Наиболее простой способ осуществить многомерные обобщения рассмотренной выше процедуры — это рассмотреть при одномерном операторе $\mathcal{L}$ многомерный оператор $\hat{A}$ вида
$$\hat{A}=\sum _{i=1}^N{f}_i(\hat{L})\frac{\partial }{\partial x_i}+{\hat{A}}_1,$$

где $f_i(\hat{L})$ — некоторые фиксированные полиномы от оператора $\hat{L}$. Поскольку $[\hat{L},f_i(\hat{L})]=0$, основное уравнение Лакса примет теперь вид
$$\frac{\partial L}{\partial t}+[\hat{L},\widehat{A_1}]+\sum _{i=1}^N{f}_i(\hat{L})\frac{\partial \hat{L}}{\partial x_i}=0.$$

Уравнение (7.28) отличается от (7.12) только присутствием свободного члена $f_i(\hat{L})\partial \hat{L}/\partial x_i$ и очевидно в силу теоремы 1 однозначно определяет $\hat{L}$ и $\hat{A}$ по предельным значениям ${\hat{L}}_0$ и ${\hat{A}}_0$. В качестве примера рассмотрим
$$\begin{array}{l}\hat{L}=i\left(\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial z}+\left(\begin{array}{rr}0& u\\ -u^{\ast }& 0\end{array}\right);\\ \hat{A}=\frac{\partial }{\partial x}\hat{L}+\hat{L}\frac{\partial }{\partial x}+{\hat{A}}_1;\\ \widehat{A_1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}\omega & 0\\ 0& -w\end{array}\right).\end{array}$$

Условие (7.28) приводит к уравнению
$$\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=i\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial z}+iwu;\\ \frac{\partial w}{\partial z}=-2\frac{\partial }{\partial x}|u{|}^2.\end{array}$$

К сожалению, уравнение (7.29) и другие уравнения типа (7.28) не имеют пока физических применений (кроме [7.14]).

Более содержательные многомерные системы возникают, если оператор $\mathcal{L}$ сам становится многомерным. Пусть, например, оба оператора $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ содержат производные по переменым $x$ и $z$. Выписывая уравнения (7.13), мы уже на простейших примерах убеждаемся, что за счет появления смешанных производных по $z$ число условий на коэффициенты операторов $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ превышает число этих коэффициентов, что делает невозможным буквальное повторение вышеизложенной процедуры. Единственным исключением является случай, когда оператор $L$ содержит только первую производную по переменной $x$ (включение первой производной по $x$ в оператор $\hat{A}$ эквивалентно переопределению переменной $t$ ). При этом оператор $\hat{L}$ заменяется на $\hat{M}$,
$$\hat{M}=\alpha \frac{\partial }{\partial x}+\hat{L},$$

а уравнение (7.12) заменяется на уравнение
$$\frac{\partial L}{\partial t}—\alpha \frac{\partial A}{\partial x}=[\hat{L},\hat{A}].$$

Расписанное по производным уравнение (7.31) отличается от системы (7.13) только добавлением производных $v_{ix}$ в соответствующие строчки. Поэтому только несколько первых коэффициентов $v_i$ может быть определено из алгебраических уравнений — для остальных возникают уравнения в частных производных. Теорема 1 может быть теперь переформулирована следующим образом: задание операторов ${\hat{A}}_0$ и ${\hat{M}}_0=\alpha (\partial /\partial x)+{\hat{L}}_0$ однозначно определяет систему уравнений для коэффициентов операторов $\hat{L}$ и $\hat{A}$. Приведем теперь примеры, обобщающие на двумерный случай примеры из разд. 7.1.
1) $\widehat{L_0}=J\frac{\partial }{\partial z};{\hat{A}}_0=I\frac{\partial }{\partial z};$
$$\frac{\partial }{\partial t}[J,Q]-\frac{\partial }{\partial x}[I,Q]=I{Q}_{z}J-J{Q}_{z}I+[[J,Q],[I,Q]].$$
2) Операторы $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ из примера (7.22) дают при помощи формулы (7.31) систему
$$\begin{array}{c}{u}_t=2\beta w_z,\\ w_t=\frac{2}{3}\beta (-\frac{1}{4}{u}_{zzz}-s^2{u}_z+\frac{3}{4}u{u}_z+\frac{3}{4}{u}_{z}u)+\alpha u_x.\end{array}$$

