Рассмотрим модель среды «двухуровневых атомов»: каждый уровень пятикратно вырожден, $F=2$. Правила отбора имеют вид $\Delta F=0, \Delta M_{F}=0$, так что имеется 5 возможных переходов при одной и той же резонансной частоте, нумеруемых значениями $M_{F}= \pm 2, \pm 1,0$. Имеется, стало быть, 5 -псевдоспиновое описание каждого атома, где атомы верхнего уровня нумеруются спином вверх, а нижнего – спином вниз [3.14, 3.31]. Но, как мы отмечали в разд. 3.1, только два значения модулей матричных элементов существенны, $p$ и $p / 2$. Соответственно 5 -псевдоспиновая задача может быть сведена к 2 -псевдоспиновой задаче с этими матричными элементами [3.31]. Легко видеть (см. [3.1], [3.2], [3.14]), что для каждого из этих атомных псевдоспинов имеются уравнения Блоха (односпиновые уравнения Блоха в теории невырожденной СИП выведены в гл. 2). Подобно тому как в невырожденном случае огибающая $\mathscr{E}$ электрического поля определяет парное взаимодействие спинов различных атомов, здесь она задает также взаимодействие двух псевдоспинов каждого вырожденного атома, причем других взаимодействий нет (учитывается лишь поперечная составляющая поля). Эта огибающая $\mathscr{E}$ электрического поля (масштаб времени $\leqslant 10^{-9}$ с) является модуляцией гармонической несущей частоты, находящейся в точном резонансе с частотой атомных оптических переходов. В работах [3.13], [3.16] мы обозначали эту частоту через $\omega_{s}$ (здесь мы этот символ использовать не будем); $\hbar \omega_{s}$, таким образом, есть интервал по энергии между двумя резонансными, но вырожденными атомными уровнями, если такая величина потребовалась бы ${ }^{1}$ ).

В общие уравнения Блоха входят следующие величины: число атомных инверсий $N$, компонента огибающей атомного дипольного момента $Q$, находящаяся в фазе с огибающей электрического поля $\mathscr{E}$, и огибающая $P$ дипольного момента со сдвигом фазы на $\pi / 2$.

При точном резонансе в случае строго резонансных пиков величина $Q$ является константой, которая должна быть нулем для начально невозбужденной среды (ср., например, [3.16]). Уравнения движения для вырожденного случая содержат, следовательно, только величины $P^{(i)}, N^{(i)}, i=1,2$. Эти уравнения имеют вид (см. [3.1], [3.2], [3.5], [3.13]-[3.16], ср. также гл. 2)
\[
\begin{array}{l}
P_{t}^{(i)}=-x^{(i)} N^{(i)} \mathscr{E} ; \\
N_{t}^{(i)}=x^{(i)} P^{(i)} \mathscr{E} ; \quad x^{(i)}=1, \frac{1}{2} ; \quad i=1,2 \\
c \mathscr{E}_{x}+\mathscr{E}_{t}=a\left(P^{(1)}+\frac{1}{2} P^{(2)}\right)
\end{array}
\]

в подходящих единицах. В этих единицах (см. [3.13]-[3.16]) константа взаимодействия $\alpha$ имеет размерность квадрата частоты, а $\sqrt{\alpha}$ играет заметную роль в теории квантованного СГ-уравнения, основанной на (3.7) [3.4, 3.5, 3.13]. Беря подходящую линейную комбинацию векторов состояний атомов, получим, что и уравнения движения для схемы многоуровневых атомов могут быть представлены в виде (3.7); новым будет лишь то, что $i=1,2, \ldots, N$, вместо $x^{(i)}$ появятся простые рациональные дроби, а диполи $P^{(l)}$ войдут с весами $\omega^{(l)}$ в уравнения Максвелла для $\mathscr{E}$ и $P^{(i)}$. Некоторые примеры указаны в [3.31]. Трехспиновая задача с весами обсуждается ниже перед уравнением (3.17).
‘) $\hbar=h / 2 \pi$ (нормированная постсянная Планка).

