Опишем теперь метод построения решений уравнений, опнсаныых в разд. 7.9, а также иетод доопределения уравнений, где это необходимо. Қак и в разд. 7.2 , для построения уравнений (и их решений) нам потрєбуются «затравочные» коммутирующие операторы с постоянными коэффициентами. Для этого рассмотрим две коммутирующие рациональные функции $\lambda: P_{0}(\lambda)$ и $R_{0}(\lambda)$, причем $\left[P_{0}, R_{0}\right]=0$. Предполагается, что $P_{0}$ и $R_{0}-$ квадратные матрицы порядка $N$.

Рассмотрим произвольный контур $G$ в комплексной плоскости $\lambda$ и припишем ему матричную функцию $S(\lambda)$. Построим сингулярное интегральное уравнение для матричной функции $\tilde{\psi}(\lambda)$ :
\[
\tilde{\psi}(\lambda)=S(\lambda)+\int_{a} \frac{\tilde{\psi}\left(\lambda^{\prime}\right)}{\lambda-\lambda^{\prime}+i 0} d \lambda^{\prime} S(\lambda) .
\]

Наложим на контур $G$ и функцию $S(\lambda)$ единственное требование — чтобы (7.168) было однозначно определено. (Этого всегда можно добиться, например, выбирая функцию $S(\lambda)$ достаточно малой.)

Кроме того, пусть теперь $S(\lambda)$ зависит от двух параметров $x$ и $t$ :
\[
S(\lambda, x, t)=\exp \left[P_{0}(\lambda) x+R_{0}(\lambda) t\right] S(\lambda) \exp \left[-P_{0}(\lambda) x-R_{0}(\lambda) t\right] .
\]

Следовательно, это приведет к
\[
\begin{array}{l}
S_{x}=\left[P_{0}(\lambda, S],\right. \\
S_{t}=\left[R_{0}(\lambda), S\right] .
\end{array}
\]

Покажем теперь, что функция $\tilde{\psi}$ удовлетворяет двум уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\psi}_{x}=P(\lambda, x, t) \tilde{\psi}-\tilde{\psi} P_{0}(\lambda), \\
\tilde{\psi}_{t}=R(\lambda, x, t) \tilde{\psi}-\tilde{\psi} R_{0}(\lambda),
\end{array}
\]

где $P$ и $R$ — некоторые матрицы, явно выражаемые через $\tilde{\psi}, P_{0}$, $R_{0}$. Обозначим
\[
\chi=\tilde{\psi}_{x}-P \tilde{\psi}+\tilde{\psi} P_{0} .
\]

Продифференцируем (7.168) по $x$ и $t$ и выразим $\tilde{\psi}_{x}$ через $\chi$. После простых операций с использованием (7.168), (7.170) получим
\[
\chi(\lambda)=g S(\lambda)+\int \frac{\chi\left(\lambda^{\prime}\right)}{\lambda-\lambda^{\prime}+i 0} d \lambda^{\prime} S(\lambda)
\]

где
\[
\begin{aligned}
g(\lambda, x, t)=\left[P_{0}(\lambda)-\right. & P(\lambda, x, t)]+\int \frac{P\left(\lambda^{\prime}\right)-P(\lambda)}{\lambda-\lambda^{\prime}+i 0} \tilde{\psi}\left(\lambda^{\prime}\right) d \lambda^{\prime}+ \\
& +\int \frac{\tilde{\Psi}\left(\lambda^{\prime}\right)}{\lambda-\lambda^{\prime}+i 0}\left[P_{0}(\lambda)-P_{0}\left(\lambda^{\prime}\right)\right] d \lambda^{\prime}
\end{aligned}
\]

Выберем матрицу $P$ так, чтобы $g \equiv 0$. Из того, что (7.168) имеет единственное решение, следует, что $\chi \equiv 0$, т. е. выполняется (7.172). Аналогично матрица $R(\lambda)$ может быть подобрана так, чтобы выполнялось (7.173).
Представив
\[
\tilde{\psi}=\psi e^{-P_{0}(\lambda) x-R_{0}(\lambda) t},
\]

