Работа Лакса [1.70] вызвала существенное развитие метода обратной задачи и способствовала лучшему пониманию его математической природы. Пусть даны сравнительно простые дифференциальные операторы $u \rightarrow \mathcal{L}_{u} \equiv\left(-\partial^{2} / \partial x^{2}+u\right), \quad \hat{B}_{u} \equiv$ $\widehat{B}_{u}^{+}=-\widehat{B}_{u}$ ), такие что существует однопараметрическое семейство унитарных операторов $\tilde{D}$, удовлетворяющих уравнению $O_{t}=\hat{B} \hat{O}$, причем $L_{u}$ унитарно эквивалентен относительно $\hat{O}$, т. е. $\hat{U}^{-1}(t) \hat{L}_{u}(t) \hat{U}(t)$ не зависит от $t$; тогда, как отмечает Лакс, выполняется следующее.
I) Все собственные значения $\lambda_{u}$ оператора $\hat{L}_{u}$ являются интегралами движения, т. е. $\lambda_{u, t}=0$ (доказательство тривиально: $\hat{L}_{u}(0)=\hat{U}^{-1}(t) \widehat{L}_{u} \widehat{U}(t), \quad \widehat{L}_{u}(0) \psi(0)=\lambda_{u} \psi(0)$. Тогда $\hat{L}_{u}(t) \psi(t)=$

$=\lambda_{u}(t)$, где $\psi(t)=O(t) \psi(0)$, т. е. $O(t)$ есть эволюционный оператор).
II) $\partial / \partial t \hat{U}^{-1}(t) \hat{L}_{u}(t) \hat{U}(t)=0$ означает, что
\[
-\widehat{U}^{-1} \widehat{U}_{t} \widehat{U}^{-1} \widehat{L}_{u} \hat{U}+\widehat{U}^{-1} \widehat{L}_{u, t} \hat{U}+\hat{U}^{-1} \hat{L}_{u} \hat{U}_{t}=0 .
\]

Тогда если $\hat{U}_{t}=\hat{B} \hat{U}$, то $-\hat{U}^{-1} \hat{B} \hat{L}_{u} \hat{U}+\hat{U}^{-1} \hat{L}_{u, t} \hat{U}+\hat{U}^{-1} \hat{L} \hat{B} \hat{U}=0$, и
\[
\hat{L}_{u, t}=\left[\hat{B}, \hat{L}_{u}\right] \text {. }
\]
III) Так как $L_{u, t}=u_{t}$, то операторное уравнение (1.86a) есть эволюционное уравнение $u_{t}=K[u]$, в котором $K[u]$ – это функционал от $u$.

Лакс [1.70] доказал, что начальные данные $u(x, 0)$ однозначно определяют решения упомянутых выше нелинейных эволюционных уравнений. Испробовав в качестве кососимметрического оператора $\widehat{B}=\partial^{3}+b \partial+\partial b$ (где $\partial \equiv \partial / \partial x$ ), Лакс также обнаружил, что при $b=-(3 / 4) u$ (мы используем иные масштабы, чем Лакс) (1.86a) дает уравнение КдФ. В дальнейшем метод был обобщен с целью получить бесконечную иерархию уравнений типа КдФ со степенями 3 (само КдФ), 5, 7 и т. д. Захаров и Фаддеев [1.113], а также Лакс [1.114] впоследствии указали на существование симплектической структуры, порождающей эту иерархию, которая, как теперь известно, свойственна всем «интегрируемым системам» вроде КДФ, НУШ и СГ-уравнений. Представление нелинейных эволюционных уравнений в виде «пары Лакса»
\[
\widehat{L}_{t}=[B, \hat{L}]
\]

остается самым мощным методом получения аналитических решений таких уравнений. Заметим, что подобное представление гарантирует постоянство спектра собственных значений, так как если $\hat{B}$ кососимметричен, то рєшение операторного уравнения $U_{t}=\hat{B} \hat{U}$ унитарно, и рассуждения п. II, приводящие к (1.86a), можно провести в обратную сторону. Тогда $\tilde{L}$ унитарно инвариантен относительно $U$, и его собственные значения являются интегралами движения в силу (I).

Примечательно, что введенные Лаксом операторы $\hat{B}$ для иерархии уравнений КдФ можно найти, определив квадратный корень $\hat{R}$ оператора $-\hat{L}_{u}$ выражениями $\hat{R}^{2} \equiv-\hat{L}_{u}$ и $\hat{R}=\partial+$ $+c_{0}+c_{1} \partial^{-1}+c_{2} \partial^{-2}+\ldots$. Тогда $-\tilde{L}_{u}=\partial^{2}-u$ и $\hat{R}^{2}=-\tilde{L}_{u}$ есть $\partial^{2}+2 c_{1} \partial+\left(c_{0, x}+c_{0}^{2}+2 c_{1}\right)+\left(c_{1, x}+2 c_{2}+2 c_{0} c_{1}\right), \partial^{-1}+\ldots$, гак что $c_{0}=0, c_{1}=-u / 2, c_{2}=u_{x} / 4$. Очевидно, что главная часть $\tilde{R}$ (т. е. без отрицательных степеней $\partial$ ) – это просто $\partial$, и уравнение $\left[\hat{R}, L_{u}\right]=\hat{L_{u}, t}$ превращается в
\[
u_{x}=u_{t} \text {. }
\]

Однако главная часть $\hat{R}^{3 / 2}=\left(-\hat{L}_{u}\right) R$ есть
\[
\partial^{3}-\partial u-\frac{1}{2} u \partial+\frac{1}{4} u_{x}=\partial^{3}-\frac{3}{4} \partial u-\frac{3}{4} u \partial ;
\]

