В разд. 3.2 мы показали, как $4 \pi$-кинк (3.12), являющийся решением двойного уравнения sine-Gordon с $\lambda=1$ и знаком «十», может быть превращен в устойчивые внутренние «качания». Аналогичный анализ можно проделать и для решения (3.13), соответствующего возбужденному состоянию с граничными условиями $u=2 \pi,|x| \rightarrow \infty$. Такое решение и является связанным состоянием кинка и антикинка: соответствующее электрическое поле имеет нулевую площадь, так что оптически это 0л-импульс. Естественно ожидать, что это решение является бризером для двойного уравнения sine-Gordon. Оно, однако,
1) Спектр (1.104) для СГ-уравнения показывает, что энергия образования кинков и бризеров пропорциональна $\gamma_{0}^{-1}$. В результате численного счета величина $\gamma_{0} \sim 10^{5}[3.4,3.5]$. Однако эффективное значение $\gamma_{0}$ весьма существенно уменьшено за счет деления на плотность сверхтекучей компоненты $\rho$, (см. примечание на с. 141).

является, очевидно, неустойчивым: при $\Delta^{\prime}>\ln (\sqrt{3}+2)$ первый $2 \pi$-импульс ускоряется, а второй замедляется. Потенциал $V(u)$ в формуле (3.17) не меняется, но состояние $u=2 \pi$ может уменьшить свою энергию за счет промежуточного перехода $u=2 \pi \rightarrow$ $\rightarrow u=0 \rightarrow u=2 \pi$ и развалиться на кинк и антикинк; это опятьтаки иллюстрирует его неустойчнвость. Последний аргумент, однако, является интуитивным свидетельством в пользу того, что осцилляции пар кинк – антикинк возможны, как и в настоящем бризере; результаты численного счета [3.31, 3.32] показывают, что именно так обстоит дело, если $\Delta^{\prime}<\ln (\sqrt{3}+2)$. На рис. 3.9 изображен режим опрокидывания. На рис. 3.10 изображен осцилляторный бризероподобный режим, индуцированный сжатием в интервале $2 \Delta^{\prime}$. В этом разделе мы дадим набросок сингулярной теории возмущений, подтверждающей такое поведение. Наше изложение основывается на работах наших коллег А. Мейсона и П. Китченсайда.

СГ-уравнение вполне интегрируемо: для малых $\lambda$ естественно рассмотреть член ( $1 / 2) \lambda \sin (u / 2)$ в уравнении (3.1) для случая положительного знака как возмущение обычного СГ-уравнения. Удобно начать с двухкинкового решения СГ-уравнения, которое

Рис. 3.9. Численное интегрирование двойного уравнения sine-Gordon с положительным знаком (и $\lambda=1$ ) для режима распада. Граничные условия имеют вид $u \rightarrow 2 \pi,|x| \rightarrow \infty$. может быть переписано с помощью переменных данных рассеяния в виде
\[
u=4 \operatorname{arctg}\left[\frac{1-\left(\frac{\zeta_{1}-\zeta_{2}}{\zeta_{1}+\zeta_{2}}\right)^{2} \cdot \frac{\gamma_{1}}{2 \zeta_{1}} \frac{\gamma_{2}}{2 \zeta_{2}} \exp \left[i 2\left(k_{1}+k_{2}^{\prime}\right) x\right]}{\frac{\gamma_{1}}{2 \zeta_{1}} \exp \left(i 2 k_{1} x\right)+\frac{\gamma_{2}}{2 \zeta_{2}} \exp \left(i 2 k_{2} x\right)}\right],
\]

где $k_{i}=\frac{1}{2}\left(\xi_{i}-\frac{1}{4 \xi_{i}}\right), i=1,2$.
Здесь $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ – вычеты коэффициента отражения $b / a$ (аналитически продолженного в верхнюю полуплоскость), вычисленные в комплексных собственных значениях $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ соответственно.

