Рассмотрим задачу на собственные значения
\[
\begin{array}{l}
v_{1 x}+i \zeta v_{1}=q(x, t) v_{2}, \\
v_{2 x}-i \zeta v_{2}=r(x, t) v_{1}, \quad-\infty<x<\infty .
\end{array}
\]

В этом разделе будут описаны свойства данных рассеяния для (6.16), когда оба потенциала $q(x, t)$ и $r(x, t)$ абсолютно интетрируемы на оси $(-\infty, \infty)$. Определим решения $\tilde{\varphi}(x, t, \zeta)$, $\varphi(x, t, \zeta), \bar{\psi}(x, t, \zeta), \psi(x, t, \zeta)$ по их асимптотическим свойствам (6.18), которые перечислены ннже в виде таблицы. Для ( $\varphi, \bar{\varphi})$ асимптотика задается на $-\infty$, а для $(\psi, \bar{\psi})$ на $+\infty$. Так как только два из четырех решений могут быть линейно независимыми, то при вещественных $\zeta$ имеются следующие соотношения:
\[
\begin{array}{ll}
\bar{\varphi}=a \bar{\psi}+b \psi, & \psi=\bar{b} \varphi-a \bar{\varphi}, \\
\ddot{\varphi}=-\bar{a} \psi+\bar{b} \bar{\psi}, & \bar{\psi}=\bar{a} \varphi+b \bar{\varphi} .
\end{array}
\]

Из свойств вронскиана для $\varphi$ и $\bar{\varphi}$ и их поведения на $-\infty$ вытекает, что $a \bar{a}+b \bar{b}=1$.

Подробно свойства этих функций изложены в работах [6.23], [6.59], [6.63]. Здесь приводятся лишь наиболее важные из них.
1) Если $q(x, t)$ и $r(x, t)$ абсолютно интегрируемы, то $\varphi e^{i \xi x}$, $\boldsymbol{\psi} e^{-i i^{6} x}, a(\zeta, t)=\varphi_{1} \psi_{2}-\mathcal{\varphi}_{2} \psi_{1}$ ( соответственно $\bar{\varphi} e^{-i \zeta x}, \bar{\psi} e^{i \zeta x}, \bar{a}(\zeta, t)=$ $=\bar{\varphi}_{1} \bar{\psi}_{2}-\bar{\varphi}_{2} \bar{\psi}_{1}$ ) аналитичны в верхней (нижней) полуплоскости $\zeta ; b(\zeta, t), \bar{b}(\zeta, t)$ определены для вещественных $\zeta$. Если существуют интегралы $\int_{-\infty}^{+\infty}|x|^{n} q(x, t) d x$ и $\int_{-\infty}^{+\infty}|x|^{n} r(x, t) d x$, то $b$ и $\overline{6}$ дифференцируемы $n$ раз. Более того, если $q(x, t)$ и $r(x, t)$ финитны, то все величины аналитично продолжаются на всю комплексную область параметра $\zeta$. В частности, $b(\zeta, t)$ и $[\bar{b}(\zeta, t)]$ определены в точках дискретного спектра (6.16).
