Пусть нам заданы два совместных дифференциальных уравнения
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}+\hat{L} \psi=0, \quad \frac{\partial \psi}{\partial t}+\hat{A} \psi=0
\]

и их условие совместности
\[
\frac{\partial L}{\partial t}-\frac{\partial A}{\partial x}=[\hat{L}, \hat{A}]
\]

Здесь $\hat{L}$ и $\hat{A}$ – как обычно, дифференциальные по $z$ канонические операторы. Пусть коэффициенты этих операторов не зависят от $z$ и являются только функциями $x$ и $t$. Тогда к уравнениям (7.140) можно применить преобразование Фурье по $\lambda$. Факт совместности уравнений перейдет в факт существования совместного спектра полиномиальных по $\lambda$ операторных пучков.
\[
\begin{array}{c}
\psi_{x}+P(x, t, \lambda) \psi=0, \\
\psi_{t}+R(x, t, \lambda) \psi=0, \\
P=l_{0} \lambda^{n}+u_{1} \lambda^{n-1}+\ldots ; \quad R=a_{0} \lambda^{m}+v_{1} \lambda^{m-1}+\ldots
\end{array}
\]

Точнее говоря, при каждом $\lambda$ полугруппа, порожденная уравнением (7.143), должна инвариантно действовать на пространстве, порожденном решением уравнения (7.142).

Задача об определении уравнений, которым должны подчиняться матрицы $P$ и $R$ для того, чтобы любое решение системы (7.142) было одновременно решением системы (7.143) и наоборот, может быть поставлена и непосредственно вне связи с происхождением уравнений (7.142) и (7.143) из дифференциальной по $z \mathcal{L}-\vec{A}$-пары. Дифференцируя (7.142) по $t$, (7.143) по $x$, вычитая результаты и заменяя производные по $x$ и $t$ по формулам (7.142), (7.143), получим
\[
\left(P_{t}-R_{x}-[P, R]\right) \psi=0 .
\]

Откуда получаем уравнение
\[
P_{t}-P_{x}=[P, R],
\]

формально совпадающее с (7.141).
Естественно рассматривать задачу в более общей постановке, считая, что $P$ и $R$ являются рациональными функциями $\lambda$. Разлагая их на простые дроби, положим
\[
\begin{array}{l}
P=l_{0} \lambda^{n}+u_{1} \lambda^{n-1}+\ldots+u_{n}+\sum p_{i}, \\
p_{i}=\sum_{j=1}^{s_{j}} \frac{p_{i j}}{\left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{j}} ; \quad \lambda_{i}
eq \hat{\lambda}_{j},
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
R & =a_{0} \lambda^{m}+v_{1} \lambda^{m-1}+\ldots+v_{m}+\sum Q_{i}, \\
Q_{i} & =\sum_{i=1}^{r_{i}} \frac{Q_{i j}}{\left(\tilde{\lambda}-\tilde{\lambda}_{i}\right)^{j}} ; \quad \tilde{\lambda}_{i}
eq \tilde{\lambda}_{j} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\lambda_{i}, \tilde{\lambda}_{i}$ – комплексные константы.
Условия на матрицы $u_{i}, v_{i}, p_{i j}, Q_{i j}$ должны быть получены непосредственно подстановкой (7.146) и (7.147) в (7.145).

Очевидно, что прежде всего для существования таких уравнений необходима коммутативность матриц $l_{0}$ и $a_{0}$. При выполнении этого условия уравнения всегда существуют, но могут определяться неоднозначно. Легко проверить, что для однозначного определения уравнений на $u_{i}, v_{i}, p_{i j}, Q_{i j}$ из (7.145) необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.
1) По крайней мере одно из чисел $m, n$ равно нулю.
2) Ни одно из чисел $\lambda_{i}$ не совпадает ни с одним из чисел $\widehat{\lambda}_{i}$.

Для доказательства этого утверждения заметим, что при выполнении условий 1,2 в коммугаторе $[P, R]$ не появляется ни новых степеней $\lambda$, ни новых простых дробей, не содержащихся в $P$ или $R$. Поэтому коммутатор может быть переразложен по тем же степеням и по тем же простым дробям, что и $P$ и $R$. Тем самым все уравнения определяются однозначно.
Приведем несколько примерсв.
1) Пусть
\[
P=\frac{p_{1}}{\lambda-a} ; \quad R=\frac{q_{1}}{\lambda+a} .
\]

Из (7.145) следует
\[
p_{1 t}-q_{1 x}=0 ; \quad a\left(p_{1 t}+q_{1 x}\right)=\left[p_{1}, q_{1}\right] .
\]

