Пусть нам заданы два совместных дифференциальных уравнения
$$\frac{\partial \psi }{\partial x}+\hat{L}\psi =0,\frac{\partial \psi }{\partial t}+\hat{A}\psi =0$$

и их условие совместности
$$\frac{\partial L}{\partial t}-\frac{\partial A}{\partial x}=[\hat{L},\hat{A}]$$

Здесь $\hat{L}$ и $\hat{A}$ — как обычно, дифференциальные по $z$ канонические операторы. Пусть коэффициенты этих операторов не зависят от $z$ и являются только функциями $x$ и $t$. Тогда к уравнениям (7.140) можно применить преобразование Фурье по $\lambda$. Факт совместности уравнений перейдет в факт существования совместного спектра полиномиальных по $\lambda$ операторных пучков.
$$\begin{array}{c}{\psi }_x+P(x,t,\lambda )\psi =0,\\ {\psi }_t+R(x,t,\lambda )\psi =0,\\ P=l_0{\lambda }^n+u_1{\lambda }^{n-1}+\dots ;R=a_0{\lambda }^m+v_1{\lambda }^{m-1}+\dots \end{array}$$

Точнее говоря, при каждом $\lambda$ полугруппа, порожденная уравнением (7.143), должна инвариантно действовать на пространстве, порожденном решением уравнения (7.142).

Задача об определении уравнений, которым должны подчиняться матрицы $P$ и $R$ для того, чтобы любое решение системы (7.142) было одновременно решением системы (7.143) и наоборот, может быть поставлена и непосредственно вне связи с происхождением уравнений (7.142) и (7.143) из дифференциальной по $z\mathcal{L}-\overrightarrow{A}$-пары. Дифференцируя (7.142) по $t$, (7.143) по $x$, вычитая результаты и заменяя производные по $x$ и $t$ по формулам (7.142), (7.143), получим
$$(P_t-R_x-[P,R])\psi =0.$$

Откуда получаем уравнение
$$P_t-P_x=[P,R],$$

формально совпадающее с (7.141).
Естественно рассматривать задачу в более общей постановке, считая, что $P$ и $R$ являются рациональными функциями $\lambda$. Разлагая их на простые дроби, положим
$$\begin{array}{l}P=l_0{\lambda }^n+u_1{\lambda }^{n-1}+\dots +u_n+\sum p_i,\\ p_i=\sum _{j=1}^{s_j}\frac{p_{ij}}{{(\lambda -{\lambda }_i)}^j};{\lambda }_{i}eq{\hat{\lambda }}_j,\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}R& =a_0{\lambda }^m+v_1{\lambda }^{m-1}+\dots +v_m+\sum Q_i,\\ Q_i& =\sum _{i=1}^{r_i}\frac{Q_{ij}}{{(\tilde{\lambda }-{\tilde{\lambda }}_i)}^j};{\tilde{\lambda }}_{i}eq{\tilde{\lambda }}_j.\end{array}$$

Здесь ${\lambda }_i,{\tilde{\lambda }}_i$ — комплексные константы.
Условия на матрицы $u_i,v_i,p_{ij},Q_{ij}$ должны быть получены непосредственно подстановкой (7.146) и (7.147) в (7.145).

Очевидно, что прежде всего для существования таких уравнений необходима коммутативность матриц $l_0$ и $a_0$. При выполнении этого условия уравнения всегда существуют, но могут определяться неоднозначно. Легко проверить, что для однозначного определения уравнений на $u_i,v_i,p_{ij},Q_{ij}$ из (7.145) необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий.
1) По крайней мере одно из чисел $m,n$ равно нулю.
2) Ни одно из чисел ${\lambda }_i$ не совпадает ни с одним из чисел ${\hat{\lambda }}_i$.

Для доказательства этого утверждения заметим, что при выполнении условий 1,2 в коммугаторе $[P,R]$ не появляется ни новых степеней $\lambda$, ни новых простых дробей, не содержащихся в $P$ или $R$. Поэтому коммутатор может быть переразложен по тем же степеням и по тем же простым дробям, что и $P$ и $R$. Тем самым все уравнения определяются однозначно.
Приведем несколько примерсв.
1) Пусть
$$P=\frac{p_1}{\lambda -a};R=\frac{q_1}{\lambda +a}.$$

Из (7.145) следует
$$p_{1t}-q_{1x}=0;a(p_{1t}+q_{1x})=[p_1,q_1].$$

Или возьмем
$$\begin{array}{rl}{p}_1& ={\phi }_x;q_1={\phi }_t;\\ 2a{\phi }_{xt}& =[{\phi }_x,{\phi }_t].\end{array}$$

