В течение 1960-1967 гг. ряд физических задач повлиял на развитне теории солитонов. Маккол и Хан [1.26, 1.97] изложили теорию самоиндуцированной прозрачности (СИП) и привели экспериментальные результаты, ее подтверждающие. Для огибающей электрического поля, проходящего через среду двухуровневых атомов, они нашли аналитическое решение в виде импульса, имеющего форму гиперболнческого секанса; первоначально такое решение они обнаружили численными методами. Они также открыли распадение оптического импульса на последовательность sech-импульсов и поняли, что последние связаны с $2 \pi$-кинками СГ-уравнения. Однако $N$-кинковое решение (1.22) СГ-уравнения было обнаружено лишь в 1972-1973 гг. $[1.81,1.82,1.98]$. Теорию СИП рассматривают Лэм и Маклафлин в гл. 2. Ранняя работа по СИП принадлежит Ареччи и Бонифацио [1.99].

В 1964 г. Чиао и др. [1.100] получили НУШ при изучении оптической самофокусировки и расщепления оптических пучков.

Они нашли решение (1.21) этого уравнения (в виде гиперболического секанса) для поперечного амплитудного профиля одиночной филаменты. Для нейтрального диэлектрика можно привести следующие простые рассуждения [1.22, 1.23]. Скалярный атомный диполь $P(x, t)$, индуцированный скалярным полем $E(x, t)$, для изотропных атомов имеет вид
\[
P(x, t)=\alpha E(x, t)+\alpha_{\mathrm{NL}} E(x, t)^{3}+\ldots,
\]

где $\alpha$ и $\alpha_{\mathrm{NL}}$ суть линейная и нелинейная поляризуемости. Уравнение Максвелла, конечно, линейное и имеет вид
\[

abla^{2} E-c^{-2} \partial^{2} E / \partial t^{2}=4 \pi n c^{-2} \partial^{2} P / \partial t^{2},
\]

где $n$ есть сглаженная плотность атомных чисел. Ища решение в виде комплексной огибающей, модулирующей несущую волну для $E$, а именно в виде
\[
E(x, t)=\varepsilon(x, y, z, t) \exp [i(\omega t-k z)]+\ldots
\]

и налагая линейное дисперсионное соотношение $\omega^{2}=c^{2} k^{2}-$ $-4 \pi n \omega^{2} \alpha$, находим
\[
\varepsilon_{x x}+\varepsilon_{y y}+\omega^{2} c^{-2} 12 \pi n \alpha_{\mathrm{NL}}|\varepsilon|^{2} \varepsilon+2 i c^{-2}\left[\omega \varepsilon_{t}(1+4 \pi n \alpha)-c^{2} k \varepsilon_{z}\right]=0 .
\]

В частности, для стационарных решений после масштабного преобразования получим
\[
\varepsilon_{x x}+\varepsilon_{y y}+2|\varepsilon|^{2} \varepsilon-i \varepsilon_{z}=0 .
\]

Это двумерное НУШ с пространственными переменными $(x, y)$ и «временем» $z$. Очевидно, что это уравнение неустойчиво [1.101]-решения в двух пространственных измерениях растут до бесконечности за конечное время – но для одного пространственного измерения ( $x$ ) оно сводится к (1.9). Чиао и др. пришли к этому уравнению с помощью нелинейной зависимости диэлектрической постоянной от интенсивности. Лэм и Маклафлин (гл. 2) получили его в другой задаче нелинейной оптики. Гинзбург и Питаевский [1.102], Питаевский [1.103] и Гросс $\left[\begin{array}{l}1.104 \\ 1.105]\end{array}\right]$ нашли (стационарное) уравнение Гросса – Питаевского
\[
a+b|u|^{2}-\frac{h^{2}}{2 m}
abla^{2} u=0
\]

при изучении сверхпроводимости. Бенджамин и Фейр [1.106] обнаружили неустойчивость волн на глубокой воде, носящую их имена; эта неустойчивость порождается группированием синусоидальных волн в волновые пакеты с солитонными огибающими, управляемыми НУШ. Бенни и Ньюэлл [1.107] изучали НУШ именно в этой связи. Появилось обобщение НУШ, имеющее вид
\[
u_{x x}+2\left[1-\exp \left(-|u|^{2}\right)\right] u+i u_{t}=0,
\]

которое применялось в теории кавитонов в плазме, для описания фотонных пузырьков и взаимодействия радиации с плазмой $[1.22,1.23]$. Связь этого уравнения с уравнениями ленгмюровской турбулентности, выведенными Захаровым [1.108], установлена в [1.64].