Уравнения (3.7) сводятся к уравнению (3.1) (с положительным знаком и $\lambda=1$ ) подстановкой $P^{(i)}=-\sin x^{(i)} u, N^{(i)}=$ $=\cos x^{(i)} u, \mathscr{E}=u_{t}$, откуда
\[
u_{t t}+u_{x t}=\alpha\left(\sin u+\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} u\right) .
\]

Далее, после замены переменных $\xi=\sqrt{\alpha}(2 x-t), \tau=\sqrt{\alpha} t$ получаем в точности
\[
u_{\xi \xi}-u_{\tau \tau}=\sin u+\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} u .
\]

Это лоренц-ковариантное уравнение может быть решено для одного кинка при помощи перехода в сопутствующую систему. Траектории в фазовом пространстве $u, u_{\xi}$ имеют вид
\[
\frac{1}{2} u_{\xi}^{2}+\cos u+\cos \frac{1}{2} u=C,
\]

где $C$ константа. Для $C=2$ траектория соединяет неустойчивые особые точки $u_{\xi}=0, u=0$ и $u_{\xi}=0, u=4 \pi$. Эта траектория описывает решение, соответствующее (3.6) в других координатах (мы перешли от лоренц-ковариантных координат к конусным в уравнении (3.5) для получения решения (3.6)).

Аналогичным образом можно решить уравнение (3.1) для всех случаев. Общее решение есть
\[
\begin{array}{l}
u=u_{0}+4 \operatorname{arctg}\left[\operatorname{ch} \delta_{3} \exp \left(\theta-\delta_{1}\right)+\operatorname{sh} \delta_{3}\right]+ \\
+4 \operatorname{arctg}\left[\operatorname{ch} \delta_{3} \exp \left(\theta-\delta_{2}\right)-\operatorname{sh} \delta_{3}\right] \text {, } \\
\theta=\omega\left(t-x v^{-1}\right)+\theta_{0}=\frac{\omega}{2 \sqrt{\alpha v}}[(2 v-1) \tau-\xi]+\theta_{0}, \\
u_{t}=\omega \frac{d u}{d \theta} \text {. } \\
\end{array}
\]

