Главная > СОЛИТОНЫ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Проведенные к настоящему времени исследования солитонов можно разделить на три части. Существует множество обзоров по каждому из этих трех перисдов; здесь мы укажем основные работы, в которых подробно рассматриваются относящиеся к ним проблемы.

Начало первого периода солитонных исследований принадлежит к прошлому столетию; эти исследования достаточно полно отражены в трудах Расселла [2.1] и Кортевега и де Фриза [2.2]. Современное изложение результатов этих работ сделано Миурой [2.3]. Гидродинамический солитон, открытый Расселлом, — это уединенная волна на воде, движущаяся с постоянной скоростью. Она представляет собой результат равновесия двух конкурирующих эффектов. С одной стороны, свойственная уравнениям гидродинамики нелинейность приводит к возрастанию крутизны фронта волны и к еє опрокидыванию. С другой стороны, линейное описание (пригодное для малых амплитуд возмущений) приводит к диспергирующим волнам. Дисперсия является причиной того, что локализованные возмущения начинают расползаться. Интуитивно ясно, что для амплитуд, характеризуемых слабой нелинейностью, конкуренция этих двух эффектов — возрастания крутизны фронта и расползания возмущений должна привести к равновесию, в результате которого возникнет уединенная волна. Так оно и происходит, и возникающее устойчивое образование и есть солитон. Описанное равновесие было рассмотрено Кадомцевым и Қарпманом [2.4]. Аналогичное взаимодействие двух конкурирующих эффектов будет рассмотрено с количественной точки зрения в разд. 2.2 .2 , где будут детально изучаться ион-акустические волны в физике плазмы.

Солитоны обладают не только способностью распространяться в неизменном виде, но и еще более удивительной особенностью поведения. При взаимодействиях они проходят друг через друга почти как при упругом рассеянии [2.5]; такое взаимодействие солитонов было отмечено Расселлом [2.1]. В отличие от «обычных» уединенных волн детали такого нелинейного взаимодействия вряд ли допускают простую интуитивную физическую интерпретацию.

Еще в этот первый период истории солитонов были разработаны (в основном Бэклундом [2.6]-[2.8]) некоторые преобразования нелинейных уравнений в частных производньх. Эти преобразования сыграли определенную роль в последующем объединении различных аналитических методов, используемых для решения уравнений, допускающих солитоны.

Для второго периода, начавшегося в 1940 -х годах с исследования Ферми, Пастой и Уламом (ФПУ) [2.9] одной задачи динамики решеточных моделей, уже характерно развитие разнообразных аналитических и численных методов. Работа ФПУ представляет собой одну из первых успешных попыток использовать только что созданные вычислительные машины для изучения проблемы, которая несколько превышала аналитические возможности того времени. Роль вычислительных машин в течение этого второго периода истории солитонов трудно переоценить. В самом деле, при численном моделировании ряда физических процессов неизменно обнаруживались солитонные явления. Эти исследования широко обсуждались в литературе о солитонах (см., например, [2.10]-[2.12]).

Дальнейшие успехи в изучении солитонов сопровождались проводившимися параллельно экспериментальными и теоретическими исследованиями по распространению когерентных световых импульсов в двухуровневой среде (Маккол и Хан [2.13]). И опять же именно изучение результатов численного счета позволило обнаружить возникновение устойчивых импульсов, а также распадение одного импульса на несколько более малых. Солитонные явления в описанных задачах получили название самоиндуцированной прозрачности (СИП) [2.14]. В это же время было обнаружено [2.15], что уравнения простой модели распространения оптических импульсов поддаются исследованию при помощи техники преобразования Бэклунда [2.17]. Тем самым были найдены аналитические выражения, описывающие выделение чисто N-солитонных мод [2.18]. Одновременно при помощи метода обратной задачи рассеяния были получены формулы для многосолитонных решений уравнения Қортевега де Фриза. Этот метод позволил получить полное решение задачи Коши для указанного уравнения [2.19]. В 1971 г. Захаров и Шабат [2.20] обобщили описанную Лаксом [2.21] формулировку обратного метода задачи рассеяния и тем самым заложили основу для последующих исследований целого ряда уравнений, проявляющих солитонное поведение [2.22-2.24].

Метод обратной задачи рассеяния преобразует нелинейные уравнения теории солитонов в линейные интегральные уравнения. Некоторые современные исследования непосредственно посвящены получению асимптотических решений этих интегральных уравнений [2.25-2.28]. Другой чрезвычайно интересный круг задач — распространение метода обратной задачи рассеяния на нелинейные уравнения с периодическими граничными условиями [2.292.31]1 ). Полное решение периодической задачи явилось бы завершением одного из важнейших исследований второго периода истории солитонов.

Третий период начался совсем недавно. Он связан с появлением обобщений на случай более чем одной пространственной переменной, а также с приложением солитонных уравнений к таким областям науки, как нелинейные задачи физики твердого тела и квантовой теории поля [2.32, 2.33]. Эти исследования быстро развиваются в настоящее время, и было бы преждевременно давать им здесь оценку. В следующих разделах мы будем иметь дело только с некоторыми аспектами второго периода развития теории солитонов; при этом мы будем обсуждать лишь немногие из его характерных особенностей.

Среди многочисленных работ, на которые мы выше ссылались, есть немало исследований общих свойств солитонов в нелинейных волновых уравнениях с дисперсией. Другие ссылки можно найти в [2.8]. Не повторяя обсуждения этих общих свойств в настоящей статье, мы проиллюстрируем на примерах некоторые связи между физическими нелинейными системами и теми солитонами, которые в них возникают. Мы рассмотрим несколько конкретных систем, линейных в отсутствие взамодействия. В разд. 2.2.1 рассматриваются некоторые примеры взаимодействия электрического поля с совокупностью двухуровневых атомов. Будет показано, что в различных случаях это взаимодействие порождает солитоны самоиндуцированной прозрачности и солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера. В разд. 2.2.2 разобран один случай взаимодействия электромаг-
1) См. также статью С. П. Новикова в настоящем сборнике, — Прим, nepeo,

нитных волн с плазмой, при котором возникают солитоны для уравнения Кортевега — де Фриза. В разд. 2.3 взаимодействие системы двухуровневых атомов с электрическим полем используется для того, чтобы ввести и обосновать метод обратной задачи рассеяния. В конце статьи обсуждаются связи между этим методом и «высшими законами сохранения»; последние, будучи сохраняющимися величинами, сыграли важную роль на начальной стадии развития теории уравнения Кортевега — де Фриза и уравнения самоиндуцированной прозрачности.

1
Оглавление
email@scask.ru