Эволюционные уравнения, ксторые ассоциированы с уравнением Шрёдингера, могут быть найдены методом, полностью аналогичным изложенному выше. Рассмотрим разложение уравнения
\[
v_{2 x x}+\left[\zeta^{2}+q(x, t)\right] v_{2}=0, \quad \int_{-\infty}^{+\infty}\left(1+|x|+\left|x^{2}\right|\right)|q(x, t)| d x<\infty,
\]

в систему
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta v_{1}=q(x, t) v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta v_{2}=-v_{1} .
\end{array}
\]

Определим решения $\varphi(x, t, \zeta), \bar{\varphi}(x, t, \zeta), \psi(x, t, \zeta), \bar{\psi}(x, t, \zeta)$ следующими асимптотиками:

Коэффициенты рассеяния $a(\zeta, t), \bar{a}(\zeta, t), b(\zeta, t), \bar{b}(\zeta, t)$ определяются соотношениями между парами решений
\[
\begin{array}{l}
\varphi=a \bar{\psi}+b \psi, \quad \psi=a \overline{\bar{q}}-\bar{b} \varphi, \\
\bar{\varphi}=\bar{a} \psi+\bar{b} \bar{\psi}, \quad \bar{\psi}=\bar{a} \varphi-b \bar{\varphi} .
\end{array}
\]

При этом $a \bar{a}-b \bar{b}=1$. Можно показать, что $a, \varphi, \Psi$ аналитичны в верхней полуплоскости переменной $\zeta$, а $\bar{a}, \bar{\varphi}, \bar{\psi}-$ в нижней. Нули $a(\zeta, t)$ и $\bar{a}(\zeta, t)$ являются дискретными собственными значениями (6.155) в верхней и соответственно нижней полуплоскостях $\zeta$. Если $\varphi_{2}(\zeta)$ есть решение (6.155), то этому же уравнению удовлетворяет и $\varphi_{2}(-\zeta)$. Следовательно, имеет место $\bar{\varphi}_{2}(\zeta)=\varphi_{2}(-\zeta)$. Из этого можно вывести $\bar{a}(\zeta)=a(-\zeta), \bar{b}(\zeta)=$ $=b(-\zeta), \bar{\zeta}_{k}=-\zeta_{k}, k=1, \ldots, N$. Если $q(x, t)$ вещественная, то $a^{*}\left(\zeta^{*}\right)=a(-\zeta), b^{*}\left(\zeta^{*}\right)=b(-\zeta)$ и все $\zeta_{k}=i \eta_{k}, \eta_{k}$ – вещественные. Будем предполагать, что нули $a(\xi, t)$ простые и не лежат на вещественной оси.

Линейные интегральные уравнения, позволяющие восстановить потенциал по данным рассеяния, содержат следующие комбинации этих данных:
$S_{+} ; \quad \frac{b}{a}(\zeta, t), \zeta$ вещественное; $\left(\zeta_{k}, \gamma_{k}\right), \quad k=1, \ldots, N$,
$S_{-} ; \quad \frac{\bar{b}}{a}(\zeta, t), \zeta$ вещественное; $\left(\zeta_{k}, \beta_{k}\right), \quad k=1, \ldots, N$.

