До сих пор мы занимались только отысканием уравнений, в принципе интегрируемых методом обратной задачи. В настоящем разделе мы опишем способ построения их точных решений, не использующий уравнений обратной задачи рассеяния. Как и прежде, мы стартуем с «затравочных» или «голых» операторов $\hat{L}_{0}, \hat{A}_{0}$. Пусть $\hat{R}^{+}$- вольтерровский справа интегральный оператор, определенный на ток же пространстве функций, что и $\tilde{L}_{0}$,
\[
\hat{K}^{+} \psi=\int_{z}^{\infty} K^{+}\left(z, z^{\prime}\right) \psi\left(z^{\prime}\right) d z^{\prime} .
\]

В силу известного свойства вольтерровских операторов, оператор $1+\hat{R}^{+}$является обратимым. Преобразуем оператор $\mathcal{L}_{0}$ при помощи $1+K^{+}$, т. е. рассмотрим оператор
\[
\hat{L}=\left(1+\hat{K}^{+}\right) \hat{L}_{0}\left(1+\hat{K}^{+}\right)^{-1} \text {. }
\]

Вообще говоря, оператор $L$ состоит из двух частей — дифференциального оператора с переменными, зависящими от $\hat{K}^{+}$коэффициентами, и интегрального вольтерровского справа оператора (ядро оператора $\hat{K}^{+}$предполагается достаточное число раз дифференцируемым). Однако, можно найти такие $R^{+}$, что интегральная часть в $L$ обратится в нуль.
Для этого рассмотрим фредгольмов оператор $\hat{F}$,
\[
\hat{F} \psi=\int_{-\infty}^{+\infty} F\left(z, z^{\prime}\right) \psi\left(z^{\prime}\right) d z^{\prime},
\]

также обладающий сколь угодно гладким ядром, и произведем факторизацию этого оператора, то есть представим его в виде произведения двух вольтерровских в разные стороны операторов
\[
\begin{aligned}
1+\widehat{F} & =\left(1+\hat{K}^{+}\right)^{-1}\left(1+\hat{K}^{-}\right), \\
\hat{K}^{-} \psi & =\int_{-\infty}^{z} K^{-}\left(z, z^{\prime}\right) \psi\left(z^{\prime}\right) d z^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Операторы $R^{ \pm}$можно назвать вольтерровскими факторами оператора $\hat{F}$.

Среди всех операторов $F$ нас будут интересовать коммутирующие с дифференциальными операторами. Пусть, например, оператор $\hat{F}$ коммутирует с оператором $\hat{M}_{0}=\alpha \partial / \partial x+\widehat{L}_{0}$, т. е.
\[
\hat{F} \hat{M}_{0}-\hat{M}_{0} \hat{F}=0 .
\]

Применяя соотношение (7.42) ко всем функциям $\psi$ и интегрируя по частям выражение $\widehat{F} \widehat{M}_{0} \psi$, получим дифференциальное уравнение на ядро оператора $\widehat{F}$
\[
\alpha \frac{\partial F}{\partial x}+\sum_{k=0}^{n}\left[l_{k} \frac{\partial^{n-k}}{\partial z^{n-k}} F+(-1)^{k+1} \frac{\partial^{n-k}}{\partial z^{\prime-k}} F l_{k}\right]=0 .
\]

Эквивалентное условию коммутативности (7.43) можно записать в символическом виде
\[
\alpha \frac{\partial F}{\partial x}+\hat{L}_{0} F-F \hat{L}_{0}^{+}=0 .
\]
\[
\alpha \frac{\partial F}{\partial x}+\widehat{L}_{0} F-F \hat{L}_{0}^{+}=0
\]

Выражение $F \widehat{L}_{0}^{+}$означает, что оператор $\hat{L}_{0}^{+}$- сопряженный к $\hat{L}_{0}$, дифференцирование — по переменной $z^{\prime}$, а матричные коэффициенты умножаются на $F$ справа.

