Основные результаты изложены Вадати в предыдущей главе. Чтобы ввести обозначения, используемые в дальнейшем, здесь они лишь кратко перечислены.

Основные обозначения. В обцем случае для матриц $(N\times N)$ используются большие буквы. Исключением из этого правила являются обозначения ${\sigma }_n,n=1,\dots ,N^2-1$ для $N^2-1$ эрмитовых матриц, которые совместно с ${\sigma }_0=1$ образуют базис в пространстве $N\times N$-матриц. Греческие индексы пробегают значения $0,\dots ,N^2-1$, латинские индексы $1,\dots ,N^2-1$. Предполагается, что по повторяющимся индексам всегда производится суммирование. Латинские индексы используются как для компонент векторов, так и для матричных элементов. Например, $(v,v)=v_n^{\ast }{v}_n\equiv \sum _{n=1}^N{v}_n^{\ast }{v}_n$. Коммутаторы и антикоммутаторы обозначаются так: $[A,B]=AB-BA,\{A,B\}=AB+BA$. Иногда для матриц будет использоваться диадическое обозначение $v{v}^T$; при этом $W=v{v}^T$ означает, что $W_{lm}=v_l{v}_m^{\ast }$.

Прямая задача. Матричная задача Шрёдингера на собственные значения описывается линейным дифференциальным уравнением
$${\psi }_{xx}=[Q-k^2]\psi .$$

Здесь $N\times N$-матрица $Q$ зависит от вещественной переменной $x$, а вектор $\psi$ зависит от $x$ и $k$. Кроме того, обе величины могут зависеть от других переменных как от параметров (см. ниже).

В дальнейшем всегда будет предполагаться, что матричный «потенциал» $Q$ убывает на бесконечности (достаточно быстро [9.1]). Непрерывный спектр задачи на собственные значения (9.1) определяется с помощью асимптотических граничных условий
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Psi }(x,k)\to \exp (-ikx)+R(k)\exp (ikx),x\to +\mathrm{\infty },\\ \mathrm{\Psi }(x,k)\to T(k)\exp (-ikx),x\to -\mathrm{\infty },\end{array}$$

где $\mathrm{\Psi }$ является $N\times N$-матрицей, столбцы которой являются решениями (9.1) и $k$ вещественное (согласно договоренности, положительное). Ясно, что если $Q$ (и, следовательно, $\mathrm{\Psi }$ ) зависит параметрически от дополнительных переменных, то зависеть от этих переменных будут и «коэффициент отражения» $R$, и «коэффициент прохождения» T. Дискретный спектр задачи (9.1) состоит из конечного числа собственных значений $k^{(i)}=i{p}^{(j)}$, которым отвечают собственные функции уравнения Шрёдингера
$${\psi }_{xx}^{(j)}=[Q+p^{(i{)}^2}]{\psi }^{(i)},$$

удовлетворяющие условию нориировки
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dx({\psi }^{(i)},{\psi }^{(j)})=1.$$

В дальнейшем индекс, различающий собственные состояния, в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, будет опускаться,

Если матрица-потенциал $Q$ эрмитова (что, как правило, предполагается), то $p^{(f)}$ вещественные (и, согласно договоренности, положительные); асимптотика собственных функций, отвечающих дискретному спектру, такова:
$$\begin{array}{c}\psi (x)\to c\exp (-px)\text{ при }x\to +\mathrm{\infty },\\ \psi (x)=c_{-}\exp (px)\text{ при }x\to -\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Матрица
$$C=c{c}^T,$$

играющая важную роль в дальнейшем, связана с вычетом функции $R(k)$ в точке $k=ip$ соотношением
$$\underset{k\to ip}{lim}[(k-ip)R(k)]=iC,$$

где $Q(x)$ убывает достаточно быстро [9.1] (и дискретные собственные значения невырожденны; здесь и далее это для простоты будет предполагаться).

Ясно, что если $Q(x)$ задана, то однозначно определены матрицы $R(k),T(k)$ и параметры $p^{(j)},c^{(j)},c_{-}^{(j)}$, характеризующие дискретную часть спектра (если она есть). Определение этих величин составляет прямую задачу для одномерного матричного оператора Шрёдингера.

Обратная задача. Данные, достаточные для однозначного восстановления «потенциала» $Q(x)$, суть: коэффициент отражения, дискретные собственные значения $p^{(j)}$ (если они есть) и соответствующие матрицы $C^{(j)}$. Поеенциал определяется из уравнений
$$\begin{array}{c}M(x)=\sum _j{C}^{(j)}\exp (-p^{(j)}x)+\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dkR(k)\exp (ikx)\\ K(x,x^{\prime })+M(x+x^{\prime })+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}d{x}^{\prime \prime }K(x,x^{\prime \prime })M(x^{\prime }+x^{\prime \prime })=0,x⩽x^{\prime }\\ Q(x)=-2\frac{d}{dx}K(x,x)\end{array}$$

Значения $R(k)$ для отрицательных $k$, входящие в определение (9.8) ядра $M(x)$ уравнения, могут быть получены с помощью аналитического продолжения $R(k)$ с положительной полуасй. Для эрмитовых матриц $Q(x)$ можно, кроме того, воспользо-ваться соотношением $R(-k)=R^T(k)$.