Наиболее простой способ осуществить многомерные обобщения рассмотренной выше процедуры — это рассмотреть при одномерном операторе $\mathcal{L}$ многомерный оператор $\hat{A}$ вида
\[
\hat{A}=\sum_{i=1}^{N} f_{i}(\hat{L}) \frac{\partial}{\partial x_{i}}+\hat{A}_{1},
\]

где $f_{i}(\hat{L})$ — некоторые фиксированные полиномы от оператора $\hat{L}$. Поскольку $\left[\hat{L}, f_{i}(\hat{L})\right]=0$, основное уравнение Лакса примет теперь вид
\[
\frac{\partial L}{\partial t}+\left[\hat{L}, \hat{A_{1}}\right]+\sum_{i=1}^{N} f_{i}(\widehat{L}) \frac{\partial \hat{L}}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Уравнение (7.28) отличается от (7.12) только присутствием свободного члена $f_{i}(\hat{L}) \partial \hat{L} / \partial x_{i}$ и очевидно в силу теоремы 1 однозначно определяет $\hat{L}$ и $\hat{A}$ по предельным значениям $\hat{L}_{0}$ и $\hat{A}_{0}$. В качестве примера рассмотрим
\[
\begin{array}{l}
\hat{L}=i\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z}+\left(\begin{array}{rr}
0 & u \\
-u^{*} & 0
\end{array}\right) ; \\
\hat{A}=\frac{\partial}{\partial x} \hat{L}+\hat{L} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{A}_{1} ; \\
\hat{A_{1}}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}
\omega & 0 \\
0 & -w
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Условие (7.28) приводит к уравнению
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}=i \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial z}+i w u ; \\
\frac{\partial w}{\partial z}=-2 \frac{\partial}{\partial x}|u|^{2} .
\end{array}
\]

К сожалению, уравнение (7.29) и другие уравнения типа (7.28) не имеют пока физических применений (кроме [7.14]).

Более содержательные многомерные системы возникают, если оператор $\mathcal{L}$ сам становится многомерным. Пусть, например, оба оператора $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ содержат производные по переменым $x$ и $z$. Выписывая уравнения (7.13), мы уже на простейших примерах убеждаемся, что за счет появления смешанных производных по $z$ число условий на коэффициенты операторов $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ превышает число этих коэффициентов, что делает невозможным буквальное повторение вышеизложенной процедуры. Единственным исключением является случай, когда оператор $L$ содержит только первую производную по переменной $x$ (включение первой производной по $x$ в оператор $\hat{A}$ эквивалентно переопределению переменной $t$ ). При этом оператор $\hat{L}$ заменяется на $\hat{M}$,
\[
\hat{M}=\alpha \frac{\partial}{\partial x}+\hat{L},
\]

а уравнение (7.12) заменяется на уравнение
\[
\frac{\partial L}{\partial t}—\alpha \frac{\partial A}{\partial x}=[\widehat{L}, \hat{A}] .
\]

Расписанное по производным уравнение (7.31) отличается от системы (7.13) только добавлением производных $v_{i x}$ в соответствующие строчки. Поэтому только несколько первых коэффициентов $v_{i}$ может быть определено из алгебраических уравнений — для остальных возникают уравнения в частных производных. Теорема 1 может быть теперь переформулирована следующим образом: задание операторов $\hat{A}_{0}$ и $\hat{M}_{0}=\alpha(\partial / \partial x)+\hat{L}_{0}$ однозначно определяет систему уравнений для коэффициентов операторов $\hat{L}$ и $\hat{A}$. Приведем теперь примеры, обобщающие на двумерный случай примеры из разд. 7.1.
1) $\hat{L_{0}}=J \frac{\partial}{\partial z} ; \quad \hat{A}_{0}=I \frac{\partial}{\partial z} ;$
\[
\frac{\partial}{\partial t}[J, Q]-\frac{\partial}{\partial x}[I, Q]=I Q_{z} J-J Q_{z} I+[[J, Q],[I, Q]] .
\]
2) Операторы $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ из примера (7.22) дают при помощи формулы (7.31) систему
\[
\begin{array}{c}
u_{t}=2 \beta w_{z}, \\
w_{t}=\frac{2}{3} \beta\left(-\frac{1}{4} u_{z z z}-s^{2} u_{z}+\frac{3}{4} u u_{z}+\frac{3}{4} u_{z} u\right)+\alpha u_{x} .
\end{array}
\]

