнений). Например, если нам дано (6.67) с $a_{0}=$ $=a_{1}=a_{3}=0, a_{2}=-2 i$, то напишем
\[
P=X_{1}+q X_{2}+r X_{3},
\]

где $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ подлежат определению. Подставим (6.261) в $(6.258)$, используя выражения для $q_{t}$ и $r_{t}$. Нашей целью будет решение получившихся уравнений относительно $Q$. Это можно делать с помощью итераций. Запишем $P_{t}=\left(P_{t}\right)_{0}+\left(P_{t}\right)_{1}+\left(P_{t}\right)_{2}$ по убывающим порядкам производных. Из $Q_{0 x}=\left(P_{t}\right)_{0}$ можно определить $Q_{0}$. Величину $Q_{1}$ найдем из уравнения $\left(P_{t}\right)_{1}+$ $+\left[P, Q_{0}\right]=Q_{1 x}$ и замкнем сисеему уравнений, положив $Q_{2}=0$. Это дает незамкнутую алгебру Ли, порожденную $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ и постоянными матрицами, возникшими как константы интегрирования при решении уравнений относительно $Q$. Алгебру можно замкнуть, потребовав, чтобы все коммутаторы являлись линейными комбинациями $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ и выполнялись все тождества Якоби. Для большинства уравнений возникающие алгебры имеют только тривиальные решения ( $X_{i}=0, i=1,2,3$, или $Q \sim P$; это отражает тот факт, что уравнение имеет локальный закон сохранения). Однако для интегрируемых уравнений существует бесконечно много нетривиальных алгебр. Например, для (6.67) найдем при произвольном § представление
\[
X_{1}=-i \zeta\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad X_{2}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad X_{3}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right),
\]

откуда следует, что (6.257) совпадает с (6.16). Для массивной модели Тирринга или для уравнения
\[
q_{t}=i q_{x x}-\left(q^{2} r\right)_{x}, \quad r=\mp q^{*}
\]

одно нз представлений соответствующей алгебры имеет вид
\[
X_{1}=-i \zeta^{2}\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad X_{2}=\zeta\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad X_{3}=\zeta\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) \text {. }
\]

Это означает, что для указанного уравнения система
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta^{2} v_{1}=\zeta q v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta^{2} v_{2}=\zeta r v_{1}
\end{array}
\]

есть подходящая задача на собственные значения. Наличие свободного параметра § является решающим, поскольку оно позволяет строить решения эволюционного уравнения с помощью обратного преобразования рассеяния, построив отображение потенциалов
\[
P(x, t) \rightarrow \Phi(x=+\infty, t, \zeta)
\]

в матрицы данных рассеяния Ф для каждого значения $\zeta$. Эволюция во времени $\Phi(\infty, t, \zeta)$ тривиальна.

Что же приводит к интегрируемости эволюционных уравнений? Ясно, что необходима согласованность членов с высокими производными, которые в меньшей степени нелинейны, с членами, содержащими высокую нелинейность, но производные меньших порядков. В уравнениях, которые были рассмотрены в этой главе, подобное соотношение было связано с тем, что эволюции величин определялись степенями операторов (ср. $L^{A}$ в (6.54)). Эти операторы содержат оператор $\partial / \partial x$ и нелинейный оператор весьма специфическим образом. Когда ответ на поставленный вопрос будет найден, он должен также естественным образом показать, что если уравнение интегрируемо, то оно всегда принадлежит целому семейству коммутирующих потоков. Қаждый из этих потоков порождается одним из бесконечного числа законов сохранения, используемым в качестве гамильтониана.

В заключение следует упомянуть некоторые недавние достижения. Суть метода обратного преобразования рассеяния состоит в том, что поскольку коэффициент $q(x, t)$, входящий в оператор $L=-\partial^{2} / \partial x^{2}-q(x, t)$, изменяется в соответствии с определенным классом нелинейных уравнений, то спектр оператора $L$ (рассматриваемого как оператор в $L^{2}(R)$, например) остается неизменным. Такие деформации называются изоспектральными. Можно задать вопрос о том, какие другие глобальные свойства операторов (или систем линейных операторов) сохраняются при деформациях. Два подхода следует отметить. Один содержится в [6.98], [6.99], а второй в [6.100]-[6.102]. Қаждый из них будет проиллюстрирован на примере системы
\[
\begin{array}{c}
V_{x}=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta & q \\
q & i \zeta
\end{array}\right) V \\
V_{t}=\left(\begin{array}{cc}
-4 i \zeta^{3}-2 i q^{2} \zeta & 4 \zeta^{2} q+2 i \zeta q_{x}-q_{x x}+2 q^{3} \\
4 \zeta^{2} q-2 i \zeta q_{x}-q_{x x}+2 q^{3} & 4 i \zeta^{3}+2 i q^{2} \zeta
\end{array}\right) V .
\end{array}
\]

