Проведенные к настоящему времени исследования солитонов можно разделить на три части. Существует множество обзоров по каждому из этих трех перисдов; здесь мы укажем основные работы, в которых подробно рассматриваются относящиеся к ним проблемы.

Начало первого периода солитонных исследований принадлежит к прошлому столетию; эти исследования достаточно полно отражены в трудах Расселла [2.1] и Кортевега и де Фриза [2.2]. Современное изложение результатов этих работ сделано Миурой [2.3]. Гидродинамический солитон, открытый Расселлом, – это уединенная волна на воде, движущаяся с постоянной скоростью. Она представляет собой результат равновесия двух конкурирующих эффектов. С одной стороны, свойственная уравнениям гидродинамики нелинейность приводит к возрастанию крутизны фронта волны и к еє опрокидыванию. С другой стороны, линейное описание (пригодное для малых амплитуд возмущений) приводит к диспергирующим волнам. Дисперсия является причиной того, что локализованные возмущения начинают расползаться. Интуитивно ясно, что для амплитуд, характеризуемых слабой нелинейностью, конкуренция этих двух эффектов – возрастания крутизны фронта и расползания возмущений должна привести к равновесию, в результате которого возникнет уединенная волна. Так оно и происходит, и возникающее устойчивое образование и есть солитон. Описанное равновесие было рассмотрено Кадомцевым и Қарпманом [2.4]. Аналогичное взаимодействие двух конкурирующих эффектов будет рассмотрено с количественной точки зрения в разд. 2.2 .2 , где будут детально изучаться ион-акустические волны в физике плазмы.

Солитоны обладают не только способностью распространяться в неизменном виде, но и еще более удивительной особенностью поведения. При взаимодействиях они проходят друг через друга почти как при упругом рассеянии [2.5]; такое взаимодействие солитонов было отмечено Расселлом [2.1]. В отличие от «обычных» уединенных волн детали такого нелинейного взаимодействия вряд ли допускают простую интуитивную физическую интерпретацию.

Еще в этот первый период истории солитонов были разработаны (в основном Бэклундом [2.6]-[2.8]) некоторые преобразования нелинейных уравнений в частных производньх. Эти преобразования сыграли определенную роль в последующем объединении различных аналитических методов, используемых для решения уравнений, допускающих солитоны.

Для второго периода, начавшегося в 1940 -х годах с исследования Ферми, Пастой и Уламом (ФПУ) [2.9] одной задачи динамики решеточных моделей, уже характерно развитие разнообразных аналитических и численных методов. Работа ФПУ представляет собой одну из первых успешных попыток использовать только что созданные вычислительные машины для изучения проблемы, которая несколько превышала аналитические возможности того времени. Роль вычислительных машин в течение этого второго периода истории солитонов трудно переоценить. В самом деле, при численном моделировании ряда физических процессов неизменно обнаруживались солитонные явления. Эти исследования широко обсуждались в литературе о солитонах (см., например, [2.10]-[2.12]).

Дальнейшие успехи в изучении солитонов сопровождались проводившимися параллельно экспериментальными и теоретическими исследованиями по распространению когерентных световых импульсов в двухуровневой среде (Маккол и Хан [2.13]). И опять же именно изучение результатов численного счета позволило обнаружить возникновение устойчивых импульсов, а также распадение одного импульса на несколько более малых. Солитонные явления в описанных задачах получили название самоиндуцированной прозрачности (СИП) [2.14]. В это же время было обнаружено [2.15], что уравнения простой модели распространения оптических импульсов поддаются исследованию при помощи техники преобразования Бэклунда [2.17]. Тем самым были найдены аналитические выражения, описывающие выделение чисто $N$-солитонных мод [2.18]. Одновременно при помощи метода обратной задачи рассеяния были получены формулы для многосолитонных решений уравнения Қортевега де Фриза. Этот метод позволил получить полное решение задачи Коши для указанного уравнения [2.19]. В 1971 г. Захаров и Шабат [2.20] обобщили описанную Лаксом [2.21] формулировку обратного метода задачи рассеяния и тем самым заложили основу для последующих исследований целого ряда уравнений, проявляющих солитонное поведение [2.22-2.24].

Метод обратной задачи рассеяния преобразует нелинейные уравнения теории солитонов в линейные интегральные уравнения. Некоторые современные исследования непосредственно посвящены получению асимптотических решений этих интегральных уравнений [2.25-2.28]. Другой чрезвычайно интересный круг задач – распространение метода обратной задачи рассеяния на нелинейные уравнения с периодическими граничными условиями $[2.29-2.31]^{1}$ ). Полное решение периодической задачи явилось бы завершением одного из важнейших исследований второго периода истории солитонов.

Третий период начался совсем недавно. Он связан с появлением обобщений на случай более чем одной пространственной переменной, а также с приложением солитонных уравнений к таким областям науки, как нелинейные задачи физики твердого тела и квантовой теории поля [2.32, 2.33]. Эти исследования быстро развиваются в настоящее время, и было бы преждевременно давать им здесь оценку. В следующих разделах мы будем иметь дело только с некоторыми аспектами второго периода развития теории солитонов; при этом мы будем обсуждать лишь немногие из его характерных особенностей.

Среди многочисленных работ, на которые мы выше ссылались, есть немало исследований общих свойств солитонов в нелинейных волновых уравнениях с дисперсией. Другие ссылки можно найти в [2.8]. Не повторяя обсуждения этих общих свойств в настоящей статье, мы проиллюстрируем на примерах некоторые связи между физическими нелинейными системами и теми солитонами, которые в них возникают. Мы рассмотрим несколько конкретных систем, линейных в отсутствие взамодействия. В разд. 2.2.1 рассматриваются некоторые примеры взаимодействия электрического поля с совокупностью двухуровневых атомов. Будет показано, что в различных случаях это взаимодействие порождает солитоны самоиндуцированной прозрачности и солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера. В разд. 2.2.2 разобран один случай взаимодействия электромаг-
1) См. также статью С. П. Новикова в настоящем сборнике, – Прим, nepeo,

нитных волн с плазмой, при котором возникают солитоны для уравнения Кортевега – де Фриза. В разд. 2.3 взаимодействие системы двухуровневых атомов с электрическим полем используется для того, чтобы ввести и обосновать метод обратной задачи рассеяния. В конце статьи обсуждаются связи между этим методом и «высшими законами сохранения»; последние, будучи сохраняющимися величинами, сыграли важную роль на начальной стадии развития теории уравнения Кортевега – де Фриза и уравнения самоиндуцированной прозрачности.