Хотя метод обратной задачи начался с уравнений, имеющих прозрачный и достаточно общий физический смысл; общим уравнениям, получаемым при помощи $\mathcal{L}-\hat{A}$-пар, обычно нелегко найти разумную физическую интерпретацию. Опыт показывает, что таще всего физический смысл эти уравнения приобретают при априорных дополнительных ограничениях на вид решений, которые мы будем называть редукциями.

Простейшая форма редукция состоит в фиксации алгебры, к которой принадлежат коэффициенты операторов $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$. Поскольку при вычислении интегрируемых уравнений производились лишь линейные операции и умножение (не обязательно коммутативное), то эти коэффициенты могут принадлежать к любой ассоциативной алгебре, в том числе и не обязателью матричной (например, алгебре операторов в гильбертовом пространстве). Дальнейшие редукции удобно разобрать на примере уравнений (7.21) – (7.32).

Эти уравнения являются нетривиальными, начиная с размерности $N=3$. Однако даже в этом простейшем случае при общем виде матриц $I, J$ и $Q$ они не допускают (на сегодняшний день) физической интерпретации.

Пусть $I, J, Q$ принадлежат к алгебре, на которой определена аддитивная инволюция $A \rightarrow A$, причем $\vec{A}=A$,
\[
\overline{A_{1}} \pm \overline{A_{2}}=\overline{A_{1} \pm A_{2}} .
\]

Пусть матрицы $I$ и $J$ инвариантны относительно этой инволюции $(\bar{I}=I, \bar{J}=J)$. Тогда уравнения $(7.21)-(7.32)$ допускают редукцию
\[
Q=Q .
\]

Это означает, что взяв начальные условия, удовлетворяющие соотношению (7.67), мы получим при всех $t$ (или $x$ ) решение, также удовлетворяющее этому условию.

Пусть зафиксирована алгебра комплексных $N \times N$ матриц, причем $I$ и $J$-диагональные матрицы. Определим инволюцию формулой
\[
\bar{Q}=C^{-1} \bar{Q}^{\dagger} C,
\]

где $C$-диагональная унитарная матрица ( $C C^{+}=1$ ). (Значок $Q^{\dagger}$ означает эрмитовское сопряжение.) В общем случае $C_{k j}=$ $=\exp \left(i \varphi_{k}\right) \delta_{k l}$, и (7.68) означает, что
\[
\vec{Q}_{k j}=\exp \left[i\left(\varphi_{j}-\varphi_{k}\right)\right] Q_{j k}^{*} .
\]

Из условия $\overline{\bar{Q}}=Q$ мы получаем $\varphi_{k}=0$, л. В частном случае можно положить $C=1, Q_{k j}=Q_{j k}^{*}$, т. е. выбрать $Q$ эрмитовой матрицей.

Пусть матрица $J=\operatorname{diag} a_{i}\left(a_{i+1}>a_{i}\right), I=\operatorname{diag} b_{i}$. Введем набор величин
\[
u_{i k}=\frac{i Q_{i k}}{\sqrt{a_{k}-a_{i}}}, i<k \text {. }
\]

Тогда уравнение (7.32) эквивалентно гамильтоновой системе
\[
\frac{\partial u_{l k}}{\partial t}=i \frac{\delta}{\delta u_{i k}^{*}} H
\]

где
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{i}{2} \sum_{i<k}\left[u_{i k}^{*}\left(\mathbf{v}_{i k} \cdot
abla u_{i k}\right)-u_{i k}\left(\mathbf{v}_{i k} \cdot
abla u_{i k}\right)\right]+ \\
+\sum_{i<k<j} \varepsilon_{i j k}\left(u_{i k} u_{k j} u_{i j}^{*}+u_{i k}^{*} u_{k j}^{*} u_{i j}\right),
\end{array}
\]

где $
abla$-градиент в плоскости $x z, \mathbf{v}_{i k}$ – двумерные векторы,
\[
\begin{aligned}
\left(v_{i k}\right)_{x} & =-\frac{b_{i}-b_{k}}{a_{i}-a_{k}} ; \quad\left(v_{i k}\right)_{z}=\frac{a_{i} b_{k}-a_{k} b_{i}}{a_{i}-a_{k}} ; \\
\varepsilon_{i k j} & =\frac{a_{i} b_{k}-a_{k} b_{i}+a_{k} b_{j}-a_{j} b_{k}+a_{j} b_{i}-a_{i} b_{j}}{\sqrt{\left(a_{k}-a_{i}\right)\left(a_{j}-a_{k}\right)\left(a_{j}-a_{i}\right)}} .
\end{aligned}
\]

