Пусть $\psi(z)(-\infty<z<\infty)$ – комплексные вектор-функции $\left(\psi=\psi_{1}, \ldots, \psi_{N}\right)$, а $L$ – дифференциальный оператор
\[
\widehat{L}=l_{0} \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}+u_{1} \frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}+\ldots+u_{n} .
\]

Здесь $l_{0}$ – постоянная невырожденная матрица, а $u_{i}(z)$ – переменные матрицы, имеющие пределом на бесконечности постоянные матрицы $l_{i}$, причем
\[
\left\|u_{i}(z)-l_{i}\right\|<c(\mu) e^{-\mu|z|} \quad \text { при } \quad|z| \rightarrow \infty \text { и любом } \mu>0 .
\]

Таким образом при $z \rightarrow \pm \infty L \rightarrow L_{0}$, где
\[
\hat{L}_{0}=l_{0} \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}+l_{1} \frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}+\ldots+l_{n},
\]

а дифференциальное уравнение
\[
\widehat{L} \psi=\lambda \psi
\]

при $z \rightarrow \infty$ вырождается в уравнение с постоянными коэффициентами
\[
\widehat{L}_{0} \psi=\lambda \psi \text {. }
\]

Уравнение (7.4) задает риманову поверхность
\[
\operatorname{det}\left\|\sum_{k=0}^{n} l_{k} \zeta^{n-k}-\lambda I\right\|=0
\]

и имеет в точках общего положения на ней набор фундаментальных решений
\[
\psi_{i}(\lambda, z)=\psi_{i} e^{\zeta_{i} z}, \quad i=1, \ldots, n N .
\]

Любое решение системы (7.3) имеет асимптотику
\[
\psi \rightarrow \sum_{i=1}^{n N} X_{i}(\lambda) \psi_{i}(\lambda, z), \quad z \rightarrow \pm \infty,
\]

причем
\[
X_{i}^{+}(\lambda)=\sum_{j=1}^{n N} S_{i j}(\lambda) X_{j}^{-}(\lambda) ;
\]

матрицу $S_{i j}(\lambda)$, аналитичную в предположении (7.2) на римановой поверхности (7.5), мы назовем полной матрицей рассеяния оператора $\mathcal{L}$. Она имеет существенную особенность в бесконечно-удаленной точке.

Если $S_{i j}(\lambda)$ является точной матрицей рассеяния для оператора $\mathcal{L}$, то она очевидно является полной матрицей рассеяния и для оператора
\[
\widetilde{L}=e^{\gamma(z)} \hat{L^{-\gamma}}{ }^{-\gamma(z)},
\]

где $\gamma(z)$-произвольная матрица, коммутирующая с $l_{0}$. Из всего класса $\mathscr{L}$ выберем канонический оператор, определяемый условием
\[
u_{1}=l_{1}+\left[l_{0}, Q\right] \text {, }
\]

где $Q(z)$ – некоторая матричная функция $z$.
Пусть $S_{i j}(\lambda)$ – полная матрица рассеяния для некоторого канонического оператора $L$. Будем говорить, что для оператора $\mathcal{L}$ однозначно определена обратная задача рассеяния, если оператор $\bar{L}$ восстанавливается по $S_{i j}(\lambda)$ единственным образом. Заметим, что задача восстановления оператора $\mathcal{L}$ по произвольной матрице $S_{i j}(\lambda)$ является сильно переопределенной. Это видно хотя бы из подсчета числа функциональных коэффициентов матрицы $S_{i j}(\lambda)$ (их $n^{2} N^{2}$ ), тогда как у оператора $L$ при учете (7.10) их не более $n N^{2}-N$. Поэтому оператор $\mathcal{L}$ восстанавливается по набору $q \leqslant n N^{2}-N$ рациональных соотношений $T_{i}(\lambda), i=1, \ldots, q$, от элементов матрицы $S_{i j}(\lambda)$. При замене (7.2) условием более слабого убывания $u_{i}(z)$ при $z \rightarrow$ $\rightarrow \pm \infty$ элементы $T_{i j}(\lambda)$ оказызаются определенными лишь на некотором множестве на римановой поверхности (7.5) – в пределе на непрерывном и дискретном спектре оператора $\mathcal{L}$. Подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки настоящей статьи.

