Настоящая статья посвящена систематическому изложению различных методов получения уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. Изложение начинается с элементарных методов и завершается методом одевания многомерных операторов. Многие результаты (это относится как к элементарной части, так и в особенности к методу одевания) являются оригинальными и публикуются впервые.

С тех пор, как в 1967 г. Гарднер, Грин, Крускал и Миура [7.1] проинтегрировали уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ), открыв тем самым метод обратной задачи рассеяния, предпринимаются многочисленные попытки расширения сферы применимости этого метода. Актуальность этой проблематики объясняется как желанием глубже понять математическую природу операций, составляющих метод, так и надеждами относительно приложений метода в механике и теоретической физике. Насколько обширен класс уравнений, интегрируемых методом обратной задачи?

Фактически, некоторые возможности поиска интегрируемых уравнений были заложены уже в первой работе [7.1]. Они, однако, были реализованы лишь в 1973 г. в работе Абловица, Қаупа, Ньюэлла и Сегура [7.2]. До этого в 1968 г. появилась работа П. Лакса [7.3], предложившего упрощенное доказательство основного результата работы [7.1] и вместе с темпервый метод поиска интегрируемых уравнений. Именно этим методом были найдены первые отличные от КдФ уравнения, интегрируемые при помощи обратной задачи рассеяния [7.4-7.6].

Оба упомянутых выше метода имеют преимущество элементарности, и в сущности сводятся к вычислению условий сохранения собственных чисел некоторой спектральной задачи при известном способе изменения собственных функций. Однако после получения интегрируемых уравнений для фактического их интегрирования, или хотя бы для вычисления отдельных их точных решений, необходимо развитие техники решения соответствующей обратной спектральной задачи, что вооще говоря может оказаться затруднительным. Эта трудность была отчасти преодолена в работе [7.7], в которой была продемонстрирована
возможность построения интегрируемых уравнений вместе с явным указанием способа вычисления их точных решений. Методика, использованная в [7.7], основывалась на следующей идее: линейные операторы с переменными коэффициентами могут быть получены при помощи операторов преобразования из операторов с постоянными коэффициентами (обычный способ решения обратных спектральных задач); при одновременном преобразовании двух таких постоянных операторов, имеющих совместный спектр, условие совместности примет вид нелинейного уравнения на коэффициенты. Это и есть искомое интегрируемое уравнение. Процедуру преобразования уравнения с постоянными коэффициентами в уравнения с переменными коэффициентами можно, используя язык теоретической физики, называть «одеванием», а весь соответствующий метод – методом одевания.

Важным преимуществом метода одевания является возможность распространения его на случай многих переменных, частично избегая при этом неприятного вопроса о постановке і разрешимости соответствующей обратной спектральной задачи. Если говорить о применении к физике, то уже простейшие точные решения таких многомерных уравнений оказываются весьма интересными и информативными.

В приведенном ниже систематическом изложении различных методов получения уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, уровень строгости, вероятно, не везде удовлетворит чистого математика, – например, почти нигде не фиксируется, в каких функциональных пространствах должны рассматриваться найденные уравнения. В оправдание можно здесь сказать, что центральные и инвариантные моменты работы имеют алгебраический характер, на аналитические же аспекты очень влияет как конкретный выбор уравнения, так и выбор для него краевой задачи. При подборе примеров, иллюстрирующих тот или иной вариант метода, предпочтение оказано уравнениям, имеющим (на сегодняшний день) физический смысл.