Классическое СГ-уравнение, и, кстати говоря, любое уравнение движения может давать на квантовом уровне качественно иное поведение системы. Согласно традиционным методам, классическое уравнение квантуется, исходя из канонических переменных действие – угол и уравнений, которым эти переменные удовлетворяют. Это легко проделать для линейных уравнений, однако процедура существенно усложняется для нелинейных систем и иногда становится восбще неосуществимой. Трудности возникают во многих местах; не последняя среди них – это появление расходимостей.

В другом подходе начинают с определения квантовых переменных. Квантовые переменные определяются на точках решетки. Точки принадлежат решетке, которая покрывает проетранство нужной размерности. Для одномерной системы такой решеткой является цепочка и квантовыми переменными могут
быть любые операторы, удовлетворяющие подходящей алгебре. При таком подходе основная трудность заключается в переходе к непрерывному пределу, когда расстояние между соседними точками решетки устремляется к нулю.

Эта процедура очень общая, очень мощная, но пока что очень неопределенная. Чтобы придать этому описанию большую конкретность, нужно определить операторы на узлах цепочки. Самое простое – взять алгебру $S U(2)$, группу всех унитарных $(2 \times 2)$-матриц с детерминантом, равным единице. Квантовая структура задается утверждением о том, что каждый узел решетки может находиться в однсм из двух квантовых состояний. Есть много способов интерпретировать эти два состояния. Возможно, наиболее физической является интерпретация на языке частиц: одно состояние отвечает присутствию частицы на узле, другое – пустому узлу. С этой точки зрения задача с одним уровнем на узел тривиальна и не будет рассматриваться.

Имея в виду операторы, о которых сказано выше, перейдем к вопросу о гамильтониане или о взаимодействии между операторами на различных узлах рещетки. Исходя из принципа «конструктивной простоты», предположим, что имеется взаимодействие только между ближайшими соседями. Единственный гамильтониан с таким свойством имеет вид
\[
H=-\sum_{j=1}^{N} J_{\alpha} S_{j}^{a} S_{j+1}^{a}
\]

где операторы $S_{l}^{a}$ удовлетворяют коммутационным соотношениям
\[
\left.\left[S_{j}^{\alpha}, S_{j}^{\beta}\right]=i \varepsilon^{\alpha \beta \gamma} \delta_{j J} S\right\} .
\]

Здесь $\alpha, \beta, \gamma$ суть $x, y, z$-компоненты спинового оператора, $j, j^{\prime}$ пробегают $N$ узлов цепочки, $J_{x}$ – взаимодействие между ближайшими соседями для компоненты $\alpha, \varepsilon^{\alpha \beta \gamma}$ – единичный антисимметричный тензор, $\delta_{i j}$, – символ Кронекера. Взаимодействия между различными компонентами спинового оператора, например, $S_{I}^{x} S_{j+1}^{y}$, не включены, так как эти члены или нарушают комбинированную симметрию относительно отражения и обращения времени, или могут быть преобразованы к виду (12.1) с помощью унитарного преобразования. Если ввести еще гейзенберговские уравнения движения $i \dot{S}_{j}^{a}=\left[S_{j}^{a}, H_{s}\right]$, то задача определена.

Интересно отметить, что квантовая механика этой задачи выводится из механики квантового СГ-уравнения в непрерывном пределе, причем она содержит фермионы, бозоны, фермионные основные состояния и простое $S$-матричное описание рассеяния этих частиц. Действительно, связь между операторами спина $1 / 2$ и бозонным полем, входящим в обычное СГ-уравнение, представляет собой пример «операторной демократии», т. е. принципиальной эквивалентности различных операторных формулировок одной и той же физической сущности. Хотя то или иное представление может сделать какой-либо сорт частиц более выделенным и изменить вид нелинейных членов, но вид спектра и $S$-матрицы не зависит от представления и, таким образом, предпочтительного представления не существует. Для построения решения (12.1) важно явно определить фермионную природу спиновых операторов. Это можно сделать с помощью преобразования Иордана – Вигнера. Введем фермионный оператор на узле $j$ с антикоммутатором $\left[a_{j}, a_{j^{\prime}}^{\dagger}\right]_{+}=\delta_{i j^{\prime}}$, тогда спиновая алгебра реализуется с помощью соотношений
\[
\begin{array}{l}
S_{j}^{+}=a_{j}^{+} \exp \left(i \pi \sum_{k=1}^{i-1} n_{k}\right), \\
S_{j}^{-}=\left(S_{j}^{+}\right)^{+}, \\
S_{j}^{z}=a_{j}^{+} a_{j}-\frac{1}{2} .
\end{array}
\]