Здесь особенно интересны четыре частных случая ${ }^{1}$ ):
I)
\[
\begin{aligned}
u_{0} & =0, \quad \delta_{1}=-\delta_{2}=\ln (\sqrt{5}+2) \equiv \Delta, \quad \delta_{3}=0, \\
u & =4 \operatorname{arctg}\left(e^{\theta-\Delta}\right)+4 \operatorname{arctg}\left(e^{\theta+\Delta}\right), \\
\mathscr{E} & =2 \omega \operatorname{sech}(\theta-\Delta)+2 \omega \operatorname{sech}(\theta+\Delta), \\
v & =\omega^{2}\left(\omega^{2}+\frac{5}{4} \alpha\right)^{-1}
\end{aligned}
\]
– решение уравнения (3.1) для $\lambda=1$ и знака «十»с граничными условиями (г. у.) $u \rightarrow 0(\bmod 4 \pi),|x| \rightarrow \infty$;
II)
\[
\begin{aligned}
u_{0} & =2 \pi, \delta_{1}=i \pi-\delta_{2}=\ln (\sqrt{3}+2)=\Delta^{\prime}, \delta_{3}=0, \\
u & =2 \pi+4 \operatorname{arctg}\left(e^{\theta-\Delta^{\prime}}\right)-4 \operatorname{arctg}\left(e^{\theta+\Delta^{\prime}}\right), \\
\mathscr{E} & =2 \omega \operatorname{sech}\left(\theta-\Delta^{\prime}\right)-2 \omega \operatorname{sech}\left(\theta+\Delta^{\prime}\right), \\
v & =\omega^{2}\left[\omega^{2}+3 / 4 \alpha\right]^{-1}
\end{aligned}
\]
I) В работах [3.4], [3.5] имеется ошибка: $\Delta$ в (I) и $\Delta^{\prime}$ в (II) были взяты равными соответственно $\ln \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{5}\right)$ и $\ln \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{3}\right)$.
– решение уравнения (3.1) для $\lambda=1$ и знака «十»с г. у. $u \rightarrow$ $\rightarrow 2 \pi(\bmod 4 \pi), \quad|x| \rightarrow \infty$ (в действительности $u \rightarrow 2 \pi$ при $x \rightarrow$ $\rightarrow \pm \infty)$;
III)
\[
\begin{array}{l}
u_{0}=\delta-2 \pi, \quad \delta_{1}=0, \quad \delta_{2}=\infty, \quad \delta_{3}=\frac{1}{2} \ln \frac{5}{3}, \\
u=2 \pi-\delta+4 \operatorname{arctg}\left(\frac{4}{\sqrt{15}} e^{\theta}+\frac{1}{15}\right), \\
\mathscr{E}=\frac{2 \sqrt{15} \omega}{4 \operatorname{ch} \theta+1}, \quad v=\frac{\omega^{2}}{\omega^{2}+\frac{15}{16} \alpha}
\end{array}
\]
– решение уравнения (3.1) для $\lambda=1$ и знака «- с г. у. $u \rightarrow$ $\rightarrow+\delta, x \rightarrow+\infty, u \rightarrow 4 \pi-\delta, x \rightarrow-\infty$;
IV)
\[
\begin{array}{l}
u_{0}=2 \pi-\delta, \quad \delta_{1}=0, \quad \delta_{2}=-\infty, \quad \delta_{3}=-\frac{1}{2} \ln (5 / 3), \\
u=\delta-2 \pi+4 \operatorname{arctg}\left(\frac{4}{\sqrt{15}} e^{\theta}-\frac{1}{\sqrt{15}}\right), \\
\mathscr{E}=\frac{2 \sqrt{15} \omega}{4 \operatorname{ch} \theta-1}, \quad v=\frac{\omega^{2}}{\omega^{2}+\frac{15}{16} \alpha}
\end{array}
\]
– решение уравнения (3.1) со знаком «-» при $\lambda=1$ с г. у. $u \rightarrow-\delta, x \rightarrow+\infty, u \rightarrow+\delta, x \rightarrow-\infty$.

Можно найти и другие решения, отвечающие различным граничным условиям: в частности, для $\lambda=0$ получим $u=$ $=4 \operatorname{arctg}\left(e^{\theta}\right)$, или $u=-\pi+4 \operatorname{arctg}\left(e^{\theta}\right)$ с $v=\omega^{2}\left(\omega^{2} \pm \alpha\right)^{-1}$ соответственно. Это решения типа кинков, соответствующие невырожденным поглотителю $(N \rightarrow-1$ при $|x| \rightarrow \infty)$ и усилителю $(N \rightarrow+1$ при $|x| \rightarrow \infty)$ соответственно. Видно, что в усилителе $v>1$ (т. е. $v>c$ ), что обсуждалось, например, в [3.14]. Решения уравнения (3.1) для вырожденного усилителя также могут быть найдены: например, формулы (3.12) остаются в силе с тем отличием, что теперь $v=\omega^{2}\left[\omega^{2}+5 \alpha / 4\right]^{-1}>1$.

Отметим, что решение (3.12) для $и$ описывает кинк со скачком $4 \pi$ : это то же решение (3.6), но записанное в других координатах и представленное теперь в виде суммы двух $2 \pi$-кинков для s-G (случай $\Delta=0$ ), разделенных промежутком $2 \Delta=2 \ln X$ $X(\sqrt{5}+2)$. Аналогично (3.13) есть разность двух $2 \pi$-кинков для s-G, разделенных промежутком $2 \Delta^{\prime}=2 \ln (\sqrt{3}+2)$. Peшения (3.14), (3.15) являются кинками со скачками $4 \pi-\delta$ и $2 \delta$ соответственно и не могут быть представлены в виде комбинаций $2 \pi$-кинков для $\mathrm{s}-\mathrm{G}$.