Условие совместности этой системы дает модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза
\[
q_{t}-6 q^{2} q_{x}+q_{x x x}=0 .
\]

Работы по обратному преобразованию рассматривали задачу для (6.267) на всей прямой $-\infty<x<+\infty$. Эволюция данных рассеяния, определяемая (6.269), весьма проста. Предположим, что теперь нас интересуют стационарные решения $q(x, t)=$ $\Rightarrow q(x-c t)$ уравнения (6.269). Тогда (6.268) превращается $(X=x-c t, T=t)$ в
\[
V_{T}=\left(\begin{array}{cc}
-4 i \zeta^{3}-2 i q^{2} \zeta-i \zeta c & 4 \zeta^{2} q+2 i \zeta q_{x}+v \\
4 \zeta^{2} q-2 i \zeta q_{x}+v & 4 i \zeta^{3}+2 i q^{2} \zeta+i \zeta c
\end{array}\right) V .
\]
$9^{*}$

Уравнение (6.269) может быть один раз проинтегрировано до
\[
q_{x x}-2 q^{3}-c q=-v .
\]

Пусть $V=\hat{V} \exp (\lambda T)$; так как $q$ не зависит от $T$, то из (6.270) получим
\[
Q \hat{V}=\lambda \hat{V} .
\]

При этом $\bar{D}$ удовлетворяет тому же самому уравнению (6.267) по переменной $X$. Метод Кричевера [6.98] и Новикова [6.99] основан на рассмотрении (6.272) вмесго (6.267). Заметим, что условие существования $
abla$ влечет за собой
\[
\operatorname{det}(Q-\lambda I)=0 .
\]

Это уравнение определяет алгебраическую кривую $F(\zeta, \lambda)=0$, которая является римановой поверхностью $R$ рода 2 . Легко показать, что $R$ не зависит от $X$; матрица $Q(X)$ подобна $Q\left(X_{0}\right)$ в силу того, что выполнено $Q_{X}=\left[\left(\begin{array}{rr}-i \zeta & q \\ q & i \zeta\end{array}\right), Q\right]$. Зависимость от $X$ собственного вектора $
abla$ может быть найдена из (6.267), которое теперь играет роль вспомогательного уравнения. Оказывается, что если вектор $\bar{
abla}(\zeta, \lambda)$ нормирован на $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) e^{-i \zeta x}$ и $\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) e^{i \zeta X}$ в обоих бесконечностях на $R$, то он является мероморфным на $R \backslash \infty$, причем полюсы не зависят от $X$. Таким образом, аналогом спектра в обратном преобразовании рассеяния в этом случае служит риманова поверхность. Аналогом переменных действия служат полюсы, поскольку они не зависят от $X^{1}$ ).

Обратная задача ставится следующим образом. Пусть заданы риманова поверхность $R$ рода 2 с отмеченными точками в бесконечности и неспециальный дивизор полюсов $P_{1}+P_{2}$. Требуется найти мероморфную на $R$ вне точек $P=\infty$ функцию $V[P(\zeta, \lambda), X]$, такую, что $\hat{V} \sim\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) e^{i \zeta x},\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) e^{-i \zeta x}$ в бесконечно удаленных точках. Кроме того, $
abla$ должна иметь полюса в $P_{1}$ и $P_{2}$, не зависящие от $X$. Такая функция удовлетворяет (6.272) и (6.267), и $q(x)$ может быть найдено при всех $x$.

Другим типом деформаций, сохраняющих определенные глобальные свойства системы (6.267), (6.268), являются дефор-
1) На самом деле правильная интерпретация этих данных такова: коэффициенты уравнения, определяющего риманову поверхность-9то переменные типа действия, а полюсы суть угловые переменные (полюсы не зависят от $X$, но зависят от точки нормировки и поэтому изменяются при заменө $X \rightarrow X-X_{0}$ ). – Прим перев.