Для СГ-уравнения временная эволюция данных рассеяния весьма проста, и, в частности, спектр задачи рассеяния является интегралом движения. Однако для неинтегрируемой системы типа уравнения (3.1) при ненулевых $\lambda$ ситуация является более сложной. Ньюэлл в гл. 6 (и в работе [3.51]) показал, что соответствующие уравнения для данных рассеяния решения (3.33) имеют вид ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\zeta_{i, t} & =-\frac{\lambda}{8 \gamma_{i} \dot{a}_{i}^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sin \frac{u}{2}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)_{\zeta_{i}} d x \quad(i=1,2), \\
\gamma_{i, t} & =i 2 \gamma_{i} \omega_{i}-\frac{\gamma_{i} \vec{a}_{i}}{\dot{a}_{i}} \zeta_{i, t}-\frac{\lambda}{8 \dot{a}_{i}^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sin \frac{u}{2} \cdot \frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right)_{\zeta_{i}} d x, \\
\left(\frac{b}{a}\right)_{t} & =i 2 \omega\left(\frac{b}{a}\right)-\frac{\lambda}{8 a^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \sin \frac{u}{2} \cdot\left|\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}\right|_{\zeta_{i}} d x \\
\omega & =\frac{1}{2}\left(\zeta+\frac{1}{4 \zeta}\right), \quad \gamma_{i}=\frac{b_{i}}{a_{i}}
\end{aligned}
\]

где $\dot{a}_{i}$ обозначает производную $a$ по $\zeta$ в точке $\zeta=\zeta_{i}$. Выражение $\varphi_{1}^{2}+\varphi_{2}^{2}$ обозначает значение в точке $\zeta$ квадрата собственной функции задачи рассеяния для СГ-уравнения.

Уравнения (3.34) задают простой закон изменения во времени данных рассеяния, взятых для интегрируемой системы типа СГ-уравнения (случай $\lambda=0$ ). В таком общем виде они являются точными для всех значений $\lambda$, как это вытекает из результатов гл. 6. Но с ними трудно работать. Однако они
1) Это не совсем точно. Ньюэлл рассматривает эволюционные уравнения вида $u_{t}=K[u]$, где $K[u]$ – функционал от $u$, $u_{x}, u_{x x}$ и т. д. СГ-уравнение может быть записано в таком виде (для зависимой координаты $u_{x}$ ) в конусных переменных $u_{x t}=\sin u$. Мы работаем в лоренц-ковариантных координатах, и задачу следует переписать для этого случая. Подходящим образом преобразованная задача рассеяния указана Каупом в [3.49].

Рис. 3.10. То же, что и на рис. 3.9, но для осцилляторного режима.

существенно упрощаются, если выкинуть вклад непрерывной части спектра. Интуитивно это представляется оправданным, если мы начинаем с решения (3.33), в которое входят только два дискретных собственных значения, и $\lambda$ берется достаточно малым. Фактически, как мы покажем дальше, для многих характеристик движения параметр $\lambda$ может быть большим (как, например, в физически важном случае $\lambda=1$ ).

Поскольку мы хотим изучать бризер, ассоциированный с (3.13), мы используем для СГ-уравнения параметры бризера $\zeta_{1}=-\zeta_{2}^{*}, \gamma_{1}=-
u_{2}^{*}$. Наложим ограничения
\[
\zeta_{1}=\frac{1}{2} e^{i p}, \quad \gamma_{1}=\operatorname{tg} \varphi e^{i \psi}
\]
( $\varphi, \psi$ – новые функции); это ограничение означает, что решение (3.33) симметрично относительно начала координат в сопутствующей системе. Полагая $\varphi=\arccos (\lambda / 4)$ и $\theta \equiv \psi-\varphi=0$ в (3.33), мы получим
\[
u=4 \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{\lambda}{4-\lambda}} \operatorname{ch} \frac{1}{2} \sqrt{4-\lambda} x\right) .
\]

Это – запись решения (3.13) в сопутствующей системе, причем не обязательно $\lambda=1$. Последующая временная эволюция может быть определена из (3.34) при предположении, что вкладом от непрерывного спектра можно пренебречь. Это было сделано Мейсоном в [3.35]. Выкладки оказываются весьма громоздкими; читателю, желающему освоить соответствующую технику, рекомендуем работы [3.32], [3.52]. Предполагая, что задача описывается двумя дискретными собственными значениями $\zeta_{i}$, мы получим точные уравнения в виде
\[
\begin{array}{c}
C_{t}=\frac{\lambda}{2} P \frac{J(a)+a}{1+a} ; \quad a \equiv \cos ^{2} \theta \operatorname{tg}^{2} \varphi, \quad J \equiv \frac{a}{\sqrt{1+a}} \operatorname{arctg} \frac{a}{\sqrt{1+a}} ; \\
P_{t}=P^{2}-\frac{\lambda}{4}+C ; \quad P=\operatorname{tg} \theta \cos \varphi, \quad C \equiv \cos ^{2} \varphi .
\end{array}
\]

