Вычислим изменение данных рассеяния при инфинитезимальных изменениях потенциалов $r$ и $q$. Запишем (6.16) в виде
\[
V_{x}=P V, \quad P=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta & q \\
r & i \zeta
\end{array}\right) .
\]

Фундаментальная матрица решений
\[
\Phi=\left(\begin{array}{ll}
\varphi_{1} & \bar{\varphi}_{1} \\
\varphi_{2} & \bar{\varphi}_{2}
\end{array}\right)
\]

используется для вычисления решения вариаций (по параметрам) уравнения (6.27)
\[
(\delta V)_{x}=P \delta V+\delta P V, \quad \delta P=\left(\begin{array}{cc}
-i \delta_{\varsigma} & \delta q \\
\delta r & i \delta \zeta
\end{array}\right) .
\]

В частности, когда $V=\Phi$, получим
\[
\begin{array}{l}
+\delta \zeta \int_{-L}^{x}\left(\begin{array}{cc}
i\left(\varphi_{1} \bar{\varphi}_{2}+\bar{\varphi}_{1} \varphi_{2}\right) & 2 i \bar{\varphi}_{1} \bar{\varphi}_{2} \\
-2 i \varphi_{1} \varphi_{2} & -i\left(\varphi_{1} \bar{\varphi}_{2}+\bar{\varphi}_{1} \varphi_{2}\right)
\end{array}\right)+ \\
+\delta \xi\left(\begin{array}{cr}
i L & 0 \\
0 & -i L
\end{array}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

где использовано (6.18) для нахождения вариаций $\Phi$ и $\bar{\Phi}$ по $\zeta$. Пусть $x=L$ и $L \rightarrow+\infty$; найдем вариации коэффициентов рассеяния $\delta a, \delta \bar{a}, \delta b, \delta \bar{b}$, используя тот факт, что при $x \rightarrow+\infty$
\[
\Phi(x) \rightarrow\left(\begin{array}{cc}
a e^{-i \zeta x} & \bar{b} e^{-i \zeta x} \\
b e^{i \zeta x} & -\bar{a} e^{i \zeta x}
\end{array}\right) .
\]

Удобно определить билинейную форму
\[
I(u, v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(-\delta q u_{2} v_{2}+\delta r u_{1} v_{1}\right) d x=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
u_{1} v_{1} \\
u_{2} v_{2}
\end{array}\right) d x .
\]

Получим
\[
\begin{array}{l}
\delta a=-I(\varphi, \psi)+\delta \zeta \lim _{L \rightarrow \infty} i \int_{-L}^{L}\left(a-\varphi_{1} \psi_{2}-\varphi_{2} \psi_{1}\right) d x, \\
\delta b=I(\varphi, \bar{\psi})+\delta \zeta \lim _{L \rightarrow \infty} i \int_{-L}^{L}\left(\varphi_{1} \bar{\psi}_{2}+\varphi_{2} \bar{\psi}_{1}\right) d x, \\
\delta \bar{b}=-I(\bar{\varphi}, \psi)+\delta \zeta \lim _{L \rightarrow \infty} i \int_{-L}^{L}-\left(\bar{\varphi}_{1} \psi_{2}+\bar{\varphi}_{2} \psi_{1}\right) d x, \\
\delta \bar{a}=-I(\bar{\varphi}, \bar{\psi})+\delta \zeta \lim _{L \rightarrow \infty} i \int_{-L}^{L}-\left(\vec{a}+\bar{\varphi}_{1} \bar{\psi}_{2}+\bar{\varphi}_{2} \bar{\psi}_{1}\right) d x .
\end{array}
\]

Соотношение (6.24) позволяет отождествить вторые члены правых частей равенств (6.32) с производными $a_{\xi}, b_{\zeta}, \bar{b}_{\zeta}, \bar{a}_{\zeta}$ соответственно. Заметим, в частности, что (6.32) может быть записано как общее изменение $a(\zeta)$, равное сумме вариаций по $r, q$ и $\zeta$.