Полагая $5=x+t,\eta =x-t$, приведем систему (7.148) к виду
$$a(\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial {\eta }^2})\phi =[{\phi }_{\xi },{\phi }_{\eta }],$$

из которого видна ее релятивистская инвариантность.
2) Пусть $p=v/\lambda ;R=I\lambda -w$.
После подстановки в (7.145) возникает система (7.130).
В матрицах $2\times 2$ система (7.130) совпадает с уравнениями Блоха — Бломбергена, описывающими распространение световых импульсов в двухуровневой среде с бесконечными временами релаксации. Полагая в этих уравнениях
$$I=i\left(\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),v=i\left(\begin{array}{cc}0& e^{i\phi }\\ e^{-i\phi }& 0\end{array}\right),w=i\left(\begin{array}{cc}w& 0\\ 0& -\omega \end{array}\right),$$

придем к известному уравнению sine-Gordon
$$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t\partial x}+2\sin 2\phi =0.$$
3) $P=I\lambda +u+\frac{x}{\lambda };R=J\lambda +\omega$.

Этот пример не удовлетворяет условию 1 , поскольку $m=n=1$. Подставляя в (7.145), получаем
$$\begin{array}{l}[I,w]=[J,u]\\ \frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial w}{\partial x}=-[J,v]+[u,w],\\ \frac{\partial v}{\partial t}=[v,w].\end{array}$$

Неоднозначности в этих уравнениях можно избежать, предполагая, что матрицы $u$, $w$ возникли (если $v=0$ ) из канонических операторов, т. е. что
$$u=[I,Q],w=[J,Q].$$

Тогда при $v=0$ система (7.153) совпадает с (7.32) при $\partial /\partial z=0$. Аналогичные трудности неоднозначности возникают и при наличии у знаменателей $R(x,t,\lambda )$ и $P(x,t,\lambda )$ совпадаюцих нулей.

Правила доопределения в зтом случае, в частности обосновывающие выбор (7.153), будут сформулированы в разд. 7.10. Обратимся теперь к уравнениям (7.121), допускающим « $\mathcal{L},\hat{A},\hat{B}$-тройки». Их можно представить как условия совместности двух уравнений
$$\begin{array}{c}{\hat{L}}_0{\psi }_x+{\hat{L}}_1\psi =0,\\ {\psi }_t+{\hat{A}}_{\psi }=0,\end{array}$$

причем операторы $L_0,L_1$ содержат производные только по $z$, а оператор $\hat{A}$ — по $x$ и $z$. Пусть коэффициенты этих операторов не зависят от $z$, а коэффициенты оператора ${\mathcal{L}}_0$ — также и от $x$ и $t$ (что согласуется с правилом одевания троек). Совершая преобразование Фурье по $z$, придем от уравнения (7.154) к уравнению
$${\psi }_x=\frac{P_1(x,t,\lambda )}{P_2(\lambda )}\psi$$

где $P_1(\lambda ,x,t)$ и $P_2=\det \Vert e^{-\lambda z{\hat{L}}_0{e}^{\lambda z}}\Vert$ многочлены по $\lambda$.
При помощи формулы (7.156) легко вычислить высшие производные $\psi$ по $x$. Очевидно, что
$${\psi }^{(n)}=\frac{P_n(x,t,\lambda )}{{[P_2(\lambda )]}^n}.$$

Выражая производные по $x$ в уравнении (7.155), используя (7.157), мы приходим к уравнению (7.143), в котором, однако, рациональная функция $R$ имеет весьма специальный видв частности, ее знаменатель есть степень знаменателя функции $P$. В частном случае уравнений (7.128), когда оператор $A$ не содержит производных по $x,P$ — произвольная рациональная функция, а $R$ — многочлен.

Естественно предположить, что и общее уравнение (7.145) для произвольных рациональньх операторных пучков является результатом отбрасывания производных по $z$ у некоторого более сложного уравнения, но его вычисление уже выходит за рамки настоящей работы.