Здесь $\gamma_{k}=b_{k} / a_{k}^{\prime}, \beta_{k}=\bar{b}_{k} / a_{k}^{\prime}=-1 / b_{k} a_{k}^{\prime}$, а $b_{k}$ определено равенством $\varphi\left(\zeta_{k}, t\right)=b_{k} \psi\left(\zeta_{k}, t\right)$ и совпадает с аналитическим продолжением $b(\zeta, t)$ до $\zeta_{k}$, если такое существует. Вычисления вариаций данных рассеяния приводят к следующим формулам:
\[
\begin{array}{l}
\delta S_{+}: \delta\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{1}{2 i \zeta a^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty}-\delta q \varphi_{2}^{2} d x \\
\gamma_{k} \delta \zeta_{k}=\frac{1}{2 i \zeta_{k} a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty}-\delta q \varphi_{2 k}^{2} d x \\
\delta \gamma_{k}=-\frac{1}{2 i \zeta_{k} a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta q\left[\left(\frac{\partial \varphi_{2}^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k}-\left(\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}}+\frac{1}{\zeta_{k}}\right) \varphi_{2 k}^{2}\right] d x \\
\delta S_{-}: \delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)=\frac{1}{2 i \zeta a^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta q \Psi_{2}^{2} d x \\
\beta_{k} \delta \zeta_{k}=\frac{1}{2 i \zeta_{k} a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta q \psi_{2 k}^{2} d x \\
\delta \beta_{k}=\frac{1}{2 i \zeta_{k} a_{k}^{\prime 2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta q\left[\left(\frac{\partial \psi_{2}^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k}-\left(\frac{a_{k}^{\prime \prime}}{a_{k}^{\prime}}+\frac{1}{\zeta_{k}}\right) \psi_{2 k}^{2}\right] d x
\end{array}
\]

Удобно ввести следующие двойственные множества ${ }^{1}$ ) функций:
\[
\begin{array}{c}
\Phi(x, t, \zeta)=\varphi_{2}^{2}, \quad \zeta \text { вещественное; } \\
\Phi_{k}(x, t)=\varphi_{2}^{2}\left(\zeta_{k}\right), \quad \chi_{k}(x, t)=\left(\frac{\partial \varphi_{2}^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k}, \quad k=1, \ldots, N
\end{array}
\]

и
\[
\Psi(x, t, \zeta)=\psi_{2}^{2}, \zeta \text { вещественное; }
\]
\[
\Psi_{k}(x, t)=\psi_{2}^{2}\left(\zeta_{k}\right), \quad \tau_{k}(x, t)=\left(\frac{\partial \psi_{2}^{2}}{\partial \zeta}\right)_{k}, \quad k=1, \ldots, N .
\]

Функции (6.161) удовлетворяют уравнению
\[
L_{S} \Phi=\zeta^{2} \Phi, \quad L_{S}=-\frac{1}{4} \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-q+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} d y q_{y} .
\]

Сопряженным множеством к (6.161) является
\[
\Phi^{A}(x, t, \zeta)=\frac{\partial \psi_{2}^{2}}{\partial x}, \quad \Phi_{k}^{A}(x, t)=\left(\frac{\partial \psi_{2}^{2}}{\partial x}\right)_{k}, \quad \chi_{k}^{A}(x, t)=\left(\frac{\partial^{2} \psi_{2}^{2}}{\partial \zeta \partial x}\right)_{k} .
\]

Эти функции удовлетворяют уравнению
\[
L_{S}^{A} \Phi^{A}=\zeta^{2} \Phi^{A}+\frac{1}{2} q_{x} \psi_{2}^{2}(R), \quad L_{S}^{A}=-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-q+\frac{1}{2} q_{x} \int_{x}^{R} d y ;
\]

применяя (6.156), мы рассматриваем предел $R \rightarrow+\infty$.
Множество функций (6.162) удовлетворяет уравнению
\[
M_{S} \Psi=\zeta^{2} \Psi, \quad M_{S}=-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-q-\frac{1}{2} \int_{x}^{\infty} d y q_{y} .
\]

Сопряженным к (6.162) является множество
\[
\Psi^{A}(x, t, \zeta)=\frac{\partial \varphi_{2}^{2}}{\partial x}, \quad \Psi_{k}^{A}(x, t)=\left(\frac{\partial \varphi_{2}^{2}}{\partial x}\right)_{k}, \quad \tau_{k}^{A}(x, t)=\left(\frac{\partial^{2} \varphi_{2}^{2}}{\partial x \partial \zeta}\right)_{k} .
\]

Его элементы удовлетворяют уравнениям
\[
M_{S}^{A} \Psi^{A}=\zeta^{2} \Psi^{A}+\frac{1}{2} q_{x} \varphi_{2}^{2}(-R), \quad M_{S}^{A}=-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-q-\frac{1}{2} q_{x} \int_{-R}^{x} d y,
\]

где мы вновь рассматриваем предел $R \rightarrow+\infty$.
1) Так как $\left.\left(\partial \varphi_{2}^{2} / \partial \zeta\right)\right|_{\zeta_{k}}$ не стремится к нулю при $x \rightarrow+\infty$, то это множество не может быть базисом для разложения произвольной функцин $f(x)$.