Или возьмем
\[
\begin{aligned}
p_{1} & =\varphi_{x} ; \quad q_{1}=\varphi_{t} ; \\
2 a \varphi_{x t} & =\left[\varphi_{x}, \varphi_{t}\right] .
\end{aligned}
\]

Полагая $5=x+t, \eta=x-t$, приведем систему (7.148) к виду
\[
a\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \xi^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial \eta^{2}}\right) \varphi=\left[\varphi_{\xi}, \varphi_{\eta}\right],
\]

из которого видна ее релятивистская инвариантность.
2) Пусть $p=v / \lambda ; R=I \lambda-w$.
После подстановки в (7.145) возникает система (7.130).
В матрицах $2 \times 2$ система (7.130) совпадает с уравнениями Блоха – Бломбергена, описывающими распространение световых импульсов в двухуровневой среде с бесконечными временами релаксации. Полагая в этих уравнениях
\[
I=i\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad v=i\left(\begin{array}{cc}
0 & e^{i \varphi} \\
e^{-i \varphi} & 0
\end{array}\right), \quad w=i\left(\begin{array}{cc}
w & 0 \\
0 & -\omega
\end{array}\right),
\]

придем к известному уравнению sine-Gordon
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t \partial x}+2 \sin 2 \varphi=0 .
\]
3) $P=I \lambda+u+\frac{x}{\lambda} ; \quad R=J \lambda+\omega$.

Этот пример не удовлетворяет условию 1 , поскольку $m=n=1$. Подставляя в (7.145), получаем
\[
\begin{array}{l}
{[I, w]=[J, u]} \\
\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial w}{\partial x}=-[J, v]+[u, w], \\
\frac{\partial v}{\partial t}=[v, w] .
\end{array}
\]

Неоднозначности в этих уравнениях можно избежать, предполагая, что матрицы $u$, $w$ возникли (если $v=0$ ) из канонических операторов, т. е. что
\[
u=[I, Q], \quad w=[J, Q] .
\]

Тогда при $v=0$ система (7.153) совпадает с (7.32) при $\partial / \partial z=0$. Аналогичные трудности неоднозначности возникают и при наличии у знаменателей $R(x, t, \lambda)$ и $P(x, t, \lambda)$ совпадаюцих нулей.

Правила доопределения в зтом случае, в частности обосновывающие выбор (7.153), будут сформулированы в разд. 7.10. Обратимся теперь к уравнениям (7.121), допускающим « $\mathcal{L}, \widehat{A}, \hat{B}$-тройки». Их можно представить как условия совместности двух уравнений
\[
\begin{array}{c}
\hat{L}_{0} \psi_{x}+\hat{L}_{1} \psi=0, \\
\psi_{t}+\hat{A}_{\psi}=0,
\end{array}
\]

причем операторы $L_{0}, L_{1}$ содержат производные только по $z$, а оператор $\hat{A}$ – по $x$ и $z$. Пусть коэффициенты этих операторов не зависят от $z$, а коэффициенты оператора $\mathscr{L}_{0}$ – также и от $x$ и $t$ (что согласуется с правилом одевания троек). Совершая преобразование Фурье по $z$, придем от уравнения (7.154) к уравнению
\[
\psi_{x}=\frac{P_{1}(x, t, \lambda)}{P_{2}(\lambda)} \psi
\]

где $P_{1}(\lambda, x, t)$ и $P_{2}=\operatorname{det}\left\|e^{-\lambda z \hat{L}_{0} e^{\lambda z}}\right\|$ многочлены по $\lambda$.
При помощи формулы (7.156) легко вычислить высшие производные $\psi$ по $x$. Очевидно, что
\[
\psi^{(n)}=\frac{P_{n}(x, t, \lambda)}{\left[P_{2}(\lambda)\right]^{n}} .
\]

Выражая производные по $x$ в уравнении (7.155), используя (7.157), мы приходим к уравнению (7.143), в котором, однако, рациональная функция $R$ имеет весьма специальный видв частности, ее знаменатель есть степень знаменателя функции $P$. В частном случае уравнений (7.128), когда оператор $A$ не содержит производных по $x, P$ – произвольная рациональная функция, а $R$ – многочлен.

Естественно предположить, что и общее уравнение (7.145) для произвольных рациональньх операторных пучков является результатом отбрасывания производных по $z$ у некоторого более сложного уравнения, но его вычисление уже выходит за рамки настоящей работы.

