Солитоны встречаются в целом ряде областей физики плазмы. Большая часть из них — это магнитно-гидродинамические волны [2.55-2.58], а также ион-акустические волны [2.55, $2.59-2.61]$. Как и в наиболее известном примере волн на мелкой воде, изучавшемся первоначально Кортевегом и де Фризом, солитоны в плазменной физике возникают из-за баланса между эффектами возрастания крутизны волн, связанными с нелинейностью, и расползанием возбуждений из-за дисперсии.
Из-за недостатка места только ион-акустические
[2.59]
волны будут подробно разбираться в настоящей работе. В рассматриваемой ситуацй ионы испытывают низкочастотные осцилляции вблизи ионной плазменной частоты. Электроны следуют за движением ионов и обеспечивают приблизительную нейтральность заряда. Уравнения здесь имеют следующий вид [2.62]:
$$\frac{\partial n_i}{\partial t}+abla\cdot n_i{\mathbf{v}}_i=0\text{ (сохранение ионов), }$$

где $n_i$ и ${\mathbf{v}}_i$ — ионная плотность и средняя скорость соответственно;
$$\begin{array}{l}{n}_e{m}_e\frac{d{\mathrm{v}}_e}{dt}=-n_{e}e-abla{p}_e\text{ (сохранение электронного импульса); }\\ n_i{m}_i\frac{d{\mathrm{v}}_i}{dt}=n_{i}Z\mathbf{E}-abla{p}_i\text{ (сохранение ионного импульса), }\end{array}$$

где $Ze$-заряд иона, $m_i$ и $m_e$ — ионная и электронная массы соответственно, $p_i$ и $p_e$-давления и $\mathbf{E}$-электрическое поле, возникающее из-за отсутствия точной нейтральности заряда, т. е.
\[

abla \cdot \mathbf{E}=4 \pi e\left(Z n_{i}-n_{e}\right) .
\]

В этих выражениях мы пренебрегаем столкновениями; мы также считаем, что в рассматриваемом случае ионная температура много меньше электронной (т. е. $T_i=0$ ), и пренебрегаем давлением $p_i$. Ток определяется выражением
$$\mathbf{j}=e(Z{n}_i{\mathbf{v}}_i-n_e{\mathbf{v}}_e);$$

если пренебречь членами вида $\left(m_e/m_i\right)\left(n_i{Z}^2/n_e\right)$ (малыми по сравнению с единицей), то получим
$$\frac{m_e}{e^2{n}_e}\frac{d\mathbf{j}}{dt}=\mathbf{E}+\frac{1}{e{n}_e}abla{p}_e.$$

Ограничимся рассмотрением ситуации, где токи в плазме отсутствуют, т. е. $\mathbf{j}=0$. Кроме того, для давления электронов используем обычное изотермическое уравнение состояния $p_e=$ $=n_{e}k{T}_e$.

Рассмотрим пространственно одномерную задачу и введем безразмерные переменные
$$x^{\prime }=x/L,t^{\prime }=t/T,v^{\prime }=vT/L,E^{\prime }=eLE/k{T}_e,n_i^{\prime }=n_i/n_0,$$

где $n_0$ — средняя плотность ионов, $L^2=k{T}_e/4\pi n_0{e}^2$ и $T^{-2}=$ $=4\pi n_0{e}^{2}Z/m$. Уравнения (2.46), (2.48), (2.51) и (2.49) примут соответственно вид
$$\begin{array}{l}\frac{\partial n_i^{\prime }}{\partial t^{\prime }}+\frac{\partial n_i^{\prime }{v}_i^{\prime }}{\partial x^{\prime }}=0,\\ \frac{\partial v_i^{\prime }}{\partial t^{\prime }}+v_i^{\prime }\frac{\partial v_i^{\prime }}{\partial x^{\prime }}={\mathrm{E}}^{\prime },\\ {\mathrm{E}}^{\prime }+\frac{1}{n_e^{\prime }}\frac{\partial n_e^{\prime }}{\partial x^{\prime }}=0,\\ \frac{\partial E^{\prime }}{\partial x^{\prime }}=Z{n}_i^{\prime }-n_e^{\prime }.\end{array}$$

Линеаризация этих уравнений вблизи $n_i^{\prime }=n_e^{\prime }=1$ и $v_i^{\prime }=E^{\prime }=0$ вместе с предположением, что все величины зависят только от $k{x}^{\prime }$ — $\omega t^{\prime }$, приводит к дисперсионному соотношению ( $Z$ полагается равным 1)
$$V^2\cong \frac{{\omega }^2}{k^2}=1-{\omega }^2\text{. }$$

Если, с другой стороны, предположить, что суммарная нейтральность заряда имеет место прф условии $Z{n}_i^{\prime }=n_e^{\prime }$, то отсюда вытекает отсутствие дисперсии $V=\omega /k=1$. В то же время суммарная нейтральность заряда в полных нелинейных уравнениях (2.52) — (2.55) приводила бы к уравнению (2.52) плюс уравнение
$$\frac{\partial v_i^{\prime }}{\partial t}+v_i^{\prime }\frac{\partial v_i^{\prime }}{\partial x^{\prime }}=-\frac{1}{n_i^{\prime }}\frac{\partial n_i^{\prime }}{\partial x^{\prime }}.$$

Известно, что система (2.52), (2.57) приводит к нарастающему увеличению крутизны вплоть до образования ударных волн. Так что именно отсутствие полной зарядовой нейтральности определяет наличие дисперсии и, предупреждая образование ударных волн, приводит к неизменности профиля волны во времени.
Для слабой дисперсии соотношение (2.56) дает
$$k=\omega +\frac{1}{2}{\omega }^3$$