Операторы рождения и уничтожения определяются следующим образом: $S^{ \pm}=S^{x} \pm i S^{y}, \quad n_{k}=a_{k}^{+} a_{k}$. Подставляя выражения $(12.3 \mathrm{a}-12.3)$ в $(12.1)$, получим гамильтониан ферми-газа на решетке. Он описывает частицы, которые перескакивают с узла на узел, взаимодействуют друг с другом, если находятся на соседних узлах, и вообще их поведение не согласуется с интуитивным представлением о поведении системы, описываемой гамильтонианом со спином $1 / 2$. С помощью фермиевских операторов $a_{j}$ гамильтониан (12.1) может быть записан в нескольких эквивалентных формах, причем оказывается, что представление, получающееся после подстановки (12.3) в (12.1), не удобно. Лучшая форма получается, если вслед за этой подстановкой сделать калибровочное преобразование $a_{j} \rightarrow(i)^{f} a_{j}$, после чего (12.1) записывается в виде
\[
H=\sum_{j=1}^{N} H_{s}(j)-\mu n_{j},
\]

где
\[
\begin{aligned}
H_{s}(j)= & -\frac{i}{2} V\left[a_{j}^{\dagger} a_{j+1}-a_{j+1}^{\dagger} a_{j}\right]+ \\
& +\frac{i}{2} J_{\perp}(-1)^{j}\left[a_{j}^{\dagger} a_{j+1}^{\dagger}+a_{j} a_{j+1}\right]-J_{Z} n_{j} n_{j+1} .
\end{aligned}
\]

Здесь $2 V=J_{x}+J_{y}, 2 J_{\perp}=J_{x}-J_{y}$, а $\mu$ – химический потенциал, равный $J_{z}$. Из представления (12.5) ясно, что химический потенциал связан с внешним полем. Если в основном состоянии намагниченность равна нулю, то из (12.3) следует, что число ферми-частиц в основном состоянии равно $N / 2$. Это случай полузаполненной зоны. Если среднее значение, соответствующее основному состоянию, вычитается из $n_{j}$, то химический потенциал исключается. Ненулевое значение намагниченности, как и внешнее поле, сдвигает число заполнения относительно значения, соответствующего полузаполненной зоне.

Необходимо отделить узлы решетки, имеющие четные номера, от нечетных, так как фермиевские поля имеют две компоненты, представляемые таким образом. Операторы на соседних уз. лах решетки могут сильно отличаться, но внутри четной и нечетной подрешеток они меняются слабо. Это можно показать с помощью уравнений движения для компонент фермиевских полей на подрешетках. Уравнения движения имеют вид $i \dot{a}_{i}=$ $=\left[a_{i}, H\right]$, т. е.
\[
\begin{aligned}
i \dot{a}_{j}= & -\frac{i}{2} V\left(a_{j+1}-a_{j-1}\right)+\frac{i}{2} J_{\perp}(-1)^{I}\left(a_{j+1}^{+}+a_{j-1}^{\dagger}\right)+ \\
& +J_{z} a_{j}\left(n_{j+1}+n_{j-1}\right),
\end{aligned}
\]

причем все операторы зависят от времени. Видно, что уравнения движения для оператора четного узла зацеплены с уравнениями движения для оператора нечетного узла, и поэтому предположение о том, что поля мало меняются на расстояниях порядка постоянной решетки, фактически требуется только для каждой компоненты по отдельности.

