Солитоны встречаются в целом ряде областей физики плазмы. Большая часть из них – это магнитно-гидродинамические волны [2.55-2.58], а также ион-акустические волны [2.55, $2.59-2.61]$. Как и в наиболее известном примере волн на мелкой воде, изучавшемся первоначально Кортевегом и де Фризом, солитоны в плазменной физике возникают из-за баланса между эффектами возрастания крутизны волн, связанными с нелинейностью, и расползанием возбуждений из-за дисперсии.
Из-за недостатка места только ион-акустические
[2.59]
волны будут подробно разбираться в настоящей работе. В рассматриваемой ситуацй ионы испытывают низкочастотные осцилляции вблизи ионной плазменной частоты. Электроны следуют за движением ионов и обеспечивают приблизительную нейтральность заряда. Уравнения здесь имеют следующий вид [2.62]:
\[
\frac{\partial n_{i}}{\partial t}+
abla \cdot n_{i} \mathbf{v}_{i}=0 \text { (сохранение ионов), }
\]

где $n_{i}$ и $\mathbf{v}_{i}$ – ионная плотность и средняя скорость соответственно;
\[
\begin{array}{l}
n_{e} m_{e} \frac{d \mathrm{v}_{e}}{d t}=-n_{e} e-
abla p_{e} \text { (сохранение электронного импульса); } \\
n_{i} m_{i} \frac{d \mathrm{v}_{i}}{d t}=n_{i} Z \mathbf{E}-
abla p_{i} \text { (сохранение ионного импульса), }
\end{array}
\]

где $Z e$-заряд иона, $m_{i}$ и $m_{e}$ – ионная и электронная массы соответственно, $p_{i}$ и $p_{e}$-давления и $\mathbf{E}$-электрическое поле, возникающее из-за отсутствия точной нейтральности заряда, т. е.
\[

abla \cdot \mathbf{E}=4 \pi e\left(Z n_{i}-n_{e}\right) .
\]

В этих выражениях мы пренебрегаем столкновениями; мы также считаем, что в рассматриваемом случае ионная температура много меньше электронной (т. е. $T_{i}=0$ ), и пренебрегаем давлением $p_{i}$. Ток определяется выражением
\[
\mathbf{j}=e\left(Z n_{i} \mathbf{v}_{i}-n_{e} \mathbf{v}_{e}\right) ;
\]

если пренебречь членами вида $\left(m_{e} / m_{i}\right)\left(n_{i} Z^{2} / n_{e}\right)$ (малыми по сравнению с единицей), то получим
\[
\frac{m_{e}}{e^{2} n_{e}} \frac{d \mathbf{j}}{d t}=\mathbf{E}+\frac{1}{e n_{e}}
abla p_{e} .
\]

Ограничимся рассмотрением ситуации, где токи в плазме отсутствуют, т. е. $\mathbf{j}=0$. Кроме того, для давления электронов используем обычное изотермическое уравнение состояния $p_{e}=$ $=n_{e} k T_{e}$.

Рассмотрим пространственно одномерную задачу и введем безразмерные переменные
\[
x^{\prime}=x / L, t^{\prime}=t / T, v^{\prime}=v T / L, E^{\prime}=e L E / k T_{e}, n_{i}^{\prime}=n_{i} / n_{0},
\]

где $n_{0}$ – средняя плотность ионов, $L^{2}=k T_{e} / 4 \pi n_{0} e^{2}$ и $T^{-2}=$ $=4 \pi n_{0} e^{2} Z / m$. Уравнения (2.46), (2.48), (2.51) и (2.49) примут соответственно вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial n_{i}^{\prime}}{\partial t^{\prime}}+\frac{\partial n_{i}^{\prime} v_{i}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial v_{i}^{\prime}}{\partial t^{\prime}}+v_{i}^{\prime} \frac{\partial v_{i}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=\mathrm{E}^{\prime}, \\
\mathrm{E}^{\prime}+\frac{1}{n_{e}^{\prime}} \frac{\partial n_{e}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial E^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=Z n_{i}^{\prime}-n_{e}^{\prime} .
\end{array}
\]

Линеаризация этих уравнений вблизи $n_{i}^{\prime}=n_{e}^{\prime}=1$ и $v_{i}^{\prime}=E^{\prime}=0$ вместе с предположением, что все величины зависят только от $k x^{\prime}$ – $\omega t^{\prime}$, приводит к дисперсионному соотношению ( $Z$ полагается равным 1)
\[
V^{2} \cong \frac{\omega^{2}}{k^{2}}=1-\omega^{2} \text {. }
\]

Если, с другой стороны, предположить, что суммарная нейтральность заряда имеет место прф условии $Z n_{i}^{\prime}=n_{e}^{\prime}$, то отсюда вытекает отсутствие дисперсии $V=\omega / k=1$. В то же время суммарная нейтральность заряда в полных нелинейных уравнениях (2.52) – (2.55) приводила бы к уравнению (2.52) плюс уравнение
\[
\frac{\partial v_{i}^{\prime}}{\partial t}+v_{i}^{\prime} \frac{\partial v_{i}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=-\frac{1}{n_{i}^{\prime}} \frac{\partial n_{i}^{\prime}}{\partial x^{\prime}} .
\]

Известно, что система (2.52), (2.57) приводит к нарастающему увеличению крутизны вплоть до образования ударных волн. Так что именно отсутствие полной зарядовой нейтральности определяет наличие дисперсии и, предупреждая образование ударных волн, приводит к неизменности профиля волны во времени.
Для слабой дисперсии соотношение (2.56) дает
\[
k=\omega+\frac{1}{2} \omega^{3}
\]