2) Поскольку $a(\zeta, t)=\varphi_{1} \psi_{2}-\varphi_{2} \psi_{1} \quad$ (соотвественно $\quad \vec{a}=$ $=\bar{\varphi}_{1} \bar{\psi}_{2}-\bar{\varphi}_{2} \psi_{1}$ ) аналитична в верхней (нижней) полуплоскости, то нули этой функции соответствуют таким значениям $\zeta_{k}\left(\bar{\zeta}_{k}\right)$, для которых $\varphi(\bar{\varphi})$ пропорционально $\psi(\bar{\psi})$ при всех $x$. Функции $\varphi$ и $\boldsymbol{\text { п пи }} \operatorname{Im} \zeta>0$ убывают на $-\infty$ и $+\infty$ соответственно, поэтому величинам $\zeta_{k}$ отвечают ограниченные собственные функции. Запишем $\varphi\left(\zeta_{k}, t\right)=b_{k}(t) \psi\left(\zeta_{k}, t\right), \quad \bar{\varphi}\left(\bar{\zeta}_{k}, t\right)=\bar{b}_{k}(t) \bar{\psi}\left(\bar{\zeta}_{k}, t\right)$. Если $q$ и $r$ финитны, то $b\left(\zeta_{k}, t\right)=b_{k}(t)$, а $\bar{b}\left(\bar{\zeta}_{k}, t\right)=\bar{b}_{k}(t)$. Аналитичность $a(\zeta, t)$ (или $\bar{a}(\bar{\zeta}, t)$ ) и то, что они стремятся к единице в соответствующей полуплоскости, обусловливает конечность $N$ и $\bar{N}$ – количеств дискретных собственных значений $\left\{\zeta_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ и $\left\{\bar{\zeta}_{k}\right\}_{k=1}^{\bar{N}}$. Мы предполагаем, что ни одно из собственных значений не лежит на вещественной оси. Читателю может быть полезно проверить некоторые из сделанных выше утверждений на примере
\[
-r(x, 0)=q(x, 0)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x<0, \quad x>L, \\
Q, & 0<x<L .
\end{array}\right.
\]
3) Набор параметров $S=\left\{\left\{\zeta_{k}, b_{k}\right\}_{k=1}^{N}, \quad\left\{\bar{\zeta}_{k}, \bar{b}_{k}\right\}_{k=1}^{\bar{N}}, a(\zeta, t)\right.$, $b(\zeta, t), \bar{a}(\zeta, t), \bar{b}(\zeta, t)\}$ называется данными рассеяния. Оказывается, что для восстановления $r$ и $q$ достаточна часть данных рассеяния. Соответствующие формулы даны в [6.23], [6.63] и требуют задания либо
\[
S_{+}=S_{+}\left\{\left\{\zeta_{k}, \gamma_{k}\right\}_{k=1}^{N},\left\{\bar{\zeta}_{k}, \bar{\gamma}_{k}\right\}_{k=1}^{\bar{N}}, \frac{b}{a}(\xi, t), \frac{\bar{b}}{\bar{a}}(\xi, t), \xi=\xi^{*}\right\}
\]
(где $\gamma_{k}=b_{k} / a_{k}^{\prime}$, $\bar{\gamma}_{k}=\bar{b}_{k} / \bar{a}_{k}^{\prime}$, штрих означает дифференцирование по ५), либо задания
\[
S_{-}=S_{-}\left\{\left(\zeta_{k}, \beta_{k}\right)_{k=1}^{N},\left(\bar{\zeta}_{k}, \bar{\beta}_{k}\right)_{k=1}^{\bar{N}}, \frac{\vec{b}}{a}(\xi, t), \xi=\xi^{*}\right\},
\]

