Основные результаты изложены Вадати в предыдущей главе. Чтобы ввести обозначения, используемые в дальнейшем, здесь они лишь кратко перечислены.
Основные обозначения. В обцем случае для матриц $(N \times N)$ используются большие буквы. Исключением из этого правила являются обозначения $\sigma_{n}, \quad n=1, \ldots, N^{2}-1$ для $N^{2}-1$ эрмитовых матриц, которые совместно с $\sigma_{0}=1$ образуют базис в пространстве $N \times N$-матриц. Греческие индексы пробегают значения $0, \ldots, N^{2}-1$, латинские индексы $1, \ldots, N^{2}-1$. Предполагается, что по повторяющимся индексам всегда производится суммирование. Латинские индексы используются как для компонент векторов, так и для матричных элементов. Например, $(v, v)=v_{n}^{*} v_{n} \equiv \sum_{n=1}^{N} v_{n}^{*} v_{n}$. Коммутаторы и антикоммутаторы обозначаются так: $[A, B]=A B-B A,\{A, B\}=A B+B A$. Иногда для матриц будет использоваться диадическое обозначение $v v^{T}$; при этом $W=v v^{T}$ означает, что $W_{l m}=v_{l} v_{m}^{*}$.
Прямая задача. Матричная задача Шрёдингера на собственные значения описывается линейным дифференциальным уравнением
\[
\psi_{x x}=\left[Q-k^{2}\right] \psi .
\]
Здесь $N \times N$-матрица $Q$ зависит от вещественной переменной $x$, а вектор $\psi$ зависит от $x$ и $k$. Кроме того, обе величины могут зависеть от других переменных как от параметров (см. ниже).
В дальнейшем всегда будет предполагаться, что матричный «потенциал» $Q$ убывает на бесконечности (достаточно быстро [9.1]). Непрерывный спектр задачи на собственные значения (9.1) определяется с помощью асимптотических граничных условий
\[
\begin{array}{l}
\Psi(x, k) \rightarrow \exp (-i k x)+R(k) \exp (i k x), \quad x \rightarrow+\infty, \\
\Psi(x, k) \rightarrow T(k) \exp (-i k x), \quad x \rightarrow-\infty,
\end{array}
\]
где $\Psi$ является $N \times N$-матрицей, столбцы которой являются решениями (9.1) и $k$ вещественное (согласно договоренности, положительное). Ясно, что если $Q$ (и, следовательно, $\Psi$ ) зависит параметрически от дополнительных переменных, то зависеть от этих переменных будут и «коэффициент отражения» $R$, и «коэффициент прохождения» T. Дискретный спектр задачи (9.1) состоит из конечного числа собственных значений $k^{(i)}=i p^{(j)}$, которым отвечают собственные функции уравнения Шрёдингера
\[
\psi_{x x}^{(j)}=\left[Q+p^{(i)^{2}}\right] \psi^{(i)},
\]
удовлетворяющие условию нориировки
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d x\left(\psi^{(i)}, \psi^{(j)}\right)=1 .
\]
В дальнейшем индекс, различающий собственные состояния, в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, будет опускаться,
Если матрица-потенциал $Q$ эрмитова (что, как правило, предполагается), то $p^{(f)}$ вещественные (и, согласно договоренности, положительные); асимптотика собственных функций, отвечающих дискретному спектру, такова:
\[
\begin{array}{c}
\psi(x) \rightarrow c \exp (-p x) \quad \text { при } \quad x \rightarrow+\infty, \\
\psi(x)=c_{-} \exp (p x) \quad \text { при } \quad x \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]
Матрица
\[
C=c c^{T},
\]
играющая важную роль в дальнейшем, связана с вычетом функции $R(k)$ в точке $k=i p$ соотношением
\[
\lim _{k \rightarrow i p}[(k-i p) R(k)]=i C,
\]
где $Q(x)$ убывает достаточно быстро [9.1] (и дискретные собственные значения невырожденны; здесь и далее это для простоты будет предполагаться).
Ясно, что если $Q(x)$ задана, то однозначно определены матрицы $R(k), T(k)$ и параметры $p^{(j)}, c^{(j)}, c_{-}^{(j)}$, характеризующие дискретную часть спектра (если она есть). Определение этих величин составляет прямую задачу для одномерного матричного оператора Шрёдингера.
Обратная задача. Данные, достаточные для однозначного восстановления «потенциала» $Q(x)$, суть: коэффициент отражения, дискретные собственные значения $p^{(j)}$ (если они есть) и соответствующие матрицы $C^{(j)}$. Поеенциал определяется из уравнений
\[
\begin{array}{c}
M(x)=\sum_{j} C^{(j)} \exp \left(-p^{(j)} x\right)+\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d k R(k) \exp (i k x) \\
K\left(x, x^{\prime}\right)+M\left(x+x^{\prime}\right)+\int_{x}^{\infty} d x^{\prime \prime} K\left(x, x^{\prime \prime}\right) M\left(x^{\prime}+x^{\prime \prime}\right)=0, x \leqslant x^{\prime} \\
Q(x)=-2 \frac{d}{d x} K(x, x)
\end{array}
\]
Значения $R(k)$ для отрицательных $k$, входящие в определение (9.8) ядра $M(x)$ уравнения, могут быть получены с помощью аналитического продолжения $R(k)$ с положительной полуасй. Для эрмитовых матриц $Q(x)$ можно, кроме того, воспользо-ваться соотношением $R(-k)=R^{T}(k)$.