Из этих уравнений вытекает, что для начальных условий $\theta=0$, $0<\varphi<\arccos (\lambda / 4)$, результирующее движение является осцилляторным; для $\varphi>\arccos (\lambda / 4)$ ч в конце концов достигает значения $\pi / 2[3.32,3.35,3.36]$. При этом решение представляет собой пару из быстро расходящихся кинка и антикинка. В этом случае бризерные формулы уже не годятся, и надо повторить вычисления с использованием параметров кинков. Подходящая параметризация в этом случае выглядит так:
\[
\zeta_{1}=\frac{i}{2} e^{-q}, \quad \frac{\gamma_{1}}{2 \zeta_{1}}=\operatorname{cth} q e^{p} ;
\]

уравнения движения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
P_{t}=P^{2}+C-\frac{\lambda}{4} ; \quad P=\operatorname{cth} p \cdot \operatorname{sh} q, \quad C=-\operatorname{sh}^{2} q ; \\
C_{t}=\frac{\lambda}{2} P \frac{J(a)+a}{1+a} ; \quad a=\operatorname{cth}^{2} q \operatorname{sh}^{2} p .
\end{array}
\]

То, что уравнения движения (3.38) имеют такой же вид, как и уравнения (3.36) при соответствующей параметризации, позволяет гладко сшивать решения при переходе через режим распада.

Уравнения (3.36), (3.38) были проинтегрированы численно для начальных условий
\[
\theta=0, \quad \cos ^{2} \varphi=\frac{1}{2} \lambda(1-\varepsilon)^{-1},
\]

где $\varepsilon= \pm 0.1$ и $\lambda=1.0$. Для $\varepsilon=-0.1$ движение оказывается осцилляторным (см. рис. 3.11).

Для $\varepsilon=0.1$ возникает распад (рис. 3.12), так что требуется изменить параметризацию, когда $C$ становится отрицательным. Сравнение рис. 3.12 с рис. 3.9 показывает, что имеется хорошее согласование для случая распада в приближении, где отсутствует непрерывный спектр. Эти рисунқи точно накладываются друг на друга для моментов времени, изображенных на рис. 3.12. Однако ошибки округления приводят к тому, что использованная параметризация делается непригодной из-за асимптотических свойств гиперболических функций в формулах (3.38); это является причиной того, что рис. 3.12 не продолжен дальше по времени.

Для осцилляторного режима согласование почти идеальное, пока $u$ не достигла максимума амплитуды. После этого, как видно на рис. 3.10 , начинает излучаться небольшая периодическая рябь; это проявление перекачки энергии в непрерывную составляющую. В результате укорачивается период бризероподобных осцилляций на рис. 3.10 по сравнению с тем, который получен по теории возмущений и изображен на рис. 3.11. Мы не нашли пока метода, позволяющего учитывать вклад непрерывной составляющей с такой же простотой, которой отличаются уравнения (3.36), (3.38); эта ситуация характерна для нынешней стадии исследований, основанных на теории возмущений. Стоит отметить, что во всех других отношениях согласование между теорией и непосредственным численным интегрированием почти идеальное даже для большого значения $\lambda=1$.

Можно использовать и еще один аналитический подход. Например, для случая распада численное интегрирование показывает, что величина $Y \equiv C+P^{2}$ быстро стремится к нулю. Это позволяет легко найти асимптотическое решение, описывающее поведение далеко отстоящих друг от друга кинка и антикинка.
Рис. 3.11. Осцилляторный режим, описываемый уравнениями (3.36).
Рис. 3.12. Распад, описываемый уравнениями (3.36) и (3.38).