и $k x^{\prime}-\omega t^{\prime}=\left(x^{\prime}-t^{\prime}\right)+\frac{1}{2} \omega^{3} x^{\prime}$. Полагая
\[
\xi=\omega\left(x^{\prime}-i^{\prime}\right), \quad \eta=\omega^{3} x^{\prime},
\]

приводим уравнения (2.52)-(2.55) к виду ( $\left.n_{i}^{\prime}=n, v_{i}^{\prime}=u\right)$
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\partial n}{\partial \xi}+\frac{\partial(n u)}{\partial \xi}+\omega^{2} \frac{\partial n u}{\partial \eta}=0, \\
-\omega \frac{\partial u}{\partial \xi}+\omega u\left(\frac{\partial u}{\partial \xi}+\omega^{2} \frac{\partial u}{\partial \eta}\right)=\mathrm{E}, \\
\frac{\omega \partial n_{e}^{\prime}}{\partial \xi}+\omega^{3} \frac{\partial n_{e}^{\prime}}{\partial \eta}=-n_{e}^{\prime} \mathrm{E}, \\
\omega \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial \xi}+\omega^{3} \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial \eta}=n-n_{e}^{\prime} .
\end{array}
\]

Рассмотрим теперь возмущєнные решения этих уравнений. Легко видеть, что разложения искомых величин должны иметь следующий вид:
\[
\begin{aligned}
n & =1+\omega^{2} n^{(1)}+\omega^{4} n^{(2)}+\ldots, \\
u & =\omega^{2} u^{(1)}+\omega^{4} u^{(2)}+\ldots \\
n_{e} & =1+\omega^{2} n_{e}^{(1)}+\omega^{4} n_{e}^{(2)}+\ldots \\
\mathrm{E} & =\omega^{3} \mathrm{E}^{(1)}+\omega^{5} \mathrm{E}^{(2)}+\ldots
\end{aligned}
\]

Подстановка этих разложений в уравнения (2.60)-(2.63) приводит к уравнениям первого приближения
\[
\frac{\partial n^{(1)}}{\partial \xi}-\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi}=0, \quad \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi}=\frac{\partial n_{e}^{(1)}}{\partial \xi}=-\mathrm{E}^{(1)}, n^{(1)}=n_{e}^{(1)} .
\]

В следующем приближении получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \eta}+\frac{\partial}{\partial \xi} n^{(1)} u^{(1)}+u^{(2)}-\frac{\partial n^{(2)}}{\partial \xi}=0, \\
\frac{\partial u^{(2)}}{\partial \xi}-u^{(1)} \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi}=-\mathrm{E}^{(2)}, \\
\frac{\partial n_{e}^{(2)}}{\partial \xi}+\frac{\partial n_{e}^{(1)}}{\partial \eta}=-n_{e}^{(1)} \mathrm{E}^{(1)}-\mathrm{E}^{(2)}, \\
\frac{\partial \mathrm{E}^{(1)}}{\partial \xi}=n^{(2)}-n_{e}^{(2)} .
\end{array}
\]

Эти уравнения сводятся к уравнению Кортевега-де Фриза для $u^{(1)}$
\[
\frac{\partial u^{(1)}}{\partial \eta}+u^{(1)} \frac{\partial u^{(1)}}{\partial \xi}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{3} u^{(1)}}{\partial \xi^{3}}=0 .
\]

В соответствии с соотношениями (2.68) аналогичные уравнения имеют место для $n^{(1)}$ и $n_{e}^{(1)}$.

Простейшее решение – уединенная волна, являющаяся солитоном для уравнения КдФ, $u^{(1)}=f\left(x^{\prime}-u_{0} t^{\prime}\right)=g\left(u_{0} \xi-a \eta\right)$,

где $a=\left(u_{0}-1\right) / \omega^{2}$; в этом случае уравнение (2.73) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
\[
-a g^{\prime}+u_{0} g g^{\prime}+\frac{1}{2} u_{0}^{3} g^{\prime \prime \prime}=0,
\]

интегрирование которого дает
\[
g=\frac{3 a}{u_{0}} \operatorname{sech}^{2}\left[\sqrt{\frac{a}{2 u_{0}^{3}}}\left(u_{0} \xi-a \eta\right)\right] .
\]

Для плотности $\rho$ это дает
\[
\rho=n_{0} \omega^{2} n^{(1)}=\delta n \operatorname{sech}^{2}[(x-v t) / D],
\]

где
\[
\begin{aligned}
v & =u_{0} \sqrt{\frac{k T_{e}}{m_{l}}}, \\
u_{0} & =1+\frac{1}{3} \frac{\delta n}{n_{0}}, \\
D^{2} & =k_{D}^{2}\left(\frac{2 u_{0}^{3}}{u_{0}-1}\right)=K_{D}^{2} \frac{6 n_{0}}{\delta n} .
\end{aligned}
\]

Видно, что ширина солитона ( $\sim D$ ) уменьшается с увеличением амплитуды $\delta n$. Кроме того, скорость $v$ уединенной волны растет с увеличением $\delta n$. Эти результаты были экспериментально проверены. Для значений $n_{0} \sim 10^{9}-10^{10} \mathrm{~cm}^{-3}, T_{e}=3$ эВ и $T_{i}<$ $<0,2$ эВ Икези [2.63] получил подтверждение соотношения между скоростью импульса и его шириной. В этих экспериментах $\delta n / n_{0} \approx 0,2$. Наблюдалось также распадение импульса, и число импульсов находится в соответствии с теоретическими предсказаниями, полученными из решения задачи Коши для уравнения Кортевега – де Фриза.