Все высшие уравнения КдФ имеют вид
\[
\dot{u}=\left(\frac{\delta I_{n}}{\delta u}+c_{1} \frac{\delta I_{n-1}}{\delta u}+\ldots+c_{n} \frac{\delta I_{0}}{\delta u}\right)^{\prime} .
\]

где величины $I_{n}$ получаются как коэффициенты асимптотического разложения $p(E)=T^{-1} \int \chi_{R} d x=\sqrt{E}\left(1+\sum_{n \geqslant-1} I_{n} / E^{n+2}\right)$; из уравнения Риккати для $\chi$ вытекает, что $I_{n}=\int P_{n}\left(u, u^{\prime}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, u^{(n)}\right) d \bar{x}$, где $P_{n}$ – полином; $I_{-1}=$ const $\cdot \int u d x, \quad I_{0}=$ $=\mathrm{const} \cdot \int \frac{u^{2}}{2} d x$.

В соответствии с результатом Гарднера, Захарова и Фаддеева $[10.5 \mathrm{a}, \mathrm{b}]$, все уравнения (10.15) – гамильтоновы системы с бесконечным числом степеней свободы. Точнее, пусть $I=\int P\left(u, u^{\prime}, \ldots, u^{(m)}\right) d x$ есть любой функционал, определенный на любом трансляционно инвариантном классе функций (например, быстро убывающих, периодических или почти периодических по $x$ ), для которого интеграл $I$ сходится. Рассмотрим уравнение
\[
\dot{u}=\left(\frac{\delta l}{\delta u}\right)^{\prime} .
\]

Этот поток на избранном функциональном пространстве определяет гамильтонову систему, где $d / d x$ является кососимметрическим оператором симплектической структуры. Скобки Пуассона двух функционалов $\mathscr{F}_{\alpha}=\int P_{\alpha}\left(u, u^{\prime}, \ldots\right) d x, \alpha=1,2$, имеют по определению вид
\[
\left|\mathscr{F}_{1}, \mathscr{F}_{2}\right|=\int \frac{\delta \mathscr{F}_{1}}{\delta u}\left(\frac{\delta \mathscr{F}_{2}}{\delta u}\right)^{\prime} d x .
\]

Мы будем изучать в дальнейшем только такие функционалы $\mathcal{F}=\int P d x$, где $P$ не, зависит явно от $x$. Коммутативность двух функционалов, $\left[\mathscr{F}_{1}, \mathscr{F}_{2}\right]=0$, означает справедливость формального тождества
\[
\frac{\delta \mathscr{F}_{1}}{\delta u}\left(\frac{\delta \mathscr{g}_{2}}{\delta u}\right)^{\prime}=\left[Q_{12}\left(u, u^{\prime}, \ldots\right)\right]^{\prime} .
\]

Мы будем также формально рассматривать поток (10.16) на любом трансляционно инвариантном классе гладких функіий, где интеграл $I$, возможно, и не определен. В этом общем случае справедливость локального тождества (10.18) означает коммутативность потоков $\left(\mathscr{F}_{1}\right)$ и $\left(\mathscr{F}_{2}\right)$, где $\left(\mathscr{g}_{\alpha}\right)$ записывается в виде уравнения
\[
\dot{u}=\left(\frac{\delta \mathcal{F}_{a}}{\delta u}\right)^{\prime} .
\]

Гарднер, Фаддеев и Захаров [10.5a, b] показали, что все высшие уравнения КдФ, порожденные интегралами $I_{n}$, попарно коммутируют: $\left[I_{n}, I_{m}\right]=0$.

Қак уже упоминалось в разд. 10.1, мы рассматриваем поток, задаваемый уравнением КдФ, на стационарных решениях уравнения (10.4)
\[
0=\frac{\delta I_{n}}{\delta u}+c_{1} \frac{\delta I_{n-1}}{\delta u}+\ldots+c_{n} \frac{\delta I_{0}}{\delta u}+c_{n+1} \frac{\delta I_{-1}}{\delta u},
\]

где $I_{1}=\gamma \int\left(\frac{u^{\prime 2}}{2}+u^{3}\right) d x, I_{2}=\gamma \int\left(\frac{u^{\prime \prime 2}}{2}-\frac{5 u^{2} u^{\prime \prime}}{2}+\frac{5 u^{4}}{2}\right) d x$.
С общей точки зрения мы имеем два потока $\left(\mathscr{F}_{\alpha}\right), \alpha=1,2$, вида (10.16), для которых справедливо соотношение (10.18), рассматриваемых на любом трансляционно инвариантном классе функций. Сами интегралы $\left(\mathscr{F}_{a}\right)$ могут и не быть определенными. На множестве ‘неподвижных точек потока $\left(\mathscr{J}_{1}\right)$ мы рассмотрим поток $\left(\mathscr{F}_{2}\right)$ как конечномерную динамическую систему. Из соотношения (10.18) вытекает, что $Q_{12}$ дает интеграл уравнения (10.20) для неподвижных точек потока $\left(\mathscr{J}_{1}\right)$ :
\[
\frac{\delta \mathscr{g}_{1}}{\delta u}-d=0, \quad Q_{12}^{(d)^{\prime}}=\left(Q_{12}-d \frac{\delta \mathscr{g}_{2}}{\delta u}\right)^{\prime}=\left(\frac{\delta \mathscr{g}_{1}}{\delta u}-d\right)\left(\frac{\delta \mathscr{g}_{2}}{\delta u}\right)^{\prime} .
\]