Пусть коэффициенты канонического оператора $\mathcal{L}$ с определенной задачей рассеяния зависят еще от параметра $t$, причем $\partial l_{k} / \partial t=0$. Потребуем, чтобы полугруппа сдвигов по $t$, порождаемая дифференциальным уравнением
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}+\hat{A} \psi=0,
\]

где
\[
\hat{A}=a_{0} \frac{\partial^{m}}{\partial z^{m}}+v_{1} \frac{\partial^{m-1}}{\partial z^{m-1}}+\ldots+v_{m}
\]
( $a_{0}$ – постоянная матрица), действовала при каждом фиксированном $\lambda$ инвариантно на линейном многообразии всех решений уравнения (7.3). Это требование эквивалентно выполнению соотношения
\[
\frac{\partial \hat{L}}{\partial t}=[\hat{L}, \hat{A}] .
\]

Коммутатор $[\mathcal{L}, \hat{A}]$ в общем случае представляет собой оператор $n+m$ порядка, и условие (7.12) эквивалентно $n+m+1$ уравнению, первые три из которых имеют вид
\[
\begin{array}{c}
{\left[l_{0}, a_{0}\right]=0,} \\
{\left[l_{0}, v_{1}\right]-\left[a_{0}, u_{1}\right]=0,} \\
{\left[l_{0}, v_{2}\right]-\left[a_{0}, u_{2}\right]+\left[u_{1}, v_{1}\right]+n l_{0} v_{1 z}-m a_{0} u_{1 z}=0 .}
\end{array}
\]

При $z \rightarrow \pm \infty \hat{A} \rightarrow \hat{A}_{0}$, причем очевидно $\left[\hat{L}_{0}, \hat{A}_{0}\right]=0$,
\[
\widehat{A}_{0}=a_{0} \frac{\partial^{m}}{\partial z^{m}}+a_{1} \frac{\partial^{m-1}}{\partial z^{m-1}}+\ldots .
\]

Соотношение (7.14) можно рассматривать как уравнение для определения $\hat{A}_{0}$. Это уравнение при любом $\mathcal{L}_{0}$ имеет решения достаточно взять, например, в качестве $\hat{A}_{0}$ произвольный оператор с постоянными числовыми коэффчциентами. Имеет место следующал

Теорема 1. Существует единственный оператор $\AA$, имеющий своим пределом при $z \rightarrow \pm \infty$ оператор $\hat{A}_{0}$.

Доказательство. Уравнения (7.13) определяют коэффициенты $v_{k}$ рекуррентным образом. Для $k$ и $k+1$ уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{c}
{\left[l_{0}, v_{k}\right]=f_{k},} \\
{\left[l_{0}, v_{k+1}\right]+\left[u_{1}, v_{k}\right]+n l_{0} v_{k z}=f_{k+1} .}
\end{array}
\]

Здесь $f_{k}, f_{k+1}$ зависят только от $v_{i}, i<_{k}$. Уравнение (7.15) определяет $v_{k}$ с точностью до $q$-мерного подпространства $R$ матриц, коммутирующих с $l_{0}$. Умножая уравнение (7.16) на $r_{i} \in R$ и вычисляя след, замечаем, что
\[
\operatorname{Tr}\left\{r_{i}\left[l_{0}, v_{k+1}\right]\right\}=\operatorname{Tr}\left\{v_{k+1}\left[l_{0}, r_{i}\right]\right\}=0 .
\]

В силу невырожденности $l_{0}$ получаем в результате систему $q$ линейно независимых дифференцнальных уравнений на коэффициенты матрицы $v_{k+1}$. Аналогичные уравнения имеют место для $a_{k}$, окончательный результат извлекается из оценки (7.12).

Из (7.13) легко получить, что если оператор $A_{0}$ канонический, то $\hat{A}$ – также канонический.
Из (7.11) при $z \rightarrow \infty$ следует
\[
\psi_{i}(\lambda, z, t)=\exp \left[-\int_{0}^{t} \hat{A}_{0}\left(\zeta_{i}\right) d t+\zeta_{i} z\right] \psi_{i}
\]
(коэффициенты оператора $\hat{A}_{0}$ могут зависеть от времени!). Отсюда для матрицы $S$ получаем
\[
S_{i j}(\lambda, t)=\exp \left[\int_{0}^{t} \hat{A}_{0}\left(\zeta_{i}\right) d t\right] S_{i j}(\lambda) \exp \left[-\int_{0}^{t} \hat{A}_{0}\left(\zeta_{j}\right) d t\right] .
\]

После определения оператора $\hat{A}$ остальные $n$ уравнений, следующие из (7.12), представляют собой нелинейную систему эволюционных уравнений относительно $u_{i}(t)$. Она может быть записана в символическом виде
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}=\mathscr{F}\left(u_{i}\right),
\]

где $\mathscr{F}\left(u_{i}\right)$ – некоторый нелинейный оператор.
Из формулы (7.18) следует, что задачи Коши для этой системы может быть решена по следующей схеме:
\[
\left.u_{i}\right|_{t=0} \xrightarrow{\mathrm{l}} S(\lambda, 0) \xrightarrow{\mathrm{II}} S(\lambda, t) \xrightarrow{\mathrm{II}} u(z, t) .
\]

На первом этапе схемы нужно по начальным данным $u_{i}(z, 0)$. найти матрицу $S(\lambda, 0)$ (точнее говоря, набор данных $T_{i}(\lambda)$, достаточный для восстановления $u_{i}(z)$ ), затем – на втором этапе применить формулу (7.18), на третьем этапе – решить обратную задачу рассеяния, восстанавливающую $u_{i}(z, t)$. В этом и состоит метод обратной задачи.

