Рассмотрим трансляционно инвариантное эволюционное уравнение вида
\[
\dot{u}=K[u],\left(u^{\prime}=\frac{\partial u}{\partial x}, \dot{u}=\frac{\partial u}{\partial t}\right),
\]

где $u$-вектор-функция непрерывного переменного $x$ или дискретного переменного $n$; уравнение (10.1) инвариантно относительно трансляций по $x$ (или по $n$ ).

Определение 10.1. Мы скажем, что (10.1) допускает представление Лакса, если существуют два оператора $L$ и $A$, действующие на функции $f(x)$ (или $f(n)$ ), коэффициенты которых выражаются через $u$, такие, что (10.1) эквивалентно уравнению $\dot{L}=[L, A]$.

Вообще говоря, операторы $L$ и $A$ задаются матрицами в некотором базисе $\left\{f_{j}(x)\right\}$ или $\left\{f_{j}(n)\right\}$ в пространстве функций. В дальнейшем мы будем предполагать, что эволюционное уравнение (10.1) и ассоциированный с ним оператор $L$ локальны. В непрерывном случае это означает, что правая часть $K[u]$ зависит только от конечного числа производных $u(x), \ldots, u^{(q)}(x)$ в данной точке $x$, а ассоциированный оператор $L$ является дифференциальным оператором с коэффициентами, зависящими только от конечного числа производных $u(x), \ldots, u^{(q)}(x)$ в этой точке. В дискретном случае локальность означает, что $K[u]$ и коэффициенты $L$ для любого $n$ являются функциями от значений $u$ на интервале определенной длины $[n-\Delta, n+\Delta]$. Длина этого интервала называется порядком оператора $L$. Это требование имеет смысл, только если переиенная $n$ может принимать бесконечное число значений.

Обзор уравнений, допускающих представление Лакса, можно найти в [10.1]. Из всех этих систем нелокальными являются лишь системы Мозера [10.2] и Калоджеро частиц на прямой с парным взаимодействием специального вида, где у ассоциированного линейного оператора $L$ все матричные элементы ненулевые. В локальном случае (для матриц Якоби) ненулевые элементы сосредоточены около главной диагонали в полосе конечной ширины.

Из требований локальности и трансляционной инвариантности следует, что (10.1) определяет поток (или динамическую систему) на любом трансляционно инвариантном классе функций (быстро убывающих, пернодических с любым периодом, почти периодических с любой группой периодов и др.). Оператор $L$ действует на всех этих классах функций; его собственные значения могут давать в принципе интегралы уравнений (10.1). Наша цель – изложить некоторые основные методы изучения периодического и квазипериодического случаев, развитые автором, Дубровиным, Матвеевым ұ. Итсом (см., например, [10.3]), а также Лаксом, Маккином и Ван Мёрбеке (см. [10.1]); более детально эти методы изложены в обзоре [10.1].

Во всех случаях, когда может быть применен наш метод, имеется бесконечное число локальных трансляционно инвариантных эволюционных систем вида (10.1), скажем
\[
\dot{u}=K_{m}[u], \quad m=1,2, \ldots,
\]

причем соответствующие потоки коммутируют друг с другом; исходное уравнение (10.1) получается при $m=1$. Все системы (10.2) имеют представление Лакса $\dot{L}=\left[L, A_{m}\right]$ с одним и тем же $L$. Самым известным примером является уравнение КдФ, где
\[
L=\frac{d^{2}}{d x^{2}}+u(x), \quad A=-4 \frac{d^{3}}{d x^{3}}+3\left(u \frac{d}{d x}+\frac{d}{d x} u\right)+\lambda \frac{d}{d x} .
\]

Уравнение КдФ имеет «высшие аналоги», где оператор $A_{m}$ имеет порядок $2 m+1$. Из дискретных систем локального типа наиболее известной является цепочка Тода и дискретное уравнение КдФ. Эти системы, а также хорошо известное уравнение «sine-Gordon», нелинейное уравнение Шрёдингера и другие имеют «высшие аналоги» (10.2), допускающие представление Лакса с тем же ассоциированным оператором $L$.

Хотя, как правило, только исходное эволюционное уравнение (10.1) представляет физический интерес, существование высших аналогов оказывается весьма важным для построения решений. Будем рассуждать следующим образом: мы хотим отыскать решения исходного уравнения (10.1). Для этого мы рассмотрим стационарные решения любого из его высших аналогов
\[
\dot{u}=\sum_{q=1}^{m} c_{q} K_{q}[u]=0 .
\]

Поскольку все системы (10.2) коммутируют, множество стационарных решений (10.4) инвариантно относительно потока (10.1) на любом трансляционнс инвариантном классе функций. Если мы явно решим стационарное уравнение (10.4) для некоторого аналога (10.1) и найдеи на этом множестве функций
динамику исходной системы (10.1), то мы получим класс точных решений исходной системы.
При $m \rightarrow \infty$ класс решений уравнений (10.4) увеличивается.
Определение 10.2. Мы скажем, что семейство эволюционных систем (10.2) полно для периодической задачи, если множество периодических решений уравнений (10.4) при всевозможных константах $\left\{c_{q}\right\}$ плотно в пространстве всех непрерывных периодических функций от $x$.

Аналогичное понятие полноты может быть введено для других трансляционно инвариантных классов функций. Совершенно ясно (хотя это и не было строго доказано в упоминавшихся выше работах), что для уравнения $К д \Phi$ семейство его высших аналогов полно для периодической задачи. Однако оно не является полным для класса быстро убывающих функций, для которого и был открыт Гарднером и др. [10.4] метод обратной задачи рассеяния.

Оказывается, что существование полных семейств эволюционных систем, ассоциированных с некоторым оператором $L$, позволяет не только находить решения системы (10.1), но и эффективно решать обратную задачу для $L$.

Наша идея изучения уравнения (10.1) и оператора $L$ требует решения следующих задач:
1) Как решать стационарнэе уравнения (10.4)? Будут ли эти конечномерные динамические системы вполне интегрируемыми?
2) Қаковы спектральные свойства оператора $L$, коэффициенты которого удовлетворяют стационарным уравнениям $(10.4)$ ?