Очевидно, что система (7.70) нетривиальна лишь с $N=3$. В этом случае она имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u_{0}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{0} \cdot
abla u_{0}\right)=i \varepsilon u_{1} u_{2}, \\
\frac{\partial u_{1}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{1} \cdot
abla u_{1}\right)=i \varepsilon u_{0} u_{2}^{*} \\
\frac{\partial u_{2}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{2} \cdot
abla u_{2}\right)=i \varepsilon u_{0} u_{1}^{*}
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
u_{0}=u_{13} ; & u_{1}=u_{12} ; \quad u_{2}=u_{23} ; \\
\mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{13} ; \quad \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{12} ; \quad \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{23} ; \quad \varepsilon=\varepsilon_{123} .
\end{array}
\]

Система (7.74) представляет собой фундаментальную систему уравнений нелинейной оптики, описывающую распад волны накачки $u_{0}$ на «вторичные волны» $u_{1}$ и $u_{2}$ и обратный процесс слияния вторичных волн в волну накачки (см., например, [7.15], [7.17]); $\mathbf{v}_{0}, \mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ – групповые скорости волн. При выводе уравнений (7.74) из конкретных физических уравнений (например, из нелинейных уравнений Максзелла) может оказаться, что эти векторы не лежат в одной плоскости, однако переходом в движущуюся систему отсчета этого всегда можно добиться, так что уравнения (7.74) описывают общую трехмерную ситуацию.

Выберем матрицу $C$ в виде $C=\operatorname{diag}(-1,1,1)$. При этом мы снова придем к системе (7.74), однако теперь
\[
\begin{array}{lll}
u_{0}=u_{12} ; & u_{1}=u_{13} ; & u_{2}=u_{23} ; \\
\mathbf{v}_{0}=\mathbf{v}_{12} ; & \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{13} ; \quad \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{23} .
\end{array}
\]

Накачкой теперь является волна $u_{12}$, а $u_{13}$ и $u_{23}$ – вторичными волнами. Аналогично при выборе $C=\operatorname{diag}(1,1,-1)$ накачкой становится волна $u_{23}$.

Если же выбрать $C=\operatorname{diag}(1,-1,1)$, то мы придем к новой системе
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u_{0}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{0} \cdot
abla u_{0}\right)=i \varepsilon u_{1}^{*} u_{2}^{*} \\
\frac{\partial u_{1}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{1} \cdot
abla u_{1}\right)=i \varepsilon u_{0}^{*} u_{2}^{*} \\
\frac{\partial u_{2}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{2} \cdot
abla u_{2}\right)=i \varepsilon u_{0}^{*} u_{1}^{*} .
\end{array}
\]

Система (7.75) описывает нелинейную стадию «взрывной неустойчивости» в среде, в которой могут распространяться волны с отрицательной энергией. Теперь
\[
u_{0}=u_{13} ; \quad u_{1}=u_{12}^{*} ; \quad u_{2}=u_{23}^{*} .
\]

Поставим вопрос о возможности дальнейшей редукции описанных систем. Это можно сделать, налагая дальнейшие ограничения на выбор матриц $I$ и $J$. Так, положим в системе (7.74) $a_{2}=0,\left(b_{1}-b_{2}\right) / a_{1}=\left(b_{3}-b_{2}\right) / a_{3}$. Тогда $\mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{2}$ и можно положить $u_{1}=u_{2}$. Система (7.75) приобретает вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u_{0}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{0},
abla u_{0}\right)=i \varepsilon u_{1}^{2}, \\
\frac{\partial u_{1}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{1},
abla u_{1}\right)=i \varepsilon u_{0} u_{1}^{*} .
\end{array}
\]

Система (7.77) также известна в нелинейной оптике в связи с задачей о генерации в нелинейной среде второй гармоники (см. [7.17]). Дальнейшая редукция может быть осуществлена переходом из алгебры комплексных в алгебру вещественных матриц. Ее можно осуществить, полагая в уравнениях все $u_{i j}$ чисто мнимыми:
\[
\begin{array}{c}
u_{i j}=i w_{i j}, \\
\frac{\partial w_{0}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{0} \cdot
abla w_{3}\right)=-\varepsilon w_{1} w_{2}, \\
\frac{\partial w_{1}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{1} \cdot
abla w_{1}\right)=\varepsilon w_{0} w_{2}, \\
\frac{\partial w_{2}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{2} \cdot
abla w_{2}\right)=\varepsilon w_{0} w_{1},
\end{array}
\]

Аналогичная система возникает и из системы (7.75). Эти вещественные системы соответствуют в нелинейной оптике случаю «точного резонанса».