В отличие от разд. 6.4 сопряженное и двойственное множества в этом случае различны. Более того, интеграл в сопряженном операторе не может использоваться свободно, так как подынтегральное выражение не содержит $r(x, t)$ или $q(x, t)$, что гарантировало бы интегрируемость. Тем не менее эти определения оказываются работоспособными, и читатель может найти много интересных деталей в доказательстве соотношений ортогональности, которые приводятся в приложении С.

Используя соотношения ортогональности, можно выписать разложения $q(x, t)$ и $\delta q(x, t)$ через эти базисы $\left.{ }^{1}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
q(x, t)=-\frac{2}{i \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \zeta \frac{\bar{b}}{a} \Phi d \zeta+4 \sum_{k=1}^{N} \beta_{k} \zeta_{k} \Phi_{k}, \\
q(x, t)=\frac{2}{i \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \zeta \frac{b}{a} \Psi d \zeta-4 \sum_{k=1}^{N} \gamma_{k} \zeta_{k} \Psi_{k}, \\
\delta q(x, t)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(\frac{b}{a}\right) \Phi^{A} d \zeta+2 i \sum_{k=1}^{N}\left(\delta \gamma_{k} \Phi_{k}^{A}+\gamma_{k} \delta \zeta_{k} \chi_{k}^{A}\right), \\
\delta q(x, t)=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(\frac{\vec{b}}{a}\right) \Psi^{A} d \zeta+2 i \sum_{k=1}^{N}\left(\delta \beta_{k} \Psi_{k}^{A}+\beta_{k} \delta \zeta_{k} \tau_{k}^{A}\right) .
\end{array}
\]

Симплектическая форма также находится из соотношений ортогональности.
Рассмотрим
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2} \delta q \wedge \int_{-\infty}^{x} d y \delta q\right) d x
\]

Применяя (6.171) для первого члена и интеграл по $x$ от (6.172) для второго члена, получим (для простоты считая $q$ вещественным)
\[
\begin{array}{r}
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{2} \delta q \wedge \int_{-\infty}^{x} d y \delta q\right) d x=\int_{0}^{\infty}-\frac{2 \xi}{\pi} \delta \ln \left(1-|R|^{2}\right) \wedge \delta \operatorname{Arg} b(\xi)+ \\
+\sum_{k=1}^{N} \delta\left(-2 \eta_{k}^{2}\right) \wedge \delta \ln b_{k^{*}}
\end{array}
\]
1) Отметим, что выражение для $q(x, t)$ не содержит членов с $\chi_{k}$ в (6.169) или $\tau_{k}$ в $(6.170)$. Множества (6.161) ₹ (6.162) можно использовать в качестве базисов для функций $f(x)$, для которых $\int_{-\infty}^{+\infty} f \varphi_{k x}^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} f \psi_{k x}^{2}=0, k=$ $=1, \ldots, N$. То, что это справедливо для $f(x)=q(x, t)$, следует из (6С.1).

Здесь $R(\xi)=b / a$ есть коэффициент отражения. Следовательно, обратное преобразование рассеяния является каноническим. Оно переводит $q(x, t)$ в переменные действия ( $-2(\xi / \pi) \ln \left(1-|R|^{2}\right)$, $\left.-2 \eta_{k}^{2}\right)$ и угла $\left(\operatorname{Arg} b(\xi), \ln b_{k}\right)$. Отметим простоту предложенного вывода (6.173) в сравнении с выводом Захарова и Фаддеева $[6.66]$.