Уравнение (3.38) для $P_{t}$ дает
\[
P=\int_{0}^{\infty} Y d t-\frac{\lambda}{4} t \equiv Z-\frac{\lambda}{4} t ;
\]

пренебрегая членами второго порядка по $Y$, получаем приближенное уравнение
\[
\left(1+P^{2}\right) \frac{d}{d t} \ln Y-\frac{\lambda}{4} P \ln Y=2 P\left[1+P^{2}+\frac{\lambda}{4}\left(\ln 2 \sqrt{1+P^{2}}-1\right)\right] .
\]

Используя выражение (3.40), можно явно решить уравнение (3.41) в виде
\[
\begin{aligned}
\left(\ln 2 \sqrt{1+P^{2}}-\frac{1}{2} \ln Y\right) / \sqrt{1+P^{2}} & = \\
& =\left[\left(\frac{4}{\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{4 Z}{\lambda}-t\right)^{2}\right]^{1 / 2}-\gamma,
\end{aligned}
\]

где $\gamma$-константа интегрирования. Следуя работе А. Мейсона, которому мы обязаны приводимыми здесь рассуждениями, мы записываем решение в такой, казалось бы, неудобной форме, поскольку левая часть дает положение центра кинка, определяемое из уравнения
\[
4 \operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{ch} x \sqrt{1-C}}{\sqrt{\frac{1-C}{C+P^{2}}}}\right)=\pi .
\]

Можно сравнить движение кинка с движением релятивистской частицы, приобретающей постоянную энергию при прохождении отрезка единичной длины. Движение такой частицы описывается уравнением
\[
m_{0}\left(1-v^{2}\right)^{-1 / 2}=\varepsilon X+\gamma,
\]

которое легко решается в виде
\[
X=\left[\frac{m_{0}^{2}}{\boldsymbol{\varepsilon}^{2}}+(1-k)^{2}\right]^{1 / 2}-\gamma
\]

в полном соответствии с (3.42).
Движение, описываемое уравнением (3.42), есть, разумеется, движение одного $2 \pi$-кинка, входящего в среду, находящуюся в состоянии $u=0$, и замедляющегося по мере того, как он оставляет за собой шлейф возбуждений, как это изображено на рис. 3.2. Другими словами, это движение первого из очень сильно разнесенных один относительно другого $2 \pi$-кинков в $4 \pi$ вобблере.

Аналогичные вычисления можно проделать для решения типа $4 \pi$-вобблера уравнения (3.1). Удобно сделать замену $u \rightarrow u-2 \pi$;

это изменит знак у $\lambda$ в (3.1). В системе центра масс для столкновения двух кинков $u$ тогда будет нечетной функцией от $x$.

В системе центра масс равенство нулю полного импульса дает
\[
\zeta_{1} \zeta_{2}=-\frac{1}{4}, \quad \text { где } \zeta_{i}=i \eta_{i} \quad\left(\eta_{i}>0\right),
\]

так что $k=k_{1}=k_{2}\left(\right.$ где $\left.k / \zeta=\left(\zeta-\frac{1}{4 \zeta}\right) / 2\right)$.
Условие нечетности $и$ дает
\[
1=\left(\frac{\zeta_{1}-\zeta_{2}}{\zeta_{1}+\zeta_{2}}\right)^{2} \frac{\gamma_{1}}{2 \zeta_{1}} \frac{\gamma_{2}}{2 \zeta_{2}},
\]

где для двухкинкового решения $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ имеют одинаковый знак и чисто мнимы. Можно положить
\[
\zeta_{1}=\frac{i}{2} e^{q}, \quad \zeta_{2}=\frac{i}{2} e^{-q},
\]

а также
\[
\left(\frac{\zeta_{1}-\zeta_{2}}{\zeta_{1}+v_{2}}\right) \frac{\gamma_{1}}{2 \zeta_{1}}=e^{p}, \frac{\zeta_{1}-\zeta_{2}}{\zeta_{1}+\zeta_{2}} \frac{\gamma_{2}}{2 \zeta_{2}}=e^{-p},
\]

учитывая аналогии с $0 \pi$-задачей. В этих обозначениях
\[
u=4 \operatorname{arctg}\left[\frac{\operatorname{sh}(\operatorname{ch} q x)}{\operatorname{ch} p \operatorname{cth} q}\right] .
\]

Уравнения движения (3.34) без учета непрерывного спектра дают
\[
\begin{array}{l}
P_{t}=P^{2}-C+\frac{\lambda}{4}, \\
C_{t}=-\frac{\lambda}{2} P I,
\end{array}
\]

где $P \equiv \operatorname{th} p \operatorname{sh} q, C=\operatorname{sh}^{2} q$,
\[
\begin{aligned}
I \equiv \frac{J(a)-a}{a-1}, \quad J(a) & =\left(\frac{a}{a-1}\right)^{1 / 2} \operatorname{arcth}\left(\frac{a}{a-1}\right)^{1 / 2}, \\
a & \equiv \operatorname{cth}^{2} q \operatorname{ch}^{2} p,
\end{aligned}
\]

и $\lambda>0$. Обратите внимание на другие знаки по сравнению с уравнениями (3.36) и (3.38).