НУШ было решено Захаровым и Шабатом [1.38] в 1971 г. и впоследствии [1.109] в 1973 г. с помощью первой версии $2 \times 2$-схемы обратной задачи рассеяния. Эти великолепные работы замечательны количеством содержащихся в них аналитических результатов и новых методов; не последний из них вывод в [1.38] бесконечного набора сохраняющихся плотностей для НУШ методом, применимым ко всем АКНС системам $[1.44,1.45]$ с задачей рассеяния $2 \times 2[1.42,1.69]$. Принципиальная важность этой работы, однако, состояла в демонстрации того, что метод обратной задачи рассеяния [1.1], предназначенный для решения уравнения КдФ, пригоден не только для этого уравнения. Нам кажется, что в качестве введения в метод обратной задачи рассеяния было бы полезно описать открытие этого метода для уравнения КдФ, следуя изложению Крускала [1.110], и сейчас мы это сделаем.

В 1955-1965 гг. Крускал иғтересовался повторяемостью, наблюдаемой в одномерных ангармонических решетках – задачей Ферми – Пасты – Улама (ФПУ) [1.12]. Это привело Забуски и Крускала [1.2] к исследованию уравнения, полученного для кубической нелинейности в континуальном пределе,
\[
y_{t t}=y_{x x}\left(1+\varepsilon y_{x}\right),
\]

где параметр $\varepsilon$, задающий величину нелинейности, порядка $1 / 10$. Ища римановы инварианты линейной задачи $y_{t t}=y_{x x}$, а именно
\[
u=\frac{1}{2}\left(y_{x}+y_{t}\right)=O(1), \quad v=\frac{1}{2}\left(y_{x}-y_{t}\right)=O(\varepsilon),
\]

они свели (1.74) к простой волке
\[
u_{\tau}+u u_{x}=0 \quad(\tau \equiv 4 \varepsilon(t-x)) .
\]

Характеристики этого уравнения суть $d x / d \tau=u=$ const. Их пересечение означает наличие ударных волн у уравнения. Его можно проинтегрировать преобразованием годографа, получив решение $u=u(x-u t$ ), включающее ударную волну (скорость $u$ велика там, где возмущение и велико). При возврате к дискретной решеточной модели была введена дисперсия. В результате получилось
\[
y_{t t}=y_{x x}\left(1+\varepsilon y_{x}\right)+\frac{\Delta x^{2}}{12} y_{x x x x},
\]

где $\Delta x$ есть постоянная решетки, и отсюда
\[
u_{\tau}+u u_{x}+\delta^{2} u_{x x x}=0
\]

здесь $\quad \delta^{2} \equiv \Delta x^{2} / 12 \varepsilon$. При $\Delta x \sim 1 / 64$ и $\varepsilon \sim 1 / 10$ получим $\delta \approx 0.022$.

Численное решение уравнения (1.77) показало [1.2], что при периодических граничных условиях из синусоидальных начальных данных развивается сглаженный прыжок, величина которого достигает амплитуды ударной волны, отвечающей выбранному малому $\delta^{2}$. Затем профиль разбивается на пики, столкновительные свойства которых побудили Забуски и Крускала [1.2] назвать их солитонами. Чтобы охарактеризовать поведение решения при переходе через прыжок, Крускал и соавторы искали законы сохранения. Уравнение (1.77) уже записано в консервативной форме, причем сохраняющейся плотностью служит $T^{1}=u$. Однако $T^{2}=u^{2}$ и $T^{3}=2 u^{3}-u_{x}^{2}$ также являются сохраняющимися плотностями. Миура и др. [1.67] нашли 10 полиномиальных сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ в форме (1.3) и доказали существование бесконечного числа нетривиальных $T^{r}$. Каждый член $\Pi u_{i}^{a_{j}}$ в $T^{r}$ (где $u_{j}$ – снова $j$-я производная) имеет в этом случае ранг $r=\sum_{j}(1+j / 2) a_{j} ; T^{10}=u^{10} / 10-$ $-36 u^{7} u_{1}^{2} \ldots+419904 u_{8}^{2} / 12155$ имеет ранг 10 и содержит 32 члена [1.67].

ФПУ рассмотрели также решетку с ангармоничностью не третьей, а четвертой степени. При этом получается $y_{t t}=y_{x x}(1+$ $+\varepsilon y_{x}^{2}$ ) и, следовательно, модифицированное уравнение КдФ
\[
v_{t}+v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 .
\]

У него также есть законы сохранения. Миура [1.62] нашел преобразование $u=v^{2}+\sqrt{-6} v_{x}$, связывающее их. Множитель $\sqrt{-6}$ не создает трудностей: преобразование Миуры [1.62] $u=v^{2}+v_{x}$ это ПБ (1.44), нормированное так, чтобы связать КдФ и модифицированное КдФ, записанные соответственно следуюіщим образом:
\[
\begin{array}{c}
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0, \\
v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 .
\end{array}
\]

Преобразование Риккати $v=\partial(\ln \psi) / \partial x$ линеаризует $v^{2}+v_{x}$ и $u=\psi_{x x} / \psi$. Преобразование Галилея
\[
x^{\prime}=x-V t, \quad t^{\prime} \rightarrow t, \quad u \rightarrow u+V
\]