Рассматривать коммутирующие с $\vec{M}_{0}$ операторы $\vec{F}$ важно потому, что имеет место

Теорема 2. Если оператор $(1+F)$ коммутирует с дифференциальным оператором $\hat{M}_{0}$ и обратим, то его вольтерровские факторы $\left(1+R^{ \pm}\right)$преобразуют $\hat{M}_{0}$ в один и тот же чисто дифференциальный оператор $\hat{M}$.
Доказательство.
\[
\begin{aligned}
\widehat{M} & =\left(1+\hat{K}^{+}\right) \hat{M}_{0}\left(1+\hat{K}^{+}\right)^{-1}= \\
& =\left(1+\hat{K}^{-}\right)(1+\hat{F})^{-1} M_{0}(1+\widehat{F})\left(1+\hat{K}^{-}\right)^{-1}= \\
& =\left(1+\hat{K}^{-}\right) \hat{M}_{0}\left(1+\hat{K}^{-}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Из (7.45) следует, что операторы ( $1+R^{ \pm}$) преобразуют оператор $\hat{M}_{0}$ к одному и тому же оператору $\hat{M}$. Следовательно, этот
оператор чисто дифференциальный, и его интегральные вольтерровские составляющие равны нулю.

Коэффициенты оператора $\hat{M}$ можно вычислить из соотношения
\[
\hat{M}\left(1+\hat{K}^{+}\right)=\left(1+\hat{K}^{+}\right) \hat{M}_{0} .
\]

Расписывая (7.46) в явном виде, легко вычислить коэффициенты оператора $\hat{M}$ в явном виде
\[
\begin{array}{l}
\hat{M}=\alpha \frac{\partial}{\partial x}+\hat{L}, \text { причем } u_{1}(z)=\left[l_{0}, \xi_{0}\right]+l_{1}, \\
u_{2}(z)=(n—1) l_{0} \frac{d \xi_{0}}{d z}+\frac{1}{2}\left\{\frac{d \xi_{0}}{d z}, l_{0}\right\}+\frac{1}{2}\left[l_{0}, \xi_{1}\right]+u_{1} \xi_{0}+\left[l_{1}, \xi_{0}\right] .
\end{array}
\]

В этих формулах
\[
\xi_{i}(z)=\left.\left(\frac{\partial}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\right)^{i} K\left(z, z^{\prime}\right)\right|_{z=z^{\prime}}
\]

Таким образом, $n$ коэффициентов оператора $L$ оказались выражены через $n$ величин $\xi_{i}(z)$. Если при этом оператор $L_{0}$ канонический, то $\mathcal{L}$ также канонический. Процедура явного построения операторов $\hat{L}, \hat{M}$ по оперсторам $\hat{L}_{0}, \hat{M}_{0}$ может быть названа одеванием операторов $\tilde{L}_{0}, \tilde{M}_{0}$. Аналогичным образом можно произвести одевание оператора $\partial / \partial t+\widehat{A}_{0}$. В результате его одевания возникает оператор $\partial / \partial t+\hat{A}$, где коэффициенты $v_{i}$ оператора $\hat{A}$ выражаются через $\xi_{i}$ по формулам, аналогичным (7.47).

Пусть теперь оператор $F$ коммутирует одновременно с операторами $\widehat{M}_{0}$ и $\partial / \partial t+\widehat{A_{0}}$, т. е. его ядро кроме уравнения (7.43) удовлетворяет еще уравнению
\[
\frac{\partial F}{\partial t}+\widehat{A}_{0} F-F \hat{A}_{0}^{+}=0 .
\]

Тогда при помощи оператора $R^{+}$осуществляется одновременное одевание обоих затравочных операторов. Рассмотрим теперь некоторую функцию $\psi_{0}$, для которой
\[
\hat{M}_{0} \psi_{0}=\alpha \frac{\partial \psi_{0}}{\partial x}+\hat{L}_{0} \psi_{0}=0 ; \quad \frac{\partial \psi_{0}}{\partial t}+\hat{A}_{0} \psi_{0}=0 .
\]

Из формулы (7.34) немедленно следует, что функция
\[
\psi=\left(1+\hat{K}^{+}\right) \psi_{0}
\]

удовлетворяет уравнениям (7.11) и (7.38). Таким образом, $u_{i}(z, x, t)$ и $v_{i}(z, x, t)$, определенные по формулам (7.47) при помощи оператора $R^{+}$, автоматически представляют собой решение уравнения (7.35). В частном случае, когда $\alpha=0$ и $\bar{M}=\mathcal{L}$, уравнение (7.44) заменится на
\[
\hat{L}_{0} F-F \hat{L}_{0}^{+}=0
\]

и мы получим решение уравнения (7.12). Если вместо оператора $\partial / \partial t+\hat{A}_{0}$ выбрать оператор $\sum f_{i}\left(\hat{L}_{0}\right) \partial / \partial x_{i}+\hat{A}_{0}$, то совместное решение уравнения (7.51) и уравнения
\[
\sum f_{i}\left(\hat{L}_{0}\right) \frac{\partial F}{\partial x_{i}}+\hat{A}_{0} F-F \hat{A}_{0}^{+}=0
\]

дает решение уравнения типа Қалоджеро (7.28). Заметим еще, что все эти уравнения можно рассматривать непосредственно как уравнения на величины $\xi_{i}(x, z, t)$ — при этом проблема отыскания $\hat{A}$-оператора по данному $\hat{L}$-оператору отпадает.