убеждаемся, что $\psi$ удовлетворяет (7.142), (7.143) и, следовательно, матрицы $P$ и $R$ удовлетворяют (7.145).
Исследуем подробнее условие $g \equiv 0$, т. е.
\[
\begin{aligned}
P(\lambda, x, t)-P_{0}(\lambda) & =\int \psi\left(\lambda^{\prime}\right) \frac{P_{0}(\lambda)-P_{0}\left(\lambda^{\prime}\right)}{i-\lambda^{\prime}} d \lambda^{\prime}- \\
& -\int \frac{P(\lambda, x, t)-P\left(\lambda^{\prime}, x, t\right)}{\lambda-\lambda^{\prime}} \psi\left(\lambda^{\prime}\right) d \lambda^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Пусть $P_{0}(\lambda)$ разложено на элементарные дроби. Будем искать $P(\lambda, x, t)$ в виде рациональной функции от тех же самых элементарных дробей, что и $P_{0}(\lambda)$. Равенство (7.178) выполняется в каждом полюсе $P_{0}(\lambda)$ (включая и случай $\lambda=\infty$ ), поэтому можно считать, что
\[
\begin{aligned}
P_{0}(\lambda) & =\frac{p_{01}}{\lambda-\lambda_{0}}+\ldots+\frac{p_{0 k}}{\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{k}}, \\
P(\lambda) & =\frac{p_{1}}{\lambda-\lambda_{0}}+\ldots+\frac{p_{k}}{\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{k}} .
\end{aligned}
\]

Подставляя (7.179) в (7.178), получим систему уравнений для $p_{k}$ :
\[
\begin{array}{l}
p_{k}-p_{0 k}=p_{k} I_{1}-I_{1} p_{0 k}, \\
p_{k-1}-p_{0, k-1}=p_{k-1} I_{1}-I_{1} p_{0, k-1}+p_{k} I_{2}-I_{2} p_{0 k}, \\
\quad . \quad .
\end{array}
\]

Здесь
\[
I_{k}(x, t)=\int \frac{\phi\left(\lambda^{\prime}, x, t\right)}{\left(\lambda^{\prime}-\lambda_{0}\right)^{k}} d \lambda^{\prime} .
\]

Система уравнений (7.180) может быть разрешена рекуррентно:
\[
\begin{array}{l}
p_{k}=\left(1-I_{1}\right) p_{0 k}\left(1-I_{1}\right)^{-1}, \\
p_{k-1}=\left(1-I_{1}\right) p_{0, k-1}\left(1-I_{1}\right)^{-1}+\left(p_{k} I_{2}-I_{2} p_{0 k}\right)\left(1-I_{1}\right)^{-1} \\
,, .
\end{array}
\]

Аналогично могут быть найдены коэффициенты полиномиальной части $P$. Полагая
\[
\begin{aligned}
P_{0}(\lambda) & =l_{0} \lambda^{n}+l_{1} \lambda^{n-1}+\ldots \\
P(\lambda) & =l_{0} \lambda^{n}+u_{1} \lambda^{n-1}+\ldots
\end{aligned}
\]

и подставляя (7.183) в (7.178), получим рекуррентные соотношения
\[
\begin{array}{l}
u_{1}=l_{1}+\left[J_{0}, i_{0}\right], \\
u_{2}=l_{2}+J_{0} l_{1}-u_{1} J_{0}+\left[J_{1}, l_{0}\right], \\
. . .
\end{array}
\]

Здесь
\[
J_{i}=\int \lambda^{i} \psi(\lambda, x, t) d \lambda
\]

Подобным образом коэффициенты матрицы $R(\lambda, x, t)$ могут быть выражены через $R_{0}(\lambda), I_{i}$ и $J_{i}$. Этот процесс построения переменных матриц $P$ и $R$ из постоянных матриц $P_{0}$ и $R_{0}$ может быть назван процессом «одевания» «затравочных» или «голых» матриц. Процесс одевания устраняет неоднозначность в построении интегрируемых уравнений, когда $P$ и $R$ имеют совпадающие полюса. Все их коэффициенты при полюсе $n$-го порядка выражаются через $n$ величин $I_{k}$ и через коммутирующие величины $p_{0 k}, R_{0 k}$. В частности, если $P$ и $R$ имеют простой полюс, то при этом полюсе
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\left(1-I_{1}\right) p_{01}\left(1-I_{1}\right)^{-1} \\
R_{1}=\left(1-I_{1}\right) R_{01}\left(1-I_{1}\right)^{-1},
\end{array}
\]
т. е. коммутирующие матрицы $p_{1}, R_{1}$ подобны постоянным матрицам $p_{01}$ и $R_{01}$ относительно одинакового преобразования (это следует из (7.145)!). Сходныи образом устраняются неоднозначности полиномиальных частей $P$ и $R$. Из (7.184) следует, что там, где $p_{1}=0, P$ и $R$ являются каноническими.

