Если положить
\[
B=B_{2} \partial^{3}+B_{1} \partial+\partial B_{1} ; \quad B_{2}=\text { const }, \quad \partial=\frac{\partial}{\partial x},
\]

то из (8.28) с учетом (8.2) и (8.34) следует
\[
U_{t}=\frac{1}{4} B_{2} U_{x x x}-\frac{3}{4} B_{2}\left(U^{2}\right)_{x}
\]

с соотношениями $B_{2} U=U B_{2}$ и $3 B_{2} U=-4 B_{1}$. Уравнение (8.35) есть матричное уравнение Кортевега – де Фриза. Простейший случай соответствует выбору
\[
U(x, t)=u(x, t), \quad B_{2}=-4 .
\]

При этом из (8.35) получаем
\[
u_{t}-6 u u_{x}+u_{x x x}=0,
\]

уравнение, которое является хорошо известным уравнением Кортевега – де Фриза. Если компоненты $2 \times 2$-матрицы $U(x, t)$ выбрать в виде
\[
\begin{array}{l}
U_{11}(x, t)=-u^{2}-i u_{x}, \quad U_{22}(x, t)=U_{11}^{*}(x, t), \\
U_{12}(x, t)=U_{21}(x, t)=0, \quad u(x, t)=\vec{u}(x, t)
\end{array}
\]

и положить $B_{2}=-4 I$, то из (8.35) получим
\[
u_{t}+6 u^{2} u_{x}+u_{x x x}=0 .
\]

Это уравнение является модифицированным уравнением КдФ. В более общем случае, если положить $U_{11}(x, t)$ в (8.38) равным

получим
\[
U_{11}(x, t)=-\left(\alpha u+\beta u^{2}\right)-i \sqrt{\beta} u_{x},
\]
\[
u_{t}+6 \alpha u u_{x}+6 \beta u^{2} u_{x}+u_{x x x}=0 \quad(\beta>0) .
\]

Это уравнение содержит и уравнение КдФ, и модифицированне уравнение КдФ. Кроме того, оно представляет и самостоятельный интерес, как модельное для распространения волн в нелинейной цепочке [8.8].

Можно получить различные формы многокомпонентного уравнения КдФ из уравнения (8.35). Однако их физические прилпжения в настоящее время не ясны, поэтому здесь эти уравненчя не приводятся.