Электрические поля в (3.12) и (3.13) являются суммой и разностью «sech-импульсов». Последние в невырожденном поглотителе имеют «площадь» $\dot{\theta}=2 \pi$. «Теорема площадей» для резонансных оптических импульсов в невырожденной СИП изображена на рис. 2.1 в гл. 2 ; интересный анализ этой теоремы с точки зрения метода обратной задачи проделан Ньюэллом в гл. 6. Имеется соответствующая теорема площадей в вырожденном случае, хотя здесь и не работает метод обратной задачи: эта теорема площадей имеет вид
\[
\theta_{x}= \pm \beta\left(\sin \theta+\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} \theta\right) .
\]

где, как и в невырожденном случае,
\[
\theta(x) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \mathscr{E}(x, t) d t .
\]

Важно учесть, что $x, t$-лабораторные координаты для СИП в том виде, как они появляются в уравнениях (3.7): заметьте, что переход после (3.8) к новым координатам $\xi, \tau$ необходим для получения ковариантной формы (3.9).

Для остро резонансной задачи $\beta \sim \delta(0)$, где $\delta(x)$ – это $\delta-ф$ ункция [3.1], [3.14], [3.31]. Следовательно, единственными допустимыми площадями являются нули функции $\sin \theta+$ $+\frac{1}{2} \sin \frac{1}{2} \theta$, а именно $0,2 \pi, \delta$ и $4 \pi-\delta(\bmod 4 \pi)$. Небольшое размышление позволяет установить, что эта теорема площадей соответствует поглотителю с г. у. $u \rightarrow 0(\bmod 4 \pi),|x| \rightarrow \infty$ и что площади $\delta$ и $4 \pi-\delta$ достигаются в усилителе, описываемом формулами $P^{(i)}=\sin x^{(i)} u, N^{(i)}=\cos x^{(i)} u$ [ср. с выбором знаков для вывода уравнения (3.8)], и $u=0$. Для этого усилителя справедливо решение (3.12) с $v>1$, но он является неустойчивым к замене площади $4 \pi$ на площадь $4 \pi-\delta$. Теорема площадей имеется для всех типов r. у.; фундаментальные площади имеют вид $\theta=0,2 \pi, 4 \pi ; \theta=0,2 \pi, 4 \pi ; \theta=0,4 \pi-2 \delta, 4 \pi$; $\theta=0,2 \delta, 4 \pi$. Решения (3.12)-(3.15) суть распространяющиеся без искажения решения, отвечающие каждому из этих случаев.

В оптической задаче коллективные состояния оптической среды $u=2 \pi, \delta$ и $4 \pi-\delta$ являются возбужденными и, как отмечалось в разд. 3.1, неустойчивы из-за спонтанного излучения. Хотя в инфракрасной области эти состояния могут длиться $\sim 1$ с $[3.2,3.37]$, экспериментально они не были получены. Состояние $u=0$, если оно является абсолютным основным состоянием, не подвержено такой неустойчивости. Мы поэтому сконцентрируем свое внимание на решениях вида (3.12).

