Напомним основные элементы гамильтонова формализма, которые необходимы для того, чтобы прояснить сделанные выше утверждения. Подробности могут быть найдены, например, в $[11.5,11.6]$.
В основе гамильтонова формализма лежат:
I. Фазовое пространство, которое является $2 n$-мерным многообразием $\Gamma_{2 n}$.
II. Замкнутая, невырожденная 2 -форма $\Omega$ на $\Gamma_{2 n}$ (симплектическая форма).
В локальных координатах $\xi$ на $\Gamma_{2 n}$ форма $\Omega$ имеет вид
\[
\Omega=\sum_{\alpha, \beta=1}^{2 n} \Omega_{\alpha \beta} d \xi^{\alpha} \wedge d \xi^{\beta},
\]

где матрица $\Omega_{\alpha \beta}$ антисимметрична, невырожденна, $\operatorname{det}\left\|\Omega_{\alpha \beta}\right\|
eq 0$, и удовлетворяет условию
\[
\partial_{\mu} \Omega_{\alpha \beta}+\text { цикл. перестановка }=0 .
\]

Уравнения движения имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \xi^{\alpha}=\dot{\xi}^{\alpha}=\sum_{\beta} \Omega^{\alpha \beta} \frac{\partial H}{\partial \xi^{\beta}},
\]

где $H$ гамильтониан и матрица $\Omega^{\alpha \beta}$ обратна к $\Omega_{\alpha \beta}$. Тензорное поле $\Omega^{\alpha \beta}$ часто рассматривается как более фундаментальная величина, чем $\Omega_{\alpha \beta}$, поскольку оно определяет скобку Пуассона для функций на $\Gamma_{2 n}$ :
\[
\{f(\xi), g(\xi)\}=\sum_{\alpha \beta} \Omega^{\alpha \beta} \frac{\partial f}{\partial \xi^{\alpha}} \frac{\partial g}{\partial \xi^{\beta}} .
\]

Уравнения движения при этом могут быть записаны в форме
\[
\dot{\xi}^{\alpha}=\left\{\xi^{a}, H\right\} .
\]

Говорят, что система допускает переменные типа действие угол, если существует преобразование $(p, q) \rightarrow \xi$, переводящее форму $\Omega$ и гамильтониан $H$ к виду
\[
\Omega=\sum_{i=1}^{n} d p_{i} \wedge d q_{i}, \quad H=H(p) .
\]

Гамильтоновы уравнения в новых координатах
\[
\dot{p}=0 ; \quad \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}
\]

тривиально интегрируемы:
\[
p(t)=p(0), \quad q(i)=q(0)+\frac{\partial H}{\partial p} t .
\]

Если существуют глобальные переменные типа действие – угол, то говорят, что система является вполне интегрируемой.

Полная интегрируемость весьма редкое явление в механике. Уравнения, интегрируемые обратным преобразованием рассеяния, увеличивают число примеров вполне интегрируемых систем, прибавляя к ним физически важные бесконечномерные системы. Мы говорим о бесконечной размерности, поскольку в дальнейшем роль $\xi$ будут играть функции переменной $x \in R^{1}$, а $x$ будет играть роль индекса $\alpha$.
Изложим гамильтонову формулировку для ряда систем.
1. Уравнение sine-Gordon. Фазовым пространством является пространство пар функций $u(x), \pi(x)$, убывающих на бесконечности, $|x| \rightarrow \infty$. Гамильтониан $H$ и форма $\Omega$ суть
\[
\begin{array}{c}
H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\gamma}{2} \pi^{2}+\frac{1}{2 \gamma}\left[u_{x}^{2}+2 m^{2}(1-\cos u)\right]\right) d x, \\
\Omega=\int_{-\infty}^{\infty} \delta \pi(x) \wedge \delta u(x) d x
\end{array}
\]

соответственно. Здесь $m$-масса, а $\gamma$-константа взаимодействия. Уравнения движения
\[
\dot{u}=\gamma \pi ; \quad \dot{\pi}=\frac{1}{\gamma}\left(u_{x x}-m^{2} \sin u\right)
\]

эквивалентны уравнению второго порядка
\[
u_{t t}-u_{x x}+m^{2} \sin u=0,
\]

которое называется уравнением «sine-Gordon». Константа $\gamma$, которая исключилась из уравнения, входит в скобку Пуассона и играет при квантовании роль константы Планка $\hbar$,
\[
\left\{u_{t}(x), u(y)\right\}=\gamma \delta(x-y) .
\]
2. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Пусть теперь фазовым пространством является пространство комплекснозначных функций $\psi(x)$, убывающих при $|x| \rightarrow \infty$. Гамильтониан
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2 m} \bar{\psi}_{x} \psi_{x} \pm \gamma|\psi|^{4}\right) d x
\]

и форма
\[
\Omega=\operatorname{Im} \int_{-\infty}^{\infty} \delta \bar{\psi}(x) \wedge \delta \psi(x) d x ; \quad\{\bar{\psi}(x), \psi(y)\}=i \delta(x-y)
\]

приводят к уравнению движения
\[
i \psi_{t}=-\frac{1}{2 m} \psi_{x x} \pm 2 \gamma|\psi|^{2} \psi .
\]

Это уравнение называется нелинейным уравнением Шрёдингера. Здесь $m$ и $\gamma$ суть масса и константа взаимодействия. Знаки перед $\gamma$ различают случаи отталкивающего (+) и притягивающего (-) взаимодействия. Представляет физический интерес и случай $|\psi| \rightarrow \rho$ при $|x| \rightarrow \infty$. Соответствующая этому случаю форма $\Omega$ нуждается в более подробном определении, которое здесь обсуждаться не будет.