оставляет уравнение $u_{t}-u u_{x}+u_{x x x}=0$ без изменений. Следовательно, в результате получим $u \rightarrow u+\lambda=\psi_{x x} / \psi$ и задачу на собственные значения для уравнений Шрёдингера
\[
-\psi_{x x}+u \psi=-\lambda \psi .
\]

Далее, подставляя $u=\psi_{x x} / \psi-\lambda$ в уравнение КдФ (1.79a), получим [1.1]:
a) $\lambda_{t}=0$ для связанных сос ояний $(\lambda>0)$, даже если $u$ зависит от $t$;
b) $\quad \psi_{t}+\psi_{x x x}-3(u-\lambda) \psi_{x}=C \psi+D \psi \int^{x} \frac{d x}{\psi^{2}}$,

причем [1.1] $D$ обращается в нуль для $\lambda>0$, тогда как $C$ можно обратить в нуль с помощью нормировки собственных функций связанных состояний. Поскольку $u \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$, то собственная функция $\psi_{n}$, отвечающая $\lambda_{n}>0$, принимает вид
\[
\psi_{n} \sim c_{n}(t) \exp \left(-k_{n} x\right) \quad \text { при } \quad x \rightarrow \infty
\]
$\left(k_{n}=\lambda_{n}^{1 / 2}\right)$, и из (1.81) $c_{n}(t)=c_{n}(0) \exp 4 k_{n}^{3} t$.
При $\lambda=-k^{2}<0$ решение уравнения (1.80) для больших $|x|$ есть линейная комбинация членов вида $\exp \pm i k x$. Если
\[
\begin{array}{ll}
\psi \sim \exp (-i k x)+b \exp (i k x) & x \rightarrow \infty, \\
\psi \sim a \exp (-i k x) & x \rightarrow-\infty,
\end{array}
\]

то $a(k, t)$ есть коэффициент прохождения, $b(k, t)$ – коэффициент отражения, причем $\left|a^{2}\right|+\left|b^{2}\right|=1$. Так как спектр при $\lambda<0$ непрерывен, то $\lambda$ можно выбрать так, чтобы $\lambda_{t}=0$ также и в этом случае. Подстановка ( $1.83 \mathrm{a}, \mathrm{b})$ в (1.80) дает $D=0$, $C=4 i k^{3}$ и два уравнения, из которых легко получить
\[
\begin{aligned}
a(k, t) & =a(k, 0) \\
b(k, t) & =b(k, 0) \exp \left(8 i k^{3} t\right) .
\end{aligned}
\]

Ключевой момент состоит в том, что данные рассеяния $a, b$, $c_{n}$ и $\lambda_{n}$ позволяют реконструировать значение $и$ для любого времени $t$. Пусть $K(x, y)$ при $y \geqslant x$ есть решение уравнения Гельфанда – Левитана [1.111, 1.112]
\[
K(x, y)+B(x+y)+\int_{x}^{\infty} K(x, z) B(y+z) d z=0,
\]

где
\[
B(\xi)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} b(k) \exp (j k \xi) d k+\sum_{n} c_{n}^{2} \exp \left(k_{n}\right) \xi .
\]

Тогда
\[
u(x, t)=2 \frac{\partial}{\partial x} K(x, x) .
\]

Процедура решения уравнения КдФ (1.79a), т. е. уравнения КдФ (1.1), тем самым состоит в следующем:
I) отобразить начальные данные $u(x, 0)$ в данные рассеяния $S=\left\{b(k, 0), c_{n}(0)\right.$ и $\left.\lambda_{n}(n=1, \ldots, N)\right\}$

II) вычислить временную эволюцию данных рассеяния, как указано выше;
III) решить уравнение Гельфанда – Левитана (1.85a) и вычислить $u(x, t)$ ( $t>0)$.

В частности, при отсутствии отражения $b(k, 0)=0$, и решение становится $N$-солитонным, соответствующим формулам (1.16) (хотя и в другом масштабе). Это замечательное открытие послужило отправной точкой всей теории солитонов, за единственным исключением прямых методов, которые разработали Хирота $[1.33,1.81]$ (см. также гл. 5) и в меньшей степени Кодри [1.82]. Точная связь этих методов с методом обратной задачи рассеяния пока не установлена, хотя, конечно, ищутся одни и те же $N$-солитонные решения.

Здесь уместно объяснить некоторые термины. Процедуру (I) иногда называют прямым преобразованием рассеяния или прямым спектральным преобразованием. Процедуру (III) называют обратным преобразованием рассеяния или обратным спектральным преобразованием. Вся процедура в целом называется методом обратной задачи рассеяния или методом обратного спектрального преобразования. Мы в основном пользуемся выражением «метод обратной задачи рассеяния» или «метод обратной задачи». Он рассматривается с различных точек зрения по крайней мере в пяти главах настоящей книги. Мы надеемся, что вызванное этим обстоятельством пересечение тематики будет скорее помогать читателю, чем раздражать его. Разд. 1.4 задуман как введение в метод, который более подробно изложен А. Ньюэллом в гл. 6 и (в несколько иной трактовке) В. Е. Захаровым в гл. 7.