Можно поставить еще вопрос о сохранении по $t$ спектра операторного пучка, содержащего более высокие производные. Пусть, например, совместны при всех $\lambda$ следующие системы:
$$\begin{array}{rl}{\psi }_{xx}& =P(x,t,\lambda )\psi ,\\ {\psi }_t& =R(x,t,\lambda ){\psi }_x+R_1(x,t,\lambda )\psi .\end{array}$$

Дифференцируя (7.158) по $t$, а (7.159) дважды по $x$, вычитая результаты и выражая ${\psi }_t,{\psi }_{xx},{\psi }_{xxx}$ из (7.158) и (7.159), получим, приравнивая нулю коэффициенты при $\psi ,{\psi }_x$,
$$\begin{array}{l}[P,R]=R_{xx}+2R_{1x},\\ P_t+[P,R_1]-2R_{x}P-R{D}_x-R_{1xx}=0.\end{array}$$

Если $P,R,R_1$ коммутируют (язляются числами или принадлежат коммутативной матричной алгебре), уравнения (7.160), (7.161) упрощаются до одного уравнения
$$P_t-2R_{x}P-R{P}_x+\frac{1}{2}{R}_{xxx}=0.$$

Подставляя в (7.152) $P$ и $R$ в виде (7.146) (7.147), легко получить уравнения на коэффициенты $u_i,p_{ij},v_i,Q_{ij}$, обеспечивающие совместность (7.158), (7.159). При этом, однако, можно не накладывать никаких ограничений на степени $m,n$ или на числа ${\lambda }_i,{\tilde{\lambda }}_i$ — в любом случае возникает определенная система уравнений. Приведем несколько примеров.
1)
$$\begin{array}{l}P=\lambda +u,\\ R={\lambda }^m+v_1{\lambda }^{m-1}+\dots +v_m.\end{array}$$

При подстановке (7.163) в (7.162) мы, очевидно, получим уравнения, определяющие $\hat{L}$ — $\hat{A}$-пару, если оператор $\hat{L}$ есть $\left(d^2/d{x}^2\right)-u$, а оператор $\hat{A}$ скалярный порядка $2m+1$. В частности при $m=1$, выбирая $R=4\lambda +v$, из (7.162) получаем $v=-2u,u_t+6u{u}_x-u_{xxx}=0$, что в скалярном случае совпадает с уравненнем Кдф.

Если $R$ — рациональная функция, то возникают уравнения, уже не обладающие $\mathcal{L}$ — $\hat{A}$-парой. Так, например, полагая $R=v/\lambda$, получим систему
$$\begin{array}{l}{u}_t=2v_x,\\ v_{xxx}=4u{v}_x+2v{u}_x.\end{array}$$
2)
$$\begin{array}{l}P={\lambda }^2+u_1\lambda +u_2,\\ R=\lambda +u.\end{array}$$

Имеем систему, описывающую длинные волны на мелкой воде [7.30]:
$$\begin{array}{l}{u}_{1t}+\frac{3}{2}{u}_1{u}_{1x}-u_{2x}=0,\\ u_{2t}+u_2{u}_{1x}+\frac{1}{2}{u}_2{u}_{2x}-\frac{1}{4}{u}_{1xxx}=0.\end{array}$$
3)
$$\begin{array}{l}P=\lambda +u+\frac{v}{\lambda },\\ R=\lambda +w,\\ \omega =-\frac{1}{2}u,\\ u_t+\frac{3}{2}u{u}_x-\frac{1}{4}{u}_{xxx}=v_x,\\ v_t+v{u}_x+\frac{1}{2}u{v}_x=0.\end{array}$$

В более общих некоммутатиеных уравнениях (7.161) ситуация сложнее — они накладывают жесткие ограничения на вид зависимости $P,R$ и $R_1$ от $\lambda$ При подстановке произвольных полиномов от $\lambda$ в уравнение (7.161) мы получим, вообще говоря, неопределенную систему уравнений для коэффициентов. Тем не менее, в некоторых случаях эта переопределенная система имеет решения — это следует хотя бы из того обстоятельства, что уравнение типа (7.158) можно получить из системы двух уравнений первого порядка (7.142).

С формальной точки зрения все уравнения, получаемые из (7.158), (7.159), можно рассматривать как частные случаи уравнений, получаемых при помощи общей процедуры (7.142), (7.143), оскольку уравнение (7.158) можно свести к системе уравнений первого порядка (7.142) (7.143), в удвоенной по сравнению с (7.158) размерности, причем матрицы $P$ и $R$ имеют вид
$$P=\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ P& 0\end{array}\right];R=\left[\begin{array}{lc}{R}_1& R\\ P+R_{1x}& R_x+R_1\end{array}\right]$$

а вектор $\psi =\left[\begin{array}{l}\psi \\ {\psi }_x\end{array}\right]$. Нетривиальным является, однако, что матрица $P$, выбранная в виде (7.167), сохраняет этот вид и во времени.