Перейдем к вопросу о нахождении ядра оператора $R^{+}$по данному $F$. Умножая (7.41) на $\left(1+R^{+}\right)$и рассматривая ответ в области $z^{\prime}>z$, получим соотношение
\[
F\left(z, z^{\prime}\right)+K^{+}\left(z, z^{\prime}\right)+\int_{z}^{\infty} K^{+}\left(z, z^{\prime \prime}\right) F\left(z^{\prime \prime}, z\right) d z^{\prime \prime}=0 .
\]

Его можно рассматривать при каждом $z=z_{0}$ как интегральное уравнение Фредгольма второго рода для отыскания функции $K^{+}\left(z_{0}, z^{\prime}\right)$. (При заданном $K^{+}$(7.53) можно рассматривать также как вольтерровское уравнение для определения $F\left(z, z^{\prime}\right)$.) При этом возникает следующая схема построения точных решений уравнения (7.31), (7.28), (7.12):
\[
\begin{aligned}
F\left(z, z^{\prime}, x, t\right) \xrightarrow{\mathrm{I}} K^{+}\left(z, z^{\prime}, x, t\right) & \xrightarrow{\mathrm{II}} \xi_{i}(z, x, t) \xrightarrow{\mathrm{III}} \\
& \rightarrow u_{i}(z, x, t), v_{i}(z, x, t) .
\end{aligned}
\]

На первом этапе рассматривается произвольное решение системы двух уравнений для $F$, затем решается уравнение (7.53), далее по известному $K^{+}$производится одевание затравочных операторов и вычисление величин $u_{i}$ и $v_{i}$. Отдельные частные решения могут быть найдены при помощи разделения переменных. Пусть $F$ удовлетворяет уравнениям (7.53), (7.49). Будем искать их решение в виде
\[
F=F_{1}(z, x, t) F_{2}\left(z^{\prime}, x, t\right) .
\]

Легко видеть, что $F_{1}$ и $F_{2}$ должны удовлетворять уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\alpha \frac{\partial F_{1}}{\partial x}+L_{0} F_{1}=c_{1} F_{1}, \\
\frac{\partial F_{1}}{\partial t}+A_{0} F_{1}=c_{2} F_{1}, \\
\alpha \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-F_{2} L_{0}=-F_{2} c_{1}, \\
\frac{\partial F_{2}}{\partial t}-F_{2} A_{0}=-F_{2} c_{2} .
\end{array}
\]

Здесь $c_{1}$ и $c_{2}$ — произвольные пока матричные функции от $x$ и $t$, которые должны быть выбраны из условий совместности систем
уравнений (7.56) и (7.57). Легко видеть, что для этого необходимо
\[
\frac{\partial c_{1}}{\partial t}-\alpha \frac{\partial c_{2}}{\partial t}=\left[c_{1}, c_{2}\right] .
\]

Решение уравнения (7.53) будем искать в виде:
\[
K^{+}=K(z, x, t) F_{2}\left(z^{\prime}, x, t\right) .
\]

После подстановки в (7.53) найдем
\[
K(z, x, t)=-F_{1}(z, x, t)\left[1+\int_{z}^{\infty} F_{2}(z, x, t) F_{1}(z, x, t) d z\right]^{-1} .
\]

Более общие решения можно искать в виде
\[
\begin{aligned}
F & =\sum_{k=1}^{n} F_{1}^{(k)}(z, x, t) F_{2}^{(k)}\left(z^{\prime}, x, t\right), \\
K^{+} & =\sum_{k=1}^{n} K^{(k)}(z, x, t) F_{2}^{(k)}\left(z^{\prime}, x, t\right) .
\end{aligned}
\]

Bсе $F_{1}^{(k)}, F_{2}^{(k)}$ удовлетворяют уравнениям $(7.56), \quad(7.57) ; K^{(k)}$ определяются из линейной алгебраической системы уравнений с постоянными коэффициентами.

