В предыдущем разделе мы обсудили уравнения движения фермионного поля на решетке при малых значениях постоянной решетки. Эти уравнения содержат параметры, определяемые обменными константами и значеннем постояной решетки. Перед тем как начать поиск решений уравнений, полезңо остановиться
на соответствующих уравнениях движения для вполне непрерывных моделей, что поможет отчетливей представить связь между решеточными и непрерывными моделями.

Непрерывные модели имеют преимущество локальности. Локальность взаимодействия совместно с принципом Паули сильно ограничивает множество различных допустимых моделей для одномерного случая. Эта идея привела к представлению об универсальности солитона и о наличии определенных общих черт у внешне различающихся нелинейных уравнений.

Существование пропагирующих решений нелинейных волновых уравнений имеет чрезвычайно важное значение для физики. Осознание обилия возможных видов нелинейности произвело отрезвляющее впечатление и поставило новые вопросы о классификации мыслимых типов нелинейности. Может ли любое взятое наугад нелинейное уравнение иметь «физически интересные» решения? Определяет ли ограничение «физически интересными» решениями класс допустимых нелинейностей?

Вопросы, задаваемые в такой общей форме, обычно остаются без ответа, но в специальном случае двумерного пространства времени возникает весьма удовлетворительная картина. Остов этой картины составляют несколько базисных постулатов: локальность, лоренц-инвариантность, тип симметрии и концепция частицы. Первые два постулата принимаются безусловно, как ограничения на типы рассматриваемых теорий. Они же позволяют придать смысл последним двум постулатам, и таким образом уменьшить изобилие возможностей до поддающегося анализу и классификации.

Ранее предлагалось несколько имеющих историческое значение моделей, удовлетворяющих вышеуказанным постулатам, и за последнее время эти модели были в разной степени исследованы. У нас нет намерения перечислять здесь основные черты этих моделей, так как существует несколько обзоров по данной теме (см., к примеру, [12.1] и книгу Либа и Маттиса [12.2]). Однако полезно обсудить несколько простых свойств этих моделей, поскольку они помогут нам выяснить принципы, ведущие к классификации нелинейностей и в конечном счете к построению решений нелинейных уравнений.

Первое такое свойство состоит в бозонно-фермионной дуальности, описываемой популярной концепцией «операторной демократии», и относится к неразличимости теорий, построенных на основе этих двух различных полей. Рассмотрим модель, состоящую из свободных безмассовых фермионов, которые могут распространяться вдоль струны в обоих направлениях. Гамильтониан $H_{0}$ дается выражением
\[
H_{0}=-i v \int_{0}^{L} d x\left(\psi_{1}^{\dagger} \partial_{x} \psi_{1}-\psi_{2}^{\dagger} \partial_{x} \psi_{2}\right) ;
\]

$L$ – длина струны, использованы периодические граничные условия, и $v$ – скорость частицы. Опєраторы фермионного поля удовлетворяют соотношениям антикоммутации
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi_{1}(x), \psi_{1}^{\dagger}\left(x^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[\psi_{2}(x), \psi_{2}^{\dagger}\left(x^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta\left(x-x^{\prime}\right),} \\
{\left[\psi_{1}(x), \psi_{2}\left(x^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[\psi_{1}^{\dagger}(x), \psi_{2}^{\dagger}\left(x^{\prime}\right)\right]_{+}=0,} \\
\end{array}
\]

и основным состоянием является бесконечное море Ферми заполненных состояний. Именно возбуждения моря Ферми соответствуют физическим процессам, бесконечная же энергия, связанная с морем, не представляет проблемы ввиду конечности значений энергии возбуждений относительно энергии моря.

