Кортевег и де Фриз нашли решения в виде уединенных волн для уравнения, описывающего волны на мелкой воде. Уединенные волны для нашей цепочки получаются в пределе $k \rightarrow 1$ при условии, что
\[
\alpha=\frac{2 K}{\lambda}
\]

конечна [4.7]. В этом пределе уравнения (4.17) и (4.16) принимают вид
\[
\exp \left(-b r_{n}\right)-1=\frac{m}{a b} \beta^{2} \operatorname{sech}^{2}(\alpha n \mp \beta t),
\]

где
\[
\beta=\sqrt{\frac{a b}{m}} \operatorname{sh} \alpha .
\]

Уравнения (4.20) и (4.21) представляют импульсные волны сжатия при $b>0$, имеющие ширину $h / \alpha$, высоту $\beta^{2}$ и скорость $c=h \beta / \alpha$, где $h$ – постоянная цепочки. Чем больше импульс, тем меньше ширина и больше скорость волны. Численный расчет показал, что импульс весьма устойчив [4.8]. Устойчивость нри взаимодействии уединенных волн для уравнения КдФ показали численно Забуски и Крускал [4.9]; они же назвали уединенные устойчивые волны «солитонамн». В этом смысле (4.20) представляет собой решеточный солитон.
Солитон может быть записан как
\[
s_{n}=\mp \frac{\beta m}{b} \operatorname{th}(\alpha n \mp \beta t)
\]

или как
\[
S_{n}=\frac{m}{b} \log \{1+A \exp [2(\alpha n \mp \beta t)]\} .
\]