Очевидно, что оптический импульс (3.12) имеет два максимума; то же самое справедливо и для ассоциированной с ним энергии $\mathscr{E}^{2}$. Аналитическая форма этого решения позволяет предположить, что другие приближенные решения уравнения (3.9) можно получить изменением $\Delta$. Легко видеть, что эта форма устойчива даже при больших изменениях $\Delta$ : нужно рассмотреть единственный $2 \pi$-импульс $\mathscr{E}=2 \omega \operatorname{sech} \theta$, входящий в 2-спиновую вырожденную среду. Такие импульсы поворачивают «тяжелый» спин (с матричным элементом $p$ ) на $2 \pi$, а «легкий» спин (с матричным элементом $1 / 2 p$ ) на $\pi$. Они оставляют за собой, следовательно, шлейф возбуждений $u=2 \pi$ (легкий спин вверх – тяжелый вниз), теряют энергию (и амплитуду) и замедляются. Рассмотрим теперь второй $2 \pi$-sechимпульс, входящий в среду $u=2 \pi$, возбужденную первым $2 \pi$-импульсом. Этот второй импульс восстанавливает ориентацию «вниз» обоих атомных спинов, приобретает энергию, ускоряется и (как показывают результаты численного счета) проходит сквозь медленный $2 \pi$-sech-импульс, подобно s-G-солитонам. Впоследствии он теряет энергию, отдавая ее среде впереди себя, и замедляется, в то время как предыдущий медленный $2 \pi$-импульс, имея перед собой состояние $u=2 \pi$, приобретает энергию и ускоряется. На таких крупных масштабах мы будем называть движение «чехардой» оптических импульсов $[3.2,3.10]$. Но любые два кинка типа (3.12) с $\Delta
eq \ln (2+\sqrt{5})$ распадаются на осцилляции с конечной энергией связи: само решение (3.12) является связанным состоянием пары $2 \pi$-sech-импульсов, находящихся в положении равновесия. Отметим, что плотность гамильтониана для уравнения (3.8) имеет вид
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H} & =\frac{1}{2} u_{\tau}^{2}+\frac{1}{2} u_{\xi}^{2}+V(u), \\
V(u) & =\left(2-\cos u-\cos \frac{1}{2} u\right) .
\end{aligned}
\]
$V(u)$ имеет глубокие минимуиы при $u=0$ и $u=4 \pi$ (где $V(u)=0$ ) и более мелкий минимум при $u=2 \pi$ (где $V(u)=2$ ). Вероятно, полезно рассмотреть возмущенное осциллирующее решение как кинк, вставленный между двумя глубокими минимумами и способный к осцилляциям, ассоциированным с более мелким минимумом [3.35]. Такой кинк обязательно устойчивый, поскольку он стабилизируется топологически из-за скачка в $4 \pi^{1}$ ).

Из проделанного анализа вытекает вывод, что и для малых, и для больших изменений $\Delta 4 \pi$-кинки (3.12) имеют внутренние осцилляции, которые могут быть приближенно интерпретированы как осцилляции связанной пары $2 \pi$-кинков для СГ-уравнения. Численное интегрирование уравнения (3.9) полностью подтверждает эти выводы $[3.2,3.4,3.31]$. На рис. 3.1 изображено поведение одного $4 \pi$-кинка с $\Delta$, слегка отличным от
1) Введение в топологические солитоны для неспециалистов см. в [3.88]. Следует предостеречь читателя, что только $\mathrm{s}$-G-солитоны, рассматриваемые там, являются солитонами в том смысле этого слова, как оно используется в настоящей книге.

$\ln (\sqrt{5}+2)$. Мы построили график этого кинка (т. е. $u$ ), чтобы можно было увидеть наличие излучения у изгибов этого «вобблера». А на рис. 3.2 мы изобразили электрическое поле $\mathscr{E}$ и столкновение двух оптических 4л-импульсов, каждый из которых первоначально находился в равновесии $(\Delta=\ln (\sqrt{5}+2)$.

Рис. 3.1. Один «качающийся» $4 \pi$-кинк двойного уравнения sine-Gordon с положительным знаком (и $\lambda=1$ ). Обратите внимание на излучение, особенно в местах встречи $2 \pi$-кинков.

Может показаться, что рис. 3.2 хорошо иллюстрирует основное свойство столкновения солитонов, описанное в гл. 1; однако рассмотрение подробностей обнаруживает, что после столкновения испускается некоторое излучение, и, с нашей теперешней точки зрения, это существенно ${ }^{1}$ ).