Система (7.33) является одновременно двумерным обобщением уравнений (7.22) и (7.23).
\[
\begin{array}{l}
\text { 3) } \hat{L}_{0}=\left(\begin{array}{rr}
l & +1 \\
0 & l
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z} ; \quad \hat{L}=\hat{L}_{0}+\left(\begin{array}{cc}
0 & r \\
q & 0
\end{array}\right) \text {; } \\
\hat{A}_{0}=\frac{1}{\beta}\left(\begin{array}{cc}
a+1 & 0 \\
0 & a
\end{array}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\left(\begin{array}{l}
r \text { и } \\
\text { q предполагаются скалярными }
\end{array}\right) ; \\
\hat{A}=\hat{A_{0}}+\frac{1}{2 \beta}\left[\left(\begin{array}{cc}
0 & r \\
q & 0
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\begin{array}{cc}
0 & r \\
q & 0
\end{array}\right)\right]+\frac{1}{\beta}\left(\begin{array}{cc}
r_{1} & \varphi_{1} \\
\varphi_{2} & r_{2}
\end{array}\right) ; \\
\beta r_{t}=\hat{D}_{1} r+\left(r_{1}-r_{2}\right) r \\
-\beta q_{t}=\hat{D}_{1} r+\left(r_{1}-r_{2}\right) q \text {; } \\
\hat{D}_{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)+2 \hat{D}_{1} r q=0 \text {; } \\
\widehat{D}_{1}=\alpha^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+2(l-a) \alpha \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial z}+\left(l^{2}-2 l a-a\right) \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} ; \\
\hat{D}_{2}=\alpha^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\alpha(2 l+1) \frac{\partial^{2}}{\partial x \partial z}+l(l+1) \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} . \\
\end{array}
\]

Очевидно, мы получили двумерное обобщение уравнений (7.24).
Рассмотрим спектральную задачу
\[
\hat{M} \psi=\alpha \frac{\partial \psi}{\partial x}+\hat{L} \psi=\lambda \psi \text {. }
\]

Легко видеть, однако, что эта задача обладает вырождением по $\lambda$. Действительно, преобразование $\psi=\exp (\lambda x / \alpha) \chi$ приводит уравнение (7.35) к уравнению
\[
\alpha \frac{\partial \chi}{\partial x}+\hat{L} \chi=0 .
\]

Рассмотрим уравнение (7.36) при $z \rightarrow \pm \infty$. Оно имеет решение вида
\[
\chi_{i}(\lambda, z, x)=\chi_{i} \exp \left(\xi_{i} z-\lambda x / \alpha\right)
\]

где $(\xi, \lambda$ ) расположены на римановой поверхности (7.5). При $z \rightarrow \pm \infty$ полное решение разлагается теперь в интеграл
\[
\chi^{ \pm}(z, x)=\int \sum_{i=1}^{n N} X_{i}^{ \pm}(\lambda) \chi_{i} \exp \left(\zeta_{i} z-\lambda x / \alpha\right) d \lambda .
\]

Величины $X_{i}^{ \pm}(\lambda)$ связаны линейным операторным соотношением
\[
X_{i}^{+}(\lambda)=\int \sum_{j=1}^{n N} S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right) X_{j}^{-}\left(\lambda^{\prime}\right) d \lambda^{\prime} .
\]

Операторная матрица $S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)$ представляет теперь полную матрицу рассеяния, и обратная задача состоит в восстановлении коэффициентов оператора $L$ по матрице $S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)$. Возможность этого восстановления в ряде случаев строго доказана [7.15]. Зависимость оператора $S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}\right)$ от времени $t$ восстанавливается из уравнения
\[
S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}, t\right)=\exp \left[\int_{0}^{t} A\left(\zeta_{j}\right) d t\right] S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}, 0\right) \exp \left[-\int_{0}^{t} A\left(\zeta_{j}^{\prime}\right) d t\right] .
\]

Если коэффициенты операторов $\mathcal{L}$ и $\hat{A}$ не зависят от $x$, то
\[
S_{i j}\left(\lambda, \lambda^{\prime}, t\right)=S_{i j}(\lambda) \delta\left(\lambda-\lambda^{\prime}\right),
\]

и мы приходим к формуле (7.18).
Заметим еще, что уравнение (7.31) можно рассматривать как условие совместности уравнения (7.11) и уравнения
\[
\hat{M} \psi=\alpha \frac{\partial \psi}{\partial x}+\hat{L} \psi=0 .
\]