Возбуждения характеризуются $n$-частичными корреляционными функциями, и именно их расчетом мы теперь займемся. Рассмотрим сначала простейшие одночастичные функции. Вводя фурье-образы полей выражениями
\[
a_{j}(k)=L^{-1 / 2} \int_{0}^{L} d x \psi_{j}(x) e^{i k x}
\]

с $j=1,2$ и $k=2 \pi n / L$ ( $n$-целое число), находим, что гамильтониан $H_{0}$ из (12.12) может быть диагонализован в виде
\[
H_{0}=v \sum_{k} k\left[a_{1}^{\dagger}(k) a_{1}(k)-a_{2}^{+}(k) a_{2}(k)\right],
\]

и легко можно получить типичную одночастичную корреляционную функцию
\[
\begin{aligned}
\left\langle\psi\left(x_{1}, t_{1}\right) \psi^{+}\left(x_{2}, t_{2}\right)\right\rangle & =L^{-1} \sum_{k>0} \exp \left[i k\left(R_{12}-v \tau_{12}\right)\right]= \\
& =i(2 \pi)^{-1}\left(R_{12}-v \tau_{12}\right)^{-1},
\end{aligned}
\]

где $R_{12}=x_{1}-x_{2}, \tau_{12}=t_{1}-t_{2}$ и к $\tau_{12}$ добавлена бесконечно малая мнимая часть для обеспечения сходимости суммы по $k$. Сумма преобразовывается в интеграл согласно правилу $\sum_{k} \rightarrow$ $\rightarrow(2 \pi)^{-1} L \int d k$.

Операторные уравнения движения допускают и иную реализацию как гамильтониана, так и оператора фермионного поля. Пусть определен оператор плотности $\rho$ со свойством
\[
\left[\psi_{1}(x), \rho_{1}(-k)\right]=e^{-i k x} \psi_{1}(x),
\]

что приводит к следующему соотношению коммутации этого оператора с гамильтонианом $H_{0}$ :
\[
\left[\rho_{1}(-k), H_{0}\right]=v k \rho_{1}(-k) .
\]

Это уравнение аналогично уравнению для гармонического осциллятора, и можно высказа:ь догадку, что $\rho_{1}(-k)$ является оператором уничтожения бозонного поля. Однако коммутатор $\left[\rho_{1}(-k), \rho_{1}\left(k^{\prime}\right)\right]$ не может равняться $\delta\left(k-k^{\prime}\right)$, так как согласно (12.18) $\rho_{1}(-k)$ безразмерно. Поэтому этот коммутатор должен быть равен
\[
\left[\rho_{1}(-k), \rho_{1}\left(k^{\prime}\right)\right]=k \delta\left(k-k^{\prime}\right),
\]

и $\rho(-k)$ отличается множителем $\sqrt{k}$ от канонического оператора уничтожения. Таким образом, гамильтониан $H_{0}$ может быть записан через оператор $\rho_{l}$ в виде билинейной формы
\[
H_{0}\left(\rho_{1}\right)=v \int d k \rho_{1}^{\dagger}(-k) \rho_{1}(k) .
\]

Из (12.17) видно, что оператор $\rho_{1}(k)$ является преобразованием Фурье плотности $\psi_{1}^{\dagger}(x) \psi_{1}(x)$; отсюда следует, что $\rho_{1}(k)=\rho_{1}^{\dagger}(-k)$. Аналогичное рассуждение для оператора $\rho_{2}(k)$ приводит к той же формуле, но со знаком минус из-за отрицательного значения скорости фермиона «2». В конечном счете гамильтониан принимает вид
\[
H_{0}=v \int_{0}^{\infty} d k\left[\rho_{1}(k) \rho_{1}(-k)+\rho_{2}(-k) \rho_{2}(k)\right],
\]

и знак минус появляется также в уравнении, соответствующем (12.19) для $\rho_{2}$ в случае бозонов, т. е. теперь вместо $\sqrt{k} \rho_{1}(-k)$ оператором уничтожения будет $\sqrt{k} \rho_{2}(k)$.

Такая «бозонизированная» форма гамильтониана наводит на мысль о существовании соответствующего бозонного представления ферми-операторов.