Осталось увидеть такое поведение в лаборатории. По счастью, среди переходов $\mathrm{D}_{1} 2 S_{1 / 2} \rightarrow 2 P_{1 / 2}$ в парах натрия (очень удобных для исследования по СИП [3.39]) есть переход $F=$ $=2 \rightarrow F^{\prime}=2$ между сверхтонкими уровнями. Имеются дополнительные переходы: низший уровень $2 S_{1 / 2}(F=1)$ отстоит на
1) $\mathbf{k}$ сождлению, все численные результаты даже для интегрируемых систем типа GГ-уравнения обнаруживаот наличие излучения. Проблема в том, чтобы определить его значимость (см. [3.28]).

1772 МГц от $F=2$, и этот интервал между уровнями хорошо высвечивается импульсом в 5 нс. Верхний уровень $2 P_{1 / 2}\left(F^{\prime}=2\right)$ отстоит от состояния $F^{\prime}=1$ только на 192 МГц, и такой интервал находится на пределе разрешения импульсом в 5 нс. На первый взгляд при наличии разрешения задача имеет $Q(2)$ симметрию, а в противном случае имеется трехуровневая атом:

Рис. 3.2. Столкновение ,вух $4 \pi$-кинков двойного уравнения sine-Gordon, каждый из которых перед ‘толкновением находился в состоянии равновесия (без «качаний». Изображено электрическое поле (производная и).

ная система с двойным нижним уровнем $F=2$. Однако доплеровский эффект порядка 1700 МГц, возникающий из-за движения атомов, означает, что оба перехода $F=2 \rightarrow F^{\prime}=2$ и $F=$ $=2 \rightarrow F^{\prime}=1$ попадают в точный резонанс с двумя различными группами атомов. Таким образом, с однөй стороны, оба перехода являются возбужденными, а с другой – каждому переходу можно приписать свой спин. В результате получаются переходы с тремя различными матричными элементами $p, \frac{1}{2} p, \sqrt{3 / 2} p$ и весами 3,2 и 2 . Уравнение движения вместо уравнения (3.9) является тройным СГ-уравнением
\[
u_{\xi \xi}-u_{\tau \tau}=3 \sin u+\sin \frac{1}{2} u+\sqrt{3} \sin \sqrt{3 / 2} u .
\]

Уравнение (3.18) интересно тем, что его нелинейный член непериодичен. Его нули расположены в $1.1 \pi, 2.2 \pi, 3.0 \pi, 4.2 \pi, \ldots$ …,7.8л,… . Его траектория на фазовой плоскости с началом в точке $u=0$ показана на рис. 3.3. Следует обратить внимание на чередование высоких и низких минимумов в каждом втором нуле. Справедлива теорема площадей типа (3.16a), где в правой части теперь стоит $\pm \beta\left[3 \sin \theta+\sin \frac{1}{2} \theta+\sqrt{3} \sin \sqrt{3 / 2} \theta\right]$. Площади $4.2 \pi$ и $7.8 \pi$, отвечающие глубоким минимумам на

Рис. 3.3. (а) Траектория уравнения (3.18) на фазовой плоскости, выходящая из $u=0$, отвечающая переходу $\mathrm{Na} \mathrm{D}_{1}\left(F=2 \rightarrow F^{\prime}=1,2\right)$; (b) соответствующая траектория для перехода $\mathrm{Na} \mathrm{D}_{1}\left(F={ }^{\prime} 1 \rightarrow F^{\prime}=1,2\right)$.

рис. 3.3, не только устойчивы согласно теореме площадей, но и отдают меньше всего энергии на возбуждение атомов: резульимпульс отдает импульс площади $2 \pi$ на границе среды и что остающийся импульс превращается в 4.2л-вобблер с двумя горбами. В эксперименте, описанном в [3.10], такой вобблер наблюдался.

