Определим внутреннее произведение
\[
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} u \cdot v d x
\]

Пусть $L \mathbf{u}=\zeta \mathbf{u}$ и $L^{A} \mathbf{v}=\zeta \mathbf{v}$, тогда
\[
\int_{-R}^{R} \mathbf{u}(\zeta) \cdot \mathbf{v}\left(\zeta^{\prime}\right) d x=\frac{1}{2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right)}\left(u_{2} v_{2}-u_{1} v_{1}\right)_{-R}^{R} .
\]

Из (6A.2) и (6.18) можно получить
\[
\int_{-R}^{R} \Psi(\zeta) \cdot \Psi^{A}\left(\zeta^{\prime}\right) d x=\frac{a^{2}(\zeta) e^{-2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}-a^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) e^{2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}}{2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right)} .
\]

В свою очередь из (6A.3) вытекает
$\left\langle\Psi(\zeta), \Psi^{A}\left(\zeta^{\prime}\right)\right\rangle=-\pi a^{2} \delta\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right)$, если $\zeta, \zeta^{\prime}$ вещественные,
\[
=0 \text { в остальных точках. }
\]

Заметим, что $a^{2}$ есть квадрат $a(\zeta, t)$. Это приводит к необходимости введения производных $\chi$ и $\tau$ в соответствующих базисах.
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\frac{\partial}{\partial \zeta} \Psi\left(\zeta_{k}\right), \Psi^{A}\left(\zeta_{j}\right)\right\rangle=\left\langle\Psi\left(\zeta_{k}\right), \frac{\partial}{\partial \zeta} \Psi^{A}\left(\zeta_{j}\right)\right\rangle=-\frac{i}{2} a_{k}^{\prime 2} \delta_{k j} \\
\left\langle\frac{\partial}{\partial \zeta} \Psi\left(\zeta_{k}\right), \frac{\partial}{\partial \zeta} \Psi^{A}\left(\zeta_{j}\right)\right\rangle=-\frac{i}{2} a_{k}^{\prime} a_{k}^{\prime \prime} \delta_{k l}
\end{array}
\]
Приложение В. Доказательство инвариантности формы (6.146)
263
Аналогичные вычисления приводят к следующим результатам:
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\bar{\Psi}(\zeta), \bar{\Psi}^{A}\left(\zeta^{\prime}\right)\right\rangle=\pi a^{-2} \delta\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) \text { для вещественных } \zeta, \zeta^{\prime}, \\
=0 \text { для остальных точек, } \\
\left\langle\frac{\partial}{\partial \zeta} \bar{\Psi}\left(\zeta_{k}\right), \bar{\Psi}^{A}\left(\zeta_{j}\right)\right\rangle=\left\langle\bar{\Psi}\left(\zeta_{k}\right), \frac{\partial}{\partial \zeta} \bar{\Psi}\left(\zeta_{j}\right)\right\rangle=-\frac{i}{2}{\bar{a}_{k}^{\prime}}^{2} \delta_{k j}, \\
\left\langle\frac{\partial}{\partial \zeta} \bar{\Psi}\left(\zeta_{k}\right), \frac{\partial}{\partial \zeta} \bar{\Psi}^{A}\left(\zeta_{j}\right)\right\rangle=-\frac{i}{2} \bar{a}_{k}^{\prime} \bar{a}_{k}^{\prime \prime} \delta_{k j} . \\
\end{array}
\]

Все остальные внутренние произведения равны нулю.