Система (7.78) замечательна тем, что в однородном случае, когда $
abla w_{i}=0$, она совпадает с уравнениями Эйлера свободного вращения твердого тела. Это совпадение не случайно. Как показал Манаков [7.18], среди уравнений (7.21) содержатся и уравнения свободного движения $N$-мерного твердого тела. Действительно, эти уравнения имеют вид
\[
\dot{M}=[M, \Omega],
\]

где $M$ и $\Omega$ – вещественные антисимметричные матрицы, причем $M=I_{0} \Omega+\Omega I_{0}$, а $I_{0}$ – положительно определенная симметричная матрица (тензор инерции). Приведем матрицу $I_{\mathrm{c}}$ к главным осям и положим $I_{0}=\operatorname{diag} i_{k}$. Полагая $J=I^{2}, I=I_{0}, M=[J, Q]$, $\Omega=[I, Q]$ и отбрасывая производные по $z$, убеждаемся, что система уравнений (7.21) совпадает с (7.79).

Среди комплексных многомерных систем (770) разумная физическая интерпретация найдена пока только для одной системы при $N=4$ и дополнительном условии $a_{1}-a_{2}=a_{3}-a_{4}$; $b_{1}-b_{2}=b_{3}-b_{4}$. Эта система возникает за счет добавочной редукции $u_{13}=-u_{24}, u_{12}=u_{34}$ и приводит к задаче о взаимодействии четырех волн
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u_{12}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{12} \cdot
abla u_{12}\right)=i q\left(u_{14} u_{13}^{*}+u_{13} u_{23}^{*}\right), \\
\frac{\partial u_{13}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{13} \cdot
abla u_{13}\right)=i q\left(u_{14} u_{12}^{*}+u_{13} u_{12}^{*}\right), \\
\frac{\partial u_{23}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{23} \cdot
abla u_{23}\right)=i q u_{13} u_{12}^{*}, \\
\frac{\partial u_{14}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}_{14} \cdot
abla u_{14}\right)=i q u_{12} u_{23}^{*}, \\
\left(\mathbf{v}_{12}-\mathbf{v}_{14}\right) \cdot\left(\mathbf{v}_{13}-\mathbf{v}_{23}\right)+\left(\mathbf{v}_{13}-\mathbf{v}_{14}\right) \cdot\left(\mathbf{v}_{12}-\mathbf{v}_{23}\right)=0 \\
q=\varepsilon_{123}=\varepsilon_{124}=-\varepsilon_{234}=-\varepsilon_{134} .
\end{array}
\]

Система (7.80) описывает распад накачки $u_{13}$ на вторичные волны $u_{12}$ и $u_{23}$ в присутствии холостой (антистоксовой) волны $u_{14}$, которая в свою очередь может распадаться на накачку $u_{13}$ и вторичную стоксову волну $u_{12}$. Уравнение (7.80) встречается в задачах физики нелинейных волн [7.21]. Полное описание редукций систем (7.21) и (7.32) пока еще не проделано.

Уравнение (7.22) в скалярной алгебре есть знаменитое уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ), с которого и начался метод обратной задачи рассеяния. Его физическая интерпретация не нуждается в пояснениях. Заметим только, что в коммутативной треугольной матричной алгебре
\[
u=\left(\begin{array}{cc}
u_{0} & u_{1} \\
0 & u_{0}
\end{array}\right) \text {, }
\]

уравнение (7.22) распадается на два
\[
\begin{array}{l}
u_{0 t}=6 u_{0} u_{0 z}+u_{02 z 2}, \\
u_{1 t}=6 u_{1} u_{0 z}+6 u_{0} u_{1 z}+u_{1 \text { sas }}
\end{array}
\]

которых первое есть обычное уравнение КдФ, а второе уравнение КдФ, линеаризованное на фоне данного решения $u_{0}$. Этот факт является общим – использование треугольных матриц типа (7.81) позволяет изучать линеаризованные интегрируемые системы.