Рассмотрим коммутатор $\psi_{1}(x)$ с бозонной формой $H_{0}$ из $(12.20 \mathrm{~b})$. В результате имеем
\[
\left[\psi_{1}(x), H_{0}\right]=v \rho_{1}(k) \psi_{1}(x),
\]

что совпадает с коммутационным соотношением оператора $O_{1}(x)$ и того же $H_{0}$, где
\[
\begin{array}{c}
O_{1}(x)=C \exp \left[\varphi_{1}(x)\right], \\
\varphi_{1}(x)=\int d k k^{-1} \rho_{1}(k) \exp (-i k x) .
\end{array}
\]

Значение константы $C$ и поведение интеграла при больших $k$ определяются, если потребовать, чтобы
\[
\begin{array}{c}
C^{2}\left\langle\exp \left[\varphi_{1}\left(x_{1}, t_{1}\right)\right] \exp \left[-\varphi_{1}\left(x_{2}, t_{2}\right)\right]\right\rangle=C^{2} \exp \left[\left\langle\varphi_{1}^{2}-\varphi_{1}\left(x_{1}, t_{1}\right) \varphi_{1}\left(x_{2}, t_{2}\right)\right\rangle\right]= \\
=C^{2} \exp \left\{\int_{0}^{\infty} d k k^{-1}\left(1-\exp \left[i k\left(R_{12}-v \tau_{12}\right]\right) \exp (-\alpha k)\right\}=\right. \\
=C^{2}(i \alpha)\left(R_{12}-v \tau_{12}+i v \alpha\right)^{-1}
\end{array}
\]

равнялось правой части (12.16). Сделано обрезание интеграла для обеспечения сходимости, и для получения правильного ответа следует положить $C^{2}=(2 \pi \alpha)^{-1}$. Это обрезание соответствует инфинитезимальной мнимой части в (12.16) и может быть сделано нулевым после завершения вычислений. В промежуточных вычислениях в (12.23) была использована формула Бейкера – Хаусдорфа для оценки матричных элементов гармонического осциллятора, что будет обсуждаться далее.

Построенный таким образом оператор удовлетворяет соотношениям антикоммутации, поскольку для равных времен в соотношении
\[
\left[\varphi_{1}(x), \varphi_{1}\left(x^{\prime}\right)\right]=i \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}\left(x-x^{\prime}\right)
\]

знак обращается, когда $O_{1}$ меняется местом с другим $O_{1}$ в некоторой иной позиции. В результате оператор $O_{1}$ удовлетворяет правильным уравнениям движения и соотношениям антикоммутации, а также коммутирует с операторами плотности, как в (12.17). Следовательно, оператор $O_{1}$ совместно с «бозонизированным» $H_{0}$ дадут правильные уравнения движения. Итак, рассмотренные операторы взаимозаменяемы. Следует учесть, что использование $O_{1}$ приводит к большому упрощению вычислений, так как любое математическое ожидание сводится к простому гауссову интегралу, допускающему точное вычисление.

Принято писать бозонный гамильтониан в другой форме, используя канонические операторы рождения и уничтожения, или, что эквивалентно, канонические импульсы и координаты. Последние величины даются выражениями
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x)=i(4 \pi v)^{-1 / 2} \int d k k^{-1}\left[\rho_{1}(k)+\rho_{2}(-k)\right] e^{-i k x}, \\
\Pi(x)=v^{1 / 2}(4 \pi)^{-1 / 2} \int d k\left[\rho_{2}(-k)-\rho_{1}(k)\right] e^{-i k x},
\end{array}
\]

и гамильтониан принимает вид
\[
H_{0}=\int d x \frac{1}{2}\left\{\Pi^{2}(x)+v^{2}\left[\partial_{x} \varphi(x)\right]^{2}\right\},
\]

что завершает идентификацию операторных эквивалентов в скалярных одномерных моделях.

