Как уже говорилось выше, гамильтонова формулировка интегрируемых уравнений наиболее удобна для их квантования. С этой точки зрения наибольший интерес представляют нелинейное уравнение Шрёдингера и уравнение sine-Gordon. В квантовом случае первое уравнение описывает взаимодействующие частицы с парным $\delta$-образным потенциалом. Второе уравнение является нетривиальным релятивистским примером самодействующего скалярного поля.

Запись гамильтониана в переменных типа действие-угол позволяет описать его спектр. Действительно, при квантовании переменные, через которые выражается гамильтониан, переходят в коммутирующие операторы. Их спектр определяется топологией соответствующего фазового пространства. Следовательно, собственные значения квантового гамильтониана могут быть получены подстановкой собственных значений переменных типа действие — угол в классическую формулу для гамильтониана.

Проиллюстрируем это следующими примерами. Рассмотрим сначала нелинейное уравнение Шрёдингера. Простая замена позволяет записать наблюдаемые переменные $N, P$ и $H$ в виде
\[
\begin{array}{l}
N=\int_{-\infty}^{\infty} \rho(p) d p+\sum_{l} \eta_{l} ; \quad \rho(p)=\frac{1}{2} P\left(\frac{p}{2}\right) ; \quad \eta_{l}=\alpha_{l} ; \\
P=\int_{-\infty}^{\infty} p \rho(p) d p+\sum_{l} p_{l} ; \quad p_{l}=\frac{1}{2} \xi_{l} \alpha_{l} ; \\
H=\int_{-\infty}^{\infty} p^{2} \rho(p) d p+\sum_{l}\left(\frac{p_{l}^{2}}{n_{l}}-\frac{n_{l}^{3}}{12}\right) .
\end{array}
\]

Величина $\varphi(p)$, канонически сопряженная положительной переменной $\rho(p)$, принимает значения на окружности $0 \leqslant \varphi(p) \leqslant$ $\leqslant 2 \pi$. Отсюда следует, что переменные
\[
a^{*}(p)=\sqrt{\rho(p)} e^{-i \varphi(p)} ; \quad a(p)=\sqrt{\rho(p)} e^{i \varphi(p)}
\]

корректно определены и имеют следующую скобку Пуассона:
\[
\left\{a^{*}(p), a\left(p^{\prime}\right)\right\}=i \delta\left(p-p^{\prime}\right) .
\]

При квантовании операторы $\hat{a}^{*}(p)$ и $\hat{a}(p)$ имеют обычный смысл операторов рождения и уничтожения, действующих в фоковском пространстве. В частности, спектр оператора

состоит из
\[
\hat{\rho}(\rho)=\hat{a}^{*}(p) \hat{a}(p)
\]
\[
\rho^{\prime}(p)=\sum_{i=1}^{M} \delta\left(p-p_{i}\right)
\]

Здесь множество вещественных чисел $\left\{p_{i}\right\}$ и число $M$ интерпретируются как число частиц и их импульсы. Вклады $\hat{\boldsymbol{\rho}}(p)$ в спектры $\hat{N}, \hat{P}$ и $\mathscr{A}$ равны
\[
N^{\prime}=M, \quad P^{\prime}=\sum_{i=1}^{M} p_{i} \text { и } H=\sum_{i=1}^{M} p_{i}^{2}
\]

соответственно; они представляют энергию и импульс $M$ нерелятивистских частиц массы $1 / 2$.

Величины $n_{l}$ также сопряжены переменным типа фазы, поэтому спектр соответствующих операторов будет состоять из целых чисел. Переменные $p_{l}$ сопряжены величинам $q_{l}$, которые могут принимать любое вещественное значение. Отсюда их спектр должен содержать все вещественные значения. Соответствующий вклад солитонных переменных в спектр квантовых гамильтониана и импульса равен
\[
P^{\prime}=\sum_{l=1}^{N} p_{l} ; \quad H=\sum_{l=1}^{N}\left(\frac{p_{l}^{2}}{n_{l}}-\frac{n_{l}^{3}}{12}\right),
\]
т. е. он соответствует импульсу и энергии системы частиц с массой $n_{l} / 2$ и внутренней энергией $-n_{l}^{3} / 12$. При $n=2,3, \ldots$ такие частицы могут быть интерпретированы как связанные состояния $n$ частиц массы $1 / 2$. Член $-n^{3} / 12$ есть их энергия связи. В случае $n=1$ мы получаем частицу массы $1 / 2$, т. е. то же, что было описано выше. Их энергия приобретет вид $p^{2}$, если заменить
\[
H \rightarrow H+N / 12,
\]

что можно обосновать с помощью подходящего упорядочивания квантовых операторов $\hat{\psi}^{*}, \hat{\psi}$. После этого энергия связи $n$ частиц будет равна
\[
\varepsilon_{n}=\frac{n^{3}-n}{12} .
\]

Интригующее совпадение вкладов непрерывного спектра и солитонных переменных при $n=1$ до сих пор полностью не понято. По-видимому, это может быть прояснено при правильном описании топологии фазового пространства в терминах переменных действие — угол. Так, взаимозаменяемость солитонных и непрерывных переменных можно было бы получить, если рассматривать большое количество нулей с малой мнимой частью, т.е. близких к непрерывному спектру.

