Как уже говорилось выше, гамильтонова формулировка интегрируемых уравнений наиболее удобна для их квантования. С этой точки зрения наибольший интерес представляют нелинейное уравнение Шрёдингера и уравнение sine-Gordon. В квантовом случае первое уравнение описывает взаимодействующие частицы с парным $\delta$-образным потенциалом. Второе уравнение является нетривиальным релятивистским примером самодействующего скалярного поля.

Запись гамильтониана в переменных типа действие-угол позволяет описать его спектр. Действительно, при квантовании переменные, через которые выражается гамильтониан, переходят в коммутирующие операторы. Их спектр определяется топологией соответствующего фазового пространства. Следовательно, собственные значения квантового гамильтониана могут быть получены подстановкой собственных значений переменных типа действие — угол в классическую формулу для гамильтониана.

Проиллюстрируем это следующими примерами. Рассмотрим сначала нелинейное уравнение Шрёдингера. Простая замена позволяет записать наблюдаемые переменные $N,P$ и $H$ в виде
$$\begin{array}{l}N={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\rho (p)dp+\sum _l{\eta }_l;\rho (p)=\frac{1}{2}P\left(\frac{p}{2}\right);{\eta }_l={\alpha }_l;\\ P={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}p\rho (p)dp+\sum _l{p}_l;p_l=\frac{1}{2}{\xi }_l{\alpha }_l;\\ H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{p}^2\rho (p)dp+\sum _l(\frac{p_l^2}{n_l}-\frac{n_l^3}{12}).\end{array}$$

Величина $\phi (p)$, канонически сопряженная положительной переменной $\rho (p)$, принимает значения на окружности $0⩽\phi (p)⩽$ $⩽2\pi$. Отсюда следует, что переменные
$$a^{\ast }(p)=\sqrt{\rho (p)}{e}^{-i\phi (p)};a(p)=\sqrt{\rho (p)}{e}^{i\phi (p)}$$

корректно определены и имеют следующую скобку Пуассона:
$$\{a^{\ast }(p),a\left(p^{\prime }\right)\}=i\delta (p-p^{\prime }).$$

При квантовании операторы ${\hat{a}}^{\ast }(p)$ и $\hat{a}(p)$ имеют обычный смысл операторов рождения и уничтожения, действующих в фоковском пространстве. В частности, спектр оператора

состоит из
$$\hat{\rho }(\rho )={\hat{a}}^{\ast }(p)\hat{a}(p)$$
$${\rho }^{\prime }(p)=\sum _{i=1}^M\delta (p-p_i)$$

Здесь множество вещественных чисел $\left\{p_i\right\}$ и число $M$ интерпретируются как число частиц и их импульсы. Вклады $\hat{\mathit{\rho }}(p)$ в спектры $\hat{N},\hat{P}$ и $\mathcal{A}$ равны
$$N^{\prime }=M,P^{\prime }=\sum _{i=1}^M{p}_i\text{ и }H=\sum _{i=1}^M{p}_i^2$$

соответственно; они представляют энергию и импульс $M$ нерелятивистских частиц массы $1/2$.

Величины $n_l$ также сопряжены переменным типа фазы, поэтому спектр соответствующих операторов будет состоять из целых чисел. Переменные $p_l$ сопряжены величинам $q_l$, которые могут принимать любое вещественное значение. Отсюда их спектр должен содержать все вещественные значения. Соответствующий вклад солитонных переменных в спектр квантовых гамильтониана и импульса равен
$$P^{\prime }=\sum _{l=1}^N{p}_l;H=\sum _{l=1}^N(\frac{p_l^2}{n_l}-\frac{n_l^3}{12}),$$
т. е. он соответствует импульсу и энергии системы частиц с массой $n_l/2$ и внутренней энергией $-n_l^3/12$. При $n=2,3,\dots$ такие частицы могут быть интерпретированы как связанные состояния $n$ частиц массы $1/2$. Член $-n^3/12$ есть их энергия связи. В случае $n=1$ мы получаем частицу массы $1/2$, т. е. то же, что было описано выше. Их энергия приобретет вид $p^2$, если заменить
$$H\to H+N/12,$$

что можно обосновать с помощью подходящего упорядочивания квантовых операторов ${\hat{\psi }}^{\ast },\hat{\psi }$. После этого энергия связи $n$ частиц будет равна
$${\epsilon }_n=\frac{n^3-n}{12}.$$

Интригующее совпадение вкладов непрерывного спектра и солитонных переменных при $n=1$ до сих пор полностью не понято. По-видимому, это может быть прояснено при правильном описании топологии фазового пространства в терминах переменных действие — угол. Так, взаимозаменяемость солитонных и непрерывных переменных можно было бы получить, если рассматривать большое количество нулей с малой мнимой частью, т.е. близких к непрерывному спектру.