Таким образом построен переход от бозонов к фермионам, и этот переход будет основополагающим для понимания связи между солитонами, фермионами и СГ-уравнением. По-видимому, имеет смысл обрисовать и обратный процесс – ведущий от фермионов к бозонам. Промежуточной ступенью теперь является определение нормальным образом упорядоченных фермионных операторов плотности $\psi_{1}^{+} \psi$ или $\psi_{2}^{+} \psi_{2}$, – т. е. учитываются только матричные элементы, рождающие частицу нли античастицу (незаполненное состояние, дырка в море Ферми), и математическое ожидание в основном состоянии вычитается. Эти операторы соответствуют бозонам, и они задаются выражениями
\[
\begin{array}{l}
: \psi_{1}^{+}(x) \psi_{1}(x):=\rho_{1}(x), \\
: \psi_{2}^{+}(x) \psi_{2}(x):=\rho_{2}(x),
\end{array}
\]

где двоеточие означает нормальное упорядочение.
Переход от этой предварительной части к более реалистическим моделям будет краток. Необходимо лишь рассмотреть все возможные комбинации фермионных операторов, совместимые с лоренц-инвариантностью и локальностью, нашими исходными постулатами. Операторные уравнения движения упрощенно записываются в спинорных обозначениях, т. е. $\psi_{1}\left(\psi_{2}\right)$ соответствует верхней (нижней) компоненте. Уравнения выводятся из выражения для гамильтониана
\[
H=\int d x\left[-i v \psi^{+} \sigma_{z} \psi+m_{0} \psi^{\dagger} \sigma_{x} \psi+g \rho_{1} \rho_{2}\right],
\]

где $m_{0}$ соответствует массе фермиона, $g$ – константе (локального) взаимодействия между фермионами, а $\sigma_{i}$ суть матрицы Паули.

Первые два члена в (12.28) являются главными членами в разложении гамильтониана по степеням производных от операторов. Другие члены высших порядков вызвали бы появление большего числа производных, но они опущены в силу принципа локальности. Другие локальные произведения с бо́льшим числом операторов отсутствуют, так как взаимодействие вида $\rho_{1} \rho_{2}$ соответствует максимально сложному выражению, поскольку $\psi_{1}^{2}=\psi_{2}^{2}=0$ из-за принципа Паули. Возможны также -члены взаимодействия вида $\rho_{1} \rho_{1}$ и $\rho_{2} \rho_{2}$, но, согласно (12.21), они меняют значение скорости, и если считать скорость постоянной, то и эти члены могут быть опущены. Отсутствие более сложных произведений в силу принципа-Паули приводит к требованию безспиновости фермионов – симметрия, налагаемая «извне». В рамках вышеупомянутых ограничений (12.28) является наиболее общим видом гамильтониана в одномерном пространстве.

Фермионные уравнения поля следуют из гейзенберговых уравнений движения, и выраженные в переменных пространства времени имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{\psi}_{1}=-v \partial_{x} \psi_{1}+m_{0} \psi_{2}+\varepsilon \psi_{1} \rho_{2}, \\
\dot{\psi}_{2}=v \partial_{x} \psi_{2}+m_{0} \psi_{1}+g \psi_{2} \rho_{2},
\end{array}
\]

где $m_{0}$ представляет величину размерности (ед. длины) ${ }^{-1}$ и есть масса частицы, $g$ – константа связи и $v$-скорость из (12.11). Для получения лоренц-инвариантной теории, известной кӑ̣ массивная модель Тирринга, $v$ следует перенормировать посредством функции от $g$, и полученную скорость принять равной единице. Этот шаг совершается ниже в соответствии с (12.35). Настоящую модель, описываемую (12.29), иногда называют массивной моделью Латтинджера. Соотношение между двумя моделями, как и связь с решеточной моделью, будет обсуждаться ниже.