Здесь в фермиевской задаче нет длины, только индекс, характеризующий положение вдоль цепи. В непрерывной теории поля длина входит, например, в дельта-функцию, характеризующую антикоммутационные соотношения. Длина конструируется из расстояния между узлами решетки $s$ и связана с длиной одномерной цепи соотношением $L=s N$. Переход к непрерывному пределу состоит в устремлении $s$ к нулю при постоянной длине цепи. Требуется также, чтобы гамильтониан сохранялся при переходе к непрерывному пределу, например, чтобы
\[
\sum_{j=1}^{N} H_{s}(j)=\int_{0}^{L} d x H_{c}(x), \quad \text { или } H_{c}(x) \rightarrow s^{-1} H_{s}(j),
\]

где непрерывная координата определяется с помощью соотношения $x / L=j / N$. Дополнительный множитель $s$ вводит длину в гамильтониан, и теперь необходимо проверить полевые операторы. Если двухкомпонентное спинорное поле определяется выражением
\[
\psi(x)=s^{-1 / 2}\left(\begin{array}{l}
a_{j} \\
a_{j+1}
\end{array}\right) \equiv\left(\begin{array}{l}
\psi_{u}(x) \\
\psi_{l}(x)
\end{array}\right)
\]

для четного $j$, то антикоммутатор полного спинорного поля есть
\[
\left[\psi(x), \psi^{+}\left(x^{\prime}\right)\right]_{+}=s^{-1} \delta_{j j^{\prime}} \rightarrow \delta\left(x-x^{\prime}\right),
\]

что представляет собой рецепт получения дельта-функции непрерывного предела исходя из дискретной задачи.

Переход к непрерывному пределу для операторных уравнений движения можно осуществить, просто рассматривая конечную разность в правой части (I2.6) как производную, что приводит (с использованием обозначения $\partial_{x}$ для $\partial / \partial x$ ) к выражениям
\[
\begin{array}{l}
\dot{\psi}_{u}(x)=-V \partial_{x} \psi_{l}(x)-s^{-1} J_{\perp} \psi_{l}^{\dagger}(x)+4 J_{z} \psi_{u}(x) \rho_{l}(x), \\
\dot{\psi}_{l}(x)=-V \partial_{x} \psi_{u}(x)+s^{-1} J_{\perp} \psi_{u}(x)+4 J_{z} \psi_{l}(x) \rho_{u}(x),
\end{array}
\]

где $\rho_{u}(x)=\psi_{u}^{+}(x) \psi_{u}(x)$ и $\rho_{l}(x)=\psi_{l}^{\dagger}(x) \psi_{l}(x)$ суть плотности фермионов; эти выражения можно упростить, выразив уравнения движения через новые поля, определяемые линейными комбинациями $\sqrt{2} \psi_{1}=\psi_{u}+\psi_{l}$ и $\sqrt{2} \psi_{2}=\psi_{u}-\psi_{l}$. В результате получим
\[
\begin{aligned}
-\dot{\psi}_{1} & =v \partial_{x} \psi_{1}+\boldsymbol{s}^{-1} J_{\perp} \psi_{2}+4 J_{z} \psi_{1} \rho_{2}, \\
\dot{\psi}_{2} & =v \partial_{x} \psi_{2}-\boldsymbol{s}^{-1} J_{\perp} \psi_{1}-4 J_{z} \psi_{2} \rho_{1},
\end{aligned}
\]

где $v$ есть перенормированная скорость, $s^{-1} J_{1}$ оказывается массой, а пространственную зависимость еще предстоит расшифровать.

Именно эти уравнения движения, которые оказались совпадающими с уравнениями непрерывных моделей теории поля, будут рассмотрены в следующем разделе. Необходимо указать на два отличия выражений (12.11) от (12.10). Первое – это калибровочное преобразование $\psi_{2} \rightarrow \psi_{2}^{+}$, которое реализуемо в теории непрерывного поля; оно здесь предполагается. Второе касается перенормированной скорости (даваемой выражением $\left.v=V-J_{z}(2 \pi)^{-1}\right)$. Она не является важным параметром в континуальной теории, так как скорость фиксируется условием перенормировки.

Логика этой процедуры состояла в анализе уравнений движения для решеточной фермионной модели и их связи с гамильтонианом со спином $1 / 2$. Собственные значения решеточной задачи тоже можно вычислить. Посредством перехода к непрерывному пределу в спектре собственных значений тем самым можно вычислить- и интерпретировать – сами уравнения непрерывного предела. После обзора непрерывных моделей, чему посвящен следующий раздел, это решение будет приведено.