Обычно спектр оператора $\hat{H}$ исследуется в представлении, в котором операторы ${\hat{\psi }}^{\ast }(x),\hat{\psi }(x)$ имеют следующие коммутационные соотношения:
$$[{\hat{\psi }}^{\ast }(x),\hat{\psi }(x)]=\delta (x-y)$$
(постоянная Планка $\hslash$ здесь положена равной 1).
Операторы
$$\hat{N}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\hat{\psi }}^{\ast }\hat{\psi }dx;\hat{H}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\hat{\psi }}^{\ast }{\hat{\psi }}_x-{\hat{\psi }}^{\ast }{\hat{\psi }}^{\ast }\hat{\psi }\hat{\psi })dx$$

коммутируют, и спектр $\hat{N}$ состоит из положительных целых чисел. На подпространстве с данным собственным числом $N=M$ оператор $A$ является $M$-частичным оператором Шрёдингера
$$H_M=-\sum _{i=1}^M\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}+\sum _{i<j}^M\delta (x_i-x_j)$$

действующим на подпространстве симметрических функций. Спектр $H_M$ подробно изучался в [11.20] и состоит из ветвей
$$\begin{array}{c}{p}_1^2+\dots +p_M^2;p_1^2+\dots +p_{M-2}^2+\frac{p_M^2}{2}-\frac{2^3-2}{12};\dots \\ \frac{p_{m_1}^2}{m_1}-{\epsilon }_{m_1}+\dots +\frac{p_{m_k}^2}{m_k}-{\epsilon }_{m_k},m_1+\dots +m_k=M;\dots ;\frac{p_{M1}^2}{M}-{\epsilon }_M\end{array}$$

Таким образом, мы видим, что два вывода спектра квантового гамильтониана нелинейного уравнения Шрёдингера приводят $\mathrm{k}$ одинаковым результатам. Из общих соображений следует, что оба подхода должны давать одинаковый результат в главном порядке по $\hslash$, но полное квантование в разных канонических переменных не обязано совпадать полностью. В любом случае разобранный пример показывает, что квантование в переменных действие — угол позволяет найти простым и непосредственным образом спектр гамильтониана. Это побуждает применить описанные процедуры и к тем случаям, когда точное решение квантовой задачи неизвестно. Рассмотрим в качестве примера уравнение sine-Gordon.

Переопределяя подходящим образом переменные действие угол, гамильтониан и импульс можно записать в виде
$$\begin{array}{l}P={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}P\rho (p)dp+\sum _{a=1}^A{p}_a+\sum _{b=1}^B{p}_b;\\ H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{p^2+1}\rho (p)dp+\sum _a^A\sqrt{p_a^2+M^2}+\sum _b^B\sqrt{p_b^2+M^2\left({\alpha }_b\right)};\\ \rho (p)dp=P(k)dk;p=\frac{1}{4}(k+\sqrt{k^2+1}),p_a=\frac{1}{\gamma }(\frac{1}{{\lambda }_a}-16{\lambda }_a);\\ p_b=\frac{{\mu }_b-{\overline{\mu }}_b}{i\gamma }(\frac{1}{{\left|{\mu }_b\right|}^2}-16);M=\frac{8}{\gamma };M(\alpha )=\frac{16}{\gamma }\sin \alpha .\end{array}$$

Величина $\rho (p)$ сопряжена переменным типа фазы, поэтому спектр соответствующего квантового оператора состоит из целых чисел (11.13). Спектр величин ${\hat{p}}_a$ и ${\hat{p}}_b$ заполняет всю вещественную ось. Наконец, величина $\alpha$ сопряжена переменной $\beta$, которая принимает значения на интервале $0⩽\beta ⩽32\pi /\gamma$, поэтому спектр $\alpha$ состоит из значений ${\alpha }_n=\gamma n/16$ в интервале $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$.

В результате спектр $A$ соответствует системе частиц с массами $m=1,M=8/\gamma$ и $M_n=16{\gamma }^{-1}\times \sin (\gamma n/16)$. Этот результат безусловно верен лишь в главном порялке по $\hslash$ (или, как отмечалось ранее, по отношению к $\gamma$ ). В частности, представляется, что частицы с массами $m=1$ и $M_1=16{\gamma }^{-1}\sin (\gamma /16)$ в действительности тождественны. Это аналогично соответствующему результату для нелинейного уравнения Шрёдингера.

Таким образом, мы видим, что классические решения уравнения sine-Gordon не дают полного представления о богатом спектре частиц в соответствующей квантовой задаче. Метод обратной задачи рассеяния совместно с его гамильтоновой интерпретацией позволяет преодолеть ограничения, свойственные теории возмущений. Применение последней для уравнения sineGordon позволяет описать лишь один сорт взаимодействующих частиц, а.именно частиц с массой 1. На описанном пути было впервые получено, что локализованным решениям классических уравнений теории ноля соответствуют частицы в квантовом случае $[11.21,11.22]$. Солитонный подход для описания спектра масс в настоящее время получает все большую понулярность. Отметим, что спектр уравнения sine-Gordon был получен в [11.23] иным способом. Обзор соответствующего направления квантовой теории поля увел бы нас далеко от основной темы настоящей книги, которая посвящена методу обратной задачи рассеяния. Поэтому в заключение мы просто отошлем читателя к многочисленным оригинальным работам [11.22-11.26] и обзорам [11.27-11.29].