По-видимому, здесь уместно указать на возможность путаницы в обозначениях. Принятые нами обозначения согласуются с таковыми Маттиса и Либа [12.2]. Как говорилось ранее, член взаимодействия $g \rho_{1} \rho_{2}$ фактически перенормирует скорость фермионов; это приводит к требованию о зависимости перенормировки «голой» скорости от константы связи, если наблюдаемая скорость должна оставаться постоянной. Альтернативой является определение члена взаимодействия как содержащего также подходящие комбинации $\rho_{1} \rho_{1}$ и $\rho_{2} \rho_{2}$ для компенсации перенормировки скорости. Такая комбинация лоренц-инвариантна. В нашей формулировке, выбранной наиболее близкой к обозначениям решеточной модели разд. 12.2, таких членов нет, и в результате необходима перенормировка. Различные модели, с различно определяемыми константами связи, связаны друг с другом определенными алгебраическими соотношениями между этими константами. В следуюшем разделе будет дан список подобных моделей, а также предложена формулировка «универсальной» константы связи.

Из соображений размерности ясно, что член взаимодействия $g \rho_{1} \rho_{2}$ не единственно возможнь.й. $\mathrm{K}$ гамильтониану может быть добавлен член взаимодействия, содержащий произведение шестнадцати операторов. Использование свойств симметрии конечно же сводит эту задачу к (12.28), однако с иными параметрами $m_{0}$ и $g$ (и, возможно, $v$ ). Таким образом, эти величины могут не иметь фундаментального значения, и естественным образом встает вопрос о глубинной универсальности, или, что то же, о независимых от модели величинах.

Пока не существует полностью аргументированного ответа на этот вопрос, но некоторые весьма глубокие связи между этой фермионной задачей и классическими двумерными моделями критических явлений приближают к его пониманию. Это будет детальней обсуждаться в последующем разделе после построения решений наших нелинейных уравнений.

Осталось найти бозонный эквивалент (12.28). Используя технику, развитую в (12.22), (12.15) и (12.27), несложно вывести
\[
H=\int d x \frac{1}{2}\left[\Pi^{2}+\left(\partial_{x} \varphi\right)^{2}+m_{0}(2 x \alpha)^{-1} \cos \sqrt{4 \pi v} \varphi+g \rho_{1} \rho_{2}\right] .
\]

Можно найти каноническое преобразование, полностью диагонализующее бозонную задачу при $m_{0}=0$, т. е. диагонализующее задачу (безмассового) гармонического осциллятора. Это осуществляется посредством канонического преобразования вида
\[
\begin{array}{l}
\rho_{1}=\rho_{1} \operatorname{ch} \varphi+\rho_{2} \operatorname{sh} \varphi, \\
\rho_{2}=\rho_{2} \operatorname{ch} \varphi+\rho_{1} \operatorname{sh} \varphi,
\end{array}
\]

где th $2 \varphi=-g(2 \pi v)^{-1}$. Применение этого преобразования к гамильтониану с массой $m_{0}
eq 0$ приводит к СГ-уравнению
\[
H_{s G}=\int d x \frac{1}{2}\left[v^{\prime 2}\left(\partial_{x} \varphi\right)^{2}+\Pi^{2}+m_{0}(2 \pi \alpha)^{-1} \cos \beta \varphi\right],
\]

где $\beta^{2}=4 \pi v e^{-2 \varphi}$. Замечательно, что (12.32) следует из весьма общих постулатов фундаментальных симметрий и локальности; аргументация, приводящая к (12.32), наводит на мысль, что это уравнение также должно быть наиболее общим в своем классе, а именно в иной, но эквивалентной, операторной формулировке. Преобразование (12.31) меняет и скорость. Қак обсуждалось выше, новая, или перенормированная скорость может быть приравнена единице без потери общности.