Система (7.33) является одновременно двумерным обобщением уравнений (7.22) и (7.23).
$$\begin{array}{l}\text{ 3) }{\hat{L}}_0=\left(\begin{array}{rr}l& +1\\ 0& l\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial z};\hat{L}={\hat{L}}_0+\left(\begin{array}{cc}0& r\\ q& 0\end{array}\right)\text{; }\\ {\hat{A}}_0=\frac{1}{\beta }\left(\begin{array}{cc}a+1& 0\\ 0& a\end{array}\right)\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\left(\begin{array}{c}r\text{ и }\\ \text{ q предполагаются скалярными }\end{array}\right);\\ \hat{A}=\widehat{A_0}+\frac{1}{2\beta }[\left(\begin{array}{cc}0& r\\ q& 0\end{array}\right)\frac{\partial }{\partial z}+\frac{\partial }{\partial z}\left(\begin{array}{cc}0& r\\ q& 0\end{array}\right)]+\frac{1}{\beta }\left(\begin{array}{cc}{r}_1& {\phi }_1\\ {\phi }_2& r_2\end{array}\right);\\ \beta r_t={\hat{D}}_{1}r+(r_1-r_2)r\\ -\beta q_t={\hat{D}}_{1}r+(r_1-r_2)q\text{; }\\ {\hat{D}}_2(r_1-r_2)+2{\hat{D}}_{1}rq=0\text{; }\\ {\hat{D}}_1={\alpha }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+2(l-a)\alpha \frac{{\partial }^2}{\partial x\partial z}+(l^2-2la-a)\frac{{\partial }^2}{\partial z^2};\\ {\hat{D}}_2={\alpha }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\alpha (2l+1)\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial z}+l(l+1)\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.\end{array}$$

Очевидно, мы получили двумерное обобщение уравнений (7.24).
Рассмотрим спектральную задачу
$$\hat{M}\psi =\alpha \frac{\partial \psi }{\partial x}+\hat{L}\psi =\lambda \psi \text{. }$$

Легко видеть, однако, что эта задача обладает вырождением по $\lambda$. Действительно, преобразование $\psi =\exp (\lambda x/\alpha )\chi$ приводит уравнение (7.35) к уравнению
$$\alpha \frac{\partial \chi }{\partial x}+\hat{L}\chi =0.$$

Рассмотрим уравнение (7.36) при $z\to \pm \mathrm{\infty }$. Оно имеет решение вида
$${\chi }_i(\lambda ,z,x)={\chi }_i\exp ({\xi }_{i}z-\lambda x/\alpha )$$

где $(\xi ,\lambda$ ) расположены на римановой поверхности (7.5). При $z\to \pm \mathrm{\infty }$ полное решение разлагается теперь в интеграл
$${\chi }^{\pm }(z,x)=\int \sum _{i=1}^{nN}{X}_i^{\pm }(\lambda ){\chi }_i\exp ({\zeta }_{i}z-\lambda x/\alpha )d\lambda .$$

Величины $X_i^{\pm }(\lambda )$ связаны линейным операторным соотношением
$$X_i^{+}(\lambda )=\int \sum _{j=1}^{nN}{S}_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime })X_j^{-}\left({\lambda }^{\prime }\right)d{\lambda }^{\prime }.$$

Операторная матрица $S_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$ представляет теперь полную матрицу рассеяния, и обратная задача состоит в восстановлении коэффициентов оператора $L$ по матрице $S_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$. Возможность этого восстановления в ряде случаев строго доказана [7.15]. Зависимость оператора $S_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime })$ от времени $t$ восстанавливается из уравнения
$$S_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime },t)=\exp \left[{\int }_0^{t}A\left({\zeta }_j\right)dt\right]S_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime },0)\exp [-{\int }_0^{t}A\left({\zeta }_j^{\prime }\right)dt].$$

Если коэффициенты операторов $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ не зависят от $x$, то
$$S_{ij}(\lambda ,{\lambda }^{\prime },t)=S_{ij}(\lambda )\delta (\lambda -{\lambda }^{\prime }),$$

и мы приходим к формуле (7.18).
Заметим еще, что уравнение (7.31) можно рассматривать как условие совместности уравнения (7.11) и уравнения
$$\hat{M}\psi =\alpha \frac{\partial \psi }{\partial x}+\hat{L}\psi =0.$$