это оператор Лакса для уравнения КдФ. Другие дробные степени суть $\hat{R}^{5 / 2}, \hat{R}^{7 / 2}$ и т. д.; они порождают лаксову иерархию уравнений КдФ. Очевидно, что эта иерархия неединственна [1.115] $\left.{ }^{1}\right)$; структуры продолжения [1.116] отчасти объясняют этот факт. Похоже, что здесь важно следующее обстоятельство: если степень оператора $\mathcal{L}$ равна 2 , то он является скалярным оператором Шрёдингера $L_{u}$ и порождает поэтому лаксову иерархию уравнений $К д \Phi$. Но если $\mathscr{L}$ имеет степень 3 , что предполагается в работе по структурам продолжения, то порождается иная иерархия уравнений. Эта интересная проблема требует дальнейшего изучения. Она ставит любопытные вопросы, касающиеся иерархий других интегрируемых систем.

Гельфанд и Дикий [1.117] и другие авторы, которых упоминает Манин [1.118], обосновали применение оператора (1.88). Они показали, как получить $N$-солитонные решения уравнения КдФ на вещественной оси $-\infty<x<\infty$, сведя задачу методами алгебраической геометрии к системе линейных алгебраических уравнений.

Аналогичные, хотя, по-видимому, более трудоемкие методы ввели Матвеев и Итс $[1.119,1.120]$ и Дубровин и Новиков с сотрудниками $[1.119,1.120]$, чтобы решить уравнение КдФ с периодическими граничными условиями. Современная версия этого метода описана С. П. Новиковым в гл. $10^{2}$ ). Лакс [1.114] привел в 1974 г. плотное множество решений уравнения КдФ с периодическими граничными условиями, что стимулировало работу [1.121].

Вслед за работой Лакса [1.70] еще две замечательные статьи создали бо́льшую часть того, что теперь называется теорией солитонов. Это работы Захарова и Шабата [1.38], в которой решено НУШ, и Захарова и Фаддеева [1.113], где выявлена симплектическая структура уравнения КдФ. Авторы последней работы показали, что КдФ – это первый ставший известным пример бесконечномерной полностью интегрируемой гамильтоновой системы, и отметили, что для него существует бесконечно много первых интегралов $I_{n}[u]=\int_{-\infty}^{+\infty} P_{u}\left(u, u_{x}, \ldots\right) d x$ (здесь $P$ – это сохраняющиеся плотности, обозначенные в разд. 1.4 как
1) См. также [1.172]. Представляют интерес, кроме того, и приведенные там ПБ.
${ }^{2}$ ) См. примечание на с. 9. – Прим. ред.

$T^{n}$ ). Они использовали гамильтонову форму записи уравнения КдФ
\[
u_{t}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial I_{3}[u]}{\partial u(x)},
\]

которая в работе Лакса [1.70] приведена как принадлежащая Гарднеру. Захаров и Фаддеев показали, что бесконечная совокупность констант $I_{n}$ образует в точности нужное для полной интегрируемости количество сохраняющихся величин, построив симплектическую форму
\[
\left.\Omega\left(\delta_{1} u, \delta_{2} u\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} d x \int_{-\infty}^{x} d y\left[\delta_{1} u(x) \delta_{2} u(y)-\delta_{1} u(y) \delta_{2} u^{\prime} x\right)\right](1.90)
\]

и доказав ее инвариантность относительно преобразования к данным рассеяния (вариации $\delta_{1} u$ и $\delta_{2} u$ должны быть выражены через соответствующие вариации данных рассеяния); тем самым они показали, что обратное и прямое преобразования рассеяния суть канонические преобразования к переменным типа действие – угол (и наоборот), построили гамильтониан, выраженный через такие переменные, доказали, что этот гамильтониан зависит только от переменных действия, причем последние являются интегралами движения, и непосредственно проинтегрировали уравнения движения в указанных переменных.

Это великолепное исследовгние является источником большинства результатов, изложенных в настоящей книге. В частности, изучение солитонных уравнений как полностью интегрируемых гамильтоновых систем служит предметом гл. 11, написанной Л. Д. Фаддеевым, и большей части гл. 6 (Ньюэлл), а в гл. 2 Лэм и Маклафлин снова вводят каноническую структуру гамильтониана для нелинейных эволюционных уравнений с солитонными решениями, причем делают это способом, полезным в качестве введения в последующие главы. Поэтому нет нужды далее развивать здесь эту красивую тему.

Мы, однако, отметим важную в историческом плане работу Гарднера [1.122] (1971 г.), которая содержит результаты, связанные с выражениями (1.89) и (1.90). Гарднер определил скобки Пуассона для двух функционалов от $u$, скажем, $K_{1}$ и $K_{2}$, формулой
\[
\left\{K_{1}, K_{2}\right\}=\int \frac{\delta K_{1}}{\delta u} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\delta K_{2}}{\delta u}\right) d x .
\]

Он доказал, что интегралы $I_{n}[u]$, связанные с плотностями $T^{n}$, находятся в инволюции, т. е. $\left\{I_{n}, I_{m}\right\}=0$. Мы проследим в дру.’ гом месте [1.123], как эти идеи соотносятся с теоремой Фробениуса об интегрируемости, с теорией внешних дифференциальных форм Қартана и со структурами продолжения Уолквиста и Эстабрука $[1.61,1,75,1.76]$.

Существует естественное обобщение задач рассеяния $2 \times 2$, введенных Захаровым и ІІабатом [1.38, 1.109] в 1971 и 1973 гг. для решения НУШ; оно было найдено АКНС [1.44, 1.45] в 1973 г. Этот шаг был осуществлен лишь после появления работ Захарова и Шабата, однако нам неизвестно, в какой степени последние повлияли на АКНС.