Эксперимент состоял в том, что плосковолновой импульс ${ }^{1}$ ) с площадью примерно $4 \pi$, длительностью 5 нс, интенсивностью
1) Все импульсы имеют конечную поперечную апертуру, и в принципе возможны как самофокусировка всего луча, так и расщепление (см. [3.42]). Первое исключается выбором достаточно большого диаметра луча. Соответствие плосковолновой модели исключает и фокусировку, и расщепление. Для специалистов укажем, что импульсы длительностью примерно 5 нс были получены усилением выходного луча лазера непрерывного действия на красителе

Рис. 3.4. $a-$. «Качание» в случае самоиндуцированной прозрачности: $a$ численное моделирование для $Q(2)$ с затуханием; $b$ – экспериментальные данныге для вырожденного перехода $\mathrm{Na} \mathrm{D}_{1}\left(F=2 \rightarrow F^{\prime}=1,2\right)$ в нулевом магнитном поле; $c$-экспериментальные данные для невырожденного перехода $\mathrm{NaD}_{1}\left(M_{l}=-1 / 2 \rightarrow M_{j}^{\prime}=+1 / 2\right)$ в поле 5 кГаусс. Кривые с меньшим нулевым значением отвечают более высокому поглощению. Входной импульс изображен штриховой линией.

порядка нескольких Вт/см ${ }^{2}$ в точке максимума, посылается в камеру длиной $1 \mathrm{~cm}$, заполненную парами натрия; наблюдение производится на выходе. Эффективная длина камеры
(типа $580 \mathrm{CW}$ фирмы Spectra Physics) с помощью однопроходного усилителя на красителе с $N_{2}$-накачкой. Выполнение условий однородной плоской волны действительно хорошо соблюдалось: входной луч имел несколько миллиметров в диаметре и обладал малой расходимостью, а результат на выходе из камеры увеличивался в четыре раза и падал на кремниевый лавинный фотодиод диаметром $280 \mu$. Сигнал на выходе фотодиода регистрировался стробируемым осциллографом с разрешением не хуже 1 нс, стробируемым интегратором и записывающим устройством.

меняется при помощи изменения плотности паров натрия внутри нее. В результате на детектор подаются профили различной интенсивности. На рис. $3.4, a$ показаны расчетные значения последовательных профилей интенсивности для $Q(2)$-систем, описываемых уравнением (3.9): данные взяты для сверхтонких $\mathrm{D}_{1}$-переходов $F=2 \rightarrow F^{\prime}=2$ в $\mathrm{Na}$; каждый профиль, однако, характеризуется определенной константой затухания. Значения этих констант таковы: $T_{1}=24 \mathrm{нс}, T_{2}=48 \mathrm{нс}$; они близки к значениям, типичным для трехурозневого атома $\mathrm{Na}^{1}$ ). Численное моделирование показывает, что для двугорбого вобблера передний максимум сначала уменьшается, в то время как задний максимум увеличивается – даже при учете затухания. На рис. $3.4, b$ изображена последовательность реально наблюдавшихся на выходе результатов. Механизм затухания (однородное расползание или спонтанное излучение) приглушает как перед: ний, так и задний максимум, но не настолько, чтобы нарушить уменьшение переднего пика, ясно видное на рис. 3.4, $b$. Для сравнения на рис. $3.4, c$ эксперимент повторен с магнитным полем в 5 кГс. Это поле расщепляет сверхтонкую вырожденность, и система описывается СГ-уравнением. Входные $4 \pi$-импульсы теперь распадаются на $2 \pi$-импульсы с большей амплитудой (равно как и с большей скоростью) переднего импульса. Механизм затухания в основном заглушает более слабый задний импульс (по-видимому, это можно показать с помощью теории возмущений; эксперименты определенно подтверждают подобный вывод ${ }^{2}$ ), и в рассматриваемой последовательности задний импульс оказывается уменьшающимся. Разумеется, наблюдение распада реальных импульсов окончательно решило бы этот вопрос, но четкий распад импульсов в невырожденной СИП был получен при других обстоятельствах – опять же в парах натрия [3.40].