Метод одевания позволяет нам по следующей схеме найти решение задачи Коши по $t$ для уравнений, описанных в разд. 7.9:
\[
\begin{aligned}
\left.\left.\left.P\right|_{t=0} \rightarrow \psi(\lambda, x)\right|_{t=0} \rightarrow S(\lambda, x)\right|_{t=0} \rightarrow S(\lambda, x, t) & \rightarrow \psi(\lambda, x, t) \rightarrow \\
& \rightarrow P(\lambda, x, t) .
\end{aligned}
\]

Аналогично может Быть решена задача Коши по $x$. Более того, произвольно выбирая $G$ и $S(\lambda)$, можно построить различные точные решения рассматриваемых уравнений. В частности, контур можно выбрать в виде набора дискретных точек $\mu_{i}$ (не совпадающих с полюсами $P$ и $R !$ ), и заменить интеграл (7.168). на сумму
\[
\tilde{\psi}_{n}=S_{n}+\sum_{m
gtr n} \frac{\tilde{\psi}_{n}}{\mu_{n}-\mu_{m}} S_{n} .
\]

Это — линейная алгебраическая система уравнений. Ее решение может быть найдено в явном виде. Теперь очевидно, что
\[
\begin{array}{r}
S_{n}(x, t)=\exp \left[P_{0}\left(\mu_{n}\right) x+R_{0}\left(\mu_{n}\right) t\right] S_{n} \times \exp \left[-P_{0}\left(\mu_{n}\right) x-R_{0}\left(\mu_{n}\right) t\right] ; \\
I_{k}=\sum_{n} \frac{\tilde{\psi}_{n}(x, t)}{\left(\mu_{n}-\lambda_{0}\right)^{k}} ; \quad J_{k}=\sum_{n} \mu_{n}^{k} \tilde{\psi}_{n} .
\end{array}
\]

В простейшем случае, в котором существует всего только две точки $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{1}-\mu_{2}=\mu$, решение системы (7.189) принимает внд
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}=\mu\left(\mu S_{1}+S_{2}^{2}\right)\left(\mu^{2}+S_{1} S_{2}\right)^{-1}, \\
\psi_{2}=\mu\left(\mu S_{2}-S_{1}^{2}\right)\left(\mu^{2}+S_{2} S_{1}\right)^{-1} .
\end{array}
\]

Формула (7.192) содержит большой класс физически важных решений уравнений разд. 7.9, аналогичных односолитонным решениям.

Пусть контуром $G$ является действительная ось $-\infty<\lambda<$ $<\infty$. Далее, пусть $\tilde{\boldsymbol{\psi}}(\lambda)$ и $S(\lambda)$ имеют абсолютно интегрируемые фурье-преобразования. Тогда (7.168) равносильно уравнению
\[
K\left(z-z^{\prime}\right)+F\left(z-z^{\prime}\right)+\int_{z}^{\infty} K\left(z-z^{\prime \prime}\right) F\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right) d z^{\prime \prime}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
K(\zeta)=-i \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\psi}(\lambda) e^{i \lambda \zeta} d \lambda, \\
F(\xi)=i \int_{-\infty}^{\infty} S(\lambda) e^{i \lambda \xi} d \lambda .
\end{array}
\]

Пусть $F$ и $K$ будут ядрами некоторых интегральных операторов, а $R$-оператор Вольтерра справа. Очевидно, что уравнение (7.193) связано с проблемой факторизации оператора $P$ с ядром, зависящим только от разности аргументов, если он задан в виде произведения вольтерровских операторов. С другой точки зрения (7.168) решает задачу Римана о связи матричных функций, аналитических на противоположных сторонах контура G. Введем
\[
\varphi^{ \pm}(\lambda)=\frac{1}{2 \pi i} \int \frac{\tilde{\Psi}\left(\lambda^{\prime}\right)}{\lambda-\lambda^{\prime} \pm i 0} d \lambda^{\prime} .
\]

Как известно,
\[
\tilde{\psi}(\lambda)=\varphi^{-}(\lambda)-\varphi^{+}(\lambda),
\]

и теперь из (7.168) следует, что
\[
\varphi^{-}=S+\varphi^{+}(1+2 \pi i S)
\]

является линейным соотношением, связывающим аналитические матрицы $\varphi^{ \pm}(\lambda)$ на контуре $G$. Теория матричной функции Римана в связи с уравнениями из разд. 7.5 была детально разработана в [7.31], где показано, что имеются определенные ограничения на вид $P_{0}(\lambda)$ и $R_{0}(\lambda)$. Уравнение (7.168) можно рассматривать как уравнение Гельфанда — Левитана, которое решает обратную задачу рассєяния для операторов (7.172), (7.173). Ясно, что для уравнений, допускающих введение $\hat{L}-\hat{A}$ пары или $\hat{L}-\widehat{A}-\widehat{B}$ триады, метод одевания, изложенный выше, является вариантом метода, описанного в разд. 7.4.