Пусть задан $m \times m$-матричный оператор $B$ в виде
\[
B=2 i J \partial^{2}-2 i V \partial-i J U,
\]

где компоненты постоянной матрицы $J$ суть
\[
J_{i j}=(1, \quad i=j=1 ; \quad-1, \quad i=j>2 ; \quad 0, \quad i
eq j) .
\]

Пусть матричная функция $V$ удовлетворяет условиям $V=V^{*}$ и $J V=-V J$. Подстановка (8.2) и (8.42) в уравнение (8.28) дает
\[
\begin{array}{c}
V_{t}=i J V_{x x}+2 i J V^{3}, \\
U=-V^{2}+J U_{x} .
\end{array}
\]

Если компоненты матрицы $V$ выбраны так, что
$V_{1 j}=q_{j}, j=2, \ldots, m, V_{j 1}=\bar{q}_{j} ; V_{i j}=0$ для остальных, (8.45) тогда из (8.43) вытекает
\[
i\left(q_{k}\right)_{t}+\left(q_{k}\right)_{x x}+2\left(\sum_{n=1}^{m} \bar{q}_{m} q_{m}\right) q_{k}=0 .
\]

Это $m$-компонентное нелинейное уравнение Шрёдингера. В случаях $m=1$ и $m=2$ оно было изучено Захаровым и Шабатом [8.3] и Манаковым [8.9] соответственно. Эти уравнения рассматривались в приложении к нелинейной оптике.

Мы не просчитывали, насколько широко применим этот формализм в случае $m>3$. Недавно Калоджеро и Дегаспирес [8.10] получили новые результаты в этом вопросе.