Основной целью этого раздела является определение гамильтоновой структуры для (6.65) и доказательство того, что обратное преобразование рассеяния является каноническим преобразованием, сохраняющим уравнения Гамильтона. Сначала будет показано, что второй член в (6.65) может быть записан как градиент по $q$ и $r$ некоторого функционала – гамильтониана системы. Оказывается, что все гамильтонианы порождаются единственной функцией $\ln a(\zeta)$. Так как эта функция выражается через данные рассеяния, то немедленно получим выражения для гамильтонианов в переменных действие – угол. С этими выражениями тесно связаны формулы следов, которые выражают сохраняющиеся величины через переменные действия.
Рассмотрим функцию
\[
\Phi^{A}=\frac{1}{a(\zeta)}\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2} \psi_{2} \\
-\varphi_{1} \psi_{1}
\end{array}\right) .
\]

Легко показать, что
\[
\left(L^{A}-\zeta\right) \Phi^{A}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) .
\]

Решая (6.75) при больших $|\zeta|, \operatorname{Im} \zeta>0$, получим асимптотические разложения
\[
\Phi^{A} \sim-\frac{1}{2 i} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{m+1}}\left(L^{A}\right)^{m}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) .
\]

Из (6.32а) при $\delta \zeta=0$ следует
\[
\delta \ln a=-\int_{-\infty}^{+\infty}\left(-\delta q \frac{\varphi_{2} \psi_{2}}{a}+\delta r \frac{\varphi_{1} \psi_{1}}{a}\right) d x .
\]

Таким образом
\[
\operatorname{grad}_{q, r} \ln a=\Phi^{A}, \quad \operatorname{grad}_{q, r}=(\delta / \delta q, \delta / \delta r)^{T} .
\]

Из (6.25) получаем
\[
\ln a(\zeta) \sim-\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{m+1}} C_{m+1}
\]

где $\left\{C_{m}\right\}_{m=1}^{\infty}$ – последовательность интегралов уравнений. Отсюда и из уравнений $(6.76),(6.78),(6.79)$
\[
\left(L^{A}\right)^{m}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=2 i \operatorname{grad} C_{m+1} .
\]

Если $\Omega(\zeta)=\sum_{m=0}^{\infty} a_{m} \zeta^{m}$, то
\[
\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=-4 i \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} \operatorname{grad} C_{m+1}
\]

и гамильтониан имеет вид
\[
H_{\Omega}=-4 i \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} C_{m+1} .
\]

Введем теперь скобки Пуассона. Пусть $I(q, r)$ есть функционал от $q$ и $r$ и их производных (например, $\int_{-\infty}^{+\infty}\left(q_{x} r_{x}+q^{2} r^{2}\right) d x$ ). Тогда $\frac{d I}{d t}=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\delta I}{\delta q} q_{t}+\frac{\delta I}{\delta r} r_{t}\right) d x=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\delta H}{\delta q} \frac{\delta I}{\delta r}-\frac{\delta H}{\delta r} \frac{\delta I}{\delta q}\right) d x$.
Последнее выражение и определим как скобку Пуассона $\{H, I\}$ для величин $H$ и $I$. Заметим, что если $I$ есть интеграл движения, то $\{H, I\}=0$; тогда говорят, что величины $H$ и $I$ находятся в инволюции. Қаждый член последовательности $\left\{C_{m}\right\}_{m=1}^{\infty}$ порождает в качестве гамильтониана потоки, для которых все остальные потенциальные гамильтонианы сохраняются. Следовательно, $\left\{C_{m}, C_{n}\right\}=0$. Значит, все функционалы $\left\{C_{m}\right\}_{m=1}^{\infty}$ находятся в инволюции.

Сама функция $\ln a(\zeta)$ при любом фиксированном $\hat{\zeta}$ ( $\hat{\zeta}$ не принадлежит спектру) может порождать в качестве гамильтониана поток
\[
\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=\left(\Phi^{A}\right)_{\widehat{\zeta}},
\]

который вместе с (6.75) образует замкнутую систему уравнений. Эта система может быть записана в виде
\[
\left(L^{A}-\hat{\zeta}\right)\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) .
\]

Она соответствует дисперсионному соотношению
\[
\Omega(\zeta)=\frac{i}{4} \frac{1}{\zeta-\hat{\zeta}} .
\]

Можно также показать [6.63], что
\[
\left\{\ln a\left(\zeta_{1}\right), \ln a\left(\zeta_{2}\right)\right\}=0 .
\]

Таким образом, спектральная функция $\ln a(\zeta)$ играет центральную роль в наших построениях. За дальнейшими подробностями о значении этой функции в операторной теории отошлем читателя в [6.63]. Для получения формул следов найдем выражения функции $\ln a(\zeta)$ через данные рассеяния. Согласно (6.23), можно получить (здесь полагаем $r=-q^{*}, \bar{a}(\zeta)=a^{*}\left(\zeta^{*}\right)$, $\left.\bar{b}(\zeta)=b^{*}\left(\zeta^{*}\right), \bar{b}_{k}=b_{k}^{*}, \bar{\zeta}_{k}=\zeta_{k}^{*}, \bar{N}=N\right)$
\[
\begin{aligned}
\ln a(\zeta) & =\sum_{k=1}^{N} \ln \frac{\zeta-\zeta_{k}}{\zeta-\zeta_{k}^{*}}+\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\ln a a^{*}}{\zeta-\zeta^{\prime}} d \zeta^{\prime} \sim \\
\sim & -\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{\zeta^{m}}\left(\sum_{k=1}^{N} \frac{\zeta_{k}^{m}-\zeta_{k}^{*}}{m}+\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{m-1} \ln a a^{*} d \xi\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, из (6.79)
\[
C_{m}=\sum_{k=1}^{N} \frac{\zeta_{k}^{m}-\zeta_{k}^{* m}}{m}+\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{m-1} \text { in } a a^{*} d \xi,
\]

