Пусть задано нелинейное эволюционное уравнение вида
\[
U_{t}=S\{U\},
\]

где $S$ – нелинейный оператор, а матричная функция $U(x, t)$ имеет размер $m \times m$. Предположим, что можно выбрать для оператора $L$, линейного по $U$, такой матричный оператор $B$, что (8.27) запишется в операторной форме
\[
L_{t}=[B, L]=B L-L B .
\]

Вместо того чтобы решать (8.28), рассмотрим задачу на собственные значения
\[
L \psi=\lambda \psi,
\]

собственные функции которой изменяются во времени по формуле
\[
\psi_{t}=B \psi .
\]

Из эволюционных уравнений для $L$ и $\psi$ легко следует, что собственные значения $\lambda$ не зависят от времени, т. е.
\[
\lambda_{t}=0 \text {. }
\]

Таким образом, нелинейные уравнения (8.27), эквивалентные уравнениям (8.28), эквивалентны в свою очередь набору уравнений (8.29) – (8.31). Исследование обратной задачи для (8.29) показывает, что матричная функция $U(x, t)$ может быть восстановлена по данным рассеяния. Зависимость данных рассеяния от времени определяется из (8.30) при стремлении $x \rightarrow \pm \infty$. Эта процедура нахождения решений системы (8.27). и есть обобщение метода обратной задачи рассеяния на матричный случай.
Следует заметить, что
I) если $L^{+}=L$, то $B^{+}=-B$,
II) если $L^{+}=J L J\left(J^{+}=J, J^{2}=1\right)$, то $B^{+}=-J B J$,
III) если $\tilde{L}=J L J\left(J=J, J^{2}=1\right)$, то $\tilde{B}=-J B J$.
Беря в качестве оператора $L$ матричный оператор Шрёдингера, можно выписать нелинейные эволюционные уравнения, которые могут быть проинтегрированы с помощью предложенного обобщения метода обратной задачи рассеяния. Однако, прежде чем сделать это, отметим, что формализм Абловица – Қаупа Ньюэлла – Сегура включается в нашу схему. Действительно, система
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi_{1}}{\partial x}+i \zeta \psi_{1}=q(x, t) \psi_{2}, \\
\frac{\partial \psi_{2}}{\partial x}-i \zeta \psi_{2}=r(x, t) \psi_{1}
\end{array}
\]

может быть переписана в виде
\[
\left[-\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\left(\begin{array}{cc}
r q & q_{x} \\
r_{x} & r q
\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{l}
\psi_{1} \\
\psi_{2}
\end{array}\right)=\zeta^{2}\left(\begin{array}{l}
\psi_{1} \\
\psi_{2}
\end{array}\right) .
\]

Эта система принадлежит классу систем, для которых $L=J L J$. Если $r=a+b q$ ( $a, b$ – константы), то эта система может быть диагонализована. Подробности приложения к системе АКНС нашего формализма даются в [8.7].