Из (6.169) – (6.172) легко могут быть найдены уравнения, интегрируемые обратным преобразованием рассеяния. Рассмотрим (6.170). Применяя оператор $P_{0}\left(M_{s}\right)$, где $P_{0}$ целая функция, получим
\[
\frac{\partial}{\partial x} P_{0}\left(M_{S}\right) q=\frac{2}{i \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \zeta P_{0}\left(\zeta^{2}\right) \frac{b}{a} \psi_{2 x}^{2} d \zeta-4 \sum \zeta_{k} P_{0}\left(\zeta_{k}^{2}\right) \gamma_{k} \psi_{2 k x}^{2} .
\]

Из сравнения с (6.171) вытекает, что уравнение
\[
q_{t}+\frac{\partial}{\partial x} P_{0}\left(M_{S}\right)_{q}=0
\]

эквивалентно уравнениям для данных рассеяния
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{b}{a}\right)_{t} & =-2 i \zeta P_{0}\left(\zeta^{2}\right) \frac{b}{a}, \\
\gamma_{k t} & =-2 i \zeta_{k} P_{0}\left(\zeta_{k}^{2}\right) \gamma_{k}, \\
\zeta_{k t} & =0 .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы определить структуру гамильтониана, необходимо найти функцнонал $H$, вариация которого по $q$ есть
\[
\frac{\delta H}{\delta q}=-P_{0}\left(M_{S}\right) q .
\]

Тогда из (6.174) следует
\[
q_{t}=\frac{\partial}{\partial x} \frac{\delta H}{\delta q} .
\]

И вновь центральным звеном оказывается функционал $\ln a(\zeta)$. Из вариаций данных рассеяния следует

Имеем
\[
\frac{\delta \ln a}{\delta q}=\frac{1}{2 i \zeta} \frac{\varphi_{2} \psi_{2}}{a} .
\]
\[
\left(M_{S}-\zeta^{2}\right)\left(\frac{\varphi_{2} \psi_{2}}{a}-1\right)=\frac{q}{2} .
\]

Выпишем разложение для решений (6.179) при больших $\zeta^{2}$, $\operatorname{Im} \xi>0$,
\[
\frac{\varphi_{2} \psi_{2}}{a}=1-\frac{1}{2} \sum_{0}^{\infty} \frac{1}{\left(\zeta^{2}\right)^{m+1}} M_{S}^{m} q .
\]

Сопоставляя разложение
\[
\ln a=-\sum \frac{1}{\zeta^{n}} C_{n}
\]

и формулы (6.178), (6.180), найдем
\[
\frac{\delta C_{2 m+3}}{\delta q}=\frac{1}{4 i} M_{S}^{m} q .
\]

Таким образом, если дисперсионное соотношение имеет вид
\[
\Omega(\zeta)=i \zeta P_{0}\left(\zeta^{2}\right)=i \zeta \sum_{0}^{\infty} a_{2 m+1}\left(\zeta^{2}\right)^{m},
\]

то соответствующий гамильтониан есть
\[
H_{\Omega}=-4 i \sum a_{2 m+1} C_{2 m+3} .
\]

Для данных рассеяния имеет место формула
\[
\ln a=\sum \ln \frac{\zeta-i \eta_{k}}{\zeta+i \eta_{k}}-\frac{\zeta}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\xi^{2}-\zeta^{2}} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi
\]

поэтому потенциальные гамильтонианы $C_{2 m+1}$ даются выражением
\[
C_{2 m+1}=2 \sum \frac{\left(i \eta_{k}\right)^{2 m+1}}{2 m+1}-\frac{1}{\pi i} \int_{0}^{\infty} \xi^{2 m} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi .
\]

Например, если $\Omega(\zeta)=-4 i \zeta^{3}$, то
\[
H=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q_{x}^{2}-2 q^{3}\right) d x=\frac{-32}{5} \sum \eta_{k}^{5}-\frac{16}{\pi} \int_{0}^{\infty} \xi^{4} \ln \left(1-|R|^{2}\right) d \xi,
\]

что соответствует уравнению Кортевега – де Фриза.