и мы нашли выражения для гамильтониана через переменные действия $\left(\pi^{-1} \ln a a^{*}, 2 i \zeta_{k}, 2 i \zeta_{k}^{*}\right)$, которым отвечают угловые переменные $\ln b(\xi), \ln b_{k}, \ln b_{k}^{*}$. Заметим, что если $\Omega(\zeta)=a_{m} \zeta^{m}$, то
\[
H_{m}=-4 i a_{m} C_{m+1}=-4 i a_{m} \cdot \sum_{k=1}^{N} \frac{\zeta_{k}^{m+1}-\zeta_{k}^{* m+1}}{m+1}-\frac{2 a_{m}}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{m} \ln a a^{*} d \xi .
\]

Так как уравнения Гамильтона при канонических преобразованиях сохраняются, то
\[
\begin{aligned}
\frac{d \ln b_{k}}{d t} & =\frac{\delta H_{m}}{\delta\left(2 i \zeta_{k}\right)}=-2 a_{m} \zeta_{k}^{m}=-2 \Omega\left(\zeta_{k}\right), \\
\frac{d \ln b_{k}^{*}}{d t} & =\frac{\delta H_{m}}{\delta\left(2 i \zeta_{k}^{*}\right)}=2 a_{m} \xi_{k}^{* m}=2 \Omega\left(\zeta_{k}^{*}\right), \\
\frac{d \ln b(\xi)}{d t} & =\frac{\delta H_{m}}{\delta\left(\pi^{-1} \ln a a^{*}\right)}=-2 a_{m} \xi^{m}=-2 \Omega(\xi), \\
\frac{d}{d t} 2 i \zeta_{k} & =\frac{d}{d t} 2 i \zeta_{k}^{*}=\frac{d}{d t} \frac{1}{\pi} \ln a a^{*}=0 .
\end{aligned}
\]

Например, пусть $\Omega=-2 i \zeta^{2}$ и $r=-q^{*}$. Уравнения (6.81) сводятся в этом случае к нелинейному уравнению Шрёдингера $q_{t}-i\left(q_{x x}+2 q^{2} q^{*}\right)=0$ с гамильгонианом
\[
H=-i \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q q_{x x}^{*}+q^{2} q^{*^{2}}\right) d x=-8 \sum_{k=1}^{N} \frac{\zeta_{k}^{3}-\zeta_{k}^{*^{3}}}{3}-\frac{4}{\pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{2} \ln a a^{*} d \xi .
\]

Замечание 1. Линейный предел. Предположим, что $q$ и $r$ малы. Тогда, как показано в [6.63], в системе отсутствуют связанные состояния, и
\[
C_{m}=\frac{1}{(2 i)^{m}} \int_{-\infty}^{+\infty} q \frac{\partial^{m-1}}{\partial x^{m-1}} r d x .
\]

В этом случае (6.87) (причем $t$ не обязательно равно $-q^{*}$ ) переходит в
\[
\frac{1}{(2 i)^{m}} \int_{-\infty}^{+\infty} q \frac{\partial^{m-1}}{\partial x^{m-1}} r d x=\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{m-1} b \bar{b} d \xi .
\]

Замечание 2. Потоки для $H=\alpha \zeta_{k}$. Если гамильтониан пропорционален собственному значению $\zeta_{k}$, тогда, поскольку $\delta a\left(\xi_{k}, t\right)=0$, из (6.32a) получим, что
\[
\delta\left(\zeta_{k}\right)=\frac{1}{a_{k}^{\prime}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\delta q \Phi_{2} \psi_{2}-\delta r \varphi_{1} \psi_{1}\right)_{\zeta_{k}} d x .
\]

Следовательно,
\[
\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=\frac{\alpha}{a_{k}^{\prime}}\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2} \psi_{2} \\
-\varphi_{1} \psi_{1}
\end{array}\right)_{b_{k}}=\alpha \beta_{k}\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right)_{b_{k}}=\alpha \beta_{k} \Psi_{k}^{A} .
\]

Приравнивая коэффициенты в (6.55) (предположим опять для простоты, что $r=-q^{*}, \zeta_{k}=i \eta_{k}, \alpha=4 i \alpha$ ), найдем
\[
\left(\frac{b^{*}}{a}\right)_{t}=\zeta_{l t}=\beta_{l t}=0, j
eq k, \zeta_{k t}=0, \beta_{k t}=2 \bar{\alpha} \beta_{k} .
\]

Уравнения движения тривиальны. Представим, что начальные данные разложены на солитонную и радиационную составляющие. Тогда солитон, соответствующий $\eta_{k}$, движется с постоянной скоростью, а все остальное неизменно.