Считая функционал $\mathscr{F}_{1}=\int P_{1} d x$ невырожденным, введем обычным образом фазовые координаты и импульсы $\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right.$, $\left.p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$, где $P_{1}=P_{1}\left(u, \ldots, u^{(n)}\right)$. Выразим $Q_{12}^{(d)}$ через $(q, p)$. Имеем

Теорема 10.2. $Q_{12}^{(d)}$ является конечномерным гамильтонианом потока $\left(\mathscr{F}_{2}\right)$, ограниченного на множество стационарных решений потока $\left(\mathcal{F}_{1}\right)$. В простейшем случае $\mathscr{F}_{2}=\int \frac{u^{2}}{2} d s$ поток $\left(\mathscr{F}_{2}\right)$ является группой трансляций по $x$ и $Q_{12}^{(d)}$ является гамильтонианом уравнения (10.20) (по $x$ ).

В случае высших уравнений КдФ мы имеем $\mathscr{F}_{1}=\sum_{q=-1}^{n} I_{q} c_{n-q}$, где $c_{0}=1, c_{n+1}=d$, и $\mathscr{g}_{2}^{(l)}=I_{l}$ для $0 \leqslant l \leqslant n-1$. Bсе потоки $\mathcal{F}_{2}^{(l)}$ коммутируют, и, следовательно, попарно коммутируют (имеют нулевые скобки Пуассона) все гамильтонианы $Q_{12(i)}^{(d)}$ при $0 \leqslant l \leqslant n-1$ в конечномерном пространстве $(q, p)$. Следовательно, система (10.20) вполне интегрируема. Интегралы $Q_{12}^{(d)}$ просто связаны с другим семейством интегралов – коэффициентами характеристического полинома $\operatorname{det} \Lambda=\sum_{i=0}^{2 n}\left(E-E_{l}\right)$, выраженными через константы $c_{q}$ и производные $u, u^{\prime}, \ldots, u^{(2 n-1)}$, как указано в разд. 10.2. Явная формула имеет вид
\[
\begin{aligned}
Q_{12(l)}^{(d)}=2^{2 l+1}(-1)^{n+l+1} & k_{1}+\ldots+k \sum_{2 n+1}= \\
& =n+l+2 \beta_{k_{1}} \ldots \beta_{k_{2 n+1}} E_{0}^{k_{1}} \ldots E_{2 n}^{k_{2 n+1}},
\end{aligned}
\]

где $\beta_{k}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) \ldots\left(\frac{1}{2}-k+1\right) / k !$.
Гамильтонианы $Q_{12(l)}^{(d)}$ выражаются через концы зон $E_{i}$ (10.21), $\operatorname{det} \Lambda=P(u, E)=\sum_{i>0} a_{2 n+1-i} E^{i}$;
\[
a_{2 n+1-i}=\sum_{k+l=i+1} 2^{2 i+3} c_{n-k+1} c_{n-t+1}-
\]
\[
-8 \sum_{\substack{i+l \leqslant 0 \\ l>0}} 2^{2 t} Q_{12(l-1)}^{(d)} c_{n-(i+l)}
\]

Этот формализм естественно обобщается на другие системы, допускающие представление Лакса. Завершение интегрирования уравнений (10.19) требует введения «угловых» переменных на общей поверхности уровня коммутирующих интегралов. Удобными переменными на этой поверхности уровня являются величины ( $\left.\gamma_{j}, \pm\right)$, указанные в разд. 10.2 Связь величин $\left(\gamma_{j}\right)$ с потенциалом и его производными и тем самым с фазовыми переменными задачи (10.19) может быть получена из выражения (10.12):
\[
\chi_{R}=\frac{\sqrt{\Pi\left(E-E_{i}\right)}}{\Pi\left(E-\gamma_{j}(x)\right)}, \quad \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \chi_{R} d x \sim \sqrt{E}\left(1+\sum_{n \geqslant-1} \frac{I_{n}}{E^{n+2}}\right) .
\]

Имеем, в частности,
\[
u(x)=-2 \sum_{j=1}^{n} \gamma_{j}(x)+\sum_{i=0}^{2 n} E_{i} .
\]

Угловые переменные вводятся при помощи «отображения Абеля» (см. разд. 10.4). Как будет объяснено в разд. 10.4, комплексная поверхность уровня всех коммутирующих интегралов уравнения (10.19) является абелевым многообразием («тором Якоби»).