Симплектические формы типа (11.2), (11.4) характерны для теории поля, хотя ими не исчерпываются все интересные примеры. Убедимся в этом.
3. Уравнение Кортевега – де Фриза. Фазовое пространство состоит из вещественных функций $v(x)$, убывающих при $|x| \rightarrow \infty$. Пусть
\[
H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2} v_{x}^{2}+v^{3}\right) d x ; \quad \Omega=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta v(x) \wedge \delta v^{\prime}(y) d x d y,
\]

так что
\[
\{v(x), v(y)\}=\delta^{\prime}(x-y)
\]

уравнение движения в этом случае есть уравнение Кортевега де Фриза
\[
v_{t}=\{v, H\}=\frac{d}{d x} \frac{\delta H}{\delta v}=6 v v_{x}-v_{x x x} .
\]

Эта форма уравнения КдФ была предложена Гарднером, который использовал ее для прояснения гамильтоновости этого уравнения [11.7].
4. Уравнение sine-Gordon в конусных переменных. В конусных переменных
\[
\xi=x+t, \quad \eta=x-t
\]

уравнение (11.3) превращается в
\[
u_{\xi \eta}=m^{2} \sin u
\]

и его решения могут быть параметризованы начальными данными $u(\eta)=\left.u(\xi, \eta)\right|_{\xi}$, т. е. единственной функцией. Уравнение (11.6) является гамильтоновым и порождается гамильтонианом $P_{+}$и формой $\Omega$ :
\[
\begin{aligned}
P_{+} & =\frac{m^{2}}{\gamma} \int_{-\infty}^{\infty}(1-\cos u(\eta)) d \eta, \\
\Omega & =\frac{1}{\gamma} \int_{-\infty}^{\infty} \delta u_{\ddagger}(\eta) \wedge \delta u(\eta) d \eta .
\end{aligned}
\]

Несложно убедиться в том, что ограничение $\Omega$ на решения уравнений движения эквивалентно форме (11.2) и что $P_{+}$есть оператор сдвига вдоль $\xi, P_{+}=H+P$, где
\[
P=-\int_{-\infty}^{\infty} \pi u_{x} d x
\]
5. Три волны. Фазовым пространством являются тройки комплексных функций $\psi_{\alpha}(x), \alpha=1,2,3$, с обычной симплектической формой
\[
\Omega=\operatorname{Im} \sum_{\alpha} \delta \bar{\psi}_{\alpha} \wedge \delta \psi_{\alpha},
\]

так что
\[
\left\{\bar{\psi}_{\alpha}(x), \quad \Psi_{\beta}(y)\right\}=i \delta_{\alpha \beta} \delta(x-y) .
\]

Гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{\infty}\left[\sum_{a} v_{\alpha}\left(\bar{\psi}_{a x} \psi_{\alpha}-\bar{\psi}_{\alpha} \psi_{a x}\right)\right] d x+\int_{-\infty}^{\infty}\left(\bar{\psi}_{1} \psi_{2} \psi_{3}+\psi_{1} \bar{\psi}_{2} \bar{\psi}_{3}\right) d x
\]

приводит к хорошо известному уравнению трех волн
$\psi_{1 t}+v_{1} \psi_{1 x}=i \psi_{2} \psi_{3} ; \quad \psi_{2 t}+v_{2} \psi_{2 x}=i \psi_{1} \bar{\psi}_{3} ; \quad \psi_{3 t}+v_{3} \psi_{3 x}=i \psi_{1} \bar{\psi}_{2}$.

6. Цепочка Tоды. Вместо пространств функций, с которыми мы имели дело в предшествующих примерах, рассмотрим бесконечные последовательности переменных $p_{n}, q_{n}, n=\ldots,-1,0$, $1, \ldots$, , Форма $\Omega$ имеет обычный вид
\[
\Omega=\sum_{n} d p_{n} \wedge d q_{n}
\]

Если в качестве гамильтониана взять
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{n} p_{n}^{2}+\sum_{n}\left[\exp \left(q_{n}-q_{n-1}\right)-1-q_{n}+q_{n-1}\right],
\]

то уравнениями движения будут
\[
\dot{q}_{n}=p_{n}, \quad \dot{p}_{n}=\exp \left(q_{n}-q_{n-1}\right)-\exp \left(q_{n+1}-q_{n}\right) .
\]

Эти уравнения были предложены Тодой [11.8] как модель цепочки взаимодействующих осцилляторов. На этом мы закончим перечисление примеров гамильтоновых систем, к которым применим метод обратной задачи рассеяния. Соответствующие переменные действие – угол будут определены позже.

Идея о том, что уравнение КдФ вполне интегрируемо, появилась на основе следующего наблюдения: формула [11.9]
\[
r(k, t)=\exp \left(8 i k^{3} t\right) r(k, 0)
\]

для зависимости от времени коэффициента отражения для уравнения Шрёдингера с потенциалом, удовлетворяющим уравнению КдФ, может быть переписана в форме
\[
|r(k, t)|=|r(k, 0)| ; \quad \arg r(k, t)=\arg r(k, 0)+8 k^{3} t .
\]

Отсюда ясно, что от времени зависит ровно половина данных рассеяния. Сравнение с (11.1) делает идею полной интегрируемости уравнения КдФ абсолютно прозрачной. Ее детальная реализация содержится в [11.1].

После [11.1] полная интегрируемость была установлена для всех приведенных выше примеров: нелинейное уравнение Шрёдингера изучалось в [11.10], уравнение sine-Gordon в [11.11], уравнение трех волн и цепочки Тоды в [11.12] (см. также [11.13]).