Класс нелинейных эволюционных уравнений (НЭУ), которые могут быть проинтегрированы с помощью обратного спектрального преобразования (ОСП), ассоциированного с (линейным) матричным уравнением Шрёдингера на собственные значения, может быть расширен по сравнению с описанным в предыдущей главе М. Вадати. Наиболее замечательная особенность новых интегрируемых НЭУ, полученных таким образом, – это поведение их солитонов, которые, по-прежнему обладая характерной для солитонов устойчивостью, в общем случае не движутся с постоянной скоростью, а ведут себя скорее как частицы во внешнем поле (которое само, вообще говоря, зависит от параметров солитона, например, от его «формы» и начальной «поляризации»). В настоящей главе мы опишем этот класс нелинейных эволюционных уравнений, решение задачи Коши методом ОСП для этих уравнений и различные свойства их решений, в том числе преобразования Бэклунда и некоторые связанные с ними результаты (нелинейный принцип суперпозиции, многосолитонные решения, законы сохранения, обобщенные резольвентные формулы, нелинейные операторные тождества). Проанализировано простейшее из новых НЭУ и поведение его солитонов (или, скорее, «бумеронов»).

Наше изложение является весьма сжатым (особенно в том, что касается преобразований Бэклунда и смежных вопросов). Более детальное рассмотрение нашего метода, основанного на обобщенных соотношениях Вронского, и описание взаимосвязи метода с другими подходами можно найти в опубликованных нами работах [9.1]-[9.3].