Можно поставить еще вопрос о сохранении по $t$ спектра операторного пучка, содержащего более высокие производные. Пусть, например, совместны при всех $\lambda$ следующие системы:
\[
\begin{aligned}
\psi_{x x} & =P(x, t, \lambda) \psi, \\
\psi_{t} & =R(x, t, \lambda) \psi_{x}+R_{1}(x, t, \lambda) \psi .
\end{aligned}
\]

Дифференцируя (7.158) по $t$, а (7.159) дважды по $x$, вычитая результаты и выражая $\psi_{t}, \psi_{x x}, \psi_{x x x}$ из (7.158) и (7.159), получим, приравнивая нулю коэффициенты при $\psi, \psi_{x}$,
\[
\begin{array}{l}
{[P, R]=R_{x x}+2 R_{1 x},} \\
P_{t}+\left[P, R_{1}\right]-2 R_{x} P-R D_{x}-R_{1 x x}=0 .
\end{array}
\]

Если $P, R, R_{1}$ коммутируют (язляются числами или принадлежат коммутативной матричной алгебре), уравнения (7.160), (7.161) упрощаются до одного уравнения
\[
P_{t}-2 R_{x} P-R P_{x}+\frac{1}{2} R_{x x x}=0 .
\]

Подставляя в (7.152) $P$ и $R$ в виде (7.146) (7.147), легко получить уравнения на коэффициенты $u_{i}, p_{i j}, v_{i}, Q_{i j}$, обеспечивающие совместность (7.158), (7.159). При этом, однако, можно не накладывать никаких ограничений на степени $m, n$ или на числа $\lambda_{i}, \tilde{\lambda}_{i}$ – в любом случае возникает определенная система уравнений. Приведем несколько примеров.
1)
\[
\begin{array}{l}
P=\lambda+u, \\
R=\lambda^{m}+v_{1} \lambda^{m-1}+\ldots+v_{m} .
\end{array}
\]

При подстановке (7.163) в (7.162) мы, очевидно, получим уравнения, определяющие $\hat{L}$ – $\hat{A}$-пару, если оператор $\hat{L}$ есть $\left(d^{2} / d x^{2}\right)-u$, а оператор $\hat{A}$ скалярный порядка $2 m+1$. В частности при $m=1$, выбирая $R=4 \lambda+v$, из (7.162) получаем $v=-2 u, u_{t}+6 u u_{x}-u_{x x x}=0$, что в скалярном случае совпадает с уравненнем Кдф.

Если $R$ – рациональная функция, то возникают уравнения, уже не обладающие $\mathcal{L}$ – $\hat{A}$-парой. Так, например, полагая $R=v / \lambda$, получим систему
\[
\begin{array}{l}
u_{t}=2 v_{x}, \\
v_{x x x}=4 u v_{x}+2 v u_{x} .
\end{array}
\]
2)
\[
\begin{array}{l}
P=\lambda^{2}+u_{1} \lambda+u_{2}, \\
R=\lambda+u .
\end{array}
\]

Имеем систему, описывающую длинные волны на мелкой воде [7.30]:
\[
\begin{array}{l}
u_{1 t}+\frac{3}{2} u_{1} u_{1 x}-u_{2 x}=0, \\
u_{2 t}+u_{2} u_{1 x}+\frac{1}{2} u_{2} u_{2 x}-\frac{1}{4} u_{1 x x x}=0 .
\end{array}
\]
3)
\[
\begin{array}{l}
P=\lambda+u+\frac{v}{\lambda}, \\
R=\lambda+w, \\
\omega=-\frac{1}{2} u, \\
u_{t}+\frac{3}{2} u u_{x}-\frac{1}{4} u_{x x x}=v_{x}, \\
v_{t}+v u_{x}+\frac{1}{2} u v_{x}=0 .
\end{array}
\]

В более общих некоммутатиеных уравнениях (7.161) ситуация сложнее — они накладывают жесткие ограничения на вид зависимости $P, R$ и $R_{1}$ от $\lambda$ При подстановке произвольных полиномов от $\lambda$ в уравнение (7.161) мы получим, вообще говоря, неопределенную систему уравнений для коэффициентов. Тем не менее, в некоторых случаях эта переопределенная система имеет решения – это следует хотя бы из того обстоятельства, что уравнение типа (7.158) можно получить из системы двух уравнений первого порядка (7.142).

С формальной точки зрения все уравнения, получаемые из (7.158), (7.159), можно рассматривать как частные случаи уравнений, получаемых при помощи общей процедуры (7.142), (7.143), оскольку уравнение (7.158) можно свести к системе уравнений первого порядка (7.142) (7.143), в удвоенной по сравнению с (7.158) размерности, причем матрицы $P$ и $R$ имеют вид
\[
P=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
P & 0
\end{array}\right] ; \quad R=\left[\begin{array}{lc}
R_{1} & R \\
P+R_{1 x} & R_{x}+R_{1}
\end{array}\right]
\]

а вектор $\psi=\left[\begin{array}{l}\psi \\ \psi_{x}\end{array}\right]$. Нетривиальным является, однако, что матрица $P$, выбранная в виде (7.167), сохраняет этот вид и во времени.