Из формул (6.32) можно получить вариацию данных рассеяния $S_{-}$:
\[
S_{-}=S_{-}\left\{\left(\zeta_{k}, \beta_{k}\right)_{k=1}^{N},\left(\bar{\zeta}_{k}, \bar{\beta}_{k}\right)_{k=1}^{N}, \frac{\bar{b}}{a}, \frac{b}{\bar{a}}, \zeta \text { вещественно }\right\},
\]

где
\[
\beta(\zeta)=\left(\zeta-\zeta_{k}\right) \frac{\tilde{b}}{a}, \bar{\beta}(\zeta)=\left(\zeta-\bar{\zeta}_{k}\right) \frac{b}{\tilde{a}} .
\]

Если $\zeta$ вещественно и $\delta \zeta=0$, то
\[
\begin{array}{l}
\delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)=\frac{1}{a^{2}} I(\psi, \psi)=\frac{1}{a^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right) d x, \\
\delta\left(\frac{b}{\bar{a}}\right)=\frac{1}{\bar{a}^{2}} I(\bar{\psi}, \bar{\psi})=\frac{1}{\bar{a}^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right) d x .
\end{array}
\]

Для удобства вычисления $\delta \beta_{k}, \delta \zeta_{k}$ предположим, что $q$ и $r$ финитны, и рассмотрим аналитическое продолжение (6.35) до $\zeta=\zeta_{k}, \operatorname{Im}\left\{\zeta_{k}\right\}>0$. (Напомним, что нули $a$ и $\bar{a}$ предполагаются простыми.) Разлагая (6.35) в ряд Тейлора в окрестности $\zeta=$ $=\zeta_{k}$, получим для членов первого порядка по ( $\zeta-\zeta_{k}$ )
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\beta} \delta \zeta_{k}+\delta \boldsymbol{\beta}\left(\zeta-\zeta_{k}\right)+\ldots \\
\cdots=\frac{1}{a_{k}^{\prime 2}}\left[I_{k}(\psi, \psi)+\left(\zeta-\zeta_{k}\right) I_{k}^{\prime}(\psi, \psi)+\ldots\right]\left[1-\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}}\left(\zeta-\zeta_{k}\right)+\ldots\right] .
\end{array}
\]

Так как $\beta(\zeta, t)=\beta\left(\zeta_{k}(t), t\right)+\left(\zeta-\zeta_{k}\right) \beta_{k}^{\prime}\left(\zeta_{k}(t), t\right)+\ldots$, то $\delta \beta=$ $=\delta \beta_{k}-\delta \zeta_{k} \beta_{k}^{\prime}+\left(\zeta-\zeta_{k}\right)\left(\delta \beta_{k}^{\prime}-\delta \zeta_{k} \beta_{k}^{\prime \prime}\right)+\ldots$.
(Здесь штрих означает производную по ५.) Приравнивая коэффициенты при степенях ( $-\zeta_{k}$ ), получим при $k=1, \ldots, N$
\[
\begin{array}{c}
\delta \xi_{k}+\frac{b_{k}}{a_{k}^{\prime}} I_{k}(\psi, \psi)=\frac{b_{k}}{a_{k}^{\prime}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{c}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}} d x, \\
\delta\left(\frac{1}{b_{j} a_{k}^{\prime}}\right)=\delta \beta_{k}=\frac{1}{a_{k}^{\prime 2}}\left[I_{k}^{\prime}(\psi, \psi)-\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}} I_{k}(\psi, \psi)\right]= \\
=\frac{1}{a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\begin{array}{c}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right] \cdot\left[\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{c}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}}-\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}}\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}}\right] d x .
\end{array}
\]

Заметим, что из (6.37) вытекает
\[
\delta a\left[\zeta_{k}(t), t\right]=-b_{k} I_{k}(\psi, \psi)+\delta \zeta_{k} a_{k}^{\prime}=0
\]
(так как $\varphi_{k}=b_{k} \psi_{k}$ ). Последнее равенство показывает, что $\zeta_{k}$ остается нулем $a(\zeta)$. Аналогично
\[
\begin{array}{c}
\delta \bar{\zeta}_{k}=\frac{\bar{b}_{k}}{\bar{a}_{k}^{\prime}} I_{k}(\psi, \psi)=\frac{\bar{b}_{k}}{\bar{a}_{k}^{\prime}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\begin{array}{c}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\bar{\xi}_{k}} d x \\
\delta\left(\frac{1}{\bar{b}_{k} \bar{a}_{k}^{\prime}}\right)=\frac{1}{\bar{a}_{k}^{\prime 2}}\left[I_{k}^{\prime}(\bar{\psi}, \bar{\psi})-\frac{\bar{a}_{k}^{\prime \prime}}{\bar{a}_{k}^{2}} I_{k}(\psi, \psi)\right]= \\
=\frac{1}{\bar{a}_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{c}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) \cdot\left[\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{c}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\bar{\xi}_{k}}-\frac{\bar{a}_{k}^{\prime \prime}}{\bar{a}_{k}^{\prime}}\left(\begin{array}{c}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\bar{\xi}_{k}}\right] d x .
\end{array}
\]