Вычисление $n$-частичных корреляционных функций привело к обсуждению «бозонизировандых» гамильтониана и фермионных операторов. Эти функции можно вычислить для случая свободных частиц, $g=0$, и безмассового случая $m_{0}=0$, но для общего случая результатов пока нет. Массовые корреляционные функции служат интересным примером приложения рассмотренных выше методов. Для полноты приведем соотношения эквивалентности операторов:
\[
\psi_{j}(x)=(2 \pi \alpha)^{-1 / 2} \exp \left[-\varphi_{j}(x)\right],
\]

где
\[
\varphi_{j}(x)=(-1)^{j} \int_{-\infty}^{\infty} d k k^{-1} \rho_{j}(k) \exp \left(-i k x-\frac{1}{2} \alpha|k|\right),
\]

а гамильтониан равен
\[
\begin{aligned}
H & =v \int_{0}^{\infty} d k\left\{\left[\rho_{1}(k) \rho_{1}(-k)+\rho_{2}(-k) \rho_{2}(k)\right]+\right. \\
& \left.+g\left[\rho_{1}(k) \rho_{2}(-k)+\rho_{1}(-k) \rho_{2}(k)\right]\right\} .
\end{aligned}
\]

Исследование этих уравненлй выявляет тот факт, что произведение произвольного числа фермионных операторов всегда приводит к сложному оператору, также являющемуся экспонентой бозонного олератора. Обычно используют тождество $e^{A} e^{B}=e^{A+B+\frac{1}{2}[A, B]}$, если $[A, B]$ является $c$-числом. Формула Бейкера – Хаусдорфа позволяет вычислить математические ожидания таких операторов с использованием
\[
\left\langle e^{A}\right\rangle=e^{\frac{1}{2}\left(A^{\lambda}\right\rangle},
\]

Это равенство справедливо, когда среднее берется при любом билинейном гамильтониане гармонического осциллятора. В частности, оно применимо и к гамильтониану (12.34), что приводит к следующему результату:
\[
\begin{array}{l}
C^{-M}\left\langle O_{1}\left(x_{1} t_{1}\right) O_{1}^{+}\left(x_{2} t_{2}\right) \ldots O_{1}^{+}\left(x_{2 M}, t_{2 M}\right)\right\rangle= \\
= \exp \left[-\operatorname{ch}^{2} \varphi \sum_{i<j}^{2 M}(-1)^{i-j} \ln \left(\frac{x_{i j}-v^{\prime} t_{i j}+i \alpha}{i \alpha}\right)-\right. \\
\left.\quad-\operatorname{sh}^{2} \varphi \sum_{i<j}^{2 M}(-1)^{i-j} \ln \left(\frac{x_{i j}+v^{\prime} t_{i j}+i \alpha}{i \alpha}\right)\right] .
\end{array}
\]

Использованы следующие обозначения: $x_{i j}=x_{i}-x_{j}, t_{i j}=t_{i}-t_{j}$, а $\varphi$ определяется согласно (12.31). При нечетном числе точек математические ожидания равны нулю. Для произведений функций $O_{2}$ справедлив результат, аналогичный (12.35), но знак $v^{\prime}$ меняется.

Значение скорости, фигурирующее в выражении для корреляционных функций, находится из козффициента перед членом $\rho_{1} \rho_{1}$ в гамильтониане (12.30) после его диагонализации. Оно имеет вид $v^{\prime 2}=v^{2}-g^{2}(2 \pi)^{-2}$ и может быть приравнено единице в результате соответствующего подбора $v$ и $g$. Поскольку скорость $v^{\prime}$-это единственная скорость, входящая в выражение для корреляционной функции, се нормировка на единицу эквивалентна изменению масштаба времени. Далее $v^{\prime}$ будет везде принята за единицу.

Однофермионная корреляциснная функция иллюстрирует несколько интересных черт непрерывной теории. Она имеет вид
\[
\left\langle O_{1}\left(x_{1} t_{1}\right) O_{1}^{+}\left(x_{2} t_{2}\right)\right\rangle=-\frac{(2 \pi)-1}{x_{12}-t_{12}}\left(\frac{\alpha^{2}}{x_{12}^{2}-t_{12}^{2}}\right)^{p} .
\]

где $p=\operatorname{sh}^{2} \varphi$. Множитель $\alpha^{2 p}$ отражает перенормировку волновой функции, т. е. константу, включенную в определение оператора $O_{1}$. Из (12.35) следует, что $2 M$-точечная функция конечна при $\alpha \rightarrow 0$, после того как множитель $\alpha^{p}$ включен в $O_{1}$.