Этот обнадеживающий результат, относящийся к нелинейной оптике, является одним из многих недавно полученных;
1) Фактически были взяты значения для переходов $2 \mathrm{~S}_{1 / 2} F=2 \rightarrow 2 \mathrm{P}_{1 / 2}$ $F=1,2$, затухающих из-за спонтанного излучения. Времена релаксации слегка меняются от перехода к переходу, но все они близки к значениям $T_{1}=$ $\doteq 24 \mathrm{нс}, T_{2}=48 \mathrm{нс}$ для сильных ма:нитных полей, используемым при численном моделировании. Можно сослаться на диссертацию Г. Саламо (Университет Сити, Нью-Йрк, 1974), где показаны отношения ветвления для каждого из подсостояний $F, M_{F}$. Дело в том, что каждое возбужденное подсостояние имеет время жизни 16 нс, но ответвление к нижнему состоянию $\left(\Delta M_{\mathrm{F}}=0\right)$ отлично от ответвления ко всем другим состояниям ( $\left.\Delta M_{\mathrm{F}}= \pm 1\right)$. Так что, строго говоря, времена $T_{1}$ и $T_{2}$ иные. Мы полагаем, что влияние этих различий пренебрежимо мало.
2) Например, если взять $5 \pi$-импульс, демонстрирующий хороший распад, и при этом увеличить поглощение (и, следовательно, потери), то можно увидеть, что второй импульс вымрет первым. То же самое можно увидеть со слабой фокусировкой, чтобы компенсировать потери, увеличнвающие разделе:ние импульсов.

другие — это (а) наблюдение распада четкого импульса в невырожденных парах натрия (см. упоминавшуюся работу [3.40]); (б) наблюдение самофокусировки и некоторого расщепления луча для невырожденной СИП при конечном поперечном сечении падающего луча $[3.12,3.41,3.42]$; (в) наблюдение взаимодействия противоположно направленных оптических импульсов в натрии $[3.13,3.42]$ и (г) наблюдение «суперфлюоресцентного» излучения одиночного импульса [3.43] в парах цезия [3.44]. Распадд (а) есть прекрасный пример распада солитонов; самофокусировка (б) могла быть предсказана (см. [3.13]), но уравнения невырожденной (и вырожденной) СИП, по-видимому, неустойчивы по отношению к самодефокусировке $[3.13,3.45]$; наблюдение расщепления луча наводит на мысль о поперечном солитоноподобном распаде (см. разд. 1.4 и цитированные там статьи); взаимодействие (b) противоположно направленных оптических импульсов сопоставимо с тем фактом, что уравнения СИП (3.7) не инвариантны относительно замены $x \mapsto-x$, и, по-видимому, эта система становится неинтегрируемой в случае, когда огибающие импульсы движутся в противоположных направлениях (по поводу подходящих уравнений для этого случая см., например, [3.13]); суперфлюоресценция одиночного импульса (г) связана с теорией СГ-уравнения с граничными и начальными условиями, весьма отличными от тех (а именно $u \rightarrow 0(\bmod 2 \pi), u_{x}, u_{x x} \rightarrow 0$; $\left.u(x, 0)=u_{0}(x), u_{t}(x, 0)=u_{1}(x)\right)$, для которых оно имеет солитонные решения. Соответствующая краевая задача такова: $u(0, t)=u_{t}(0, t)=0 ; \quad u(x, 0)=\varepsilon_{0}, \quad u_{t}(x, 0)=0, \quad 0<x<L ;$ $10^{-2} \leqslant \varepsilon_{0}<10^{-10}$, и используется неустойчивый вариант СГуравнения $u_{x t}=-\sin u$ [3.43].