Для бесконечной цепочки [4.15], где движение сосредоточено в конечной области, можно говорить о рассеянии падающей волны $z^{-n}=\exp (-i k n)$ ( $k$ – волновое число) и о рассеянной волне $R(k) z^{n}$, так что
\[
\varphi \sim z^{-n}+R(z, t) z^{n} \quad(n \rightarrow+\infty) .
\]

Помимо непрерывного у (4.45) будет дискретный спектр
\[
\lambda_{i}=\frac{z_{j}+z_{j}^{-1}}{2} \quad(|z|<1)
\]

не зависящий от времени. Соответствующие собственные функции имеют асимптотики
\[
\varphi_{j}(n) \sim c_{j}(t) z_{j}^{n} \quad(n \rightarrow+\infty),
\]

где $c_{i}(t)$ – нормировочные константы, определенные так, что
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \varphi_{j}(n)^{2}=1 .
\]

Если задана волновая функция в начальный момент времсни, то мы можем вычислить $R(z, 0), z_{j}$ и $c_{j}(0)$. Их мы будем назы. вать начальными данными рассеяния. Можно показать, что данные рассеяния, отвечающие моменту времени $t$, даются формулами
\[
\begin{array}{l}
R(z, t)=R(z, 0) \exp \left[t\left(z^{-1}-z\right)\right], \\
\lambda_{j}(t)=\lambda_{f}(0), \\
c_{j}(t)^{2}=c_{j}(0)^{2} \exp \left[t\left(z_{i}^{-1}-z_{j}\right)\right] .
\end{array}
\]

Построим ядро
\[
F(m)=\frac{1}{2 \pi i} \oint R(z, t) z^{m-1} d z+\sum_{j} c_{i}(t)^{2} z_{j}^{m},
\]

где контур интегрирования окружает начало координат в плоскости комплексной переменной $z$, и дискретное интегральное уравнение
\[
x(n, m)+F(n+m)+\sum_{n^{\prime}=n+1}^{\infty} x\left(n, n^{\prime}\right) F\left(n^{\prime}+m\right)=0 .
\]

Если решить это уравнение относительно $x(n, m)$, то мы получим решение уравнений движения в виде [4.15]
\[
\begin{array}{l}
\exp \left[-\left(Q_{n}-Q_{n-1}\right)\right]=\left(\frac{K(n, n)}{K(n-1 ; n-1)}\right)^{2} \\
{[K(n, n)]^{-2}=1+F(2 n)+\sum_{n^{\prime}=n+1}^{\infty} x\left(n, n^{\prime}\right) F\left(n^{\prime}+n\right) .}
\end{array}
\]

Мы видим, что [4.16]
\[
\begin{array}{l}
P_{n}=s_{n}-s_{n+1}, \\
s_{n}=x(n-1, n) .
\end{array}
\]

Такой способ решения задачи Коши для нелинейной системы принято называть методом обратной задачи (рассеяния).