где $\beta_{k}=1 / b_{k} a_{k}^{\prime}, \bar{\beta}_{k}=1 / \bar{b}_{k} \bar{a}_{k}^{\prime}$. Произвольное задание $S_{-}$и $S_{+}$не всегда приводит к абсолютно интегрируемым и единственным потенциалам $r$ и $q$ [6.63]. Это указывает на необходимость ограничений на множество данных (например, таких, какие были найдены для начальных данных рассеяния в случае $\left.r(x, 0)= \pm q^{*}(x, 0)\right)$.
4) В работе [6.63], а также в настоящей работе показано, что преобразование потенциалов $q$ и $r$ к данным рассеяния $S$ является каноническим для два-формы $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta q \wedge \delta r d x$, т. е. сохраняющим эту форму, и что сопряженные координаты в пространстве данных рассеяния суть
\[
A=A\left\{\left(2 i \zeta_{k}, \ln b_{k}\right)_{k=1}^{N},\left(2 i \bar{\zeta}_{k}, \ln \bar{b}_{k}\right)_{k=1}^{\bar{N}},\left[\frac{1}{\pi} \ln a \bar{a}, \ln b(\zeta)\right]\right\} .
\]

Эти результаты были даны в [6.63]. В настоящей работе они вводятся и доказываются более наглядно и в большей общности. Для некоторых гамильтонианов указанные сопряженные координаты являются переменными типа действие – угол, и соответствующие уравнения тривиально интегрируемы.
5) Ситуация упрощается, если $r$ линейно связано с $q$ или $q^{*}$. Сначала рассмотрим случай $r=\alpha q^{*}$, где $\alpha$ вещественно. Тогда $\bar{\psi}(\zeta, x)=S \psi^{*}\left(\zeta^{*}, x\right), \quad \bar{\varphi}(\zeta, x)=-S \varphi^{*}\left(\zeta^{*}, x\right) / \alpha, \quad \bar{a}(\zeta)=a^{*}\left(\zeta^{*}\right)$, $\bar{b}(\zeta)=-b^{*}\left(\zeta^{*}\right) / \alpha, \quad N=\bar{N}, \quad \bar{\zeta}_{k}=\zeta_{k}^{*}, \quad \bar{b}_{k}=-b_{k}^{*} / \alpha . \quad$ Здесь $S=$ $=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ \alpha & 0\end{array}\right)$. Если $r=\alpha q, \alpha$-произвольная вещественная или комплексная константа, $\quad \bar{\psi}(\zeta, x)=S \psi(-\zeta, x), \quad \bar{\varphi}(\zeta, x)=$ $=S \varphi(-\zeta, x) / \alpha, \bar{a}(\zeta)=a(-\zeta), \bar{b}(\zeta)=-b(-\zeta) / \alpha, N=\bar{N}, \zeta_{k}=$ $=-\zeta_{k}, \bar{b}_{k}=-b_{k} / \alpha$. Если $r=\alpha q$, где $\alpha, r, q$ вещественные, то $a^{*}\left(\zeta^{*}\right)=a(-\zeta), b^{*}\left(\zeta^{*}\right)=b(-\zeta)$; кроме того, если $\zeta_{k}\left(\operatorname{Re} \zeta_{k}
eq 0\right)$ есть собственное значение, то – $\zeta_{k}^{*}$ также является собственным значением. В задаче нелинейной оптики единственному собственному значению $\xi_{k}=i \eta_{k}$ отвечает $2 \pi$-импульс, или кинк, а паре собственных значений – $0 \pi$-импульс, или бризер.
6) Имеют место следующие полезные соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{0} \frac{\partial}{\partial \zeta} \ln a=-i \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\varphi_{1} \psi_{2}+\psi_{1} \varphi_{2}}{a}-1\right) d x, \operatorname{Im} \zeta>0, \\
\int_{-\infty}^{\infty}\left[B\left(\zeta_{1}\right) C\left(\zeta_{2}\right)-B\left(\zeta_{2}\right) C\left(\zeta_{1}\right)\right] d x= \\
=\frac{1}{2\left(\zeta_{1}-\zeta_{2}\right)}\left[2 A\left(\zeta_{1}\right) A\left(\zeta_{2}\right)-B\left(\zeta_{1}\right) C\left(\zeta_{2}\right)-B\left(\zeta_{2}\right) C\left(\zeta_{1}\right)\right]_{-\infty}^{\infty} .
\end{array}
\]

В (6.22) $A, B, C$ удовлетворяют уравнениям
\[
A_{x}=q C+r B, \quad B_{x}+2 i \zeta B=2 q A, \quad C_{x}-2 i \zeta C=2 r A .
\]

Соотношение (6.21), которое выводится из формулы
\[
i\left(u_{1} w_{2}+u_{2} w_{1}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{\partial u_{1}}{\partial \zeta} w_{2}+\frac{\partial u_{2}}{\partial \zeta} w_{1}\right)
\]
(где $\left(u_{1}, u_{2}\right.$ ) и ( $\left.w_{1}, w_{2}\right)$ – решения (6.16)), позволяет выразить гамильтонианы интегрируемых систем как функционалы $r$ и $q$. В (6.32a) будет показано, что вариация (6.21) дает $\delta \ln a=$ $=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\delta q \varphi_{2} \psi_{2} / a-\delta r \varphi_{1} \psi_{1} / a\right) d x$. Соотношение (6.22) лежит в основе доказательств соотношений ортогональности между квадратами собственных функций и их сопряженными.
7) Два важных асимптотических соотношения указывают на центральную роль функций $\ln a(\zeta)$ и $\ln \bar{a}(\zeta)$ :
\[
\begin{array}{ll}
\ln a(\zeta) \sim-\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \zeta^{-n}, & \operatorname{Im} \zeta>0, \\
\ln \bar{a}(\zeta) \sim \sum \zeta^{-n} C_{n}, & \operatorname{Im} \zeta<0 .
\end{array}
\]

В работе [6.63] было показано, что функция $\ln a(\zeta)$ может быть рассмотрена и как функционал от $r$ и $q$, и как часть данных рассеяния. При этом было показано, что она порождает класс гамильтонианов, для которых соответствующие потоки интегрируемы. Функционалы $C_{n}$ могут быть вычислены рекуррентным образом. Первые три имеют вид
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=\frac{1}{2 i} \int_{-\infty}^{+\infty} q r d x, \quad C_{2}=\frac{1}{(2 i)^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} q r_{x} d x, \\
C_{3}=\frac{1}{(2 i)^{3}} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(q r_{x x}-q^{2} r^{2}\right) d x .
\end{array}
\]