Из явного вида параметризации (3.47) вытекает, что $\infty>$ $>P>-\infty, C>0$, и мы можем, разумеется, взять $P=0$, выбор дает решение, не зависящее от времени,
\[
u=4 \operatorname{arctg}\left[\left(1+\frac{4}{\lambda}\right)^{1 / 2} \operatorname{sh}\left(1+\frac{\lambda}{4}\right)^{1 / 2} x\right],
\]

в котором можно узнать стационарный $4 \pi$-кинк (3.6) или (3.12) двойного уравнения sine-Gordon, учитывая, что мы работаем в области $-2 \pi<u<2 \pi$.

Если начальные условия выбрать близкими к этому решению, т. е. $\lambda / 4 \approx C \gg P \sim 0$, и $\lambda$ достаточно мало, то $I \approx-1$, и
\[
C_{t}=\frac{\lambda}{4} P, \quad P_{t}=\frac{\lambda}{4}-C,
\]

поскольку $P^{2}$ можно пренебречь. Эта пара уравнений имеет решение
\[
\begin{array}{l}
P=A \cos \left(\sqrt{\frac{\lambda}{2}} t+\alpha\right), \\
C=\frac{\lambda}{4}+\sqrt{\frac{\lambda}{2}} A \sin \left(\sqrt{\frac{\lambda}{2}} t+\alpha\right),
\end{array}
\]

которое является простым гармоническим колебанием с угловой частотой $\sqrt{\lambda / 2}$. Ньюэлл [3.34], работая в конусных переменных (т. е. с двойным СГ-уравнением в форме (3.5)), в числе первых приложений своей теории возмущений нашел $4 \pi$-вобблер с внутренними осцилляциями с периодом $\sqrt{\lambda / 2}$ для малых $\lambda$.

В этих вычислениях снова предполагается, что вкладом непрерывной части спектра можно пренебречь. Рис. 3.13 изображает результат численного интегрирования уравнений (3.50). Согласование с прямым численным интегрированием двойного

Рис. 3.13. Қачающийся $4 \pi$-кинк, описываемый системой (3.50). Обратите внимание на отсутствие радиацин по сравнению с рис. 3.1.

Примечание при корректуре
159
уравнения sine-Gordon, изображенным на рис. 3.1, почти идеальное; заметно расхождение за счет испускания излучения на рис. 3.1, а также за счет небольшого укручения профиля кинков в окрестности тех точек, где два $2 \pi$-кинка меняются местами. Период колебаний точно воспроизводится на рис. 3.13 , так что результат здесь отличен от $0 \pi$-случая.

Эти результаты показывают, с одной стороны, нетривиальность методов сингулярной теории возмущений и, с другой стороны, что теория тем не менее дает отличное согласование с результатами прямого численного интегрирования, что аналитическая сторона теории возмущений проясняет ряд существенных моментов, которые не видны при численном интегрировании, и что вклад непрерывной части спектра бывает существенным (именно так обстоит дело в случае $0 \pi$-задачи). Нужны дальнейшие исследования этого вклада для обсуждавшихся здесь задач.

Разумеется, приведенные здесь результаты являются лишь первым продвижением; например, 4л-вобблер должен быть изучен в первую очередь. Не ясно также, как работать со столкновениями кинков и антикинков для двойного уравнения sineGordon с отрицательным знаком, описанного в разд. 3.3. Насколько нам известно, теория возмущений не применялась к более сложным случаям, чем это описано здесь. Маклафлин и Скотт [3.53] имели дело с уравнением sine-Gordon с затуханием; Ньюэлл [3.54] изучал соотношения между теорией возмущений и уравнениями типа (3.34). Қак мы уже отмечали, в разд. 3.4 даны лишь наброски рассуждений, за подробностями мы отсылаем читателя к работам Китченсайда [3.32], Мейсона [3.52] или Ньюэлла [3.34]. Цель, которую мы себе ставили в настоящей статье, – показать, чего можно достичь при помощи сингулярной теории возмущений, а также дать некоторое представление о том, что для этого нужно сделать. В будущем мы предполагаем продолжить эту работу.