Напомним основные элементы гамильтонова формализма, которые необходимы для того, чтобы прояснить сделанные выше утверждения. Подробности могут быть найдены, например, в $[11.5,11.6]$.
В основе гамильтонова формализма лежат:
I. Фазовое пространство, которое является $2n$-мерным многообразием ${\mathrm{\Gamma }}_{2n}$.
II. Замкнутая, невырожденная 2 -форма $\mathrm{\Omega }$ на ${\mathrm{\Gamma }}_{2n}$ (симплектическая форма).
В локальных координатах $\xi$ на ${\mathrm{\Gamma }}_{2n}$ форма $\mathrm{\Omega }$ имеет вид
$$\mathrm{\Omega }=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{2n}{\mathrm{\Omega }}_{\alpha \beta }d{\xi }^{\alpha }\wedge d{\xi }^{\beta },$$

где матрица ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha \beta }$ антисимметрична, невырожденна, $\det \Vert {\mathrm{\Omega }}_{\alpha \beta }\Vert eq0$, и удовлетворяет условию
$${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Omega }}_{\alpha \beta }+\text{ цикл. перестановка }=0.$$

Уравнения движения имеют вид
$$\frac{d}{dt}{\xi }^{\alpha }={\dot{\xi }}^{\alpha }=\sum _{\beta }{\mathrm{\Omega }}^{\alpha \beta }\frac{\partial H}{\partial {\xi }^{\beta }},$$

где $H$ гамильтониан и матрица ${\mathrm{\Omega }}^{\alpha \beta }$ обратна к ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha \beta }$. Тензорное поле ${\mathrm{\Omega }}^{\alpha \beta }$ часто рассматривается как более фундаментальная величина, чем ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha \beta }$, поскольку оно определяет скобку Пуассона для функций на ${\mathrm{\Gamma }}_{2n}$ :
$$\{f(\xi ),g(\xi )\}=\sum _{\alpha \beta }{\mathrm{\Omega }}^{\alpha \beta }\frac{\partial f}{\partial {\xi }^{\alpha }}\frac{\partial g}{\partial {\xi }^{\beta }}.$$

Уравнения движения при этом могут быть записаны в форме
$${\dot{\xi }}^{\alpha }=\{{\xi }^a,H\}.$$

Говорят, что система допускает переменные типа действие угол, если существует преобразование $(p,q)\to \xi$, переводящее форму $\mathrm{\Omega }$ и гамильтониан $H$ к виду
$$\mathrm{\Omega }=\sum _{i=1}^{n}d{p}_i\wedge d{q}_i,H=H(p).$$

Гамильтоновы уравнения в новых координатах
$$\dot{p}=0;\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}$$

тривиально интегрируемы:
$$p(t)=p(0),q(i)=q(0)+\frac{\partial H}{\partial p}t.$$

Если существуют глобальные переменные типа действие — угол, то говорят, что система является вполне интегрируемой.

Полная интегрируемость весьма редкое явление в механике. Уравнения, интегрируемые обратным преобразованием рассеяния, увеличивают число примеров вполне интегрируемых систем, прибавляя к ним физически важные бесконечномерные системы. Мы говорим о бесконечной размерности, поскольку в дальнейшем роль $\xi$ будут играть функции переменной $x\in R^1$, а $x$ будет играть роль индекса $\alpha$.
Изложим гамильтонову формулировку для ряда систем.
1. Уравнение sine-Gordon. Фазовым пространством является пространство пар функций $u(x),\pi (x)$, убывающих на бесконечности, $|x|\to \mathrm{\infty }$. Гамильтониан $H$ и форма $\mathrm{\Omega }$ суть
$$\begin{array}{c}H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\gamma }{2}{\pi }^2+\frac{1}{2\gamma }[u_x^2+2m^2(1-\cos u)])dx,\\ \mathrm{\Omega }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta \pi (x)\wedge \delta u(x)dx\end{array}$$

соответственно. Здесь $m$-масса, а $\gamma$-константа взаимодействия. Уравнения движения
$$\dot{u}=\gamma \pi ;\dot{\pi }=\frac{1}{\gamma }(u_{xx}-m^2\sin u)$$

эквивалентны уравнению второго порядка
$$u_{tt}-u_{xx}+m^2\sin u=0,$$

которое называется уравнением «sine-Gordon». Константа $\gamma$, которая исключилась из уравнения, входит в скобку Пуассона и играет при квантовании роль константы Планка $\hslash$,
$$\{u_t(x),u(y)\}=\gamma \delta (x-y).$$
2. Нелинейное уравнение Шрёдингера. Пусть теперь фазовым пространством является пространство комплекснозначных функций $\psi (x)$, убывающих при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Гамильтониан
$$H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2m}{\overline{\psi }}_x{\psi }_x\pm \gamma |\psi {|}^4)dx$$

и форма
$$\mathrm{\Omega }=\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta \overline{\psi }(x)\wedge \delta \psi (x)dx;\{\overline{\psi }(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y)$$

приводят к уравнению движения
$$i{\psi }_t=-\frac{1}{2m}{\psi }_{xx}\pm 2\gamma |\psi {|}^2\psi .$$

Это уравнение называется нелинейным уравнением Шрёдингера. Здесь $m$ и $\gamma$ суть масса и константа взаимодействия. Знаки перед $\gamma$ различают случаи отталкивающего (+) и притягивающего (-) взаимодействия. Представляет физический интерес и случай $|\psi |\to \rho$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Соответствующая этому случаю форма $\mathrm{\Omega }$ нуждается в более подробном определении, которое здесь обсуждаться не будет.