и $k{x}^{\prime }-\omega t^{\prime }=(x^{\prime }-t^{\prime })+\frac{1}{2}{\omega }^3{x}^{\prime }$. Полагая
$$\xi =\omega (x^{\prime }-i^{\prime }),\eta ={\omega }^3{x}^{\prime },$$

приводим уравнения (2.52)-(2.55) к виду ( $n_i^{\prime }=n,v_i^{\prime }=u)$
$$\begin{array}{l}-\frac{\partial n}{\partial \xi }+\frac{\partial (nu)}{\partial \xi }+{\omega }^2\frac{\partial nu}{\partial \eta }=0,\\ -\omega \frac{\partial u}{\partial \xi }+\omega u(\frac{\partial u}{\partial \xi }+{\omega }^2\frac{\partial u}{\partial \eta })=\mathrm{E},\\ \frac{\omega \partial n_e^{\prime }}{\partial \xi }+{\omega }^3\frac{\partial n_e^{\prime }}{\partial \eta }=-n_e^{\prime }\mathrm{E},\\ \omega \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial \xi }+{\omega }^3\frac{\partial \mathrm{E}}{\partial \eta }=n-n_e^{\prime }.\end{array}$$

Рассмотрим теперь возмущєнные решения этих уравнений. Легко видеть, что разложения искомых величин должны иметь следующий вид:
$$\begin{array}{rl}n& =1+{\omega }^2{n}^{(1)}+{\omega }^4{n}^{(2)}+\dots ,\\ u& ={\omega }^2{u}^{(1)}+{\omega }^4{u}^{(2)}+\dots \\ n_e& =1+{\omega }^2{n}_e^{(1)}+{\omega }^4{n}_e^{(2)}+\dots \\ \mathrm{E}& ={\omega }^3{\mathrm{E}}^{(1)}+{\omega }^5{\mathrm{E}}^{(2)}+\dots \end{array}$$

Подстановка этих разложений в уравнения (2.60)-(2.63) приводит к уравнениям первого приближения
$$\frac{\partial n^{(1)}}{\partial \xi }-\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi }=0,\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi }=\frac{\partial n_e^{(1)}}{\partial \xi }=-{\mathrm{E}}^{(1)},n^{(1)}=n_e^{(1)}.$$

В следующем приближении получим
$$\begin{array}{l}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \eta }+\frac{\partial }{\partial \xi }{n}^{(1)}{u}^{(1)}+u^{(2)}-\frac{\partial n^{(2)}}{\partial \xi }=0,\\ \frac{\partial u^{(2)}}{\partial \xi }-u^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi }=-{\mathrm{E}}^{(2)},\\ \frac{\partial n_e^{(2)}}{\partial \xi }+\frac{\partial n_e^{(1)}}{\partial \eta }=-n_e^{(1)}{\mathrm{E}}^{(1)}-{\mathrm{E}}^{(2)},\\ \frac{\partial {\mathrm{E}}^{(1)}}{\partial \xi }=n^{(2)}-n_e^{(2)}.\end{array}$$

Эти уравнения сводятся к уравнению Кортевега-де Фриза для $u^{(1)}$
$$\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \eta }+u^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi }+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^3{u}^{(1)}}{\partial {\xi }^3}=0.$$

В соответствии с соотношениями (2.68) аналогичные уравнения имеют место для $n^{(1)}$ и $n_e^{(1)}$.

Простейшее решение — уединенная волна, являющаяся солитоном для уравнения КдФ, $u^{(1)}=f(x^{\prime }-u_0{t}^{\prime })=g(u_0\xi -a\eta )$,

где $a=(u_0-1)/{\omega }^2$; в этом случае уравнение (2.73) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
$$-a{g}^{\prime }+u_{0}g{g}^{\prime }+\frac{1}{2}{u}_0^3{g}^{\prime \prime \prime }=0,$$

интегрирование которого дает
$$g=\frac{3a}{u_0}{\mathrm{sech}}^2\left[\sqrt{\frac{a}{2u_0^3}}(u_0\xi -a\eta )\right].$$

Для плотности $\rho$ это дает
$$\rho =n_0{\omega }^2{n}^{(1)}=\delta n{\mathrm{sech}}^2[(x-vt)/D],$$

где
$$\begin{array}{rl}v& =u_0\sqrt{\frac{k{T}_e}{m_l}},\\ u_0& =1+\frac{1}{3}\frac{\delta n}{n_0},\\ D^2& =k_D^2\left(\frac{2u_0^3}{u_0-1}\right)=K_D^2\frac{6n_0}{\delta n}.\end{array}$$

Видно, что ширина солитона ( $\sim D$ ) уменьшается с увеличением амплитуды $\delta n$. Кроме того, скорость $v$ уединенной волны растет с увеличением $\delta n$. Эти результаты были экспериментально проверены. Для значений $n_0\sim {10}^9-{10}^{10}{\mathrm{cm}}^{-3},T_e=3$ эВ и $T_i<$ $<0,2$ эВ Икези [2.63] получил подтверждение соотношения между скоростью импульса и его шириной. В этих экспериментах $\delta n/n_0\approx 0,2$. Наблюдалось также распадение импульса, и число импульсов находится в соответствии с теоретическими предсказаниями, полученными из решения задачи Коши для уравнения Кортевега — де Фриза.