Основной целью этого раздела является определение гамильтоновой структуры для (6.65) и доказательство того, что обратное преобразование рассеяния является каноническим преобразованием, сохраняющим уравнения Гамильтона. Сначала будет показано, что второй член в (6.65) может быть записан как градиент по $q$ и $r$ некоторого функционала — гамильтониана системы. Оказывается, что все гамильтонианы порождаются единственной функцией $\ln a(\zeta )$. Так как эта функция выражается через данные рассеяния, то немедленно получим выражения для гамильтонианов в переменных действие — угол. С этими выражениями тесно связаны формулы следов, которые выражают сохраняющиеся величины через переменные действия.
Рассмотрим функцию
$${\mathrm{\Phi }}^A=\frac{1}{a(\zeta )}\left(\begin{array}{r}{\phi }_2{\psi }_2\\ -{\phi }_1{\psi }_1\end{array}\right).$$

Легко показать, что
$$(L^A-\zeta ){\mathrm{\Phi }}^A=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{l}r\\ q\end{array}\right).$$

Решая (6.75) при больших $|\zeta |,\mathrm{Im}\zeta >0$, получим асимптотические разложения
$${\mathrm{\Phi }}^A\sim -\frac{1}{2i}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\zeta }^{m+1}}{\left(L^A\right)}^m\left(\begin{array}{l}r\\ q\end{array}\right).$$

Из (6.32а) при $\delta \zeta =0$ следует
$$\delta \ln a=-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(-\delta q\frac{{\phi }_2{\psi }_2}{a}+\delta r\frac{{\phi }_1{\psi }_1}{a})dx.$$

Таким образом
$${\mathrm{grad}}_{q,r}\ln a={\mathrm{\Phi }}^A,{\mathrm{grad}}_{q,r}=(\delta /\delta q,\delta /\delta r{)}^T.$$

Из (6.25) получаем
$$\ln a(\zeta )\sim -\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\zeta }^{m+1}}{C}_{m+1}$$

где ${\left\{C_m\right\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ — последовательность интегралов уравнений. Отсюда и из уравнений $(6.76),(6.78),(6.79)$
$${\left(L^A\right)}^m\left(\begin{array}{l}r\\ q\end{array}\right)=2i\mathrm{grad}{C}_{m+1}.$$

Если $\mathrm{\Omega }(\zeta )=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{\zeta }^m$, то
$$\left(\begin{array}{r}{r}_t\\ -q_t\end{array}\right)=-4i\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m\mathrm{grad}{C}_{m+1}$$

и гамильтониан имеет вид
$$H_{\mathrm{\Omega }}=-4i\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{C}_{m+1}.$$

Введем теперь скобки Пуассона. Пусть $I(q,r)$ есть функционал от $q$ и $r$ и их производных (например, ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(q_x{r}_x+q^2{r}^2)dx$ ). Тогда $\frac{dI}{dt}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{\delta I}{\delta q}{q}_t+\frac{\delta I}{\delta r}{r}_t)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{\delta H}{\delta q}\frac{\delta I}{\delta r}-\frac{\delta H}{\delta r}\frac{\delta I}{\delta q})dx$.
Последнее выражение и определим как скобку Пуассона $\{H,I\}$ для величин $H$ и $I$. Заметим, что если $I$ есть интеграл движения, то $\{H,I\}=0$; тогда говорят, что величины $H$ и $I$ находятся в инволюции. Қаждый член последовательности ${\left\{C_m\right\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ порождает в качестве гамильтониана потоки, для которых все остальные потенциальные гамильтонианы сохраняются. Следовательно, $\{C_m,C_n\}=0$. Значит, все функционалы ${\left\{C_m\right\}}_{m=1}^{\mathrm{\infty }}$ находятся в инволюции.

Сама функция $\ln a(\zeta )$ при любом фиксированном $\hat{\zeta }$ ( $\hat{\zeta }$ не принадлежит спектру) может порождать в качестве гамильтониана поток
$$\left(\begin{array}{r}{r}_t\\ -q_t\end{array}\right)={\left({\mathrm{\Phi }}^A\right)}_{\hat{\zeta }},$$

который вместе с (6.75) образует замкнутую систему уравнений. Эта система может быть записана в виде
$$(L^A-\hat{\zeta })\left(\begin{array}{r}{r}_t\\ -q_t\end{array}\right)=\frac{1}{2i}\left(\begin{array}{l}r\\ q\end{array}\right).$$

Она соответствует дисперсионному соотношению
$$\mathrm{\Omega }(\zeta )=\frac{i}{4}\frac{1}{\zeta -\hat{\zeta }}.$$

Можно также показать [6.63], что
$$\{\ln a\left({\zeta }_1\right),\ln a\left({\zeta }_2\right)\}=0.$$

Таким образом, спектральная функция $\ln a(\zeta )$ играет центральную роль в наших построениях. За дальнейшими подробностями о значении этой функции в операторной теории отошлем читателя в [6.63]. Для получения формул следов найдем выражения функции $\ln a(\zeta )$ через данные рассеяния. Согласно (6.23), можно получить (здесь полагаем $r=-q^{\ast },\overline{a}(\zeta )=a^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right)$, $\overline{b}(\zeta )=b^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right),{\overline{b}}_k=b_k^{\ast },{\overline{\zeta }}_k={\zeta }_k^{\ast },\overline{N}=N)$
$$\begin{array}{rl}\ln a(\zeta )& =\sum _{k=1}^N\ln \frac{\zeta -{\zeta }_k}{\zeta -{\zeta }_k^{\ast }}+\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln a{a}^{\ast }}{\zeta -{\zeta }^{\prime }}d{\zeta }^{\prime }\sim \\ \sim & -\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{{\zeta }^m}(\sum _{k=1}^N\frac{{\zeta }_k^m-{\zeta }_k^{\ast }}{m}+\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\xi }^{m-1}\ln a{a}^{\ast }d\xi ).\end{array}$$