Симплектические формы типа (11.2), (11.4) характерны для теории поля, хотя ими не исчерпываются все интересные примеры. Убедимся в этом.
3. Уравнение Кортевега — де Фриза. Фазовое пространство состоит из вещественных функций $v(x)$, убывающих при $|x|\to \mathrm{\infty }$. Пусть
$$H={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{v}_x^2+v^3)dx;\mathrm{\Omega }={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta v(x)\wedge \delta v^{\prime }(y)dxdy,$$

так что
$$\{v(x),v(y)\}={\delta }^{\prime }(x-y)$$

уравнение движения в этом случае есть уравнение Кортевега де Фриза
$$v_t=\{v,H\}=\frac{d}{dx}\frac{\delta H}{\delta v}=6v{v}_x-v_{xxx}.$$

Эта форма уравнения КдФ была предложена Гарднером, который использовал ее для прояснения гамильтоновости этого уравнения [11.7].
4. Уравнение sine-Gordon в конусных переменных. В конусных переменных
$$\xi =x+t,\eta =x-t$$

уравнение (11.3) превращается в
$$u_{\xi \eta }=m^2\sin u$$

и его решения могут быть параметризованы начальными данными $u(\eta )={u(\xi ,\eta )|}_{\xi }$, т. е. единственной функцией. Уравнение (11.6) является гамильтоновым и порождается гамильтонианом $P_{+}$и формой $\mathrm{\Omega }$ :
$$\begin{array}{rl}{P}_{+}& =\frac{m^2}{\gamma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(1-\cos u(\eta ))d\eta ,\\ \mathrm{\Omega }& =\frac{1}{\gamma }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta u_{‡}(\eta )\wedge \delta u(\eta )d\eta .\end{array}$$

Несложно убедиться в том, что ограничение $\mathrm{\Omega }$ на решения уравнений движения эквивалентно форме (11.2) и что $P_{+}$есть оператор сдвига вдоль $\xi ,P_{+}=H+P$, где
$$P=-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\pi u_{x}dx$$
5. Три волны. Фазовым пространством являются тройки комплексных функций ${\psi }_{\alpha }(x),\alpha =1,2,3$, с обычной симплектической формой
$$\mathrm{\Omega }=\mathrm{Im}\sum _{\alpha }\delta {\overline{\psi }}_{\alpha }\wedge \delta {\psi }_{\alpha },$$

так что
$$\{{\overline{\psi }}_{\alpha }(x),{\mathrm{\Psi }}_{\beta }(y)\}=i{\delta }_{\alpha \beta }\delta (x-y).$$

Гамильтониан
$$H=\frac{1}{2i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[\sum _a{v}_{\alpha }({\overline{\psi }}_{ax}{\psi }_{\alpha }-{\overline{\psi }}_{\alpha }{\psi }_{ax})\right]dx+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}({\overline{\psi }}_1{\psi }_2{\psi }_3+{\psi }_1{\overline{\psi }}_2{\overline{\psi }}_3)dx$$

приводит к хорошо известному уравнению трех волн
${\psi }_{1t}+v_1{\psi }_{1x}=i{\psi }_2{\psi }_3;{\psi }_{2t}+v_2{\psi }_{2x}=i{\psi }_1{\overline{\psi }}_3;{\psi }_{3t}+v_3{\psi }_{3x}=i{\psi }_1{\overline{\psi }}_2$.

6. Цепочка Tоды. Вместо пространств функций, с которыми мы имели дело в предшествующих примерах, рассмотрим бесконечные последовательности переменных $p_n,q_n,n=\dots ,-1,0$, $1,\dots$, , Форма $\mathrm{\Omega }$ имеет обычный вид
$$\mathrm{\Omega }=\sum _{n}d{p}_n\wedge d{q}_n$$

Если в качестве гамильтониана взять
$$H=\frac{1}{2}\sum _n{p}_n^2+\sum _n[\exp (q_n-q_{n-1})-1-q_n+q_{n-1}],$$

то уравнениями движения будут
$${\dot{q}}_n=p_n,{\dot{p}}_n=\exp (q_n-q_{n-1})-\exp (q_{n+1}-q_n).$$

Эти уравнения были предложены Тодой [11.8] как модель цепочки взаимодействующих осцилляторов. На этом мы закончим перечисление примеров гамильтоновых систем, к которым применим метод обратной задачи рассеяния. Соответствующие переменные действие — угол будут определены позже.

Идея о том, что уравнение КдФ вполне интегрируемо, появилась на основе следующего наблюдения: формула [11.9]
$$r(k,t)=\exp \left(8i{k}^{3}t\right)r(k,0)$$

для зависимости от времени коэффициента отражения для уравнения Шрёдингера с потенциалом, удовлетворяющим уравнению КдФ, может быть переписана в форме
$$|r(k,t)|=|r(k,0)|;\arg r(k,t)=\arg r(k,0)+8k^{3}t.$$

Отсюда ясно, что от времени зависит ровно половина данных рассеяния. Сравнение с (11.1) делает идею полной интегрируемости уравнения КдФ абсолютно прозрачной. Ее детальная реализация содержится в [11.1].

После [11.1] полная интегрируемость была установлена для всех приведенных выше примеров: нелинейное уравнение Шрёдингера изучалось в [11.10], уравнение sine-Gordon в [11.11], уравнение трех волн и цепочки Тоды в [11.12] (см. также [11.13]).