Для того чтобы проиллюстрировать указанный метод, мы рассмотрим уравнения КдФ $[5.1,5.2]$
\[
u_{t}+6 u u_{x}+u_{x x x}=0
\]

с граничным условием $u=0$ при $|x|=\infty$. Здесь индексы $t, x$ обозначают частные производные.

Решим (5.1), используя обычный метод возмущений. Пусть $u=w_{x}$; тогда, интегрируя (5.1) по $x$, получим
\[
w_{t}+3 w_{x}^{2}+w_{x x x}=0,
\]

где постоянная интегрирования выбрана равной нулю. Разложим $ш$ в степенной ряд по малому параметру $\varepsilon$ :
\[
w=\varepsilon w_{1}+\varepsilon^{2} w_{2}+\ldots
\]

Подставим (5.3) в (5.2) и, собирая члены с одинаковыми степенями $\varepsilon$, получим
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) w_{1}=0, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) w_{2}=-3\left(w_{1}\right)_{x}^{2}, \\
\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^{3}}{\partial x^{3}}\right) w_{3}=-6\left(w_{1}\right)_{x}\left(w_{2}\right)_{x},
\end{array}
\]

ит.д. Разрешив эти уравнения, мы получим формальное решение в виде ряда теории возмущений. Трудность, с которой мы сталкиваемся на этом пути, заключается в том, что ряд теории возмущений не сходится быстро и даже расходится.

Недавно была разработана мощная техника суммирования, получившая название аппроксимации Паде [5.3]. [N/M] Падеаппроксимантой функции $f(\varepsilon)$ называется отношение двух полиномов, числитель которого степени $N$, а знаменатель степени $M$. Аппроксимация Паде применялась в различных разделах физики как систематический метод получения большей информации из разложений в степенные ряды [5.4].

Рассмотрим Паде-аппроксиманту для $w(\varepsilon)$. Хотя мы можем построить Паде-аппроксиманту для $w(\varepsilon)$ прямо из степенного ряда решения (5.3), значительно интересней преобразовать первоначальное уравнение к специальному виду, удобному для использования Паде-аппроксиманты. Для этого заменим $w$ на $G / F$ и найдем уравнения, которым удовлетворяют $F$ и $G$. Тогда степенные ряды решений для $F$ и $G$ дадут Паде-аппроксиманту для ш.
Подставляя $w=G / F$ в (5.2), получим уравнение
\[
\begin{array}{l}
\left(G_{t} F-G F_{t}\right) / F^{2}+3\left(G_{x} F-G F_{x}\right)^{2} / F^{4}+ \\
\quad+\left(G_{x x x} F-3 G_{x x} F_{x}-3 G_{x} F_{x x}-G F_{x x x}\right) / F^{2}+ \\
\quad+6\left(F G_{x} F_{x}^{2}+F G F_{x} F_{x x}-G F_{x}^{3}\right) / F^{4}=0,
\end{array}
\]

которое, очевидно, имеет более сложный вид, чем первоначальное уравнение для $w$. Теперь в одном уравнении содержатся две зависимые переменные: $F$ и $G$. Но, замечая, что (5.7) может быть переписано как
\[
\begin{array}{l}
{\left[G_{t} F-G F_{t}+3 \lambda\left(G_{x} F-G F_{x}\right)+G_{x x x} F-\right.} \\
\left.-3 G_{x x} F_{x}+3 G_{x} F_{x x}-G F_{x x x}\right] / F^{2}+ \\
+3\left(G_{x} F-G F_{x}\right)\left[G_{x} F-G F_{x}-2\left(F F_{x x}-F_{x}^{2}\right)-\lambda F^{2}\right] / F^{4}=0,
\end{array}
\]

расцепим (5.7), введя произвольную функцию $\lambda$. Мы получим два уравнения
\[
\begin{array}{c}
G_{t} F-G F_{t}+3 \lambda\left(G_{x} F-G F_{x}\right)+G_{x x x} F- \\
-3 G_{x x} F_{x}+3 G_{x} F_{x x}-G F_{x x x}=0, \\
2\left(F F_{x x}-F_{x}^{2}\right)+\lambda F^{2}-\left(G_{x} F-G F_{x}\right)=0,
\end{array}
\]

которые могут быть представлены в виде
\[
\left.\left[\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}+3 \lambda\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)^{3}\right] G(x, t) F\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)\right|_{x=x^{\prime}, t+t^{\prime}}=0,
\]

и
\[
\begin{array}{l}
{\left.\left[\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)^{2}+\lambda\right] F(x, t) F\left(x^{\prime}, t\right)\right|_{x=x^{\prime}}-} \\
-\left.\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right) G(x, t) F\left(x^{\prime}, t\right)\right|_{x=x^{\prime}}=0 .
\end{array}
\]

Удобно ввести операторы $D_{t}, D_{x}$ и различные их произведения:
\[
D_{t}^{n} D_{x}^{m} f \cdot g=\left.\left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\right)^{n}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right) f(x, t) g\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)\right|_{x=x^{\prime}, t=t^{\prime *}}
\]

С помощью этих обозначений (5.11) и (5.12) записываются как
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{t}+3 \lambda D_{x}+D_{x}^{3}\right) G \cdot F=0, \\
\left(D_{x}^{2}+\lambda\right) F \cdot F-D_{x} G \cdot F=0 .
\end{array}
\]

Заметим, что (5.14) и (5.15) инвариантны относительно преобразований $F$ и $G$, которые не изменяют $w=G / F$. Пусть $F=h F^{\prime}$ и $G=h G^{\prime}$, тогда (5.14) и (5.15) преобразуются к виду [см. ниже (V1.3)]
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{t}+3 \lambda^{\prime} D_{x}+D_{x}^{3}\right) G^{\prime} \cdot F^{\prime}=0, \\
\left(D_{x}^{2}+\lambda^{\prime}\right) F^{\prime} \cdot F^{\prime}-D_{x} G^{\prime} \cdot F^{\prime}=0,
\end{array}
\]

где
\[
\lambda^{\prime}=\lambda+\left(D_{x}^{2} h \cdot h\right) / h^{2} .
\]

Запишем (5.15) в виде
\[
\lambda=(G / F)_{x}-2(\ln F)_{x x},
\]

который показывает, что асимптотическое значение $\lambda$ определяется граничным значением для $u=(G / F)_{x}$ и асимптотикой $F$ при $|x|=\infty$. В последующем положим $\lambda$ равным нулю.
Для $\lambda=0$ найдем, что
\[
G=2 F_{x}
\]

является решением (5.19). Следовательно, имеем
\[
u=2(\ln F)_{x x} .
\]

Подставляя (5.20) в (5.14), получим
\[
\left(D_{t}+D_{x}^{3}\right) F_{x} \cdot F=0,
\]

что равносильно [см. ниже (III.1)]
\[
D_{x}\left(D_{\iota}+D_{x}^{3}\right) F \cdot F=0 .
\]