Следовательно, из (6.79)
$$C_m=\sum _{k=1}^N\frac{{\zeta }_k^m-{\zeta }_k^{\ast m}}{m}+\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\xi }^{m-1}\text{ in }a{a}^{\ast }d\xi ,$$

и мы нашли выражения для гамильтониана через переменные действия $({\pi }^{-1}\ln a{a}^{\ast },2i{\zeta }_k,2i{\zeta }_k^{\ast })$, которым отвечают угловые переменные $\ln b(\xi ),\ln b_k,\ln b_k^{\ast }$. Заметим, что если $\mathrm{\Omega }(\zeta )=a_m{\zeta }^m$, то
$$H_m=-4i{a}_m{C}_{m+1}=-4i{a}_m\cdot \sum _{k=1}^N\frac{{\zeta }_k^{m+1}-{\zeta }_k^{\ast m+1}}{m+1}-\frac{2a_m}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\xi }^m\ln a{a}^{\ast }d\xi .$$

Так как уравнения Гамильтона при канонических преобразованиях сохраняются, то
$$\begin{array}{rl}\frac{d\ln b_k}{dt}& =\frac{\delta H_m}{\delta \left(2i{\zeta }_k\right)}=-2a_m{\zeta }_k^m=-2\mathrm{\Omega }\left({\zeta }_k\right),\\ \frac{d\ln b_k^{\ast }}{dt}& =\frac{\delta H_m}{\delta \left(2i{\zeta }_k^{\ast }\right)}=2a_m{\xi }_k^{\ast m}=2\mathrm{\Omega }\left({\zeta }_k^{\ast }\right),\\ \frac{d\ln b(\xi )}{dt}& =\frac{\delta H_m}{\delta ({\pi }^{-1}\ln a{a}^{\ast })}=-2a_m{\xi }^m=-2\mathrm{\Omega }(\xi ),\\ \frac{d}{dt}2i{\zeta }_k& =\frac{d}{dt}2i{\zeta }_k^{\ast }=\frac{d}{dt}\frac{1}{\pi }\ln a{a}^{\ast }=0.\end{array}$$

Например, пусть $\mathrm{\Omega }=-2i{\zeta }^2$ и $r=-q^{\ast }$. Уравнения (6.81) сводятся в этом случае к нелинейному уравнению Шрёдингера $q_t-i(q_{xx}+2q^2{q}^{\ast })=0$ с гамильгонианом
$$H=-i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}(q{q}_{xx}^{\ast }+q^2{q}^{{\ast }^2})dx=-8\sum _{k=1}^N\frac{{\zeta }_k^3-{\zeta }_k^{{\ast }^3}}{3}-\frac{4}{\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\xi }^2\ln a{a}^{\ast }d\xi .$$

Замечание 1. Линейный предел. Предположим, что $q$ и $r$ малы. Тогда, как показано в [6.63], в системе отсутствуют связанные состояния, и
$$C_m=\frac{1}{(2i{)}^m}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}q\frac{{\partial }^{m-1}}{\partial x^{m-1}}rdx.$$

В этом случае (6.87) (причем $t$ не обязательно равно $-q^{\ast }$ ) переходит в
$$\frac{1}{(2i{)}^m}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}q\frac{{\partial }^{m-1}}{\partial x^{m-1}}rdx=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\xi }^{m-1}b\overline{b}d\xi .$$

Замечание 2. Потоки для $H=\alpha {\zeta }_k$. Если гамильтониан пропорционален собственному значению ${\zeta }_k$, тогда, поскольку $\delta a({\xi }_k,t)=0$, из (6.32a) получим, что
$$\delta \left({\zeta }_k\right)=\frac{1}{a_k^{\prime }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{(\delta q{\mathrm{\Phi }}_2{\psi }_2-\delta r{\phi }_1{\psi }_1)}_{{\zeta }_k}dx.$$

Следовательно,
$$\left(\begin{array}{r}{r}_t\\ -q_t\end{array}\right)=\frac{\alpha }{a_k^{\prime }}{\left(\begin{array}{r}{\phi }_2{\psi }_2\\ -{\phi }_1{\psi }_1\end{array}\right)}_{b_k}=\alpha {\beta }_k{\left(\begin{array}{r}{\phi }_2^2\\ -{\phi }_1^2\end{array}\right)}_{b_k}=\alpha {\beta }_k{\mathrm{\Psi }}_k^A.$$

Приравнивая коэффициенты в (6.55) (предположим опять для простоты, что $r=-q^{\ast },{\zeta }_k=i{\eta }_k,\alpha =4i\alpha$ ), найдем
$${\left(\frac{b^{\ast }}{a}\right)}_t={\zeta }_{lt}={\beta }_{lt}=0,jeqk,{\zeta }_{kt}=0,{\beta }_{kt}=2\overline{\alpha }{\beta }_k.$$

Уравнения движения тривиальны. Представим, что начальные данные разложены на солитонную и радиационную составляющие. Тогда солитон, соответствующий ${\eta }_k$, движется с постоянной скоростью, а все остальное неизменно.