Все решения, при которых происходит разделение переменных и уравнение (7.53) сводится к системе алгебраических, мы будем называть $N$-солитонными решениями. Условие отсутствия интегральной части в «одетых» операторах можно рассматривать как уравнение на ядро оператора $K^{+}$. Легко видеть, что эти уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\alpha \frac{\partial K^{+}}{\partial x}+\widehat{L} K^{+}-K^{+} \hat{L}_{0}=0, \\
\frac{\partial K}{\partial t}+\hat{A} K^{+}-K^{+} \hat{A}_{0}=0 .
\end{array}
\]

Метод одевания позволяет, по крайней мере в принципе, решать для исследуемых уравнений задачу Коши по следующей схеме:
\[
\begin{array}{l}
\left.\left.\left.\left.u_{i}\right|_{t=0} \xrightarrow{\mathrm{I}} \xi_{i}\right|_{t=1} \xrightarrow{\mathrm{II}} K^{+}\right|_{t=0} \xrightarrow{\mathrm{III}} F\right|_{t=0} \xrightarrow{\mathrm{IV}} \\
\left.\left.\left.\left.\rightarrow\right|_{t=t} \xrightarrow{\mathrm{V}} K^{+}\right|_{t=t} \xrightarrow{\mathrm{VI}} \xi_{j}\right|_{t=t} \xrightarrow{\mathrm{VII}} u_{i}\right|_{t=t} .
\end{array}
\]

На втором этапе этой схемы нужно найти в начальный момент времени $t=0$ ядро $K^{+}\left(z, z^{\prime}, x, t\right)$. Это можно сделать, решая задачу Коши — Гурса для уравнени (7.62) — величины $\xi_{i}(z, x, t)$ при этом рассматриваются как данные на характеристике $z^{\prime}=z$. $\mathrm{Ha}$ третьем этапе схемы нужно найти $\left.F\left(z, z^{\prime}\right)\right|_{t=0}$. Для этого можно использовать уравнение (7.53), рассматривая его как вольтерровское уравнение относительно $F$. Далее схема (7.64) не отличается от (7.54).

В качестве простейшего примера положим $\alpha=0, L_{0}=$ $=\partial^{2} / \partial z^{2}$. Тогда уравнение (7.43) приобретет вид
\[
\frac{\partial^{2} F}{\partial z^{2}}-\frac{\partial^{2} F}{\partial z^{2}}=0
\]

В частности, можно выбрать $F=F\left(z+z^{\prime}\right)$. В этом случае уравнение (7.53) переходит в известное уравнение Марченко, решающее обратную задачу рассеяния для оператора Шрёдингера. Вопрос о том, в какой мере и в каком смысле уравнение (7.53) решает обратную задачу рассеяния для операторов $\hat{M}$ и $\partial / \partial t+\hat{A}$, еще недостаточно исследован.

Общее совместное решение уравнений (7.43), (7.49) может быть записано в виде
\[
\begin{array}{c}
F\left(z, z^{\prime}, x, t\right)=\int \exp \left[i\left(\lambda z+\lambda^{\prime} z^{\prime}\right)+A_{0}(i \lambda) t+\frac{1}{\alpha_{0}} L_{0}(i \lambda) x\right] \times \\
\times \tilde{F}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) \exp \left[-A_{0}\left(i \lambda^{\prime} t\right)-\frac{1}{\alpha} L_{0}\left(i \lambda_{\prime}^{\prime}\right) x\right] d \lambda d \lambda^{\prime} .
\end{array}
\]

Здесь $\tilde{F}\left(\lambda ; \lambda^{\prime}\right)$ — произвольная матричная функция, $A_{0}(i \lambda)$. и $L_{0}(i \lambda)$ — символы операторов $\widehat{A}_{0}$ и $\hat{L_{0}}$. Запись (7.66) суще. ственно использует тот факт, что $\left[\widehat{A}_{0}, \hat{L}_{0}\right]=0$.

Заметим, что изложенная выше схема одевания нигде не использует не только факт коммутативности операторов $\widehat{L}_{0}$ и $\widehat{A}_{0}$, но даже и постоянство их коэффициентов. В принципе можно было бы одевать произвольные операторы $\hat{A}$ и $\hat{L}$ некоммутирующими операторами с зависящими от $x, t$ и $z$ переменными коэффициентами. При этом, однако, уравнения (7.43) и (7.49) могут оказаться несовместными. Для их совместности достаточно выполнения условия (7.31). В частности, коэффициенты новых «затравочных» операторов $\hat{L}$ и $\hat{A}$ могут быть одним из частных решений уравнения (7.31), возможно не убывающим при $z \rightarrow \pm \infty$.