Обычно спектр оператора $\hat{H}$ исследуется в представлении, в котором операторы $\hat{\psi}^{*}(x), \hat{\psi}(x)$ имеют следующие коммутационные соотношения:
\[
\left[\hat{\psi}^{*}(x), \hat{\psi}(x)\right]=\delta(x-y)
\]
(постоянная Планка $\hbar$ здесь положена равной 1).
Операторы
\[
\hat{N}=\int_{-\infty}^{\infty} \hat{\psi}^{*} \hat{\psi} d x ; \quad \hat{H}=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\hat{\psi}^{*} \hat{\psi}_{x}-\hat{\psi}^{*} \hat{\psi}^{*} \hat{\psi} \hat{\psi}\right) d x
\]

коммутируют, и спектр $\widehat{N}$ состоит из положительных целых чисел. На подпространстве с данным собственным числом $N=M$ оператор $A$ является $M$-частичным оператором Шрёдингера
\[
H_{M}=-\sum_{i=1}^{M} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}+\sum_{i<j}^{M} \delta\left(x_{i}-x_{j}\right)
\]

действующим на подпространстве симметрических функций. Спектр $H_{M}$ подробно изучался в [11.20] и состоит из ветвей
\[
\begin{array}{c}
p_{1}^{2}+\ldots+p_{M}^{2} ; \quad p_{1}^{2}+\ldots+p_{M-2}^{2}+\frac{p_{M}^{2}}{2}-\frac{2^{3}-2}{12} ; \ldots \\
\frac{p_{m_{1}}^{2}}{m_{1}}-\varepsilon_{m_{1}}+\ldots+\frac{p_{m_{k}}^{2}}{m_{k}}-\varepsilon_{m_{k}}, m_{1}+\ldots+m_{k}=M ; \ldots ; \frac{p_{M 1}^{2}}{M}-\varepsilon_{M}
\end{array}
\]

Таким образом, мы видим, что два вывода спектра квантового гамильтониана нелинейного уравнения Шрёдингера приводят $\mathrm{k}$ одинаковым результатам. Из общих соображений следует, что оба подхода должны давать одинаковый результат в главном порядке по $\hbar$, но полное квантование в разных канонических переменных не обязано совпадать полностью. В любом случае разобранный пример показывает, что квантование в переменных действие — угол позволяет найти простым и непосредственным образом спектр гамильтониана. Это побуждает применить описанные процедуры и к тем случаям, когда точное решение квантовой задачи неизвестно. Рассмотрим в качестве примера уравнение sine-Gordon.

Переопределяя подходящим образом переменные действие угол, гамильтониан и импульс можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
P=\int_{-\infty}^{\infty} P \rho(p) d p+\sum_{a=1}^{A} p_{a}+\sum_{b=1}^{B} p_{b} ; \\
H=\int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{p^{2}+1} \rho(p) d p+\sum_{a}^{A} \sqrt{p_{a}^{2}+M^{2}}+\sum_{b}^{B} \sqrt{p_{b}^{2}+M^{2}\left(\alpha_{b}\right)} ; \\
\rho(p) d p=P(k) d k ; \quad p=\frac{1}{4}\left(k+\sqrt{k^{2}+1}\right), \quad p_{a}=\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{\lambda_{a}}-16 \lambda_{a}\right) ; \\
p_{b}=\frac{\mu_{b}-\bar{\mu}_{b}}{i \gamma}\left(\frac{1}{\left|\mu_{b}\right|^{2}}-16\right) ; \quad M=\frac{8}{\gamma} ; \quad M(\alpha)=\frac{16}{\gamma} \sin \alpha .
\end{array}
\]

Величина $\rho(p)$ сопряжена переменным типа фазы, поэтому спектр соответствующего квантового оператора состоит из целых чисел (11.13). Спектр величин $\hat{p}_{a}$ и $\hat{p}_{b}$ заполняет всю вещественную ось. Наконец, величина $\alpha$ сопряжена переменной $\beta$, которая принимает значения на интервале $0 \leqslant \beta \leqslant 32 \pi / \gamma$, поэтому спектр $\alpha$ состоит из значений $\alpha_{n}=\gamma n / 16$ в интервале $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$.

В результате спектр $A$ соответствует системе частиц с массами $m=1, M=8 / \gamma$ и $M_{n}=16 \gamma^{-1} \times \sin (\gamma n / 16)$. Этот результат безусловно верен лишь в главном порялке по $\hbar$ (или, как отмечалось ранее, по отношению к $\gamma$ ). В частности, представляется, что частицы с массами $m=1$ и $M_{1}=16 \gamma^{-1} \sin (\gamma / 16)$ в действительности тождественны. Это аналогично соответствующему результату для нелинейного уравнения Шрёдингера.

Таким образом, мы видим, что классические решения уравнения sine-Gordon не дают полного представления о богатом спектре частиц в соответствующей квантовой задаче. Метод обратной задачи рассеяния совместно с его гамильтоновой интерпретацией позволяет преодолеть ограничения, свойственные теории возмущений. Применение последней для уравнения sineGordon позволяет описать лишь один сорт взаимодействующих частиц, а.именно частиц с массой 1. На описанном пути было впервые получено, что локализованным решениям классических уравнений теории ноля соответствуют частицы в квантовом случае $[11.21,11.22]$. Солитонный подход для описания спектра масс в настоящее время получает все большую понулярность. Отметим, что спектр уравнения sine-Gordon был получен в [11.23] иным способом. Обзор соответствующего направления квантовой теории поля увел бы нас далеко от основной темы настоящей книги, которая посвящена методу обратной задачи рассеяния. Поэтому в заключение мы просто отошлем читателя к многочисленным оригинальным работам [11.22-11.26] и обзорам [11.27-11.29].