Наиболее важным является то, что вариации данных рассеяния просто выражаются через внутреннее произведение вектора $(\delta r,-\delta q)^{T}$ и множества квадратов собственных функций
\[
\begin{array}{c}
E_{-}=\left\{\Psi_{k}=\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\xi_{k}}, \tau_{k}=\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{c}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}}, k=1, \ldots, N ; \bar{\Psi}_{k}=\left(\begin{array}{c}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\bar{\xi}_{k}},\right. \\
\bar{\tau}_{k}=\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{c}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right)_{\xi_{k}}, k=1, \ldots, \bar{N} ; \Psi=\left(\begin{array}{c}
\psi_{1}^{2} \\
\psi_{2}^{2}
\end{array}\right), \\
\left.\bar{\Psi}=\left(\begin{array}{c}
\bar{\psi}_{1}^{2} \\
\bar{\psi}_{2}^{2}
\end{array}\right), \zeta \text { вещественно }\right\} .
\end{array}
\]

Аналогичным образом можно найти изменения данных рассеяния
\[
S_{+}=\left\{\left(\zeta_{k}, \gamma_{k}\right)_{k=1}^{N},\left(\bar{\zeta}_{k}, \bar{\gamma}_{k}\right)_{k=1}^{\bar{N}}, \frac{b}{a}, \frac{\bar{b}}{\bar{a}}, \zeta \text { вещественно }\right\}
\]
(где $\gamma_{k}=b_{k} / a_{k}^{\prime}, \bar{\gamma}_{k}=\bar{b}_{k} / \bar{a}_{k}^{\prime}$ ), соответствующих двойственной обратной задаче. Для вещественных $\zeta$
\[
\begin{array}{l}
\delta\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{1}{a^{2}} I(\varphi, \varphi)=-\frac{1}{a^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right) d x, \\
\delta\left(\frac{\bar{b}}{\vec{a}}\right)=\frac{1}{a^{2}} I(\bar{\varphi}, \bar{\varphi})=-\frac{1}{\bar{a}^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right) d x .
\end{array}
\]

При $k=1, \ldots, N$ получим
\[
\begin{array}{c}
\delta \xi_{k}=\frac{1}{\gamma_{k} a_{k}^{\prime 2}} I_{k}(\varphi, \varphi)=-\frac{1}{\gamma_{k} a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}} d x, \\
\delta \gamma_{k}=\frac{1}{a_{k}^{\prime 2}}\left[I_{k}^{\prime}(\varphi, \varphi)-\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}} I_{k}(\varphi, \varphi)\right]= \\
=-\frac{1}{a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) \cdot\left\{\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}}-\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}}\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\xi_{k}}\right\} d x .
\end{array}
\]

Наконец,
\[
\delta \bar{\zeta}_{k}=\frac{1}{\bar{\gamma}_{k} \bar{a}_{k}^{\prime 2}} I_{k}(\bar{\varphi}, \bar{\varphi})=-\frac{1}{\bar{\gamma}_{k} \bar{a}_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}} d x
\]
$k=1, \ldots, \bar{N}$. Кроме того,
\[
\begin{array}{l}
\delta \bar{\gamma}_{k}=\frac{1}{\bar{a}_{k}^{\prime 2}}\left[I_{k}^{\prime}(\bar{\varphi}, \bar{\varphi})-\frac{\bar{a}_{k}^{\prime \prime}}{\bar{a}_{k}^{\prime}} I_{k}(\bar{\varphi}, \bar{\varphi})\right]= \\
=-\frac{1}{\bar{a}_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) \cdot\left\{\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\xi_{k}}-\frac{\bar{a}_{k}^{\prime \prime}}{\bar{a}_{k}^{\prime}}\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right)\right\} d x
\end{array}
\]

Вновь заметим, что изменение данных рассеяния $S_{+}$выражается как внутреннее произведение вектора $(\delta q, \delta r)^{T}$ и квадратов двойственных собственных функций
\[
\begin{array}{c}
E_{+}=\left\{\Psi_{k}^{A}=\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\xi_{k}}, \chi_{k}^{A}=\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\zeta_{k}}, k=1, \ldots, N ;\right. \\
\bar{\Psi}_{k}^{A}=\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\bar{\xi}_{, k}}, \bar{\chi}_{k}^{A}=\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right)_{\bar{\zeta}_{k}}, k=1, \ldots, \bar{N} ; \\
\left.\Psi^{A}=\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right), \bar{\Psi}^{A}=\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right), \zeta \text { вещественное }\right\} .
\end{array}
\]

Обозначение $\Psi^{A}$ для квадратов двойственных собственных функций используется потому, что они являются и сопряженными (adjoint) собственными функциями.