Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Напомним основные элементы гамильтонова формализма, которые необходимы для того, чтобы прояснить сделанные выше утверждения. Подробности могут быть найдены, например, в $[11.5,11.6]$. где матрица $\Omega_{\alpha \beta}$ антисимметрична, невырожденна, $\operatorname{det}\left\|\Omega_{\alpha \beta}\right\| Уравнения движения имеют вид где $H$ гамильтониан и матрица $\Omega^{\alpha \beta}$ обратна к $\Omega_{\alpha \beta}$. Тензорное поле $\Omega^{\alpha \beta}$ часто рассматривается как более фундаментальная величина, чем $\Omega_{\alpha \beta}$, поскольку оно определяет скобку Пуассона для функций на $\Gamma_{2 n}$ : Уравнения движения при этом могут быть записаны в форме Говорят, что система допускает переменные типа действие угол, если существует преобразование $(p, q) \rightarrow \xi$, переводящее форму $\Omega$ и гамильтониан $H$ к виду Гамильтоновы уравнения в новых координатах тривиально интегрируемы: Если существуют глобальные переменные типа действие — угол, то говорят, что система является вполне интегрируемой. Полная интегрируемость весьма редкое явление в механике. Уравнения, интегрируемые обратным преобразованием рассеяния, увеличивают число примеров вполне интегрируемых систем, прибавляя к ним физически важные бесконечномерные системы. Мы говорим о бесконечной размерности, поскольку в дальнейшем роль $\xi$ будут играть функции переменной $x \in R^{1}$, а $x$ будет играть роль индекса $\alpha$. соответственно. Здесь $m$-масса, а $\gamma$-константа взаимодействия. Уравнения движения эквивалентны уравнению второго порядка которое называется уравнением «sine-Gordon». Константа $\gamma$, которая исключилась из уравнения, входит в скобку Пуассона и играет при квантовании роль константы Планка $\hbar$, и форма приводят к уравнению движения Это уравнение называется нелинейным уравнением Шрёдингера. Здесь $m$ и $\gamma$ суть масса и константа взаимодействия. Знаки перед $\gamma$ различают случаи отталкивающего (+) и притягивающего (-) взаимодействия. Представляет физический интерес и случай $|\psi| \rightarrow \rho$ при $|x| \rightarrow \infty$. Соответствующая этому случаю форма $\Omega$ нуждается в более подробном определении, которое здесь обсуждаться не будет. Симплектические формы типа (11.2), (11.4) характерны для теории поля, хотя ими не исчерпываются все интересные примеры. Убедимся в этом. так что уравнение движения в этом случае есть уравнение Кортевега де Фриза Эта форма уравнения КдФ была предложена Гарднером, который использовал ее для прояснения гамильтоновости этого уравнения [11.7]. уравнение (11.3) превращается в и его решения могут быть параметризованы начальными данными $u(\eta)=\left.u(\xi, \eta)\right|_{\xi}$, т. е. единственной функцией. Уравнение (11.6) является гамильтоновым и порождается гамильтонианом $P_{+}$и формой $\Omega$ : Несложно убедиться в том, что ограничение $\Omega$ на решения уравнений движения эквивалентно форме (11.2) и что $P_{+}$есть оператор сдвига вдоль $\xi, P_{+}=H+P$, где так что Гамильтониан приводит к хорошо известному уравнению трех волн 6. Цепочка Tоды. Вместо пространств функций, с которыми мы имели дело в предшествующих примерах, рассмотрим бесконечные последовательности переменных $p_{n}, q_{n}, n=\ldots,-1,0$, $1, \ldots$, , Форма $\Omega$ имеет обычный вид Если в качестве гамильтониана взять то уравнениями движения будут Эти уравнения были предложены Тодой [11.8] как модель цепочки взаимодействующих осцилляторов. На этом мы закончим перечисление примеров гамильтоновых систем, к которым применим метод обратной задачи рассеяния. Соответствующие переменные действие — угол будут определены позже. Идея о том, что уравнение КдФ вполне интегрируемо, появилась на основе следующего наблюдения: формула [11.9] для зависимости от времени коэффициента отражения для уравнения Шрёдингера с потенциалом, удовлетворяющим уравнению КдФ, может быть переписана в форме Отсюда ясно, что от времени зависит ровно половина данных рассеяния. Сравнение с (11.1) делает идею полной интегрируемости уравнения КдФ абсолютно прозрачной. Ее детальная реализация содержится в [11.1]. После [11.1] полная интегрируемость была установлена для всех приведенных выше примеров: нелинейное уравнение Шрёдингера изучалось в [11.10], уравнение sine-Gordon в [11.11], уравнение трех волн и цепочки Тоды в [11.12] (см. также [11.13]).
|
1 |
Оглавление
|