Из сказанного выше ясно, что уравнение (7.19) восстанавливается по паре «затравочных» асимптотических операторов $\tilde{L}_{0}$ и $\hat{A}_{0}$.
Приведем ряд простейших примеров
1)
\[
\begin{array}{l}
\hat{L}_{0}=J \frac{\partial}{\partial z} ; \quad \hat{A}_{0}=I \frac{\partial}{\partial z} ; \quad[I, I]=0 \\
\hat{L}=J \frac{\partial}{\partial z}+[J, Q] ; \quad \hat{A}=I \frac{\partial}{\partial z}+[I, Q]
\end{array}
\]

из (7.12) теперь следует ([7.8]-[7.10])
\[
\frac{\partial}{\partial t}[J, Q]=I Q_{z} J-J Q_{z} I+[[J, Q],[I, Q]] .
\]
2) $\hat{L}_{0}=\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} ; \quad \hat{A}_{0}=4 \frac{\partial^{3}}{\partial z^{3}}$;
\[
\begin{array}{c}
\hat{L}=\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}-u ; \quad \hat{A}=4 \frac{\partial^{3}}{\partial z^{3}}-3\left(u \frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z} u\right) ; \\
u_{t}-3\left(u u_{z}+u_{z} u\right)-u_{z z z}=0 .
\end{array}
\]
3) $\hat{L}_{0}=\frac{\partial^{3}}{\partial z^{3}}+s^{2} \frac{\partial}{\partial z} ; \quad \hat{A}_{0}=-i \beta \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$;
\[
\begin{array}{l}
\hat{L}=\frac{\partial^{3}}{\partial z^{3}}-\frac{3}{4}\left(u \frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z} u\right)+\frac{3}{2} w+s^{2} \frac{\partial}{\partial z} ; \\
A=-i \beta\left(\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}-u\right) ; \\
u_{t}=2 \beta w_{z} ; \\
w_{t}=\frac{2}{3} \beta\left(-\frac{1}{4} u_{z z z}-s^{2} u_{z}+\frac{3}{4} u u_{z}+\frac{3}{4} u_{z} u\right) .
\end{array}
\]

О физическом смысле всех этих уравнений будет сказано ниже.
4) $\hat{L}_{0}=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z} ; \quad \hat{L}=\hat{L}_{0}+\left(\begin{array}{rr}0 & r \\ q & 0\end{array}\right)$;
a) $\hat{A}_{0}=\alpha\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$;
\[
\begin{array}{l}
\hat{A}=\hat{A}_{0}+\frac{1}{2}\left[\left(\begin{array}{ll}
0 & r \\
q & 0
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\begin{array}{ll}
0 & r \\
q & 0
\end{array}\right)\right]+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
r q & 0 \\
0 & -q r
\end{array}\right) ; \\
r_{t}=\frac{\alpha}{2}\left(r_{z z}+r q r\right) \\
q_{t}=-\frac{\alpha}{2}\left(q_{z z}+q r q\right) .
\end{array}
\]

b)
\[
\begin{array}{l}
\hat{A}_{0}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \frac{\partial^{3}}{\partial z^{3}} \\
\hat{A}=\hat{A}_{0}-\frac{3}{4}\left[\left(\begin{array}{rr}
r q & -r_{z} \\
q_{z} & q r
\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z}\left(\begin{array}{rr}
r q & -r_{z} \\
q_{z} & q r
\end{array}\right)\right] \\
r_{t}=-\frac{1}{2} r_{z z z}-\frac{3}{4}\left(r_{z} q r+r q r_{z}\right) ; \\
q_{t}=-\frac{1}{2} q_{z z z}-\frac{3}{4}\left(q_{z} r q+q r q_{z}\right)
\end{array}
\]
5) $\hat{L}_{0}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} ; \quad \hat{A}_{0}=\frac{1}{\beta}\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right) \frac{\partial}{\partial z}$;
\[
\begin{aligned}
\hat{L} & =\hat{L}_{0}+u ; \quad \hat{A}=\hat{A_{0}}+\frac{1}{\beta} \eta ; \\
\beta u_{t} & =\frac{1}{2}\left\{l, u_{t}\right\}+[u, v] ; \quad v_{z}=-\frac{1}{2}[I, u] \quad \text { (см. [7.11]). }
\end{aligned}
\]