Более обычная корреляционная функция порождается массовым членом, включающим прсизведения $O_{1}^{\dagger} O_{2}$. Эта функция есть
\[
\begin{array}{c}
C^{-2 M}\left\langle O_{1}\left(x_{1} t_{1}\right) O_{2}^{+}\left(x_{1} t_{1}\right) \ldots O_{2}\left(x_{M} t_{M}\right) O_{1}^{+}\left(x_{M} t_{M}\right)\right\rangle= \\
\quad=\exp \left[2 \theta \sum_{i<j}^{M}(-1)^{i-1} \ln \left(\frac{x_{i j}^{2}-t_{i j}^{2}}{\alpha^{2}}\right)\right],
\end{array}
\]

где $2 \theta=e^{2 \varphi}$. Необходимо перенормировать оператор $\left(O_{1} O_{2}^{+}+\right.$э. с. $)$ посредством множителя, отличного от $\alpha^{2 p}$, а именно $\alpha^{2 \theta-1}$, и для случая СГ-уравнения это ведет к хорошо знакомой перенормировке массы (см. [12.5]). Что касается остальных операторов, то $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ не перенормируются вовсе, тогда как комбинации $\left(\mathrm{O}_{1}^{+} \mathrm{O}_{2}^{+}+\right.$э. с.) соответствует иная константа перенормировки, равная $\alpha^{2 / \theta-1}$.

При перенормировке операторов описанным образом корреляционные функции остаются конечными в пределе $\alpha \rightarrow 0$. Икак следствие такой процедуры предельного перехода, одновременные антикоммутационные соотношения не выполняются, но поведение при больших расстояниях и временах, включая сингулярность при $x^{2}=t^{2}$, имеет правильный вид.

В решеточной теории операторная алгебра всегда относится к свойствам внутри одной ячейки, соответствующей расстояниям, меньшим постоянной решетки, или длины обрезания. Решеточные корреляционные функции должны вести себя на очень малых расстояниях иначе, чем функции в непрерывном пределе. Эти последние функции правильно описывают поведение в асимптотической области, т. е. в области больших расстояний.

Имея этот результат для $n$-точечных корреляционных функций, можно перейти к вопросу о различиях между различными моделями, упомянутом нами в вводных замечаниях. На некоторой стадии во все эти модели входят такие $n$-точечные функции. Их форма позволяет наиболее просто сравнивать и истолковывать различные модели.

Эти функции содержат несколько параметров, а именно скорость $v$, константу обрезания $\alpha$ и параметр, придающий размерность корреляционной функции, $\theta$. Таким образом, эквивалентность между моделями устанавливается в результате изучения соответствующих выражений для $\alpha, v$ и $\theta$ в различных моделях. Определение этих величин не имеет особого значения для физики, так как связано всего лишь с их обозначением. Для физики важно то, что лишь эти параметры появляются в теории.

Ниже мы приводим соотношения для параметра $\theta$ в трех моделях, представляющих для нас интерес:
спиновая цепочка [12.4] $\quad \theta=1-\pi^{-1} \cos ^{-1}\left(-J_{z} / v\right)$,
модель Тирринга [12.5] $\quad \theta=\frac{1}{2}(1+g / \pi)^{-1}$,
модель Латтинджера [12.6] $\quad \theta=\frac{1}{2}(1+v)^{1 / 2}(1-v)^{-1 / 2}$,

где символы для соответствующих моделей определяются согласно обозначениям цитированных работ. Во всех непрерывных случаях перенормированная скорость приравнена единице, что является тривиальным выбором масштаба. Наконец, параметр $\alpha$ не уточняется, поскольку он входит лишь в качестве параметра перенормировки и не присутствует в конечном «физическом» выражении. Этот параметр может быть выбран равным постоянной решетки.