мации, связанные с автомодєльными решениями уравнения (6.269). Пусть
\[
q(x, t)=\frac{1}{(3 t)^{1 / 3}} f\left[\frac{x}{(3 t)^{1 / 3}}\right], \quad \eta=\frac{x}{(3 t)^{1 / 3}} ;
\]

тогда $f(\eta)$ удовлетворяет уравнению Пенлеве второго типа
\[
f^{\prime \prime}=2 f^{3}+\eta f-v .
\]

Преобразование $V(x, t, \zeta) \rightarrow V(\eta \xi), \xi=\zeta(3 t)^{1 / 3}$ приводит к системе
\[
\begin{array}{c}
V_{\eta}=\left(\begin{array}{cc}
-i \xi & f(\eta) \\
f(\eta) & i \xi
\end{array}\right) V, \\
\xi V_{\xi}=\left(\begin{array}{cc}
-4 i \xi^{3}-2 i f^{2} \xi-i \eta \xi & 4 \xi^{2} f+2 i \xi f^{\prime}+v \\
4 \xi^{2} f-2 i \xi f^{\prime}+v & 4 i \xi^{3}+2 i f^{2} \xi+i \eta \xi
\end{array}\right) V .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь уравнение (6.277). Это система обыкновенных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят полиномиально от $\xi$ и содержат $f$ и ее первые две производные. Уравнение (6.277) имєет иррегулярную особую точку $\xi=\infty$ ранга 3 и регулярную особую точку $\xi=0$. С каждой особой точкой связана матрица монодромии. Например, если $\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\xi})$ – фундаментальная матрица решений (6.277) в окрестности $\xi=0$, то, обходя точку $\xi=0$, мы получим
\[
\Phi\left(\xi e^{2 \pi i}\right)=\Phi(\xi) J .
\]

Обход точки $\xi=\infty$ более сложен, поскольку окрестность бесконечности разделена антистоксовскими линиями на шесть секторов, в каждом из которых фундаментальные матрицы $\Psi_{i}(\xi)$, $j=1, \ldots, 6$, имеют асимптотику $\left[\begin{array}{ll}e^{-\theta} & 0 \\ 0 & e^{\theta}\end{array}\right]$, где $\theta=4 i \xi^{3} / 3+$ $+i \eta \xi$ Связь матриц $\Psi_{j+1}$ и $\Psi_{j}$ дается множителями Стокса, т. е. $\Psi_{j+1}=\Psi_{j} A_{j}$, где $A_{j}=\left[\begin{array}{cc}1 & b_{j} \\ a_{j} & 1\end{array}\right]$ и либо $a_{j}$, либо $b_{j}$ равно нулю. Матрицы $A_{l}, J$ и матрица $A$, связывающая $\Psi_{1}$ и $\bar{\Phi}$ $\left(\Psi_{1}=\Phi A\right)$, называются данными монодромии. Имеет место следующий замечательный результат.

Если $f(\eta)$ удовлетворяет (6.275), то данные монодромии являются постоянными. Это аналогично сохранению спектра в задачах, связанных с обратным преобразованием рассеяния, и сохранению римановых поверхностей, связанных с многофазными решениями эволюционных уравнений.

Обратная задача в этой ситуации такова. Для данных $A_{j}$, $A, J$ можно построить матрицу с предписанными асимптотиками $\Psi_{j}$ и Ф в окрестностях $\xi=\infty$ и $\xi=0$ соответственно. (Это задача Римана – Гильберта.) При этом она будет удовлетворять одновременно уравнениям по $\varepsilon$ и $\eta$. Коэффициент $f(\eta)$, входящий в эти уравнения (который лучше вычислять из второго члена асимптотического разложения $\Psi_{j}(\xi)$ в $\xi=\infty$ ), удовлетворяет уравнению (6.275). Подробности приведены в работе $[6.101]$, а в [6.102] предложен новый тип решений – многофазные автомодельные решения эволюционных уравнений. Эти исследования были стимулированы работами Сато и его соавторов [6.100], результаты которых указывают на тесную связь между точно решаемыми моделями статистической физики (таких, как двумерная модель Изинга) и интегрируемыми эғллюционными уравнениями.

В заключение я хочу посвятить эту статью моим коллегам Марку Абловицу, Дэвиду Каупу и Харви Сегуру из Кларксоновского колледжа и Генри Флашке из Университета штата Аризона и выразить им благодарность за многие плодотворные часы, которые мы провели вместе, открывая с удовольствием результаты, изложенные в ней.