Возможность восстановления коэффициентов двумерного оператора из матрицы рассеяния, заданной в одной точке спектра, привела Манакова [7.27] к открытию нового класса интегрируемых систем, которые не допускают введения $\hat{L},-\hat{A}$ – пар.

Пусть заданы дифференциальный оператор $\hat{L}$ по двум переменным $z$ и $x$ и соответствующее уравнение
\[
\hat{L} \Psi=0 .
\]

Решаемые уравнения (7.120) составляют линейное пространство $\tilde{\psi}$. Потребуем, чтобы полугруппа сдвигов по $t$, которые определяются дифференциальным уравнением (7.11) $\quad \psi_{t}+\hat{A} \psi=0$, действовала на $\tilde{\psi}$ инвариантно. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
\[
\frac{\partial L}{\partial t}-[\hat{L}, \hat{A}]=\hat{B} \hat{L},
\]

где $B$ – некоторый дифференциальный оператор. Очевидно, что оператор $A$ определен здесь не однозначно, а только с точностью до преобразования
\[
\hat{A} \rightarrow \hat{A}+\hat{C} \hat{L} ; \quad \hat{B} \rightarrow \hat{B}+[\hat{L}, \widehat{C}],
\]

где $C$-произвольный дифференциальный оператор.
Соотношение (7.121) задает некоторую систему уравнений, решаемую методом обратной задачи по схеме (7.20)-(7.64).

Опишем (без доказательства) к.тасс операторов $\mathcal{L}$, приводящий к уравнениям типа (7.121). Выберем $\mathcal{L}$ в виде:
\[
\hat{L}=\hat{L}^{(0)} \frac{\partial}{\partial x}+\widehat{L}^{(1)},
\]

где $\hat{L}^{(0)}$ и $\hat{L}^{(1)}$ – матричные $N \times N$, диффференциальные по $z$ операторы
\[
\begin{array}{c}
L^{(0)}=l_{0}^{(0)} \frac{\partial^{m_{1}}}{\partial z^{m_{1}}}+u_{1} \frac{\partial^{m_{1}-1}}{\partial z^{m_{1}-1}}+\ldots, \\
L^{(1)}=v_{0} \frac{\partial^{m_{2}}}{\partial z^{m_{2}}}+v_{1} \frac{\partial^{m_{2}-1}}{\partial z^{m_{2}-1}}+\ldots .
\end{array}
\]

Матрица $l_{0}^{(0)}$ является постоянной; матрица $v_{0}$ является постоянной, если $m_{2} \geqslant m_{1}$. В случае $m_{2}=m_{1}-1, v_{0}$ – переменная матрица. При $z \rightarrow \infty$ оператор $L$ принимает предельное постоянное значение $\hat{L}_{0}$. В качестве операторов $\hat{A}$ и $\hat{B}$ могут быть выбраны произвольного вида дифференциальные по $x$ и $z$ операторы, характеризуемые своими предельными значениями $A \rightarrow$ $\rightarrow \hat{A_{0}}, \hat{B} \rightarrow \hat{B_{0}}$ при $z \rightarrow \infty$, причем
\[
-\left[\hat{L_{0}}, \hat{A_{0}}\right]=\hat{B_{0}} \hat{L_{0}}
\]

Операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$ удобно представлять в виде
\[
\begin{array}{l}
\widehat{A}=\hat{A}^{(0)} \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}+\ldots+\hat{A}^{(n)}, \\
\widehat{B}=\hat{B}^{(0)} \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}+\ldots+\hat{B}^{(n)},
\end{array}
\]

где $\hat{A}^{(i)}, \hat{B}^{(i)}$ – операторы, дифференциальные по $z$. Подстановка в условие (7.121) дает систему уравнений на коэффициенты операторов $\hat{A}, \hat{B}$ (и уравнение для коэффициентов оператора $\hat{L}$ ). Операторы $\hat{A}$ и $\hat{B}$, вообще говоря, определяются из этих уравнений неоднозначно, однако вся неоднозначность связана с преобразованием (7.122) и не меняет вида искомых уравнений.

Рассмотрим случай, когда $\hat{A}$ и $\hat{B}$ являются дифференциальными по $z$ операторами. Тогда из (7.121) имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \widehat{L}^{(0)}}{\partial t}-\left[\hat{L}^{(0)}, \hat{A}\right]=\hat{B} \widehat{L}^{(0)}, \\
\frac{\partial \widehat{L}^{(1)}}{\partial t}-\left[\hat{L}^{(1)}, \hat{A}\right]=\hat{L}^{(0)} \widehat{A}_{x}+\hat{B} \hat{L}^{(1)} .
\end{array}
\]

Выберем в качестве простейшего примера
\[
\hat{L}^{0}=\frac{\partial}{\partial z}+u ; \quad \hat{L}^{(1)}=v ; \quad \hat{A}=I \frac{\partial}{\partial z}+w ;
\]
$\hat{B}=[I, u] ; I$ – постоянная матрица.

Имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial z}(w-I u)+[u, w]+[I, u] u, \\
\frac{\partial v}{\partial t}=-\frac{\partial v}{\partial z} I+[v, w]-[u v, I], \\
\frac{\partial w}{\partial x}=[I, v] .
\end{array}
\]

Система (7.129) интересна в двух предельных случаях, когда отсутствует зависимость от одной из координат. Если $\partial / \partial z=0$, $u=0$, получаем
\[
\frac{\partial v}{\partial t}=[v, w] ; \quad \frac{\partial w}{\partial x}=[I, v] .
\]

Если $\partial / \partial x=0, w=v=0$,
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=-I \frac{\hat{o} u}{\partial z}+[I, u] u .
\]

Покажем теперь, как применить к уравнениям (7.121) метод одевания. Для этого зафиксируем предельное значение операторов $\widehat{L}^{(0)}$ и $\widehat{L}^{(1)}$ :
\[
\hat{L}^{(0)} \rightarrow \hat{M}_{0} ; \quad \widehat{L}^{(1)} \rightarrow \hat{M}_{1}, \quad z \rightarrow \pm \infty,
\]

так что
\[
\widehat{L}_{0}=\widehat{M}_{0} \frac{\partial}{\partial x}+\widehat{M}_{1},
\]

и рассмотрим пространство $\widetilde{\Psi}_{0}$ решений уравнения
\[
\hat{L}_{0} \psi_{0}=0 .
\]

Будем предполагать, что операторы $\hat{F}$ и $R$ действуют как интегральные операторы на $\widetilde{\Psi}_{0}$. Все дифференциальные операторы рассматриваются теперь по модулю оператора $\hat{L}_{0}$, то есть с точностью до добавления произвольного оператора вида $\hat{C} L_{0}$.

Пусть интегральный оператор $\hat{F}$ с гладким ядром переводит функции из $\widetilde{\Psi}_{0}$ снова в $\widetilde{\Psi}_{0}\left(F: \widetilde{\Psi}_{0}=\widetilde{\Psi}_{0}\right)$. Тогда очевидно
\[
\left(\widehat{L}_{0} \hat{F}-\hat{F \hat{L}_{0}}\right)\left|\psi_{0}\right\rangle=\hat{L_{0}} \hat{F}\left|\psi_{0}\right\rangle=0 \quad(\psi, \subseteq \tilde{\Psi}) .
\]

Пусть $1+\hat{K}^{+}$- правый вольтерровский фактор оператора $F$. Рассмотрим одетый по формуле (7.40) оператор $\mathcal{L}$. Из формулы (7.46) следует, что
\[
\left[\widehat{L}\left(1+\hat{K}^{+}\right)-\left(1+\hat{K}^{+}\right) \hat{L}_{0}\right]\left|\psi_{0}\right\rangle=\hat{L}\left(1+\hat{K}^{+}\right)\left|\psi_{0}\right\rangle .
\]

Таким образом, функции вида $\Psi=\left(1+K^{+}\right)\left|\psi_{0}\right\rangle$ представляют собой решения уравнения (7.120), что и требовалось.

Выпишем теперь явный вид условия (7.134). Оно эквивалентно условию
\[
\hat{L}_{0} \hat{F}=\hat{G} \hat{L}_{0}^{\dagger},
\]

где $G$ – некоторый интегральный оператор, или двум условиям на ядра
\[
\begin{array}{l}
M_{0}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right) F\left(z, z^{\prime}\right)=G\left(z, z^{\prime}\right) M_{0}^{+}\left(\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\right), \\
M_{0}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right) \frac{\partial F}{\partial x}\left(z, z^{\prime}\right)+M_{1}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right) F\left(z, z^{\prime}\right)=G\left(z, z^{\prime}\right) M_{1}^{+}\left(\frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\right) .
\end{array}
\]

Пара уравнений (7.136) заменяет уравнение (7.44).
Аналогичным образом уравнение (7.49) заменяется на уравнение
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial F}{\partial t}+\hat{A_{0}} F-F \hat{A}_{0}^{\dagger}=R \hat{L_{0}}, \\
R=\sum_{k=0}^{n} G_{k} \frac{\partial^{k}}{\partial x^{k}},
\end{array}
\]

которое также легко может быть расписано в виде системы уравнений для ядер $F$ и $G_{k}$.

Приведем теперь явные формулы одевания оператора $\mathcal{L}$. Пусть
\[
\hat{M}_{0}=l_{0} \frac{\dot{\partial}}{\partial z^{m}} ; \quad \hat{M}_{1}=0,
\]

тогда
\[
\begin{array}{l}
\hat{L}_{0}=l_{0} \frac{\partial^{m}}{\partial z^{m}}+u_{1} \frac{\partial^{m-1}}{\partial z^{m-1}}+\ldots, \\
\hat{L}_{1}=v_{1} \frac{\partial^{m-1}}{\partial z^{m-1}}+\ldots \\
u_{1}=l_{0} K(z, z, x, t)-Q(z, z, x, t) l_{0}, \\
v_{1}=\frac{\partial}{\partial x} K(z, z, x, t) .
\end{array}
\]

Здесь ядро $Q$ есть решение уравнения
\[
\hat{L}_{0} \hat{K}=Q \hat{M}_{0}^{+} .
\]

Аналогичные формулы легко (хотя и путем громоздких вычислений) можно получить для оператора $\hat{A}$. Эти формулы позволяют в принципе исследовать уравнения типа (7.121) с той же полнотой, что и уравнения, допускающие $\hat{L}-\hat{A}$-пару.

Заметим, что в одевание оператора $\widehat{M}_{0}$ входят только произ. водные по $z$ от величин $\xi_{i}(z, x, t)$, но не сами эти величины.