Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Проведенные к настоящему времени исследования солитонов можно разделить на три части. Существует множество обзоров по каждому из этих трех перисдов; здесь мы укажем основные работы, в которых подробно рассматриваются относящиеся к ним проблемы. Начало первого периода солитонных исследований принадлежит к прошлому столетию; эти исследования достаточно полно отражены в трудах Расселла [2.1] и Кортевега и де Фриза [2.2]. Современное изложение результатов этих работ сделано Миурой [2.3]. Гидродинамический солитон, открытый Расселлом, — это уединенная волна на воде, движущаяся с постоянной скоростью. Она представляет собой результат равновесия двух конкурирующих эффектов. С одной стороны, свойственная уравнениям гидродинамики нелинейность приводит к возрастанию крутизны фронта волны и к еє опрокидыванию. С другой стороны, линейное описание (пригодное для малых амплитуд возмущений) приводит к диспергирующим волнам. Дисперсия является причиной того, что локализованные возмущения начинают расползаться. Интуитивно ясно, что для амплитуд, характеризуемых слабой нелинейностью, конкуренция этих двух эффектов — возрастания крутизны фронта и расползания возмущений должна привести к равновесию, в результате которого возникнет уединенная волна. Так оно и происходит, и возникающее устойчивое образование и есть солитон. Описанное равновесие было рассмотрено Кадомцевым и Қарпманом [2.4]. Аналогичное взаимодействие двух конкурирующих эффектов будет рассмотрено с количественной точки зрения в разд. 2.2 .2 , где будут детально изучаться ион-акустические волны в физике плазмы. Солитоны обладают не только способностью распространяться в неизменном виде, но и еще более удивительной особенностью поведения. При взаимодействиях они проходят друг через друга почти как при упругом рассеянии [2.5]; такое взаимодействие солитонов было отмечено Расселлом [2.1]. В отличие от «обычных» уединенных волн детали такого нелинейного взаимодействия вряд ли допускают простую интуитивную физическую интерпретацию. Еще в этот первый период истории солитонов были разработаны (в основном Бэклундом [2.6]-[2.8]) некоторые преобразования нелинейных уравнений в частных производньх. Эти преобразования сыграли определенную роль в последующем объединении различных аналитических методов, используемых для решения уравнений, допускающих солитоны. Для второго периода, начавшегося в 1940 -х годах с исследования Ферми, Пастой и Уламом (ФПУ) [2.9] одной задачи динамики решеточных моделей, уже характерно развитие разнообразных аналитических и численных методов. Работа ФПУ представляет собой одну из первых успешных попыток использовать только что созданные вычислительные машины для изучения проблемы, которая несколько превышала аналитические возможности того времени. Роль вычислительных машин в течение этого второго периода истории солитонов трудно переоценить. В самом деле, при численном моделировании ряда физических процессов неизменно обнаруживались солитонные явления. Эти исследования широко обсуждались в литературе о солитонах (см., например, [2.10]-[2.12]). Дальнейшие успехи в изучении солитонов сопровождались проводившимися параллельно экспериментальными и теоретическими исследованиями по распространению когерентных световых импульсов в двухуровневой среде (Маккол и Хан [2.13]). И опять же именно изучение результатов численного счета позволило обнаружить возникновение устойчивых импульсов, а также распадение одного импульса на несколько более малых. Солитонные явления в описанных задачах получили название самоиндуцированной прозрачности (СИП) [2.14]. В это же время было обнаружено [2.15], что уравнения простой модели распространения оптических импульсов поддаются исследованию при помощи техники преобразования Бэклунда [2.17]. Тем самым были найдены аналитические выражения, описывающие выделение чисто Метод обратной задачи рассеяния преобразует нелинейные уравнения теории солитонов в линейные интегральные уравнения. Некоторые современные исследования непосредственно посвящены получению асимптотических решений этих интегральных уравнений [2.25-2.28]. Другой чрезвычайно интересный круг задач — распространение метода обратной задачи рассеяния на нелинейные уравнения с периодическими граничными условиями Третий период начался совсем недавно. Он связан с появлением обобщений на случай более чем одной пространственной переменной, а также с приложением солитонных уравнений к таким областям науки, как нелинейные задачи физики твердого тела и квантовой теории поля [2.32, 2.33]. Эти исследования быстро развиваются в настоящее время, и было бы преждевременно давать им здесь оценку. В следующих разделах мы будем иметь дело только с некоторыми аспектами второго периода развития теории солитонов; при этом мы будем обсуждать лишь немногие из его характерных особенностей. Среди многочисленных работ, на которые мы выше ссылались, есть немало исследований общих свойств солитонов в нелинейных волновых уравнениях с дисперсией. Другие ссылки можно найти в [2.8]. Не повторяя обсуждения этих общих свойств в настоящей статье, мы проиллюстрируем на примерах некоторые связи между физическими нелинейными системами и теми солитонами, которые в них возникают. Мы рассмотрим несколько конкретных систем, линейных в отсутствие взамодействия. В разд. 2.2.1 рассматриваются некоторые примеры взаимодействия электрического поля с совокупностью двухуровневых атомов. Будет показано, что в различных случаях это взаимодействие порождает солитоны самоиндуцированной прозрачности и солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера. В разд. 2.2.2 разобран один случай взаимодействия электромаг- нитных волн с плазмой, при котором возникают солитоны для уравнения Кортевега — де Фриза. В разд. 2.3 взаимодействие системы двухуровневых атомов с электрическим полем используется для того, чтобы ввести и обосновать метод обратной задачи рассеяния. В конце статьи обсуждаются связи между этим методом и «высшими законами сохранения»; последние, будучи сохраняющимися величинами, сыграли важную роль на начальной стадии развития теории уравнения Кортевега — де Фриза и уравнения самоиндуцированной прозрачности.
|
1 |
Оглавление
|