Все результаты, которые будут изложены в настоящем разделе, выведены из следующих основных формул:
\[
\begin{array}{l}
2 i k f\left(-4 k^{2}\right)\left[M R(k)-R^{\prime}(k) M\right]= \\
= \int_{-\infty}^{+\infty} d x \bar{\Psi}^{\prime}(x, k)\left\{f(\Lambda)\left[M Q(x)-Q^{\prime}(x) M\right]\right\} \Psi(x, k), \\
(2 i k)^{2} g\left(-4 k^{2}\right)[N R(k)\left.+R^{\prime}(k) N\right]= \\
= \int_{-\infty}^{+\infty} d x \bar{\Psi}^{\prime}(x, k)\{g(\Lambda) \Gamma N\} \Psi(x, k) .
\end{array}
\]

Здесь $f(z)$ и $g(z)$ произвольные (целые) функции; $M$ и $N$ постоянные (т. е. не зависящие от $x$ ) матрицы; $R(k)$ и $R^{\prime}(k)$ коэффициенты отражения для потенциалов $Q(x)$ и $Q^{\prime}(x)$ соответственно. Операторы $\Lambda$ и $\Gamma$, действующие на все, что стоит справа от них в пределах фигурных скобок, определяются в приведенных ниже формулах своим действием на функцию $F(x)$ (убывающую быстрее, чем $1 / x$ ):
\[
\begin{aligned}
\Lambda F(x)= & F_{x x}(x)-2\left[Q^{\prime}(x) F(x)+F(x) Q(x)\right]+\Gamma \int_{x}^{+\infty} d x^{\prime} F\left(x^{\prime}\right), \\
\Gamma F(x)= & Q_{x}^{\prime}(x) F(x)+F(x) Q_{x}(x)+ \\
& +\int_{x}^{+\infty} d x^{\prime}\left[Q^{\prime}(x) Q^{\prime}\left(x^{\prime}\right) F\left(x^{\prime}\right)-Q^{\prime}(x) F\left(x^{\prime}\right) Q\left(x^{\prime}\right)-\right. \\
& \left.-Q^{\prime}\left(x^{\prime}\right) F\left(x^{\prime}\right) Q(x)+F\left(x^{\prime}\right) Q\left(x^{\prime}\right) Q(x)\right] .
\end{aligned}
\]

Получение этих формул основано на обобщенных соотношениях Вронского [9.1]. Они обладают свойством задачи на собственные значения для уравнения Шрёдингера, описанным в предыдущем разделе. Полезность этих формул проявляется в том, что они позволяют найти класс нелинейных соотношений между задачами с двумя различными потенциалами (различающимися на конечную или бесконечно малую величину, см. ниже), такой, что соотношения между коэффициентами отражения особенно просты.

Аналогичные соотношения, связывающие коэффициенты прохождения и (или) характеристики дискретных спектров, могут быть получены подобным же образом. Однако они несущественны с интересующей нас здесь точки зрения. Bсе формулы для параметров дискретного спектра (некоторые из них действительно существенны для дальнейшего) могут быть получены из соотношений для коэффициентов отражения, если ограничиться потенциалами, убывающими быстрее экспоненты, поскольку параметры дискретного спектра в этом случае даются (9.7). Формулы, полученные таким способом, несомненно, справедливы для более общего случая.