Система (7.23) при разных выборах $\beta$ и $s$ приводится в скалярной алгебре к одному из четырех канонических видов
\[
u_{t t} \pm u_{x x} \pm u_{x x x x}+\left(u^{2}\right)_{x x}=0 .
\]

Физический смысл всех вариантов этой системы достаточно прозрачен.

Система (7.24) содержательна, если $\alpha=i$ и имеет место редукция $q= \pm r^{\dagger}$. Тогда она приводится к одному уравнению
\[
2 r_{t}=i\left(r_{z z} \pm r r^{+} r\right)
\]

В скалярной алгебре $r^{\dagger}=r^{*}$, и это – нелинейное уравнение Шрёдингера, часто возникающее в физике нелинейных волн в. связи с задачами типа самофокусировки [7.17]. В алгебре матриц вида
\[
r=\left(\begin{array}{lll}
0 & \ldots & r_{1} \\
\ldots & \cdots & r_{n} \\
0 & \ldots & r_{n}
\end{array}\right)
\]

оно приводится [7.18] к системе нелинейных уравнений Шрёдингера
\[
-2 i r_{n t}=r_{n z z} \pm \sum_{i=1}^{n}\left|r_{i}\right|^{2} r_{n} .
\]

Уравнение (7.85) имеет любопытный континуальный предел:
\[
-2 i r_{t}(t, z, \xi)=\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} r(t, z, \xi) \pm \int\left|r\left(t, z, \xi^{\prime}\right)\right|^{2} d \xi^{\prime} r(t, z, \xi),
\]

где $\xi$ – векторный параметр; интегрирование ведется по некоторой области в пространстве этого параметра.

Система уравнений типа (7.85) при $n=2$ описывает самовоздействие электромагнитных волн с различной поляризацией и встречается в нелинейной оптике. Наиболее интересно было бы рассмотреть уравнение (7.24) в гейзенберговской алгебре операторов, задаваемых коммутативными или антикоммутативными уравнениями
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi(z), \psi\left(z^{\prime}\right)\right]=\delta\left(z-z^{\prime}\right),} \\
\left\{\psi(z), \psi\left(z^{\prime}\right)\right\}=\delta\left(z-z^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

В этих случаях уравнение (7.84) описывало бы одномерный Бозе и Ферми газ с точечным взаимодействием. Несмотря на то, что соответствующие теории далеко продвинуты (известны спектр оператора Гамильтона и статистическая сумма), использование метода обратной задачи могло бы здесь оказаться полезным.

Уравнения (7.25) рассматривались только в скалярной алгебре $q= \pm r^{*}$. В этом случае возникает так называемое модифицированное уравнение КдФ (или МКдФ)
\[
r_{t}+\frac{1}{2} r_{z z z} \pm \frac{3}{2}|r|^{2} r_{z}=0 .
\]

Оба эти уравнения являются универсальными и применяются для описания волн в средах со слабой дисперсией – в тех случаях, когда преобладает кубичная нелинейность.
Система (7.33) эквивалентна уравнению
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial t \partial z}=\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\left(-v^{2} u+\frac{1}{4} u_{z z}+\frac{3}{4} u^{2}\right)+\frac{3}{4} \beta^{2} \frac{\partial^{2} u}{y^{2}},
\]

впервые, по-видимому, рассматривавшемуся Б. Б. Кадомцевым и В. И. Петвиашвили [7.22]. Это уравнение обобщает КдФ на случай слабой зависимости от конечной координаты $y$.

Из многочисленных вариантов системы (7.34) мы рассмотрим только один, когда $a=0$. В этом случае система (7.34) приводится к виду ( $\beta=i, q= \pm r^{*}, \alpha=1$, алгебра скалярна)
\[
\begin{array}{l}
i r_{t}=\frac{\partial^{2} r}{\partial \xi^{2}}+u r, \\
\frac{\partial u}{\partial \eta}= \pm \frac{\partial}{\partial \xi}|r|^{2} .
\end{array}
\]

Здесь
\[
u=r_{1}-r_{2}, \frac{\partial}{\partial \xi}=\frac{\partial}{\partial x}+l \frac{\partial}{\partial z}, \quad \frac{\partial}{\partial \eta}=\frac{\partial}{\partial x}+(l+1) \frac{\partial}{\partial z} .
\]

Система (7.91) встречается в фнзике плазмы; при $\eta=t$ она описывает взаимодействие околозвуковых ленгмюровских солитонов [7.23], [7.24].